Законы надёжности

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекция

Законы надёжности

План

Введение

1. Модели надёжности технических систем

2. Законы распределения времени безотказной работы

Введение

информационный надёжность безотказный время

Количественные методы исследования технических объектов, особенно на этапах их проектирования и создания, всегда требуют построения математических моделей процессов и явлений. Под математической моделью обычно понимают взаимосвязанную совокупность аналитических и логических выражений, а также начальные и граничные условия, отражающие с определённым приближением реальные процессы функционирования объекта. Математическая модель - это информационный аналог натурного объекта, с помощью которого можно получить знания о создаваемом проекте. Считают, что способность вырабатывать предсказания является определяющим свойством модели. Всё это в полной мере относится к математическим моделям надёжности.

Под математической моделью надёжности понимается такая аналитически представляемая система, которая даёт полную информацию о надёжности объекта. При построении модели процесс изменения надёжности определённым образом упрощается, схематизируется. Из большого количества действующих на натурный объект факторов выделяются основные, изменение которых может вызвать заметные изменения надёжности. Связи между составными частями системы могут быть представлены аналитическими зависимостями также с определёнными приближениями. В результате выводы, получаемые на основе исследования модели надёжности объекта, содержат некоторую неопределённость.

Чем удачнее подобрана модель, чем лучше она отражает характерные особенности функционирования объекта, тем точнее будет оценена его надёжность и получены обоснованные рекомендации для принятия решения.

1. Модели надёжности технических систем

В настоящее время сложились общие принципы построения математических моделей надёжности. Модель строится только для определённого объекта, или точнее для группы однотипных объектов с учётом особенностей их будущей эксплуатации. Она должна удовлетворять следующим требованиям:

- модель должна учитывать максимальное количество факторов, оказывающих влияние на надёжность объекта;

- модель должна быть достаточно простой, чтобы с использованием типовых вычислительных средств получать выходные показатели надёжности в зависимости от изменения входных факторов.

Противоречивость этих требований не позволяет полностью формализовать построение моделей, что делает процесс создания моделей в определённой степени творческим.

Существует много классификаций моделей надёжности, одна их которых представлена на рис.11¹ Червоный А.А., Лукьященко В.И., Котин Л.В. Надёжность сложных систем. Изд.2-е, перераб. и доп.-М.: Машиностроение. 1976..

Рис.1. Классификация моделей надёжности

Как следует из рис.1, все модели можно разделить на две большие группы: модели надёжности объектов и модели элементов. Модели надёжности элементов имеют больше физического содержания и более конкретизированы для элементов определённой конструкции. В этих моделях используются характеристики прочности материалов, учитываются нагрузки, действующие на конструкцию, рассматривается влияние условий эксплуатации на работу элементов. При исследовании этих моделей получают формализованное описание процессов возникновения отказов в зависимости от выделенных факторов.

Модели надёжности объектов создаются для формализованного описания с позиций надёжности процесса их функционирования как процесса взаимодействия элементов, составляющих данный объект. В такой модели взаимодействие элементов осуществляется только через наиболее существенные связи, влияющие на общую надёжность объекта.

Различают модели надёжности объектов параметрические и модели в терминах отказов элементов. Параметрические модели содержат функции случайных параметров элементов, что позволяет получить на выходе модели искомый показатель надёжности объекта. В свою очередь, параметры элементов могут являться функциями времени наработки объекта.

Модели, создаваемые в терминах отказов элементов, наиболее формализованы и являются основными при анализе надёжности сложных технических систем. Необходимым условием при создании таких моделей является чёткое описание признаков отказов каждого элемента системы. Модель отражает влияние отказа отдельного элемента на надёжность системы.

По принципам реализации моделей они различаются на аналитические, статистические и комбинированные (иначе функционально - статистические).

Аналитические модели содержат аналитические зависимости между параметрами, характеризующими надёжность системы, и выходным показателем надёжности. Для получения таких зависимостей приходится ограничивать количество значимых факторов и значительно упрощать физическую картину процесса изменения надёжности. В результате аналитические модели могут с достаточной точностью описывать только сравнительно простые задачи изменения показателей надёжности систем. С усложнением системы и увеличением количества факторов, влияющих на надёжность, на первый план выходят статистические модели.

Метод статистического моделирования позволяет решать многомерные задачи большой сложности за короткое время и с приемлемой точностью. С развитием вычислительной техники возможности этого метода расширяются.

Ещё большими возможностями обладает комбинированный метод, который предусматривает создание функционально - статистических моделей. В таких моделях для элементов создаются аналитические модели, а система в целом моделируется в статистическом режиме.

Выбор той или иной математической модели зависит от целей исследования надёжности объекта, от наличия исходной информации о надёжности элементов, от знания всех факторов, влияющих на изменение надёжности, от подготовленности аналитического аппарата для описания процессов накопления повреждений и возникновения отказов и многих других причин. В конечном итоге выбор модели осуществляет исследователь.

2. Законы распределения времени безотказной работы

Наблюдения за эксплуатацией большого количества однотипных элементов в технических объектах различного назначения, работающих в примерно одинаковых условиях и на схожих по интенсивности нагрузках, показали, что количество отказов этих элементов различно в разные периоды наработки. Можно выделить три периода наработки, которые заметно отличаются количеством отказов и интенсивностью их проявления. На начальном этапе эксплуатации количество отказов постепенно снижается (приработка), затем следует период эксплуатации с примерно постоянным количеством отказов в одинаковые интервалы времени и при дальнейшем увеличении наработки происходит нарастание числа отказов вследствие быстрого накопления повреждений (например, вследствие износа). Эти периоды эксплуатации характеризуются определённым значением интенсивности отказов (t), показанной на рис.2.

Рис.2. Типичная - характеристика

Кривую на рис.2 принято называть - характеристикой. Как показано на рис.2 первый участок - характеристики отличается повышенным уровнем интенсивности отказов. В этот период (рис.2.,I) происходит приработка составных элементов объекта, устранение мелких дефектов изготовления и сборки, выявление и устранение отступлений от технической документации. Для данного этапа эксплуатации объекта иногда используют термин « этап выжигания дефектов». При отработке конструкции и технологии изготовления, а также при совершенствовании выходного контроля интенсивность отказов на начальном этапе эксплуатации может быть снижена.

При нормальной эксплуатации (рис.2.,II) интенсивность отказов практически не меняется с наработкой. Причинами отказов в этот период бывают, как правило, воздействие на объект неучтённых при проектировании факторов или эксплуатация объектов в условиях, действие которых трудно предусмотреть заранее.

Третий период эксплуатации (рис.2.,III) характеризуется возрастанием интенсивности отказов. Это обычно связано с предельным накоплением повреждений в материалах основных деталей, а также с износом или старением конструкционных материалов. Этот период обычно связан с повышенными материальными затратами а поддержание работоспособности объектов. Основные из них идут на запасные части и на восстановление изношенных деталей.

В практических расчётах надёжности - характеристики отдельных элементов имеют большое значение. Часто модели надёжности сложных технических систем полностью создаются на использовании подобных характеристик. Во многих случаях решение вопросов обоснования сроков технического обслуживания, объёмов регламентных работ невозможно без знания - характеристик комплектующих элементов. Эти характеристики в большинстве своём получаются на основе статистической обработки экспериментальных данных или результатов эксплуатации объектов - аналогов. Одним из важных моментов такой обработки является выявление теоретического закона распределения, соответствующего реальной статистике наработок между отказами объекта или его элементов.

Анализ типовых - характеристик показывает, что каждый из этапов эксплуатации (рис.2) может быть поставлен в соответствие определённому теоретическому закону распределения. Обычно период нормальной эксплуатации соответствует экспоненциальному закону, а этап старения и повышенного износа может быть описан нормальным законом, законом Вейбулла или некоторыми другими. Приработка элементов может быть представлена многими теоретическими законами распределения и в том числе законом Вейбулла. Таким образом, изучение особенностей основных теоретических законов распределения может способствовать выявлению закономерностей изменения показателей надёжности реальных объектов.

Экспоненциальное распределение

Известное выражение для вероятности безотказной работы при = const превращается в зависимость, соответствующую экспоненциальному закону распределения

, (1)

плотность которого равна

. (2)

Однопараметрическое распределение (3.1) широко используется в теории надёжности, главным образом из-за его простоты и очевидности физической картины процессов, вызывающих изменение надёжности по данному закону. Оно описывает распределение времени безотказной работы при постоянной опасности отказа.

Постоянство интенсивности отказа позволяет из (2.15а) получить выражение

. (3)

Отрицательное значение производной в (3) свидетельствует о том, что с увеличением наработки происходит снижение темпа уменьшения вероятности безотказной работы.

Вероятность отказа при экспоненциальном распределении равна

. (4)

Графики основных зависимостей экспоненциального распределения показаны на рис.3.

Рис.3. Графики экспоненциального распределения

Математическое ожидание, равное наработке на отказ, определится для экспоненциального распределения из выражения

. (5)

Как следует из (5), средняя наработка на отказ экспоненциального распределения обратно пропорциональна интенсивности отказов. Это позволяет записать, что

и . (6)

Из (6) следует, что при экспоненциальном законе надёжности достаточно знать среднюю наработку на отказ, чтобы определить вероятность безотказной работы объекта в любой момент времени.

Важной особенностью экспоненциального закона распределения является то обстоятельство, что вероятность безотказной работы в каком-то интервале времени не зависит от предшествующей наработки объекта, а зависит только от величины самого интервала. Допустим, что объект благополучно проработал время t и нас интересует вероятность безотказной работы на интервале t . Эту условную вероятность обозначим P(t/t). В то же время вероятность работоспособного состояния объекта к моменту (t+t) можно рассматривать как вероятность сложного события, заключающегося в том, что объект безотказно отработал время t (одно событие) и затем также безотказно время t (второе событие). Тогда по правилу умножения вероятностей P(t+t) = P(t) P(t/t), откуда P(t/t)= P(t+t)/ P(t).

Для экспоненциального закона получаем

. (7)

Выражение (7) даёт основание считать, что независимость вероятности безотказной работы объекта от предыстории нагружений может быть объяснена возникновением отказов только определённого класса, а именно внезапных отказов.

Распределение Вейбулла

Двухпараметрическое распределение Вейбулла является более гибким, чем экспоненциальное, которое может рассматриваться как частный случай первого. Плотность распределения Вейбулла

. (8)

При 1/t0 = и m = 1 уравнение (8) превращается в плотность экспоненциального распределения. Величина 1/t0 определяет масштаб, а m - асимметрию (форму) распределения.

После интегрирования (8) от 0 до t получаем функцию распределения F(t), равную Q(t) :

. (9)

Следовательно,

. (10)

Отношение плотности (8) и вероятности (10) даёт интенсивность отказов

. (11)

Основные графики распределения Вейбулла показаны на рис.4.

Двухпараметрическое распределение Вейбулла обладает исключительной гибкостью при аппроксимации эмпирических распределений и поэтому широко применяется в практических приложениях теории надёжности. Оно используется при описании законов надежности, как на участке приработки, так и при анализе процессов старения и износа.

Средняя наработка на отказ при распределении Вейбулла определяется из условия и равна

а) б)

Рис.3.4. Графики распределения Вейбулла

, (12)

где - гамма - функция;

.

Нормальное распределение

Двухпараметрическое нормальное (гауссово) распределение исключительно широко применяется в практических задачах теории надёжности. Параметрами этого распределения является - математическое ожидание случайной величины и - среднеквадратическое отклонение. Плотность нормального распределения определяется зависимостью

. (13)

Функция распределения F(x) (рис.3.5) при нормальном законе определяется интегралом от плотности f(x) с пределами интегрирования от - до + .

Случайная величина t как и во всех задачах надёжности имеет смысл наработки объекта и поэтому определена на положительной полуоси чисел, а нормальный закон, как уже отмечалось, определён на всей числовой оси от - до + . В связи с этим в теории надёжности рассматривают усечённый нормальный закон, плотность которого определяется путём умножения (3.13) на постоянный множитель

,

где , a, b - левая и правая границы усечённого распределения.

F(a),F(b) - значения функций распределения нормального закона на левой и правой границах усечения.

Смысл постоянного множителя с становится ясным при рассмотрении графика плотности нормального распределения, представленного на рис.6.

Рис.5. Плотность и функция распределения нормального закона при математическом ожидании =0 и среднеквадратическом отклонении =1.

Известно, что площадь под кривой плотности распределения всегда должна быть равна единице, то есть в данном случае . Как показано на рис.6 для обеспечения этого условия кривую плотности усечённого нормального закона приходится сдвигать вверх и вправо путём умножения исходной плотности нормального закона на постоянный множитель. Соответственно будут меняться основные параметры: математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение. Расчёты показывают, что при отношении / < 0.5 (коэффициент вариации) постоянный множитель c для усечённо- нормального закона близок к единице. Поэтому во многих практических задачах теории надёжности пользуются параметрами нормального закона распределения случайной наработки объекта до отказа. При этом математическое ожидание отождествляют со средней наработкой до отказа Т0.

Рис.6. Плотности нормального и усечённо - нормального распределений при = 2, = 3. Параметры усечения a=0, b=10.

Вероятность безотказной работы при нормальном распределении равна

. (14)

Вероятность отказа рассчитывается по формуле (при с 1)

. (15)

Интенсивность отказов определяется отношением плотности к вероятности безотказной работы

. (16)

Интегралы в выражениях (14)…(16) не выражаются через элементарные функции. Обычно они представляются через интеграл вероятности от параметра

z = (t-T0)/

, (17)

для которого составлены таблицы.

С учётом (17) вероятность безотказной работы при нормальном законе определяется по формуле

. (18)

Размещено на Allbest.ru