Задачи по эконометрике

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вариант 5

Задача 1. По 10 банкам изучается зависимость прибыли (y - млн. руб.) от вложения в уставные капиталы предприятий (x - млн. руб.)

№ банка	Прибыль , млн. руб.	Вложения в уставные капиталы предприятий (x - млн. руб.)
1	55,3	20
2	50,2	25
3	60,9	35
4	62,8	42
5	63,9	47
6	64,5	50
7	65,5	55
8	66,8	63
9	67,9	70
10	69,3	80

1. Постройте поле корреляции рассматриваемой зависимости

2. Определите уравнение полулогарифмической модели = a+b*

3. Найти индекс корреляции и сравнить с линейным.

4. Найти среднюю ошибку аппроксимации

5. Рассчитать стандартную ошибку регрессии

6. С вероятностью 0,95 оценить статистическую значимость уравнения и коэффициента регрессии.

7. С вероятностью 0,95 построить доверительный интервал ожидаемого размера прибыли , если вложения в уставные капиталы составят 45 млн. руб.

Решение:

1) Построить поле корреляции по данным таблицы 1 и сформулировать гипотезу о форме связи:

Анализ поля корреляции показывает, что зависимость близка к линейной.

Получаем систему уравнений:

Решая эту систему, получаем:

a = 49,037

b= 0,2808

Получаем линейное уравнение регрессии: = 49,037 + 0,2808*x

Если вложения в уставные капиталы прекратятся, то прибыль банка будет зафиксирована в точке 49,037 млн. руб.

2) Уравнение полулогарифмической регрессии

Обозначим ln x = , тогда уравнение приведем к линейному

Составим расчетную таблицу:

n	х	Y	x*=ln x	x*x*	yx*
1	20	55,3	2,995732	8,974412	165,664
2	25	50,2	3,218876	10,36116	161,5876
3	35	60,9	3,555348	12,6405	216,5207
4	42	62,8	3,73767	13,97017	234,7257
5	47	63,9	3,850148	14,82364	246,0244
6	50	64,5	3,912023	15,30392	252,3255
7	55	65,5	4,007333	16,05872	262,4803
8	63	66,8	4,143135	17,16557	276,7614
9	70	67,9	4,248495	18,04971	288,4728
10	80	69,3	4,382027	19,20216	303,6744
сумма	487	627,1	38,05079	146,55	2408,237
среднее	48,7	62,71	3,805079	14,655	240,8237

b = = = 12,514

a = = 62,71 - 12,514*3,805079 = 15,092

15,092 +12,514*

3) Коэффициент корреляции (детерминации)

а) линейная функция :

R² = 0,8279

= 0,9099

n	х	Y	x2	xy	y2
1	20	55,3	400	1106	3058,09
2	25	50,2	625	1255	2520,04
3	35	60,9	1225	2131,5	3708,81
4	42	62,8	1764	2637,6	3943,84
5	47	63,9	2209	3003,3	4083,21
6	50	64,5	2500	3225	4160,25
7	55	65,5	3025	3602,5	4290,25
8	63	66,8	3969	4208,4	4462,24
9	70	67,9	4900	4753	4610,41
10	80	69,3	6400	5544	4802,49
сумма	487	627,1	27017	31466,3	39639,63
среднее	48,7	62,71	2701,7	3146,63	3963,963

= = 18,16618

= = 5,6053

= = 0,9099

б) коэффициент корреляции для логарифмической регрессии:

n	х	Y	x*=ln x	x*x*	yx*
1	20	55,3	2,995732	8,974412	165,664
2	25	50,2	3,218876	10,36116	161,5876
3	35	60,9	3,555348	12,6405	216,5207
4	42	62,8	3,73767	13,97017	234,7257
5	47	63,9	3,850148	14,82364	246,0244
6	50	64,5	3,912023	15,30392	252,3255
7	55	65,5	4,007333	16,05872	262,4803
8	63	66,8	4,143135	17,16557	276,7614
9	70	67,9	4,248495	18,04971	288,4728
10	80	69,3	4,382027	19,20216	303,6744
сумма	487	627,1	38,05079	146,55	2408,237
среднее	48,7	62,71	3,805079	14,655	240,8237

= = 0,4199

= = 0,9376

Коэффициенты детерминации:

а) линейный R²=0,9099² = 0,8279

б) логарифмический R²=0,9376² = 0,8791

Наибольший коэффициент детерминации - для логарифмической регрессии. Уравнение логарифмической регрессии объяснит 87,91% дисперсии результативного фактора. Для линейной функции этот показатель 82,79%.

4) Средняя ошибка аппроксимации:

а) Для уравнения прямой 0,2808*x + 49,037

= 3,0136%

б) для уравнения логарифмической функции 15,092 +12,514*

= 2,2596%

В данном случае ошибка менее 5%, что говорит о хорошем подборе уравнения регрессии.

5) Стандартная ошибка регрессии:

Sлин = = 2,599

Sлогарифм = = 2,1786

Качество уравнения регрессии хорошее, ошибка менее 5%

6) Оценка с помощью F-критерия Фишера. Определим фактическое значение F_факт

Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=10-2=8, Fkp = 5,32

а) Для уравнения прямой = 49,037 + 0,2808*x средний (общий) коэффициент эластичности определим по формуле:

*(n-2) = *8=38,4846

б) для уравнения логарифмической функции 15,092 +12,514*

*(n-2) = *8=58,17

Вывод: фактическое значение больше табличного, найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна.

Для параметров парной регрессии средняя ошибка оценки вычисляется:

m_b = = = 2,151;

t_b = = = 7,637.

Табличное значение критерия Стьюдента при уровне значимости 0,05 и количестве степеней свободы 10 - 2 = 8 составляет 2,306.

Вывод: полученное значение критерия t_b по модулю больше табличного, следовательно, можно отклонить гипотезу о несущественности коэффициента регрессии b.

7) Для расчета точечного прогноза подставим в уравнение регрессии заданное значение факторного признака . Если прогнозное значение вложений в уставные капиталы составит 45 млн. руб., то прогнозное значение прибыли:

= 0.2808*45+49.037 = 61.673

Доверительный интервал прогноза определяется с вероятностью (0,95) как



где t_табл - табличное значение t-критерия Стьюдента для уровня значимости (1-0,95) и числа степеней свободы (n-2) для парной линейной регрессии; - стандартная ошибка точечного прогноза, которая рассчитывается по формуле:

В нашем примере стандартная ошибка прогноза составила

= 2.76

Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:

= 2,306 * 2,76 = 6,36.

Доверительный интервал прогноза 45±6,36

_min = 45 - 6,36 = 38,64 млн. руб.

_max = 45 + 6,36 = 51,36 млн. руб. руб.

Вывод: если вложения в уставные капиталы составят 45 млн. руб., то ожиждается прибыль в диапазоне от 38,64 до 51,36 млн. руб.

Задача 2. По 20 предприятиям региона, выпускающим однородную продукцию построена модель объема выпуска (у - тыс. ед.) от численности занятых (х₁ - человек), элекровооруженности труда (х₂ - кВт*час на 1 работника) и потерь рабочего времени (х₃ - %). Результаты оказались следующими:

= а + 1,8*х₁ + 3,2*х₂ - 2,1*х₃ R² = 0,875

(2,1) (3,4) (4,9) (1,9)

В скобках указаны фактические значения t-критерия для параметров уравнения регрессии. корреляция гипотеза фишер регрессия

Кроме того, известна следующая информация:

	Среднее значение	Коэффициент вариации,%
y	25	40
x1	420	20
x2	30	35
x3	18	10

1. Дать интерпретацию коэффициентов регрессии и оценить их значимость. Сделать выводы.

2. Оценить параметр а.

3. Оценить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера с вероятностью 0,95. Сделать выводы.

4. Построить уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе и сделать выводы.

5. Найти частные коэффициенты корреляции и сделать выводы.

6. Дать интервальную оценку для коэффициентов регрессии.

7. Определить частные средние коэффициенты эластичности и сделать выводы.

8. Оценить скорректированный коэффициент множественной детерминации.

Решение:

Интерпретация уравнения регрессии: параметр b₁ свидетельствует о том, что с увеличением численности занятых на 1 чел., объем выпуска увеличивается на 1,8 тыс. ед. при постоянном уровне электровооруженности труда и потерь рабочего времени.

Увеличение электровооруженности труда на 1 кВт.час на 1 работника объем выпуска увеличивается на 3,2 тыс. ед. при постоянном уровне численности занятых и потерь рабочего времени.

Увеличение же потерь рабочего времени на 1% объем выпуска снижается на 2,1 тыс. ед. при постоянном уровне численности занятых и элекровооруженности труда.

Оценку статистической значимости коэффициентов регрессии проведем с помощью t-статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из показателей.

Выдвигаем гипотезу Н₀ о статистически незначимом отличии коэффициентов регрессии от нуля.

t_табл для числа степеней свободы df = n - 2 = 20 - 2 = 18 и a = 0,05 составит 2,101.

Фактические значения t-статистики:

t_{b 1} = 3,4 > t_табл = 2,101;

t_{b 2} = 4,9 > t_табл = 2,101;

t_{b 3} = -1,9 < t_табл = 2,101.

Гипотеза Н₀ отклоняется, т.е. b₁ и b₂ не случайно отличаются от 0, а статистически значимы. Гипотеза Н₀ не отклоняется в случае коэффициента b₃ , данный коэффициент следует признать статистически незначимым.

Выдвигаем гипотезу Н₀ о статистически незначимом отличии показателя а от нуля.

t_табл для числа степеней свободы df = n - 2 = 20 - 2 = 18 и a = 0,05 составит 2,101.

Фактические значения t-статистики: t_а = 2,1 > t_табл = 2,10.

Гипотеза Н₀ отклоняется, т.е. параметр а не случайно отличаются от 0, а статистически значим.

f-тест - оценивание качества уравнения регрессии - состоит в проверке гипотезы Н₀ о статической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнения фактического F_факт и критического F_табл значений f-критерия Фишера.

F_факт определяется из соотношения:

F_факт =

F_факт = = 37,33

где n - число единиц совокупности;

m - число параметров при переменных х.

Поскольку F_факт > F_табл. = 3,24, то Н₀ - гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность.

Для построения уравнения в стандартизованном масштабе рассчитаем b_i , используя формулы для перехода от b_i к b_i :

b_i = b_i *.

Расчет среднеквадратического отклонения

Среднее значение	Коэффициент вариации,%	Среднее значение	(4)=(2)*(3)
1	2	3	4
y	25	40	10
x1	420	20	84
x2	30	35	10,5
x3	18	10	1,8

b₁ = 1,8* = 15,12;

b₂ = 3,2* = 3,36;

b₃ = -2,1* = -0,38;

Получим уравнение: t_y = 15,12*t_{x 1} + 3,36*t_{x 2} - 0,38*t_х3 .

Анализ в-коэффициентов показывает, что на объем выпуска из трех исследуемых факторов сильнее оказывает фактор x₁ - численность занятых, так как ему соответствует наибольшее значение в-коэффициента.

Частные коэффициенты корреляции можно определить по формуле на основе коэффициентов детерминации:

r_yx1*x2x3 = ;

r_yx2*x1x3 = ;

r_yx3*x1x2 = .

Определяем частный коэффициент корреляции у с х₁ :

F_{х 1} = ;

t_b1 = Ю F_{х 1} = = 3,4² = 11,56;

= R² - = 0,875 - = 0,785;

r_yx1*x2x3 = = 0,647.

При постоянном уровне электровооруженности труда и потерь рабочего времени объем выпуска тесно зависит от численности занятых (теснота зависимости соответствует 0,647).

Определяем частный коэффициент корреляции у с х₂ :

F_{х 2} = ;

t_b2 = Ю F_{х 2} = = 4,9² = 24,01;

= R² - = 0,875 - = 0,687;

r_yx2*x1x3 = = 0,775.

При постоянном уровне численности занятых и потерь рабочего времени объем выпуска тесно зависит от электровооруженности труда (теснота зависимости соответствует 0,775).

Определяем частный коэффициент корреляции у с х₃ :

F_{х 3} = ;

t_b3 = Ю F_{х 3} = = 1,9² = 3,61;

= R² - = 0,875 - = 0,847;

r_yx2*x1x3 = = 0,428.

При постоянном уровне численности занятых и электровооруженности труда объем выпуска средне зависит от потерь рабочего времени (теснота зависимости соответствует 0,428).

Для расчета доверительного интервала определяем предельную ошибку для коэффициентов регрессии при факторах:

D = t_табл *m_bxi ,

где m_{bx 1} = = = 0,529;

m_{bx 2} = = = 0,653;

m_{bx 3} = = = -1,105;

- для b₁

D = 2,11*0,529 = 1,116.

b₁ - D = 1,8 - 1,1 = 0,7;

b₁ +D = 1,8 + 1,1 = 2,9.

Итак, интервальное значение для коэффициента регрессии при факторе х₁ с вероятностью 0,95 следующее [0,7; 2,9].

- для b₂

D = 2,11*0,653 = 1,378.

b₂ - D = 3,2 - 1,4 = 1,8;

b₂ +D = 3,2 + 1,4 = 4,6.

Итак, интервальное значение для коэффициента регрессии при факторе х₂ с вероятностью 0,95 следующее [1,8; 4,6].

- для b₃

D = -2,11*1,105 = -2,332.

b₂ - D = -2,1 + 2,3 = 0,2;

b₂ +D = -2,1 - 2,3 = -4,4.

Итак, интервальное значение для коэффициента регрессии при факторе х₃ с вероятностью 0,95 следующее [-4,4; 0,2].

Частные коэффициенты эластичности для линейной регрессии рассчитывают, как правило, при средних значениях факторов и результата:

= b_i *.



= 1,8* = 30,24;

= 3,2* = 3,84;

= -2,1* = -1,51.

Анализ частных коэффициентов эластичности показывает, что по абсолютному приросту наибольшее влияние на значение объема выпуска оказывает фактор X₁ - численность занятых, увеличение данного фактора на 1 пункт приводит к увеличению объема выпуска на 30,24 пункта. Увеличение электровооруженности труда на 1 пункт приводит к увеличению объема выпуска на 3,84 пункта. А увеличение потерь рабочего времени на 1 пункт приводит к снижению объема выпуска на 1,51 пункта.

Скорректированный коэффициент множественной детерминации содержит поправку на число степеней свободы и рассчитывается по формуле:

= 1 - (1 - R² )* = 1 - (1 - 0,875)* = 0,852.

Задача 3. Динамика ВРП на душу населения по региону характеризуется следующими данными за 1997-2003 г.г. (тыс. руб.):

1997	1998	1999	2000	2001	2002	2003
10	12,7	14,3	17,1	29,4	42,2	52,4

1) Коэффициент автокорреляции первого порядка

2) Уравнение тренда в виде экспоненты или показательной кривой.

3) Критерий Дарбина-Уотсона для определения наличия автокорреляции в остатках

4) Интервальный прогноз ожидаемого уровня ВРП на 2005 год

Решение:

1. Коэффициент автокорреляции первого порядка рассчитывается по следующей формуле:

где ;

Для расчета коэффициента автокорреляции первого порядка составим расчетную таблицу:

t	yt	yt-1	yt -	yt-1 -	ст.4*ст.5	ст.5*ст.5	ст.4*ст.4
1	2	3	4	5	6	7	8
1	10
2	12,7	10	-15,3167	-10,95	167,7175	119,9025	234,6003
3	14,3	12,7	-13,7167	-33,65	461,5658	1132,323	188,1469
4	17,1	14,3	-10,9167	-35,25	384,8125	1242,563	119,1736
5	29,4	17,1	1,383333	-3,85	-5,32583	14,8225	1,913611
6	42,2	29,4	14,18333	8,45	119,8492	71,4025	201,1669
7	52,4	42,2	24,38333	21,25	518,1458	451,5625	594,5469
итого	178,1	125,7	0	-54	1646,765	3032,575	1339,548

= = 28.01667

= = 20.95

Коэффициент автокорреляции первого порядка равен:

= 0.82

Полученное значение свидетельствует об очень тесной зависимости между ВРП текущего и непосредственно предшествующего годов и, следовательно, о наличии во временном ряде ВРП сильной линейной тенденции.

2. Уравнение показательной регрессии имеет вид

Приведем уравнение к линейному виду:

Обозначим:

Для того, чтобы вычислить параметры уравнения, составим расчетную таблицу:

№	у	y*	t	y*t	y*2	t2
1	10	1	1	1	1	1
2	12,7	1,104	2	2,208	1,218	4
3	14,3	1,155	3	3,466	1,335	9
4	17,1	1,233	4	4,932	1,52	16
5	29,4	1,468	5	7,342	2,156	25
6	42,2	1,625	6	9,752	2,642	36
7	52,4	1,719	7	12,035	2,956	49
Сумма	178,1	9,305	28	40,735	12,827	140
Среднее	25,44	1,329	4	5,819	1,832	20

= 0,12575

= =1,3358

= =6,6988

Показатель b = 1,336 представляет собой средний за период цепной коэффициент роста уровней ряда. Параметр а = 0,826 означает начальный уровень ряда в момент времени, равный 0.

Остатки e_t рассчитываются по формуле:

e_t = y_t - .

Критерий Дарбина-Уотсона рассчитывается по формуле:

d = .

Расчет критерия Дарбина-Уотсона

№	уt		et	et-1
1	10,0	8,94	1,06
2	12,7	11,95	0,75	1,06	0,097	0,568
3	14,3	15,97	-1,67	0,75	5,885	2,796
4	17,1	21,35	-4,25	-1,67	6,670	18,104
5	29,4	28,55	0,85	-4,25	26,045	0,720
6	42,2	38,17	4,03	0,85	10,101	16,214
7	52,4	51,04	1,36	4,03	7,099	1,856
Сумма	-	-	-	-	55,896	40,258

d = = 1,39.

Фактическое значение d сравниваем с табличным значением при 5%-ном уровне значимости. При n = 7 лет и m = 1 (число факторов) нижнее значение d' равно 0,70, а верхнее - 1,36.

d = 1,39 попадает в промежуток от d_U до 4 - d_U . Следовательно, нет оснований отклонять гипотезу Н₀ об отсутствии автокорреляции в остатках.

При t = 9, что соответствует 2005 году, прогнозное значение составит:

= 6,6988*1,3358⁹ = 90,73 тыс. руб.

Расчет стандартной ошибки прогноза

S =

S = = 2.876

m_yt =

m_yt = = 1.726

t_a * m_yt = 2,571*1,726 = 4,4.

90.73 - 4,4 = 86,33

90.73+ 4,4 = 95,13.

Интервальный прогноз ожидаемого уровня ВРП на душу населения на 2005 год составит (86.33ч95.13) тыс. руб.

Задача 4. Динамика показателя деятельности организаций с участием иностранного капитала в регионе характеризуется следующими данными:



Год	Среднесписочная численность работников, тыс. чел. (х t)	Выпуск товаров, работ и услуг, млрд. руб. (у t)
1998	25,8	6
1999	29,5	14
2000	31,4	19
2001	29,1	29
2002	35,5	45
2003	42	64
2004	46,1	69

В результате аналитического выравнивания получены следующие уравнения трендов и коэффициенты детерминации (t = 1:7):

a) для выпуска товаров, работ и услуг:

= -9,8571 + 11,25*t, R² =0,9654,

b) для среднесписочной численности работников:

= 27,4 - 0,8238*t + 0,5048*t² , R² =0,9397.

1) Дать интерпретацию параметров уравнений трендов.

2) Определить коэффициент корреляции между временными рядами, используя:

a) непосредственно исходные уровни;

b) отклонения от основной тенденции.

3) Обосновать различие полученных результатов и сделать вывод о тесноте связи между временными рядами.

4) Построить уравнение регрессии по отклонениям от трендов.

Решение:

Наиболее простую экономическую интерпретацию имеют параметры линейного тренда. Параметры линейного тренда можно интерпретировать так:

а - начальный уровень временного ряда в момент времени t = 0;

b - средний за период абсолютный прирост уровней ряда.

Для исходной задачи начальный уровень ряда для выпуска товаров соответствует значению -9,8571 млрд. руб., средний за период абсолютный прирост уровней ряда составляет 11,25 млрд. руб. Параметр b > 0, значит уровни ряда равномерно возрастают на 11,25 млрд. руб. каждый год.

Для среднесписочной численности работников коэффициент а - начальный уровень ряда соответствует значению 27,4 тыс. чел.; абсолютное ускорение увеличения среднесписочной численности работников соответствует 1,0096.

Рассчитаем коэффициент корреляции между временными рядами, используя непосредственно исходные уровни. Коэффициент корреляции характеризует тесноту линейной связи между изучаемыми признаками. Определяем его по формуле:

Расчет параметров коэффициента корреляции

№	у	х	х*у	у2	х2
1	6	25,8	154,8	36	665,64
2	14	29,5	413	196	870,25
3	19	31,4	596,6	361	985,96
4	29	29,1	843,9	841	846,81
5	45	35,5	1597,5	2025	1260,25
6	64	42,0	2688	4096	1764
7	69	46,1	3180,9	4761	2125,21
Сумма	246	239,4	9474,7	12316	8518,12
Среднее	35,14	34,20	1353,53	1759,43	1216,87



= = 0,965

= = 6,87

= = 22,9

r_xy = 0,965 - связь сильная, прямая.

Рассчитаем коэффициент корреляции между временными рядами, используя отклонения от основной тенденции.

Расчет отклонений от основной тенденции:

n	y	x			х -	у -
1	6	25,8	27,08	1,39	-1,28	4,61
2	14	29,5	27,77	12,64	1,73	1,36
3	19	31,4	29,47	23,89	1,93	-4,89
4	29	29,1	32,18	35,14	-3,08	-6,14
5	45	35,5	35,9	46,39	-0,4	-1,39
6	64	42	40,63	57,64	1,37	6,36
7	69	46,1	46,37	68,89	-0,27	0,11
Сумма	246	239,4	239,41	246	-1,28	0,02
Среднее	35,14	34,2	-	-	0	0,00286

Расчет параметров коэффициента корреляции

№	у	х	х*у	у2	х2
1	4,61	-1,28	-5,9	21,25	1,64
2	1,36	1,73	2,35	1,85	2,99
3	-4,89	1,93	-9,44	23,91	3,72
4	-6,14	-3,08	18,91	37,7	9,49
5	-1,39	-0,4	0,56	1,93	0,16
6	6,36	1,37	8,71	40,45	1,88
7	0,11	-0,27	-0,03	0,01	0,07
Сумма	0,02	-1,28	-0,03	0	1,64
Среднее	0,00286	0	15,14	127,11	21,59

= = 0,289

= = 4,65

= = 11,27

r_xy = 0,289 - связь слабая, прямая.

При измерении корреляции между двумя временными рядами следует учитывать возможное существование ложной корреляции, что связано с наличием во временных рядах тенденции, т.е. зависимости обоих рядов от общего фактора времени. Для того чтобы устранить ложную корреляцию, следует коррелировать не сами уровни временных рядов, а их последовательные (первые или вторые) разности или отклонения от трендов (если последние не содержат тенденции).

Различия полученных результатов объясняется ложной корреляцией из-за наличия во временных рядах тенденции. Таким образом между временными рядами существует прямая слабая взаимосвязь.

Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида:

= a + b*x.

Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов.

Для линейных и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, решается следующая система относительно a и b.

,

Можно воспользоваться готовыми формулами, которые вытекают из этой системы:

а = ;

b =

b= = 0.701

а = 0,00286 - 0,701*0 = 0,00286.

Уравнение регрессии по отклонениям от трендов: = 0,00286 + 0,701*х.

Размещено на Allbest.ru