Системный анализ и исследование операций

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования Российской Федерации

Пермский Государственный технический университет

Лысьвенский филиал

Кафедра ЕН

Курсовая работа

по дисциплине

«Системный анализ и исследование операций»

Выполнил студент гр. БИВТ-03

Десницкий П.А.

Проверил преподаватель

Мухаметьянов И.Т.

Лысьва, 2006



Содержание

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Список литературы

Приложение



Задание 1

Основная цель: Самостоятельное изучение темы сетевого планирования и оформление лабораторных работ.

Районной администрацией принято решение о газификации одного из сёл района, имеющего 25 жилых домов. Расположение домов указано на рисунке. Числа в кружочках обозначают условный номер дома. Узел 15+R (R - остаток от деления номера варианта на 12) является газораспределительным. Разработать такой план газификации села, чтобы общая длина трубопроводов была наименьшей (расстояния между домами даны в метрах).

Проанализировать решение задачи на единственность. В случае не единственности решения найти все решения и доказать, что других нет.

№ варианта	Значения
6	а1	а2	а3	а4	а5	а6	а7	а8	а9	а10	а11	а12	а13	а14	а15	а16
	190	70	240	150	130	360	50	380	180	450	180	70	170	50	80	70
	а17	а18	а19	а20	а21	а22	а23	а24	а25	а26	а27	а28	а29	а30	а31	а32
	520	390	160	80	430	350	110	70	210	440	70	50	120	220	580	420
	а33	а34	а35	а36	а37	а38	а39	а40	а41	а42	а43	а44	а45	а46	а47	а48
	330	90	450	70	70	90	110		180	220	90	330	120	600	440	330

Граф:



Решение:

Данную задачу можно решить «жадным» алгоритмом, который заключается:

В самом начале в остов включаем ребро наименьшего веса, если таких ребер несколько, то включаем любые из них. На следующем шаге включаем в остов из оставшихся ребер ребро наименьшего веса. Цикл при этом не должен получиться. На каждом шаге к образовавшемуся подграфу (вполне возможно не связный на промежуточных этапах) включаем из оставшихся ребер ребро наименьшего веса и не образующего цикл с ребрами уже включенными в остов. Процесс прекращаем при включении n-1 ребра, где n равно количеству вершин в графе.

Граф - это совокупность точек, соединенных линиями.

Вершина графа может представлена вектором (2,3-х и большей мерности), в котором может храниться различная информация - номер точки, местоположение ее, трудозатраты и т.п.).

Последовательность ребер, в которой конец каждого предыдущего ребра совпадает с началом последующего, называют путем.

Остов - это часть графа, которая содержит в себе все вершины исходного графа.

Решая, будем постепенно включать ребра с наименьшим весом, выделяя их пожирнее:

Шаг №1. Выбираем ребро наименьшего веса и включаем его в остов. Ребром наименьшего веса будет являться ребро с весом 50.

Шаг №2. Включаем следующее ребро наименьшего веса 70.



Шаг №3. Включаем следующее ребро наименьшего веса 80.

Шаг №4. Включаем следующее ребро наименьшего веса 90, смотря, чтоб не получился цикл.

Шаг №5. Включаем следующее ребро наименьшего веса 110.

Шаг №6. Включаем следующее ребро наименьшего веса 120.



Шаг №7. Включаем следующее ребро наименьшего веса 130.

Шаг №8. Ребра весом 150, 160, 170 не включаем, чтобы не получился цикл. Включаем следующее ребро наименьшего веса 180, смотря, чтоб не получился цикл.

Шаг №9. Ребро весом 190 не включаем, чтобы не получился цикл. Включаем следующее ребро наименьшего веса 210.



Шаг №10. Включаем следующее ребро наименьшего веса 220.

Шаг №11. Включаем следующее ребро наименьшего веса 330, смотря, чтоб не получился цикл.



или

Шаг №12. Ребра весом 360, 380 не включаем, чтобы не получился цикл. Включаем следующее ребро наименьшего веса 420.



или

В итоге получается два решения данной задачи. Получим 2 дерева с 25-ти ребрами.

50+50+50+70+70+70+70+70+70+70+80+80+90+90+110+110+120+120+130+180+180+210+220++330+420=3110

Существует два решения задачи, которые составляют общую наименьшую длину трубопроводов 3110 м.

Доказательство:

Данная задача имеет два решения, граф был пройден жадным алгоритмом и повторно пройден с анализом на наименьшее значение ребер, примыкающим к вершинам графа, поэтому задача не может иметь других решений.

В результате выполнения этой работы я научился работать с графом, т.е. находить оптимальный план газификации села, с помощью «жадного» алгоритма.



Задание 2

единственность граф алгоритм ребро

Транспортному предприятию требуется перевезти груз из пункта 15+R (R - остаток от деления номера варианта на 12) в пункт А, где A=21+R, если R<6 и A=9+R, если R?6. На рис. показана сеть дорог и стоимость перевозки единицы груза между отдельными пунктами. Определить маршрут доставки груза, которому соответствую наименьшие затраты.

№ варианта	Значения
6	а1	а2	а3	а4	а5	а6	а7	а8	а9	а10	а11	а12	а13	а14	а15	а16
	19	17	24	15	13	36	15	38	18	45	18	17	17	15	18	17
	а17	а18	а19	а20	а21	а22	а23	а24	а25	а26	а27	а28	а29	а30	а31	а32
	52	39	16	18	43	35	11	17	21	44	17	15	12	22	58	42
	а33	а34	а35	а36	а37	а38	а39	а40	а41	а42	а43	а44	а45	а46	а47	а48
	33	90	45	70	70	90	11	15	18	22	90	33	12	60	44	33

Граф:

Сеть дорог между населенными пунктами

Решение:

Транспортному предприятию требуется перевезти груз из пункта 20 в пункт 26. Для нахождения кратчайшего пути между вершинами используется несколько алгоритмов, таких как алгоритм Дейкстры, алгоритм Форда и др. Но я использовал алгоритм Дейкстры:

Алгоритм Дейкстры

Для удобства объяснения этого алгоритма оговорим некоторые понятия, которые будут использоваться. Во-первых, введем понятие метки вершины: вершина называется помеченной, если она уже была рассмотрена. Во-вторых, будем считать, что каждой вершине соответствует пара чисел: первое число - означающее номер вершины, второе число - означает вес ребра, соединяющий вершину с рассматриваемой. В начале рассмотрения алгоритма каждое число будем считать равным бесконечности.

Перебирать все вершины, куда можно попасть из данной. Если метка, означающая длину пути данной вершины в сумме с меткой длины пути рассматриваемой вершины больше чем вес ребра, соединяющего рассматриваемую вершину с данной, то эту метку изменяем на число, означающее сумму веса ребра с длиной пути рассматриваемой вершины, а номер вершины - на номер рассматриваемой вершины.

Если все ребра, выходящие из данной вершины рассмотрены, то помечаем вершину, чтобы ее больше не рассматривать и выбираем следующую.

Конец алгоритма.



Решая задачу алгоритмом Дейкстры, для удобства по ходу решения будем вести таблицу, в которую будем записывать данные (расстояния от одной вершины до другой):

После решения задачи по таблице определяем наименьший путь:

По значениям у вершины 26 поднимаемся от самого низу вверх, пока число не закончит повторяться. Потом перемещаемся по таблице как показано в таблице и делаем тоже самое, пока не поднимемся на самый верх.

Получим путь: 20>19>5>9>12>14>26.

Шаг №1. Определяем расстояния до каждой вершины и записываем значения в таблицу.

Шаг №2. Помечаем вершину с наименьшим расстоянием, и дальше, решая задачу, уже не будем обращать свое внимание на ней, будем определять расстояния до каждой вершины, не обращая внимание на помеченную вершину.



Шаг №3. Также помечаем вершину с наименьшим расстоянием и делаем все то же, что и на шаге №2. Также, сравнивая разные расстояния до одной вершины, выбираем наименьшее и записываем в таблицу.



Шаг №4.

Шаг №5.



Шаг №6.

Шаг №7.



Шаг №8.

Шаг №9.



Шаг №10.

Шаг №11.



Шаг №12.

Шаг №13.



Шаг №14.

Шаг №15.



Шаг №16.

Шаг №17.



Шаг №18.

Шаг №19.



Шаг №20.

В результате получим кратчайший путь от пункта 20 в пункт 26, который равен 113:



План перевозки груза при наименьших затратах от пункта 20 в пункт 26

В результате выполнения этой работы я научился работать с графом, находя наименьший путь с помощью метода Дейкстры, который может мне пригодиться и в будущем.

Задание 3

Предприятие решило для улучшения финансового состояния наладить выпуск конкурентноспособной продукции. Для переоборудования цеха (участка) под выпуск этой продукции необходимо выполнить: 1) подготовку технического задания на переоборудования участка (а11 дней); 2) заказ и поставку нового оборудования (а12 дней); 3) заказ и поставку нового электрооборудования (а13 дней); 4) демонтаж старого и установку нового оборудования (а14 дней); 5) демонтаж старого и установку нового электрооборудования (а15 дней); 6) переобучение персонала (а16 дней); 7) испытание и сдачу в эксплуатацию оборудования для производства продукции (а17 дней).

Ожидается, что производительность после новой линии составит 20 т продукции в смену. Прибыль от реализации 1 т продукции составит 0,5 тыс. руб. в смену. Деньги на покупку и переоборудование участка в размере 2 млн. руб. взяты в банке под 20% годовых (из расчёта 1,5 млн. руб. на закупку оборудования и 0,5 млн. руб. на работы по демонтажу старого оборудования и установку нового оборудования). Затраты на проведение работ в нормальном и максимальном режимах указаны в таблице. Определить, через какое время может быть возвращён кредит в банк.



Работа	Нормальный режим	Максимальный режим
	Продолжительность, дн.	Затраты, тыс. руб.	Продолжительность, дн.	Затраты, тыс. руб.
1 2 3 4 5 6 7	а11 а12 а13 а14 а15 а16 а17	b11 b12 b13 b14 b15 b16 b17	а11-5 а12-15 а13-10 а14-20 а15-15 а16-5 а17-3	b11+10 b12+20 b13+10 b14+30 b15+10 b16+5 b17+5

№ варианта	Значения
6	а11	а12	а13	а14	а15	а16	а17	b11	b12	b13	b14	b15	b16	b17
	30	50	60	70	70	20	20	25	50	25	70	50	20	25

Решение:

Работа	Нормальный режим	Максимальный режим
	Продолжительность, дн.	Затраты, тыс. руб.	Продолжительность, дн.	Затраты, тыс. руб.
1	30	25	25	35
2	50	50	35	70
3	60	25	50	35
4	70	70	50	100
5	70	50	55	60
6	20	20	15	25
7	20	25	17	30

При нормальном режиме

Порядок выполнения работ при нормальном режиме работы

SА - сумма дней на проведение работ;

SВ=30+50+60+70+70+20+20=265 тыс.руб. - затраты на проведение работ;

A - столько останется рабочих дней;

B - столько предприятие заработает за 203 дня;

C - кредит с процентами;

D - остаток после преобразований;

E - столько на счету;

F - на счету без ссуды;

G - количество дней, в которые можно не работать;

H - количество рабочих дней (чтоб отдать ссуду).

SА=30+60+70+20+20=200 дн.

A=730-200=530 дн.

B=530*10000=5300 тыс.руб.

C=2000*40%=2800 тыс.руб.

D=2000-1500-265=235 тыс.руб.

E=5300+235=5535 тыс.руб.

F=5535-2800=2735 тыс.руб.

G=2735000/10000=274 дн.

H=730-274=456 дн.

Ответ:

При нормальном режиме через 456 дней может быть возвращен кредит, если будут проводиться параллельно а12 и а14 с а13 и а15.

Общая схема порядка выполнения работ



При максимальном режиме

Порядок выполнения работ при максимальном режиме работы

SA - сумма дней на проведение работ;

SB=25+35+50+50+55+15+17=355 тыс.руб. - затраты на проведение работ;

A - столько останется рабочих дней;

B - столько предприятие заработает за 203 дня;

C - кредит с процентами;

D - остаток после преобразований;

E - столько на счету;

F - на счету без ссуды;

G - количество дней, в которые можно не работать;

H - количество рабочих дней (чтоб отдать ссуду).

SА=25+50+55+15+17=162 дн.

A=365-162=203 дн.

B=203*10000=2030 тыс.руб.

C=2000*20%=2400 тыс.руб.

D=2000-1500-355=145 тыс.руб.

E=2030+145=2175 тыс.руб. - за один год не успеваем

A=730-162=568 дн.

B=568*10000=5680 тыс.руб.

C=2000*40%=2800 тыс.руб.

D=2000-1500-355=145 тыс.руб.

E=5680+145=5825 тыс.руб.

F=5825-2800=3025 тыс.руб.

G=3025000/10000=302,5?303 дн.

H=730-303=427 дн.

Ответ:

В ускоренном режиме через 427 дней может быть возвращен кредит, если будут проводиться параллельно а12 и а14 с а13 и а15.



Список литературы

1. Под редакцией Н.Ш. Кремера «Исследование операций в экономике», М. 2005, с. 407.

2. http://school-sector.relarn.ru/dckt/projects/ctrana/graf/index.htm.

3. http://belsky.narod.ru/v2/download/mathemat/courses/tgik/index.html.

4. http://graph.city.tomsk.net.

5. Х. Таха «Введение в исследование операций», т.1,2, М., Мир, 1989.

6. Л.Ф. Ковалева «Математическая логика и теория графов», МЭСИ, 1977.



Приложение

Вариант 6

Лабораторная работа №1.

Решить транспортную задачу с ограничениями на время. Первоначальный план составить методами северо-западного угла и наименьших затрат.

Значения коэффициентов условия задачи:

	Поставщики и их запасы
Потребители и их потребности		100	150	150	100	300
	150	3	4	5	4	1
	100	1	2	7	1	5
	150	4	6	6	3	7
	100	2	7	4	7	2
	300	3	8	9	4	5

Решение:

Алгоритм решения:

1. Выбирается максимальное время перевозки tij в заполненных клетках.

2. Из транспортной таблицы вычеркиваются клетки, в которых время перевозки больше или равно tij. Эти клетки в дальнейшем не рассматриваются.

3. Разгружаем клетку с выбранным максимальным временем, для чего строится цикл. Выбор пустой клетки для цикла произвольный. Клетки помечаются плюсами и минусами.

4. Из незаполненных клеток вычеркиваются те, в которых перевозки не меньше, чем максимальная перевозка в заполненных.

Метод северо-западного угла:



	100	150	150	100	300
150	3 100	4 50	5	4	1
100	1 0	2 100	7	1	5
150	4	6	6 150 -	3 0 +	7
100	2	7	4 +	7 100 -	2 0
300	3	8	9	4	5 300

	100	150	150	100	300
150	3 100	4 50	5	4	1
100	1 0	2 100	7	1	5
150	4	6	6 50 +	3 -100	7
100	2	7	4 100-	7	2 + 0
300	3	8	9	4+	5 - 300

	100	150	150	100	300
150	3 100	4 50	5	4	1
100	1 0	2 100	7	1	5
150	4	6	6 150 -	3 + 0	7
100	2	7	4 +	7	2 - 100
300	3	8	9	4 - 100	5 + 200

	100	150	150	100	300
150	3 100	4 50	5	4	1
100	1 0	2 100	7	1	5
150	4	6	6 50	3 100	7
100	2	7	4 100	7	2
300	3	8	9	4 0	5 300

Ответ:

Время перевозки от первого поставщика к первому потребителю составляет 100. Время перевозки от второго поставщика к первому потребителю составляет 50. Время перевозки от второго поставщика ко второму потребителю составляет 100. Время перевозки от третьего поставщика к третьему потребителю составляет 50. Время перевозки от третьего поставщика к четвертому потребителю составляет 100. Время перевозки от четвертого поставщика к третьему потребителю составляет 100. Время перевозки от пятого поставщика к пятому потребителю составляет 300.

Метод наименьших затрат:

	100	150	150	100	300
150	3	4	5	4	1 150
100	1 100	2	7	1 0	5
150	4	6 50 -	6 +	3 100	7
100	2	7	4	7	2 100
300	3	8 100+	9 - 150	4	5 50

	100	150	150	100	300
150	3	4	5	4	1 150
100	1 100	2	7	1 0	5
150	4	6	6 50+	3 -100	7
100	2	7	4	7	2 100
300	3	8 150	9 100 -	4 +	5 50

	100	150	150	100	300
150	3	4 +	5	4	1 - 150
100	1 100	2	7	1 0	5
150	4	6	6 150	3 0	7
100	2	7	4	7	2 100
300	3	8 150-	9	4 100	5 + 50

	100	150	150	100	300
150	3	4 150	5	4	1 0
100	1 100	2	7	1 0	5
150	4	6	6 150-	3 0 +	7
100	2	7	4 +	7	2 - 100
300	3	8	9	4 100 -	5 + 200

	100	150	150	100	300
150	3	4 150	5	4	1 0
100	1 100	2	7	1 0	5
150	4	6	6 50	3 100	7
100	2	7	4 100	7	2 0
300	3	8	9	4	5 300

Ответ:

Время перевозки от второго поставщика к первому потребителю составляет 150. Время перевозки от первого поставщика ко второму потребителю составляет 100. Время перевозки от третьего поставщика к третьему потребителю составляет 50. Время перевозки от четвертого поставщика к третьему потребителю составляет 100. Время перевозки от третьего поставщика к четвертому потребителю составляет 100. Время перевозки от пятого поставщика к пятому потребителю составляет 300.

Лабораторная работа №2.

Решить задачу о назначениях.

В цехе предприятия имеется 5 универсальных станков, которые могут выполнять 5 видов работ. Каждую работу единовременно может выполнять только 1 станок, и каждый станок можно загружать только одной работой.

В таблице даны затраты времени при выполнении станком определенной работы. Определить наиболее рациональное распределение работ между станками, минимизирующее суммарные затраты времени.

Станок\Работа	1	2	3	4	5
1	6	5	4	5	5
2	6	6	6	7	5
3	7	5	5	6	6
4	4	6	7	4	7
5	4	6	6	7	6

Решение:



Ответ:

1-ую работу будет выполнять 5-й станок;

2-ую работу будет выполнять 3-й станок;

3-ую работу будет выполнять 1-й станок;

4-ую работу будет выполнять 4-й станок;

5-ую работу будет выполнять 2-й станок.

Лабораторная работа №3.

Решить задачу о назначениях.

Служба занятости имеет в наличии четыре вакантных места по разным специальностям, на которые претендуют шесть человек. Проведено тестирование претендентов, результаты которого в виде баллов представлены в матрице:

Распределить претендентов на вакантные места так, чтобы на каждое место был назначен человек, у которого по тестированию набрано наибольшее количество баллов.

Значения коэффициентов матрицы:

Решение:

Ответ:

4-ое вакантное место назначен 1-й человек;

2-ое вакантное место назначен 2-й человек;

1-ое вакантное место назначен 3-й человек;

3-ое вакантное место назначен 6-й человек;

4-й и 5-й человек никуда не назначен.

Лабораторная работа №4.

Контроль готовой продукции фирмы осуществляют A контролёров. Если изделие поступает на контроль, когда все контролёры заняты проверкой готовой продукции, то оно остаётся непроверенным. Среднее число изделий, выпускаемой фирмой, составляет B изд./ч. Среднее время на проверку одного изделия C - мин.

Определить вероятность того, что изделие пройдёт проверку, насколько загружены контролеры, и сколько их необходимо поставить, чтобы Р*обс?D.

Значения коэффициентов условия задачи:

A=5; B=28; C=4; D=0,96.

Решение:

n=5

л=28 изд./мин.

tобс.=4 мин.

м=1/tобс.=1/4=0,25

с=л/м=0,467/0,25=1,868

1. Вероятность простоя каналов обслуживания:

Р0=1/(1+1,868/1!+1,8682/2!+1,8683/3!+1,8684/4!+1,8685/5!)=1/(2,868+1,745+1,086+0,507+0,190)=0,156

2. Вероятность отказа:

Ротк.=0,156*(1,8685/5!)=0,002

3. Вероятность обслуживания:

Робс.=Q=1 - 0,002=0,998 > 0,96 - удовлетворяет условию

4. Среднее число занятых обслуживаемых каналов:

k=1,868*0,998=1,864

5. Доля каналов, занятых обслуживанием:

kз=1,864/5=0,373

6. Абсолютная пропускная способность:

А=0,467*0,998=0,466

Ответ:

Вероятность того, что при n=3 деталь пройдет не обслуживаемой равна 0,002. Контролеры заняты на 37,3%. Чтобы обеспечить вероятность обслуживания как минимум 96% нужно не менее 5 контролеров.

Лабораторная работа №5.

Дана задача целочисленного программирования:

z = 4x1+3x2 > max

10x1 + 7x2 ? 73

-5x1 + 2x2 ? 9

2x1 + 5x2 ? 12

x1,2 ? 0, x1,2 Z

Решить задачу: а) графическим (геометрическим) методом; б) методом Гомори; в) методом ветвей и границ.

Решение:

Дана задача целочисленного программирования:

z = 4x1+3x2 > max

10x1 + 7x2 ? 73

-5x1 + 2x2 ? 9

2x1 + 5x2 ? 12

x1,2 ? 0, x1,2 Z

Решить задачу: а) графическим (геометрическим) методом; б) методом Гомори; в) методом ветвей и границ.

а) графический (геометрический) метод:

Построим графики каждого уравнения и вектор нормали:

10x1 + 7x2 ? 73; -5x1 + 2x2 ? 9; 2x1 + 5x2 ? 12; n = (4;3).

Найдем точку максимума. Данной точкой является точка с координатами (6;0).

Найдем значение целевой функции в этой точке:

Fmax = 4*6 + 0*3 = 24

Ответ: Fmax = 24.

б) метод Гомори:

Решаем задачу симплекс-методом.

Баз.	Сб	Св.	4	3	0	0	0	Оц.
		чл.	х1	х2	х3	х4	х5
Х3	0	73	10	7	1	0	0	7,3
Х4	0	9	-5	2	0	1	0	-
Х5	0	12	2	5	0	0	1	6
?k		0	-4	-3	0	0	0
Баз.	Сб	Св.	4	3	0	0	0	Оц.
		чл.	х1	х2	х3	х4	х5
Х3	0	13	0	-18	1	0	-5
Х4	0	39	0	14,5	0	1	2,5
Х1	4	6	1	2,5	0	0	0,5
?k		24	0	7	0	0	2

В результате получаем точку х*(6;0;13;39),

Fmax = 24.

Лабораторная работа №6.

Приходная касса городского района с временем работы A часов в день проводит приём от населения коммунальных услуг и различных платежей в среднем от B человек в день.

B приходной кассе работают C операторов-кассиров. Средняя продолжительность обслуживания одного клиента составляет D мин.

Определить характеристики работы приходной кассы как объекта СМО.

Значения коэффициентов условия задачи:

A=9; B=280; C=4; D=3.

Решение:

n=4

tобс.=3 мин.

м=1/tобс.=1/3

л=280 чел./день за 9 ч.=31,111чел./ч.=0,519чел./мин.

с=л/м=0,519*3=1,557

Вероятность простоя каналов обслуживания:

Р0=1/(1+1,557+1,5572/2+1,5573/3!+1,5574/4!+(1,5575/5!(4-1,557)))= 1/(3,769+0,629+0,245+(9,150/58,632))=1/4,799=0,208

Вероятность занятости всех каналов обслуживанием:

Рn=1,5574*(0,208/(4*6))=5,877*0,009=0,053

Вероятность того, что заявка окажется в очереди:

Роч.=0,208*1,5574+1/(4*6*(4-1,5572))=9,15*0,208/58,632=0,032

Среднее число заявок в очереди:

Lоч.=0,208*1,5574+1/((4-1)!*(4-1,557))=1,903/9,455=0,201

Среднее время ожидания заявки в очереди:

tоч.=0,201/0,519=0,387

Среднее время пребывания заявки в очереди:

tсмо=0,387+3=3,387

Среднее число занятых обслуживаемых каналов:

k=с=1,557

Среднее число свободных каналов:

kсв.=4-1,557=2,443

Коэффициент занятости каналов обслуживания:

kз=1,557/4=0,389

Среднее число заявок: z=Lоч.+k

z=0,201+1,557=1,758

Ответ:

Вероятность простоя кассира 0,208; вероятность посетителя оказаться в очереди равна 0,032; среднее число посетителей в очереди 0,201; среднее время ожидания обслуживания в очереди равна 0,387.

Лабораторная работа №7.

На АЗС установлено A колонок для выдачи бензина. Около станции находится площадка на B автомашин для ожидания заправки. На станцию прибывает в среднем C маш./ч. Среднее время заправки одной машины D - мин.

Определить вероятность отказа и среднюю длину очереди.

Значения коэффициентов условия задачи:

A=4; B=2; C=20; D=3,5.

Решение:

n=4

m=2

tобс.=3,5 мин.

м=1/tобс.=1/3,5=0,29

л=20 маш./ч.=0,33

с=л/м=0,33/0,29=1,14

Вероятность простоя каналов обслуживания:

P0=(1+(с/1!)+(с2/2!)+…+(сn/n!)+ (сn+1/n!(n-с))[1-(с/n)m])-1

Р0=(1+1,14+1,142/2+1,143/3!+1,144/4!+(1,144+1/4!(4-1,14))*[1-(1,14/4)2])-1= (2,14+0,65+0,25+0,07+0,028*0,92)-1=0,319

Вероятность отказа:

Ротк.=P0*сn+m/n!nm

Ротк.=1,144+2*0,319/(4!*42)=2,19*0,319/384=0,002

Вероятность обслуживания:

Робс.=1-Ротк.

Робс.=1-0,002=0,998

Абсолютная пропускная способность:

А= Робс.*л

A=0,998*0,33=0,329

Среднее число занятых каналов:

k=А/м

k=0,329/0,29=1,134 Среднее число заявок в очереди:

Lоч.=(сn+1/(n*n!))*(((1-(с/n)m)(m+1-(m*с/n)))/(1-(с/n))2)

Lоч.=(1,145/(4*24))*((1-(1,14/4)2)(2+1-(2*1,14/4))/(1-(1,14/4))2)*0,31= 0,02*0,919*2,43/0,511=0,087

Среднее время ожидания:

tоч.=Lоч./л

tоч.=0,087/0,33=0,264

Среднее число заявок в системе:

z=Lоч.+k

z=0,087+1,134=1,221 Среднее время пребывания в системе:

tсмо=z/л

tсмо=1,221/0,33=3,7

Ответ: Вероятность отказа равна 0,002. Средняя длина очереди равна 0,087.

Размещено на Allbest.ru