Моделирование в эконометрике

- В качестве критерия мультиколлинеарности может быть принято соблюдение следующих неравенств:

- r_yxi > r_xixk, r_yxk > r_xixk, r_xixk < 0,8.

- Если приведенные неравенства (или хотя бы одно из них) не выполняются, то в модель включают тот фактор, который наиболее тесно связан с Y.

Последствия гетероскедастичности.

При невыполнимости предпосылки постоянства дисперсий отклонений гомоскедастичность) последствия применения МНК будут следующими.

1. Оценки коэффициентов по-прежнему останутся несмещенными и линейными.

2. Оценки не будут эффективными (т.е. они не будут иметь наименьшую дисперсию по сравнению с другими оценками данного параметра). Они не будут даже асимптотически эффективными. Увеличение дисперсии оценок снижает вероятность получения максимально точных оценок.

3. Дисперсии оценок будут рассчитываться со смещением.

4. Вследствие вышесказанного все выводы, получаемые на основе соответствующих t- и F-статистик, а также интервальные оценки будут ненадежными. Следовательно, статистические выводы, получаемые при стандартных проверках качества оценок, могут быть ошибочными и приводить к неверным заключениям по построенной модели. Вполне вероятно, что стандартные ошибки коэффициентов будут занижены, а следовательно, t-статистики будут завышены. Это может привести к признанию статистически значимыми коэффициентов, таковыми на самом деле не являющихся.

Методы смягчения проблемы гетероскедастичности.

При установлении гетероскедастичности возникает необходимость преобразования модели с целью устранения данного недостатка. Вид преобразования зависит от того, известны или нет дисперсии отклонений.

Для этого используется взвешенный метод наименьших квадратов (ВНК).

Тема 4 Нелинейные модели регрессии

Нелинейные модели регрессии и их линеаризация.

1.Типы нелинейных моделей:

2. Нелинейные модели линейные по объясняющим переменным и их линеаризация.

3.Нелинейные модели по оцениваемым параметрам.

Во многих практических случаях моделирование экономических зависимостей линейными уравнениями дает вполне удовлетворительный результат и может использоваться для анализа и прогнозирования. Однако в силу многообразия и сложности экономических процессов ограничиться рассмотрением лишь линейных регрессионных моделей невозможно. Многие экономические зависимости не являются линейными по своей сути, и поэтому их моделирование линейными функциями, безусловно, не даст положительного результата. Так, например, нелинейными являются производственные функции (зависимости между объемом произведенной продукции и основными факторами производства - трудом, капиталом и т.п.), функции спроса (зависимость между спросом на товары или услуги и их ценами или доходом) и др.

Различают два класса нелинейных регрессий:

регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам. К таким функциям относятся квазилинейные функции.

Например, это полиномы различных степеней

Равносторонняя гипербола

регрессии нелинейные по оцениваемым параметрам. К таким регрессиям относятся нелинейные функции второго класса.

Например, степенная функция

Показательная

Экспоненциальная

Нелинейная регрессия по включенным переменным не таит каких-либо сложностей в оценке ее параметров. Она определяется, как и в линейной регрессии, методом наименьших квадратов, так как эти функции линейны по параметрам. Так, например, в полиноме второй степени

заменив х = х₁, х² = х₂, получим у = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + u. Применив метод наименьших квадратов для оценки коэффициентов этого полинома, получим следующую систему нормальных уравнений

Ее решение возможно методом Крамера.

Среди класса нелинейных функций, параметры которых легко оцениваются с помощью МНК, следует назвать хорошо известную в эконометрике равностороннюю гиперболу:



Она может быть использована для характеристики связи удельных расходов сырья, материалов, топлива с объемом выпускаемой продукции, времени обращения товаров от величины товарооборота. Классическим ее примером является кривая Филлипса, характеризующая нелинейное соотношение между нормой безработицы х и процентом прироста заработной платы у. Английский экономист А.В.Филлипс, анализируя данные более чем за 100-летний период, в конце 50-х годов 20 века, установил обратную зависимость прироста заработной платы от уровня безработицы.

Заменив в уравнении равносторонней гиперболы 1/х на z, получим уравнение линейной регрессии y = b₀ + b₁ z + u, оценка параметров которого может быть дана с помощью МНК.

Модели вида

называются полулогарифмическими моделями. Эти модели также относятся к нелинейным моделям относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейным по параметрам.

Такие модели обычно используются в тех случаях, когда необходимо определять темп роста или прироста каких-либо экономических показателей. Например, при анализе банковского вклада по первоначальному вкладу и процентной ставке, при исследовании зависимости прироста объема выпуска от относительного (процентного) увеличения затрат ресурса, бюджетного дефицита от темпа роста ВНП, темпа роста инфляции от объема денежной массы и т.д.

Зависимость

где Y₀ - начальная величина переменной Y (например, первоначальный вклад в банке); r - сложный темп прироста величины Y (процентная ставка); Y_t - значение величины Y в момент времени t (вклад в банке в момент времени t). Эта модель легко сводится к полулогарифмической первого вида, параметры которой легко оцениваются с помощью МНК.

Иначе обстоит дело с регрессией, нелинейной по оцениваемым параметрам. Данный класс нелинейных моделей подразделяется на два типа: нелинейные модели внутренне линейные и нелинейные модели внутренне нелинейные.

Если нелинейная модель внутренне линейна, то она с помощью соответствующих преобразований может быть приведена к линейному виду. Например в экономических исследованиях при изучении эластичности спроса от цен широко используется степенная функция

где y - спрашиваемое количество

х - цена

u - случайная ошибка.

Данная модель нелинейна относительно оцениваемых параметров, так как включает параметры а и b неаддитивно. Однако ее можно считать внутренне линейной, так как логарифмирование данного уравнения, например, по основанию e приводит его к виду

Оценка параметров в полученном уравнении может быть произведена с помощью МНК.

Наибольшее распространение степенной функции в эконометрике связано с тем, что параметр b имеет четкое экономическое истолкование, - он является коэффициентом эластичности. Это значит, что коэффициент b показывает, на сколько % в среднем результат, если фактор изменится на 1%.

Для степенной функции коэффициент эластичности будет рассчитываться следующим образом

При b<0 характеризуется эластичность спроса, а при b>0 - предложения.

В других функциях коэффициент эластичности зависит от значений фактора x. В силу этого для них обычно рассчитывается средний показатель эластичности

Если же модель степенной регрессии представить в виде

то она становится внутренне нелинейной, так как ее невозможно превратить в линейный вид. В этом случае, то есть, если модель внутренне нелинейна по параметрам, используются итеративные процедуры, успешность которых зависит от вида уравнений и особенностей применяемого итеративного подхода. Модели внутренне нелинейные по параметрам могут иметь место в эконометрических исследованиях, однако гораздо большее распространение получили модели, приводимые к линейному виду.

Рассмотренные функции регрессий легко обобщаются на большее количество переменных.Ввиду четкой интерпритации параметров наиболее широко используется степенная функция. В степенной функции

Коэффициенты b_j являются коэффициентами эластичности.

Например, при исследовании спроса на мясо получено уравнение

где у - количество спрашиваемого мяса, х₁ - цена, х₂ - доход.

Рост цен на 1% при том же доходе вызывает снижение спроса в среднем на 2,63%. Увеличение дохода на 1% обусловливает при неизменных ценах рост спроса на 1,11%.

Зачастую данная степенная модель используется при анализе производительных функций. Например, хорошо известна производственная функция Кобба-Дугласа

После логарифмирования обеих частей получим

Здесь б и в - эластичности выпуска по затратам капитала и труда соответственно. Сумма этих коэффициентов является таким важным экономическим показателем, как отдача от масштаба. При б + в = 1 говорят о постоянной отдаче от масштаба (во сколько раз увеличиваются затраты ресурсов, во столько же раз увеличивается выпуск). При б + в <1 имеет место убывающая отдача от масштаба (увеличение объема выпуска меньше увеличения затрат ресурсов). При б + в >1 - возрастающая отдача от масштаба (увеличение объема выпуска больше увеличения затрат ресурсов).

Гомоскедастичность

Гомоскедастичность остатков означает, что дисперсия каждого отклонения одинакова для всех значений x. Если это условие не соблюдается, то имеет место гетероскедастичность. Наличие гетероскедастичности можно наглядно видеть из поля корреляции (смотри рисунок).

Т.к. дисперсия характеризует отклонение то из рисунков видно, что в первом случае дисперсия остатков растет по мере увеличения x, а во втором - дисперсия остатков достигает максимальной величины при средних значениях величины x и уменьшается при минимальных и максимальных значениях x. Наличие гетероскедастичности будет сказываться на уменьшении эффективности оценок параметров уравнения регрессии. Наличие гомоскедастичности или гетероскедастичности можно определять также по графику зависимости остатков от теоретических значений .

Отсутствие автокорреляции остатков

Под автокорреляцией остатков понимают зависимость распределения значений остатков друг от друга. Автокорреляция остатков означает наличие корреляции между остатками текущих и предыдущих (последующих) наблюдений. Оценить эту зависимость можно вычислив коэффициент корреляции между этими остатками по формуле, аналогичной (6)

. (10)

Если этот коэффициент окажется существенно отличным от нуля, то остатки автокоррелированны.

Пример. Проверить для уравнения регрессии, полученного ранее, выполнение предпосылок МНК.

Вычисляем теоретические значения по уравнению регрессии полученному ранее, а остатки по формуле и записываем в таблицу

Номер предприятия	1	2	3	4
, (%)	1	2	3	5
, (%)	0	1	3	4
, (тыс. руб.)	6	11	19	28
, (тыс. руб.)	5,79	11,31	19,07	27,87
, (тыс. руб.)	0,21	-0,31	-0,07	0,13

Теперь для проверки случайного характера остатков построим график их зависимости от теоретических значений .

Хотя по четырем точкам судить трудно, но в целом можно сделать вывод, что остатки распределены случайно. Из этого же рисунка можно сделать вывод о гомоскедастичности остатков, т. к. дисперсия каждого отклонения одинакова для всех значений x.

Вычислим теперь величину суммарного отклонения:

.

По малости этой величины можно сделать вывод о практически нулевой средней величине остатков.

Коэффициент автокорреляции остатков находим по следующим рядам данных:

, (тыс. руб.)	-0,31	-0,07	0,13
, (тыс. руб.)	0,21	-0,31	-0,07

;

;

;

Отсюда находим

Коэффициент корреляции не так велик, и его можно считать приемлемым. Таким образом мы установили, что у нас были все предпосылки к тому, чтобы применять МНК и линейное уравнение регрессии к исходным данным.

Обобщенный метод наименьших квадратов

При наличии гетероскедастичности в остатках рекомендуется традиционный метод наименьших квадратов (МНК) заменять обобщенным методом наименьших квадратов (ОМНК).

Будем предполагать, что среднее значение остаточных величин равно нулю. А вот дисперсия их не остается неизменной для различных значений фактора, а пропорциональна некоторой величине , т.е.

,

где - дисперсия ошибки на конкретном (i - ом) значении фактора;

- постоянная дисперсия ошибки при соблюдении предпосылки о гомоскедастичности остатков;

- коэффициент пропорциональности, меняющийся с изменением величины фактора, что и обуславливает неоднородность дисперсии.

При этом полагается, что величина неизвестна, а в отношении величины выдвигаются определенные гипотезы, характеризующие структуру гетероскедастичности.

В общем виде уравнение регрессии примет вид

.

Исходные данные для этого уравнения будут иметь вид:

.

По отношению к обычной регрессии уравнение с новыми, преобразованными переменными представляет собой взвешенную регрессию, в которой переменные x и y взяты с весами .

Оценка параметров нового уравнения с преобразованными переменными приводит к взвешенному методу наименьших квадратов, для которого необходимо минимизировать сумму квадратов отклонений вида

.

Фиктивные переменные во множественной регрессии

До сих пор в качестве факторов рассматривались экономические переменные, принимающие количественные значения в некотором интервале. Вместе с тем может оказаться необходимым включить в модель факторы, которые представляют собой различные атрибутивные признаки. Такими признаками, например, являются профессия, пол, образование, климатические условия и т.п. Чтобы ввести такие переменные в регрессионную модель, им должны быть присвоены те или иные цифровые метки, т.е. качественные переменные преобразовать в количественные. Такого вида сконструированные переменные в эконометрике принято называть фиктивными переменными.

Рассмотрим применение фиктивных переменных для функции спроса. Предположим, что по группе лиц мужского и женского пола изучается линейная зависимость потребления кофе от цены. В общем виде для совокупности обследуемых уравнение регрессии имеет вид:

,

где y - количество потребляемого кофе;

x - цена кофе.

Аналогичные уравнения могут быть найдены отдельно для лиц мужского пола: и женского пола: . Если сила влияния цены на количество потребления кофе одинакова как для мужчин, так и для женщин (), то становится возможным построение общего уравнения регрессии с включением в него фактора «пол» в виде фиктивной переменной. Это уравнение может быть записано в виде:

,

где - фиктивные переменные, принимающие значения:

.

Следует отметить, что применение МНК для оценивания параметров и приводит к вырожденной матрице исходных данных, а следовательно, и к невозможности получения их оценок.

Выходом из создавшегося положения может явиться переход к уравнению

,

т.е. уравнению, включающему только одну фиктивную переменную. Предположим, что МНК были получены оценки параметров этого уравнения, тогда теоретические значения размера потребления кофе для мужчин будут получены из уравнения

.

Для женщин соответствующие значения получим из уравнения

.

Тема 5 Временные ряды

эконометрический модель регрессия ряд

Понятие временного ряда.

Основные характеристики временных рядов.

Модели стационарных и нестационарных временных рядов и их идентификация

Автокорреляция временного ряда. Критерий Дарбина-Уотсона.

Временным рядом (рядом динамики, динамическим рядом) называется упорядоченная во времени последовательность численных показателей{(y_i,t_i), i=1,2,...,n}, характеризующих уровни развития изучаемого явления в последовательные моменты или периоды времени.

Величины y_i называются уровнями ряда, а t_i - временными метками (моменты или интервалы наблюдения). Обычно рассматриваются временные ряды с равными интервалами между наблюдениями, в качестве значений t_i берутся порядковые номера наблюдений и временной ряд представляется в виде последовательности y₁, y₂,…, y_n, где n - количество наблюдений.

Целью исследования временного ряда является выявление закономерностей в изменении уровней ряда и построении его модели в целях прогнозирования и исследования взаимосвязей между явлениями.

При исследовании экономического временного ряда его обычно представляют в виде совокупности трех составляющих:

- долговременной тенденции (Т), т. е. устойчивого увеличения или уменьшения значений уровней ряда (тренда);

- периодических колебаний (S);

- случайных колебаний (E).

На рисунке показан график временного ряда, на котором прослеживаются все три составляющие.



Различным образом объединяя эти компоненты, можно получить различные модели временного ряда (Y):

- аддитивную

Yt = Tt + St + Et;

- мультипликативную

Yt = Tt ·St · Et;

- смешанную

Yt = Tt · St + Et.

В экономике периодические колебания принято подразделять на сезонные, у которых период колебаний не превышает одного года (цены на сельскохозяйственную продукцию), вызванные климатическими или социальноэкономическими причинами, и циклические с периодом колебаний несколько лет, связанные с циклами деловой активности.

Основная задача эконометрического исследования временного ряда заключается в выявлении и придании количественного выражения составляющим его отдельным компонентам. Как правило, наличие той или иной составляющей можно определить с помощью визуального анализа графика временного ряда Перед построением модели исходные данные проверяются на сопоставимость (применение одинаковой методики получения или расчета данных), однородность (отсутствие случайных выбросов), устойчивость (наличие закономерности в изменении уровней ряда) и достаточность (число наблюдений должно в 7-10 превосходить число параметров модели).

Важной особенностью временных рядов по сравнению с данными наблюдений, относящихся к одному периоду времени, является, как правило, наличие связи между последовательными уровнями ряда, вызванное действием каких-либо долговременных причин, что приводит к наличию таких составляющих ряда, как долговременная тенденция и периодическая составляющая. Корреляционная зависимость между последовательными уровнями временного ряда называется автокорреляцией уровней временного ряда. Степень тесноты автокорреляционной связи между уровнями ряда может быть определена с помощью коэффициентов автокорреляции, т. е. коэффициентов линейной корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями ряда, сдвинутыми на несколько шагов назад во времени.

где ф - величина сдвига, называемая лагом, определяет порядок коэффициента автокорреляции,



Функцию r(ф)=r_ф называют автокорреляционной функцией временного ряда, а ее график - коррелограммой.

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет выявить структуру ряда, т. е. определить присутствие в ряде той или иной компоненты. Так, если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, то исследуемый ряд содержит только тенденцию.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка т, то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в т моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, то ряд не содержит тенденции и циклических колебаний.

Необходимо подчеркнуть, что линейные коэффициенты автокорреляции характеризуют тесноту только линейной связи текущего и предыдущих уровней ряда. Поэтому по коэффициентам автокорреляции можно судить только о наличии или отсутствии линейной (или близкой к линейной) зависимости. Для проверки ряда на наличие нелинейной тенденции рекомендуется вычислить линейные коэффициенты автокорреляции для временного ряда, состоящего из логарифмов исходных уровней. Отличные от нуля значения коэффициентов автокорреляции будут свидетельствовать о наличии нелинейной тенденции.

Моделирование тенденции временного ряда

Моделирование тенденции временного ряда является важнейшей классической задачей анализа экономических временных рядов. Решение этой задачи начинается, как правило, с проверки наличия тенденции и формулирования предложений о характере долговременной тенденции, после чего уже строится модель тенденции как функции времени.

Аналитическое выравнивание временного ряда.

Рассмотрим модель временного ряда y_t = f(t) + , где f(t) - неслучайная составляющая (тренд, либо тренд и циклическая и (или) сезонная компонента, выражающая основную тенденцию).

Под выравниванием временного ряда понимают выделение неслучайной составляющей f(t), которая характеризует основную тенденцию изучаемого процесса, и выбор этой функции. Наиболее часто используются следующие функции:

f(t) = a + bt - линейная;

f(t) = a + b₁t + b₂t² + … + b_ntⁿ - полиномиальная;

f(t) = e^a+bt - экспоненциальная;

f(t) = a/(1 + be^-ct) - логистическая;

f(t) = C^a-b(r) - Кривая Гомперца, 0<r<1 и т.д.

Вид функции f(t) подбирается на основе графического изображения временного ряда с использованием содержательного анализа. Параметры каждого из видов функции f(t) можно определить обычным МНК, используя в качестве независимой переменной время t = 1,…,n, а в качестве зависимой - фактические значения уровней временного ряда.

Существует несколько способов определения типа тенденции:

1) анализ графического изображения ряда;

2) сравнение коэффициентов автокорреляции 1-го порядка, рассчитанных по исходным и преобразованным уровням ряда:

- если ряд имеет линейную тенденцию, то его соседние уровни y_t и y_t-1 тесно коррелируют r(1) 1;

- если ряд содержит нелинейную тенденцию, то коэффициент автокорреляции r(1) первого порядка по логарифмам уровней исходного ряда будет выше, чем соответствующий коэффициент для уровней ряда.

Выбор лучшего уравнения осуществляют путем перебора основных форм и расчета по каждому уравнению R²_adj и выбора уравнения с максимальным R²_adj.

Например. Для предыдущего примера построим график временного ряда с помощью «Мастера диаграмм» и добавим линию тренда.

Отметим, что, как и раньше, наиболее простую экономическую интерпретацию имеют параметры линейного и экспоненциального трендов:

- линейный тренд: y_t = a + bt, a - начальный уровень временного ряда, b - средний абсолютный прирост уровней ряда. Система нормальных уравнений имеет вид

; ;

- экспоненциальный тренд: y_t = e^a+bt, е^а - начальный уровень временного ряда, е^b - средний в единицу времени коэффициент роста уровней ряда. Определение параметров требует предварительной линеаризации.

Другим методом выравнивания временного ряда является метод скользящей средней. Он основан на переходе от начальных значений членов ряда к их средним значениям на интервале времени, длина которого определена заранее. Получаемый т.о. ряд ведет себя более гладко, чем исходный из-за устранения отклонений ряда. Рассмотрим использование этого метода на примере построения аддитивной и мультипликативной моделей временного ряда с сезонной составляющей:

, .

(Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, то строят аддитивную модель, в противном случае - мультипликативную). Например, для рассматриваемого примера амплитуду можно считать приблизительно постоянной, следовательно подходящей будет аддитивная модель.

Процесс построения модели включает следующие шаги:

1. Выравнивание ряда методом скользящей средней.

2. Расчет значений сезонной составляющей .

3. Устранение сезонной составляющей и получение выравненных данных или .

4. Аналитическое выравнивание уровней или и расчет значений .

5. Расчет полученных по модели значений или .

6. Расчет абсолютных и (или) относительных ошибок.

Пояснения к выполнению шагов.

1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней (таблица 1):

а) просуммируем уровни последовательно за каждые 4 квартала со сдвигом на один момент времени;

б) найдем скользящие средние делением на 4 полученных сумм (полученные значения уже не содержат сезонной компоненты);

в) приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих

средних - центрированные скользящие средние.

2. Оценим сезонную компоненту:

- для аддитивной модели - как разность между фактическими уровнями ряда y_t и центрированными скользящими средними;

- для мультипликативной модели - как частное от деления фактических уровней ряда на центрированные скользящие средние.

Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты (таблица 2).

В моделях с сезонной компонентой предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. Это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам равна: нулю для аддитивной модели и числу периодов в цикле для мультипликативной модели. Определяем корректирую-щий коэффициент k и скорректированные значения сезонной компоненты: = - k или = k.

3. Исключим влияние сезонной компоненты: или .

4. Определим составляющую . Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда с помощью линейного тренда.

5. Определим или .

6. Расчет ошибки производится по формулам соответственно: или . Для того, чтобы сравнить мультипликативную модель и другие модели, по аналогии с аддитивной моделью можно использовать сумму квадратов абсолютных ошибок .

Пример. Построим аддитивную модель по данным предыдущего примера. Таблица 1.

Номер квартала	Объем продаж	Скользящая средняя за 4 квартала	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной вариации
1	6
2	4
3	5	6	6,125	-1,125
4	9	6,25	6,375	2,625
5	7	6,5	6,625	0,375
6	5	6,75	6,875	-1,875
7	6	7	7,125	-1,125
8	10	7,25	7,5	2,5
9	8	7,75	7,75	0,25
10	7	7,75	7,875	-0,875
11	6	8	8,125	-2,125
12	11	8,25	8,25	2,75
13	9	8,25	8,125	0,875
14	7	8	8,125	-1,125
15	5	8,25	8,5	-3,5
16	12	8,75	9	3
17	11
18	9

Заполним следующую таблицу.

Таблица 2

	Номер квартала
	1	2	3	4
			-1,125	2,625
	0,375	-1,875	-1,125	2,5
	0,25	-0,875	-2,125	2,75
	0,875	-1,125	-3,5	3	сумма
Среднее	0,5	-1,292	-2,25	2,75	-0,292
Скорректированная сезонная вариация	0,573	-1,219	-2,177	2,823	0

(корректирующий фактор k = -0,292/4)

Исключим сезонную вариацию.

Номер квартала	Объем продаж	Сезонная вариация, S	Десезонализированный объем продаж, Yt - S = T + E
1	6	0,573	5,427083
2	4	-1,219	5,21875
3	5	-2,177	7,177083
4	9	2,823	6,177083
5	7	0,573	6,427083
6	5	-1,219	6,21875
7	6	-2,177	8,177083
8	10	2,823	7,177083
9	8	0,573	7,427083
10	7	-1,219	8,21875
11	6	-2,177	8,177083
12	11	2,823	8,177083
13	9	0,573	8,427083
14	7	-1,219	8,21875
15	5	-2,177	7,177083
16	12	2,823	9,177083
17	11	0,573	10,42708
18	9	-1,219	10,21875

Уравнение линии тренда Т = . Найдем коэффициенты и по данным первого и последнего столбцов.

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,878015
R-квадрат	0,770911
Нормированный R-квадрат	0,756593
Стандартная ошибка	0,71808
Наблюдения	18
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	27,76299	27,76299	53,84189	1,67E-06
Остаток	16	8,250227	0,515639
Итого	17	36,01321
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	5,372889	0,353125	15,21527	6,17E-11	4,624299	6,12148
t	0,239379	0,032623	7,337703	1,67E-06	0,170221	0,308537
ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное T	Остатки
1	5,612269	-0,18519
2	5,851648	-0,6329
3	6,091027	1,086057
4	6,330406	-0,15332
5	6,569785	-0,1427
6	6,809164	-0,59041
7	7,048543	1,12854
8	7,287922	-0,11084
9	7,527301	-0,10022
10	7,76668	0,45207
11	8,006059	0,171024
12	8,245438	-0,06836
13	8,484818	-0,05773
14	8,724197	-0,50545
15	8,963576	-1,78649
16	9,202955	-0,02587
17	9,442334	0,984749
18	9,681713	0,537037

Рассчитаем ошибки. MAD = 0,484386.

MSE = 0,458346.

Пример построения мультипликативной модели.

По заданному объему продаж (тыс.руб.) за последние 11 кварталов

Квартал, t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Объем продаж, yt	63	74	79	120	67	79	88	130	69	82	90

Решение:

1. Построим график временного ряда и коррелограмму (ExcelДиаграмма):

Лаг	r(t)	Корррелограмма
1	-0,23466	**
2	-0,23236	*
3	-0,26547	***
4	0,992604	****

График данного временного ряда свидетельствует о наличии сезонных колебаний (период равен 4). Поскольку амплитуда колебаний увеличивается, можно предположить наличие мультипликативной модели.

2. Определим скользящую среднюю за 4 квартала:

Квартал	Объем продаж	Скользящая средняя за 4 квартала Рассчитывается как сумма объема продаж за 4 квартала, деленная на 4. 84=(63+74+79+120)/4	Центрированная скользящая средняя Рассчитывается как сумма 2 кварталов деленная на 2. 84,5=(84+85)/2	Оценка сезонной вариации Рассчитывается как отношение объема продаж на центрированную скользящую среднюю. 0,935=79/84,5
1	63	-	-	-
2	74	-	-	-
3	79	84	84,5	0,935
4	120	85	85,625	1,401
5	67	86,25	87,375	0,767
6	79	88,5	89,75	0,880
7	88	91	91,25	0,964
8	130	91,5	91,875	1,415
9	69	92,25	92,5	0,746
10	82	92,75	-	-
11	90	-	-	-

3. Определим скорректированную сезонную вариацию:

		Номер квартала в году
		1	2	3	4
				0,935	1,401
		0,767	0,88	0,964	1,415
		0,746				Сумма
Среднее	0,756	0,88	0,95	1,408	3,994
Скорректированная сезонная вариация	0,757	0,881	0,951	1,41	4,000

Так как сумма средних получилась 3,994, а число сезонов равно 4, то необходимо итоговые коэффициенты сезонности умножить на множитель .

Как показывают полученные оценки, в 1-м, 2-м и 3-м кварталах года объем продаж снижается соответственно на 24,3%, 11,9% и 4,8% от соответствующих трендовых значений. В 4 квартале года объем продаж увеличивается на 41% от соответствующего трендового значения.

4. Исключим сезонную вариацию из фактических данных. Приведем десезонализацию данных.

Квартал	Объем продаж A	Коэффициент сезонности S	Десезонализированный объем продаж A/S=T*E
1	63	0,757	83,2
2	74	0,881	84,0
3	79	0,952	83,0
4	120	1,41	85,1
5	67	0,757	88,5
6	79	0,881	89,7
7	88	0,952	92,4
8	130	1,41	92,2
9	69	0,757	91,1
10	82	0,881	93,1
11	90	0,952	94,5

5. Уравнение линии тренда: . Найдем параметры и . Воспользуемся «Пакетом анализа», выведем остатки:

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,952460954
R-квадрат	0,907181868
Нормированный R-квадрат	0,896868743
Стандартная ошибка	1,377574448
Наблюдения	11
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	166,9299281	166,929928	87,96381	6,08576E-06
Остаток	9	17,07940223	1,89771136
Итого	10	184,0093303
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%
Y-пересечение	81,41641396	0,89083578	91,3932914	1,14E-14	79,40120188
Квартал	1,231886683	0,13134657	9,37890258	6,09E-06	0,934759873
ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное Десезонализированный объем продаж A/S=T*E	Остатки
1	82,64830064	0,57494903
2	83,88018732	0,115272382
3	85,11207401	-2,12888073
4	86,34396069	-1,23757771
5	87,57584737	0,931418149
6	88,80773406	0,863094547
7	90,03962074	2,39735405
8	91,27150742	0,927074137
9	92,50339411	-1,35412066
10	93,73528079	-0,65923085
11	94,96716747	-0,42935235

Уравнение тренда:

6. Вычислим ошибки

Среднее абсолютное отклонение (MAD): .

Среднеквадратическую ошибку (MSE): .

Наблюдение	Предсказанное Десезонализированный объем продаж A/S=T*E	Остатки еt
1	82,64830064	0,57494903	0,57494903	0,330566
2	83,88018732	0,115272382	0,11527238	0,013288
3	85,11207401	-2,12888073	2,12888073	4,532133
4	86,34396069	-1,23757771	1,23757771	1,531599
5	87,57584737	0,931418149	0,93141815	0,86754
6	88,80773406	0,863094547	0,86309455	0,744932
7	90,03962074	2,39735405	2,39735405	5,747306
8	91,27150742	0,927074137	0,92707414	0,859466
9	92,50339411	-1,35412066	1,35412066	1,833643
10	93,73528079	-0,65923085	0,65923085	0,434585
11	94,96716747	-0,42935235	0,42935235	0,184343
	Сумма	0,00	11,62	17,08

,

Мы видим, что ошибки малы и составляют порядка 1%. Это позволяет получить хорошие краткосрочные прогнозы.

4. Экспоненциальное сглаживание

Дадим прогноз объема продаж на 1-й квартал для аддитивной модели, он будет равен трендовому значению F₁= 5,612269.

Дадим прогноз объема продаж на 19-й квартал методами простого экспоненциального сглаживания и экспоненциального сглаживания с поправкой на тренд.

Рассмотрим простую модель экспоненциального сглаживания.

Новый прогноз = (фактический результат в последний период) + (1-)(прогноз в последний период), то есть F_t+1 = A_t + (1-)F_t. Константу сглаживания исследователь выбирает из отрезка [0,1]. В условиях стабильности часто [0,2; 0,4]. Пусть = 0,8. Тогда 1- = 0,2. На первый квартал был дан прогноз 5,612269.. Дадим прогноз на 19-й квартал. Заполним таблицу.

F_t+1 = Y_t + (1-)F_t = 0,8Y_t + 0,2F_t, то есть числа в каждой строке умножаем соответственно на 0,8 и 0,2 и результат пишем в следующей строке во втором столбце.

0,86 + 0,25,61227 = 5,92245.

0,84 + 0,25,92245 = 4,38449. И т.д. Результат округляем до трех цифр после запятой.

Yt (фактически)	Ft (прогноз)
6	5,61227
4	5,92245
5	4,37033
9	5,21821
7	8,46608
5	6,91396
6	5,36183
10	6,20971
8	9,45758
7	7,90546
6	7,15334
11	6,40121
9	10,4491
7	8,89696
5	7,34484
12	5,79272
11	11,4406
9	10,6885
	9,13634

Прогноз на 19-й квартал - 9,13634 тыс. руб.

Замечание. Excel позволяет быстро провести простое экспоненциальное сглаживание. Сервис Анализ данных Экспоненциальное сглаживание ОК. Появляется диалоговое окно, которое нужно заполнить. В графе Фактор затухания указать значение

1- (по умолчанию 0,3) ОК.

Скорректируем прогноз, полученный методом простого экспоненциального сглаживания, с учетом тренда по следующей формуле:

прогноз с учетом тренда FIT_t = прогноз F_t + тренд T_t.

Тренд T_t = (1-b)T_t-1 + b(F_t - F_t-1), где T_t и T_t-1 - сглаженный тренд в периоды t и t-1 соответственно, b - выбранная константа сглаживания.

Начальное значение тренда может быть получено на основе предположения.

Пусть b = 0,4, T₁ = 0. Дадим прогноз объема продаж на 19-й квартал методом экспоненциального сглаживания с поправкой на тренд.

Заполним таблицу. Из каждого числа 1-го столбца вычитаем предыдущее число 1-го столбца, и результат запишем во 2-й столбец. Каждое число 3-го столбца есть сумма числа, умноженного на 1-b = 1-0,4 = 0,6, из предыдущей строки 3-го столбца и числа, умноженного на b = 0,4, на этой же строке 2-го столбца. Результат округляем до трех цифр после запятой.

Ft	Ft - Ft-1	Tt	FITt = Ft+Tt
5,61227		0	5,612269
5,92245	0,310185	0,124074	6,046528
4,37033	-1,55212	-0,54641	3,823924
5,21821	0,847876	0,011307	5,229513
8,46608	3,247876	1,305935	9,772016
6,91396	-1,55212	0,162711	7,076668
5,36183	-1,55212	-0,52322	4,83861
6,20971	0,847876	0,025217	6,234925
9,45758	3,247876	1,31428	10,77186
7,90546	-1,55212	0,167718	8,073179
7,15334	-0,75212	-0,20022	6,953117
6,40121	-0,75212	-0,42098	5,980231
10,4491	4,047876	1,366562	11,81565
8,89696	-1,55212	0,199087	9,096051
7,34484	-1,55212	-0,5014	6,843442
5,79272	-1,55212	-0,92169	4,871027
11,4406	5,647876	1,706138	13,14673
10,6885	-0,75212	0,722833	11,4113
9,13634	-1,55212	-0,18715	8,949193

Прогноз на 19-й квартал - 8,949 тыс. руб.

5. Суть, причины и последствия автокорреляции.

Одной из предпосылок регрессионного анализа является независимость случайного члена в любом наблюдении от его значений во всех других наблюдениях, т.е. .

Если данное условие не выполняется, то говорят, что случайный член подвержен автокорреляции. Поскольку значения случайных членов неизвестны, то проверяется статистическая некоррелированность остатков, в частности двух последовательных и . Автокорреляция остатков (отклонений) обычно встречается в регрессионном анализе при использовании данных временных рядов.

Пусть - коэффициент корреляции между двумя соседними случайными членами и :

· если > 0, то автокорреляция положительная;

· если < 0, то автокорреляция отрицательная;

· если = 0, то автокорреляция отсутствует, и третье условие Гаусса-Маркова удовлетворяется.

Среди основных причин, вызывающих появление автокорреляции, можно выделить следующие.

Ошибки спецификации: неучет в модели какой-либо важной объясняющей переменной либо неправильный выбор формы зависимости обычно приводят к системным отклонениям точек наблюдений от линии регрессии.

Инерция в изменении экономических показателей: многие экономические показатели обладают определенной цикличностью, связанной с волнообразностью деловой активности. Экономический подъем приводит к росту занятости, сокращению инфляции, увеличению ВНП и т.д. Этот рост продолжается до тех пор, пока изменение конъюнктуры рынка и ряда экономических характеристик не приведет к замедлению роста, затем остановке и движению вспять рассматриваемых показателей.

Эффект паутины: экономические показатели реагируют на изменение экономических условий с запаздыванием. Например, большая цена сельхозпродукции в прошедшем году вызовет (скорее всего) ее перепроизводство в текущем году, а, следовательно, цена на нее снизится и т.д.

Сглаживание данных: данные по некоторому продолжительному временному периоду получают усреднением данных по составляющим его подынтервалам.

Последствия автокорреляции схожи с последствиями гетероскедастичности:

1. Оценки параметров, оставаясь линейными и несмещенными, перестают быть эффективными.

2. Дисперсии оценок являются смещенными (заниженными), это влечет увеличение t-статистик, и признанию статистически значимыми объясняющие переменные, которые такими не являются.

3. Оценка дисперсии регрессии S² является смещенной (заниженной).

4. Выводы по t- и по F-статистикам оказываются неверными, из-за чего ухудшаются прогнозные качества модели.

6. Обнаружение автокорреляции.

В силу неизвестности значений параметров регрессии неизвестными будут также и истинные значения отклонений , поэтому выводы об их независимости осуществляются на основе оценок , полученных из эмпирического уравнения регрессии. Рассмотрим возможные методы определения автокорреляции.

Графический метод. Существует несколько вариантов графического определения автокорреляции. Один из них состоит в анализе последовательно-временных графиков. По оси абсцисс откладывают время, либо порядковый номер наблюдения, а по оси ординат - отклонения (Рис. 1).

Рис. 1

Естественно предположить, что на рис. 1, а - г имеются определенные связи между отклонениями, т.е. автокорреляция имеет место. Отсутствие зависимости на рис. 1, д скорее всего свидетельствует об отсутствии автокорреляции.

Например, на рис. 1, б отклонения вначале в основном отрицательные, затем положительные, потом снова отрицательные. Это свидетельствует о наличии между отклонениями определенной зависимости. Более того, можно утверждать, что в этом случае имеет место положительная автокорреляция остатков. Она становится весьма наглядной, если график 1, б дополнить графиком зависимости от (рис. 2).



Рис. 2

Подавляющее большинство точек на этом графике расположено в I и III четвертях декартовой системы координат, подтверждая положительную зависимость между соседними отклонениями.

Современные ППП решение задач построения регрессии дополняют графическим представлением результатов: график реальных колебаний зависимой переменной накладывается на график колебаний переменной по уравнению регрессии. Сопоставление этих графиков часто дает возможность выдвинуть гипотезу о наличии автокорреляции.

Метод рядов. Последовательно определяются знаки отклонений . Например,

(-----)(+++++++)(---)(++++)(-), т.е. 5 «-», 7 «+», 3 «-», 4 «+», 1 «-» при 20 наблюдениях.

Ряд определяется как непрерывная последовательность одинаковых знаков. Количество знаков в ряду называют длиной ряда. Визуальное распределение знаков свидетельствует о неслучайном характере связей между отклонениями. Если рядов слишком мало по сравнению с количеством наблюдений n, то вполне вероятна положительная автокорреляция. Если рядов слишком много, то вероятна отрицательная автокорреляция. Пусть n - объем выборки, n₁ и n₂ - общее количество, соответственно, знаков «+» и «-», k - количество рядов.

При достаточно большом количестве наблюдений (n₁ > 10,

n₂ > 10) и отсутствии автокорреляции случайная величина k имеет асимптотически нормальное распределение с

; .

Тогда, если , то гипотеза об отсутствии автокорреляции не отклоняется.

Число определяется по таблице функции стандартного нормального распределения из равенства F() = . Например, при , =1,96 и при , =2,58.

Для небольшого числа наблюдений (n₁ < 20, n₂ < 20) разработаны таблицы критических значений количества рядов при n наблюдениях. Суть таблиц в следующем.

На пересечении строки n₁ и столбца n₂ определяются нижнее k₁ и верхнее k₂ значения при уровне значимости (Рис.3).

автокорреляция > 0 автокорреляция = 0 автокорреляция < 0

______kk₁_________k₁<k<k₂_________kk₂____________

k₁ k₂

Рис. 3

Пример 1. Пусть изучается зависимость среднедушевых расходов на конечное потребление y от среднедушевого дохода х по данным некоторой страны за 16 лет.

Исходные (и расчетные для примера 3) данные (усл.ед.) представлены в следующей таблице:

1	70	73	0,18	-	-
2	73	76	0,76	37,51	38,99
3	78	83	0,12	40,99	44,47
4	83	89	0,28	43,45	46,92
5	86	95	-1,55	43,92	49,88
6	89	100	-2,58	45,4	51,83
7	96	107	-1,22	50,88	56,3
8	96	108	-2,03	47,33	53,75
9	103	113	0,94	54,33	58,24
10	109	119	2,1	56,78	61,71
11	112	121	3,49	56,74	60,66
12	114	122	4,69	57,22	60,65
13	115	131	-1,56	57,2	69,14
14	118	135	-1,79	59,7	68,58
15	122	139	-1,01	62,17	70,55
16	123	140	-0,82	61,15	69,53

Тема 5 Системы эконометрических уравнений

Вопросы:

1. Общее понятие о системах одновременных уравнений.

2. Структурная и приведенная формы модели.

3. Проблема идентификации.

4. Оценивание параметров структурной модели. Косвенный и двухшаговый МНК.

1. Общее понятие о системах одновременных уравнений.

Многие экономические взаимосвязи допускают моделирование одним уравнением. В большинстве случаев использование МНК для оценки параметров таких моделей является наиболее подходящей процедурой. Однако ряд экономических процессов моделируется не одним, а несколькими уравнениями, содержащими как повторяющиеся, так собственные переменные. В силу этого возникает необходимость использования систем уравнений. Кроме того, в одних уравнениях определенная переменная рассматривается как объясняющая (независимая), но в тоже время она входит в другое уравнение как зависимая (объясняемая) переменная.

Например: модель спроса-предложения, модель формирования доходов, модели , содержащие функции потребления, налогов, инвестиций, дохода, государственных расходов и тождество и т.п.

Системы уравнений в эконометрических исследованиях может быть построено по-разному:

1) возможна система независимых уравнений:

а) ,

где - свободные члены, y - функция одного и того же набора факторов.

б) , набор факторов может изменяться от уравнения к уравнению.

2) система рекурсивных уравнений, когда зависимая переменная у одного уравнения выступает в виде фактора в другом уравнении:

Как и раньше каждое уравнение может рассматриваться самостоятельно, и его параметры определяются МНК.

3) Наибольшее распространение получила система взаимозависимых уравнений. В ней одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других уравнениях в правую часть системы:

Система взаимосвязанных уравнений называется системой совместных, одновременных уравнений. Такие системы уравнений называют также структурной формой модели. В отличие от предыдущих систем (1) и (2) каждое уравнение системы одновременных уравнений не может рассматриваться самостоятельно, и для нахождения его параметров традиционный МНК неприменим. Для этого используют специальные методы оценивания.

2. Структурная и приведенная формы модели.

Система совместных, одновременных уравнений (или структурная форма модели) обычно содержит эндогенные и экзогенные переменные.

Эндогенные переменные обозначены в приведенной ранее системе как y. Это зависимые переменные, число которых равно числу уравнений в системе.

Экзогенные переменные обычно обозначаются как х. Это предопределенные переменные, влияющие на эндогенные переменные, но не зависящие от них.

Простейшая структурная форма модели имеет вид:

, y - эндогенные переменные, х - экзогенные переменные.

Классификация переменных на эндогенные и экзогенные зависит от теоретической концепции принятой модели. Экономические переменные могут выступать в одних моделях как эндогенные, а в других как экзогенные переменные.

Структурная форма модели позволяет увидеть влияние изменений любой экзогенной переменной на значение эндогенной переменной. Целесообразно в качестве экзогенных переменных выбирать такие переменные, которые могут быть объектом регулирования. Меняя их и управляя ими, можно заранее иметь целевые значения эндогенных переменных.

Структурная форма модели в правой части содержит при эндогенных и экзогенных переменных коэффициенты и соответственно, которые называются структурными коэффициентами модели. Все переменные в модели выражены в отклонениях от среднего уровня, т.е. под x подразумевается , а под у - . Поэтому свободный член в уравнениях отсутствует.

Использование МНК для оценивания структурных коэффициентов модели дает смещенные и несостоятельные оценки. Поэтому обычно для определения структурных коэффициентов модели структурная форма модели преобразуется в приведенную форму модели.

Приведенная форма модели представляет собой систему линейных функций эндогенных переменных от экзогенных:



По своему виду приведенная форма модели ничем не отличается от системы независимых уравнений, параметры которой оцениваются традиционным МНК. Применяя МНК, можно оценить , а затем оценить значения эндогенных переменных через экзогенные.

Коэффициенты приведенной формы представляют собой нелинейные функции коэффициентов структурной формы модели. Рассмотрим это на приведенной простейшей модели.

Структурная форма	Приведенная форма

и или , где , .

Аналогично для :

или

и , где , .

Эконометрические модели обычно включают в систему не только уравнения, отражающие взаимосвязи между отдельными переменными, но и выражение тенденции развития явления, а также разного рода тождества.

3. Проблема идентификации.

При переходе от приведенной к структурной форме модели возникает проблема идентификации. Идентификация - это единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели.

С позиции идентифицируемости структурные модели можно подразделить на три вида: идентифицируемые, неидентифицируемые, сверхидентифицируемые.

· Модель идентифицируема, если все её структурные коэффициенты определяются однозначно, единственным образом по коэффициентам приведенной формы модели, то есть число параметров структурной модели равно числу параметров приведенной формы модели;

· Модель неидентифицируема, если число приведенных коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов, и в результате структурные коэффициенты не могут быть оценены через коэффициенты приведенной формы модели;

· Модель сверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов. В этом случае на основе коэффициентов приведенной формы можно получить два или более значений одного структурного коэффициента. В этой модели число структурных коэффициентов меньше числа коэффициентов приведенной формы. Сверхидентифицируемая модель в отличие от неидентифицируемой практически решаема, но требует специальных методов оценивания параметров.

Структурная модель всегда представляет собой систему совместных уравнений, каждой из которых требует проверки на идентификацию. Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо. Если хотя бы одно уравнение системы неидентифицируемо, то и вся модель неидентифицируема. Сверхидентифицируемая модель содержит хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение.

Итак, условие идентифицируемости проверяется для любого уравнения системы. Чтобы уравнение было идентифицируемо, необходимо, чтобы число предопределенных переменных, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в системе, было равно числу эндогенных переменных в данном уравнении без одного.

Условие идентифицируемости можно записать следующим образом: