Особенности математического моделирования задач, связанных с календарным планированием производственных процессов

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Введение

Как известно, человечество в своём стремительном развитии старается всё более расширить сферы своей деятельности, сталкиваясь при этом с множеством новых ситуаций, из которых требуется искать выход. Для решения возникающих при этом задач Человек организует новые процессы (т.е., протекающие во времени действия, направленные на решение конкретных прикладных задач), которые ставит под свой неусыпный контроль. Оптимизацией таких процессов занимаются многие науки, различающиеся способами моделирования процессов, спецификой решаемых задач и набором используемых методов. Одной из таких наук является календарное планирование. Для неё характерно огромное разнообразие теоретических моделей, проистекающее из разнообразия реальных моделируемых процессов. (Легко понять, что проблема оптимальной организации протекающих во времени процессов имеет глобальный характер и возникает практически во всех сферах человеческой деятельности). Второй особенностью является комбинаторная природа исследуемых моделей и решаемых оптимизационных задач, которая обуславливает высокую комбинаторную сложность их решения. И, в-третьих, для календарного планирования характерна высокая актуальность (злободневность) решаемых задач, ввиду их ярко выраженной прикладной направленности.

Целью курсовой работы является изучение основ календарного планирования с помощью решения задач, характерных для данного вида математического моделирования.

Указанная цель обусловила постановку и решение следующих задач:

1. рассмотреть основные задачи календарного планирования;

2. на примерах продемонстрировать возможности использования задач календарного планирования для решения экономических проблем.

Курсовая работа состоит из введения, первой главы, в которой рассматриваются теоретические аспекты и методы решения задач календарного планирования. Во второй главе приводится решение задач календарного планирования, таких как: задача Джонсона о двух станках, задача о назначениях, задача о замене оборудования.

1. Теоретические аспекты календарного планирования

1.1 Понятие календарного планирования

В условиях оживления и развития отечественной промышленности существенно возрастает интерес к проблемам организации производства, и в частности, к задачам календарного планирования.

Календарные планы работы отдельных производственных ячеек предприятия представляют собой расписания изготовления всех изделий, загрузки оборудования и рабочих мест. Производственная ячейка - часть производственного пространства (станки, участок), на котором соответствующим образом организованы производственные ресурсы и процессы.

Основными параметрами календарных графиков являются: приоритетность работ (очередность запуска изделий в обработку), размер партий запуска и время опережения начала обработки изделий на связанных рабочих местах, размер незавершенного производства. Результатом составления оптимального календарного графика является определение наименьшей длительности производственного цикла, оказывающей существенное влияние на улучшение экономических результатов деятельности предприятия. В этом случае происходит снижение объема оборотных средств в незавершенном производстве, уменьшаются простои оборудования и рабочих.

В производственных подразделениях машиностроительных предприятий календарное планирование в настоящее время основано главным образом на моделировании, позволяющем обеспечить пропорциональность, непрерывность, устранить «узкие места» и правильно установить приоритеты работ. Следует отметить, что установление очередности запуска изделий в производство является одной из основных задач, которую необходимо решить при составлении оптимального календарного графика.

В силу этого, в качестве критерия оптимальности моделей целесообразно использовать минимизацию длительности совокупного производственного цикла. Под моделью производственного процесса понимается его пространственное построение, отражающее технолого-организационную суть последнего через организационную структуру. Под моделью плана производства - количественно-временная организация предметов труда в ходе производственного процесса. Под моделью оперативного управления (части управляющей системы - надстройки) - функциональное выделение той части управляющей системы, которая предназначена для удержания существующих переменных управляемого объекта в заданных планом пороговых значениях.

1.2 Характеристика моделей календарного планирования

Как и каждый достаточно ярко выраженный класс экономико-математических моделей, совокупность моделей календарного планирования обладает рядом специфических признаков, по которым их можно отличить от любых других. Целесообразнее всего эта специфика может быть отражена посредством перечисления того минимального состава системообразующих элементов модели и их характеристик, обязательное наличие которых предопределяет принадлежность модели к классу календарных.

К системообразующим элементам модели календарного планирования относятся:

- конечное множество частично взаимосвязанных операций G={gj}, j=1, 2, …, J;

- конечное множество работ (заданий, проектов) Р ={pi}, , i = 1, 2,…, I, представляющих собой подмножества операций не связанных отношением предшествования (т.е. никакие две операции, принадлежащие разным подмножествам G1 и G2, не связаны отношением предшествования);

- конечное множество видов ресурсов R ={rk}, , k = 1, 2,…, K, где К -- определяет общее количество видов ресурсов, различаемых по своим характеристикам;

- система отсчета времени. Временной ресурс играет особую роль в календарных моделях. Устанавливаются точка нулевого отсчета и временной такт (системная единица времени), с точностью до которой задаются все временные характеристики элементов модели и их связей;

* моменты начала и окончания выполнения каждой операции из множества G: бi,j,k и в i,j,k соответственно, которые всегда являются неизвестными модели.

1.3 Методы решения задач календарного планирования

календарный производственный программирование однооперационный

Все существующие методы решения задач календарного планирования3 по степени достижения экстремального результата подразделяются на две четко выраженные подгруппы - точных и приближенных решений.

Точные методы.

К числу опробованных точных методов решения задачи моделирования относятся методы линейного и динамического программирования, комбинаторные методы дискретного программирования и др.

Метод линейного программирования удачно использован С.М. Джонсоном для решения задачи нахождения оптимального по календарному времени плана обработки m деталей на двух станках. Алгоритм Джонсона чрезвычайно прост. Выбирается самое короткое операционное время, и если оно относится к первому станку, планируют выполнение задания первым на первом станке, а если ко второму - то последним. Затем процедура повторяется до полного перебора всех заданий на обоих станках. Имеются многочисленные обобщения правила Джонсона для различных случаев трехстадийной обработки деталей. Однако этот алгоритм неприменим для случаев обработки деталей на большем количестве станков.

Метод динамического программирования удачно использован Р. Беллманом для однооперационного производства. Он дал частное решение задачи оптимального календарного планирования обработки совокупности изделий, имеющих одинаковый процесс производства, но различных по длительности операций обработки. Запуск изделий в производство необходимо осуществлять, соблюдая условие: min (t11, t22) < min (t12, t21), где: t11 - трудоемкость выполнения первой операции над изделием, первым запускаем в производство; t22 - трудоемкость выполнения второй операции над изделием, вторым запускаем в производство, а t12 и t2l - соответственно наоборот.

Метод «ветвей и границ», являющийся комбинаторным методом дискретного программирования, предполагает уменьшение множества допустимых решений, вплоть до получения конечного множества, при котором оказывается возможным применение метода перебора. В этом методе происходит последовательный выбор пары номеров деталей для получения оптимальной последовательности. Составление последовательности номеров деталей для запуска в производство происходит в процессе работы итерационного алгоритма. На каждой итерации выбираются две детали и помещаются на позиции: (n + 1) и (d - n), где n - номер итерации, a d- количество наименований деталей, участвующих в производственном процессе. Эффективность метода «ветвей и границ» зависит от уровня, на котором происходит «отсечение» ветви. В общем случае этот метод не исключает полный перебор всех возможных вариантов.

Типичные модели линейного, линейного целочисленного и квадратичного целочисленного программирования свидетельствуют о том, что в них могут быть отражены многие ограничения задачи календарного планирования. В частности, в этих моделях, в форме ограничений на переменные, могут быть выражены требования, накладываемые на сроки выпуска этих деталей. Допускается обработка деталей партиями, но для этого необходимо некоторое предварительное преобразование исходной информации.

Данные модели имеют ограниченное применение при моделировании производственных процессов. Главным недостатком является быстрый рост размеров моделей с ростом задачи календарного планирования. Точные методы оптимизации применимы лишь для частных и небольших по размеру задач. На машиностроительных предприятиях составление оптимального календарного графика усложняется широтой номенклатуры выпускаемых изделий и является динамической, вероятностной задачей большой размерности. Поэтому наряду с разработкой точных методов интенсивно развиваются приближенные методы.

Приближенные методы.

К числу приближенных методов оптимизации задач календарного планирования относятся: частичный и направленный перебор, метод Монте-Карло, аналитико-приоритетные, эвристические и др. методы.

Метод Монте-Карло аналогичен методу перебора и оценки вариантов с той разницей, что оценивается некоторое ограниченное подмножество вариантов, выбор которых производится некоторым случайным образом. Решение задачи календарного планирования методом Монте-Карло можно рассматривать как некоторую задачу статистического моделирования производственного процесса. Метод Монте-Карло имеет ограниченное применение, так как может потребовать перебора и оценки достаточно большого количества вариантов.

В последнее время к решению задач календарного планирования стала привлекаться теория массового обслуживания. Такая возможность появилась в связи с развитием специальной теории очередей с приоритетом. Однако если в задачах массового обслуживания поток требований на обслуживание является свободным процессом, то в задачах календарного планирования требования поступают в детерминированном порядке. Вместе с тем при прохождении требований (партии деталеопераций) через большое количество обрабатывающих устройств (производственных ячеек) происходят задержки в обслуживании, и поступление требования на следующее обрабатывающее устройство может быть рассмотрено как случайное событие. В таком плане эта связь теории расписаний с задачами теории очередей с приоритетом обслуживания может быть использована как средство приближенного решения теории расписаний.

Многие задачи календарного планирования относятся к классу задач, для которых трудна конкретная аналитическая постановка, неярко выражена величина критерия эффективности и отсутствуют эффективные алгоритмы численного решения. Последнее связано с тем, что минимизируемые функции комбинаторных задач лежат не в непрерывной области переменных, а на различных дискретных перестановках элементов. Следовательно, применение приближенных методов, основанных на сочетании аналитических принципов и моделировании календарных планов с использованием правил предпочтительности, является наиболее перспективным направлением практического решения данного класса задач.

Среди приближенных методов различают большую группу аналитико-приоритетных методов. В данных методах имеется математическая модель с соответствующей функцией - критерием, что позволяет приблизить решение к оптимальному, тогда как в эвристических методах такая функция отсутствует, либо имеется в неявно выраженной форме или же задается как локальная функция приоритета. Эвристические методы строятся на использовании установленных свойств и приемов решения задач других смежных групп, а также интуитивных свойств и приемов поиска.

2. Примеры решения основных задач календарного планирования

2.1 Задача Джонсона о двух станках

Рассмотрим задачу последовательной обработки на двух машинах N различных деталей, если известно время Ai и Bi обработки i-й детали на соответствующих машинах.

Очевидно, что первая машина будет загружена полностью, но вторая может периодически оказываться в состоянии простоя. Попытаемся найти порядок обработки, минимизирующий время простоя второй машины и тем самым сокращающий общее время обработки деталей.

Если обозначить через Xi - время простоя в ожидании i-й детали, то:

A1

X1 + X2 = max(A1 + A2 - B1, A1)

X1 + X2 + X3 = max(A1 + A2 +A3 - B1 - B2, A1 + A2 - B1, A1)

?Xi = max(?Ai - ?Bi)

Если обозначить через F(t, Ak, Bk/k=1..N) - суммарное время обработки N деталей при условии, что вторая машина включается с задержкой t и используется оптимальный порядок обработки, то c учетом принципа оптимальности (независимо от выбора начальной детали порядок выбора последующих должен быть оптимальным) имеем:

F(t, Ak, Bk/k = 1..N) = min(Ai + F(Bi + max(t-Ai,0),Ak,Bk=1..N,k?i))

Если после i-й детали при оптимальном порядке обрабатывается j-я, то:

F(t, Ak, Bk/k=1..N) = Ai + Aj + F(tij, Ak, Bk/k=1..N; k?i,j)

где:

tij = Bi + max[Bj + max(t-Aj,0) - Aj,0] = Bi + Bj - Ai - Aj + max[t, max(t,max(Aj - Ai - Bj,Aj))]

Если:

max(Ai + Aj - Bi,Ai) < max(Aj + Ai - Bj, Aj),

то сначала разумнее обрабатывать j-ю деталь.

Можно показать, что указанное условие необходимости перестановки эквивалентно условию:

min(Aj, Bi) < min(Ai, Bj)

Соответственно ищем среди всех значений Ai и Bi наименьшее.

Если найденное значение совпадает с некоторым Ai, то i-ю деталь ставим на обработку первой; если оно совпадает с некоторым Bi, то последней. Эту процедуру повторяем для всех остальных деталей.

Пример. Пусть информация о времени обработки задана таблицей:

Табл. 1

2	3
8	3
4	6
9	5
6	8
9	7

Минимальное из значений соответствует A1: 1-ая деталь обрабатывается первой.

Табл. 2

2	3
-	-
-	-
-	-
-	-
-	-

Минимальное из значений равно 3 и соответствует B2: 2-ая деталь обрабатывается последней.

Табл. 3

2	3
-	-
-	-
-	-
-	-
8	3

Минимальное из значений соответствует A3: 3-ая деталь обрабатывается первой.

Табл. 4

2	3
4	6
-	-
-	-
-	-
8	3

Минимальное из значений равно 5 и соответствует B4: 4-ая деталь обрабатывается последней.

Табл. 5

2	3
4	6
-	-
-	-
9	5
8	3

Минимальное из значений соответствует A5: 5-ая деталь обрабатывается первой.

Табл. 6

2	3
4	6
6	8
-	-
9	5
8	3

Минимальное из значений равно 7 и соответствует B6: 6-ая деталь обрабатывается последней.

Табл. 7

2	3
4	6
6	8
9	7
9	5
8	3

Табл. 8

2	3
4	6
6	8
9	7
9	5
8	3

max(2 , 2 + 8 - 3 , 2 + 8 + 4 - 3 - 3 , 2 + 8 + 4 + 9 - 3 - 3 - 6 , 2 + 8 + 4 + 9 + 6 - 3 - 3 - 6 - 5 , 2 + 8 + 4 + 9 + 6 + 9 - 3 - 3 - 6 - 5 - 8 ) = max(2, 7, 8, 11, 12, 13) = 13

Время простоя при оптимальной перестановке равно:

max(2 , 2 + 4 - 3 , 2 + 4 + 6 - 3 - 6 , 2 + 4 + 6 + 9 - 3 - 6 - 8 , 2 + 4 + 6 + 9 + 9 - 3 - 6 - 8 - 7 , 2 + 4 + 6 + 9 + 9 + 8 - 3 - 6 - 8 - 7 - 5 ) = max(2, 3, 3, 4, 6, 9) = 9

2.2 Задача о назначениях

Задание. Рассматривается вычислительная система состоящая из n вычислительных машин. Имеется n задач. Задана матрица T определяющая время решения i-й задачи на j-м машине. Задачи решаются одновременно с некоторого момента t0. Найти такое распределение задач по вычислительным машинам, чтобы общее время решения всех задач было бы минимальным при условии что на одной машине может решаться только одна задача.

Решение. Исходная матрица имеет вид:

Табл. 9

5	5	M	2	2
7	4	2	3	1
9	3	5	M	2
7	2	6	7	8

Для устранения дисбаланса добавляем дополнительные строки.

1. Проводим редукцию матрицы по строкам. В связи с этим во вновь полученной матрице в каждой строке будет как минимум один ноль.

Табл. 10

3	3	M	0	0	2
6	3	1	2	0	1
7	1	3	M	0	2
5	0	4	5	6	2
0	0	0	0	0	0

Затем такую же операцию редукции проводим по столбцам, для чего в каждом столбце находим минимальный элемент:

Табл. 11

3	3	M	0	0
6	3	1	2	0
7	1	3	M	0
5	0	4	5	6
0	0	0	0	0
0	0	0	0	0

После вычитания минимальных элементов получаем полностью редуцированную матрицу.

2. Методом проб и ошибок проводим поиск допустимого решения, для которого все назначения имеют нулевую стоимость.

Табл. 12

3	3	M	[0]	[-0-]
6	3	1	2	[-0-]
7	1	3	M	[-0-]
5	[0]	4	5	6
[-0-]	[-0-]	[-0-]	[-0-]	[0]

Поскольку расположение нулевых элементов в матрице не позволяет образовать систему из 5-х независимых нулей (в матрице их только 3), то решение недопустимое.

3. Проводим модификацию матрицы. Вычеркиваем строки и столбцы с возможно большим количеством нулевых элементов: строку 5, столбец 5, строку 1,столбец 2.

Получаем сокращенную матрицу:

Табл. 13

3	3	M	0	0
6	3	1	2	0
7	1	3	M	0
5	0	4	5	6
0	0	0	0	0

Минимальный элемент сокращенной матрицы (1) вычитаем из всех ее элементов:

Табл. 14

3	3	M	0	0
5	3	0	1	0
6	1	2	M	0
4	0	3	4	6
0	0	0	0	0

Затем складываем минимальный элемент с элементами, расположенными на пересечениях вычеркнутых строк и столбцов:

Табл. 15

3	4	M	0	1
5	3	0	1	0
6	1	2	M	0
4	0	3	4	6
0	1	0	0	1

1. Проводим редукцию матрицы по строкам.

В связи с этим во вновь полученной матрице в каждой строке будет как минимум один ноль.

Табл. 16

3	4	M	0	1	0
5	3	0	1	0	0
6	1	2	M	0	0
4	0	3	4	6	0
0	1	0	0	1	0

Затем такую же операцию редукции проводим по столбцам, для чего в каждом столбце находим минимальный элемент:

Табл. 17

3	4	M	0	1
5	3	0	1	0
6	1	2	M	0
4	0	3	4	6
0	1	0	0	1
0	0	0	0	0

После вычитания минимальных элементов получаем полностью редуцированную матрицу.

2. Методом проб и ошибок проводим поиск допустимого решения, для которого все назначения имеют нулевую стоимость.

Табл. 18

3	4	M	[0]	1
5	3	[0]	1	[-0-]
6	1	2	M	[0]
4	[0]	3	4	6
[0]	1	[-0-]	[-0-]	1

В результате получаем эквивалентную матрицу Сэ:

Табл. 19

3	4	M	0	1
5	3	0	1	0
6	1	2	M	0
4	0	3	4	6
0	1	0	0	1

4. Методом проб и ошибок определяем матрицу назначения Х, которая позволяет по аналогично расположенным элементам исходной матрицы (в квадратах) вычислить минимальную стоимость назначения.

Табл. 20

3	4	M	[0]	1
5	3	[0]	1	[-0-]
6	1	2	M	[0]
4	[0]	3	4	6
[0]	1	[-0-]	[-0-]	1

Cmin = 2 + 2 + 2 + 2 + 0 = 8

2.3 Задача о замене оборудования

Известно, что проблема замены старого парка машин новыми, устаревших орудий -- современными -- одна из основных проблем индустрии.

Оборудование со временем изнашивается, стареет физически и «морально»; в процессе эксплуатации либо падает производительность оборудования, либо растут эксплуатационные расходы, либо и то и другое. Поэтому задача о замене оборудования весьма актуальна.

Найти оптимальную стратегию эксплуатации оборудования на период продолжительностью 6 лет, если годовой доход r(t) и остаточная стоимость S(t) в зависимости от возраста заданы в таблице, стоимость нового оборудования равна P = 10, а возраст оборудования к началу эксплуатационного периода составлял 1 год.

Табл. 21

T	0	1	2	3	4	5	6
r(t)	8	8	7	7	6	6	5
S(t)	10	7	6	5	4	3	2

Решение:

I этап. Условная оптимизация (k = 6,5,4,3,2,1).

Переменной управления на k-м шаге является логическая переменная, которая может принимать одно из двух значений: сохранить (С) или заменить (З) оборудование в начале k-го года.

1-й шаг: k = 6. Для 1-го шага возможные состояния системы t = 1,2,3,4,5,6, а функциональные уравнения имеют вид:

F6(t) = max(r(t), (C); S(t) - P + r(0), (З ) )

F6(1) = max(8 ; 7 - 10 + 8) = 8 (C)

F6(2) = max(7 ; 6 - 10 + 8) = 7 (C)

F6(3) = max(7 ; 5 - 10 + 8) = 7 (C)

F6(4) = max(6 ; 4 - 10 + 8) = 6 (C)

F6(5) = max(6 ; 3 - 10 + 8) = 6 (C)

F6(6) = max(5 ; 2 - 10 + 8) = 5 (C)

2-й шаг : k = 5. Для 2-го шага возможные состояния системы t = 1,2,3,4,5, а функциональные уравнения имеют вид:

F5(t) = max(r(t) + F6(t+1) ; S(t) - P + r(0) + F6(1))

F5(1) = max(8 + 7 ; 7 - 10 + 8 + 8) = 15 (C)

F5(2) = max(7 + 7 ; 6 - 10 + 8 + 8) = 14 (C)

F5(3) = max(7 + 6 ; 5 - 10 + 8 + 8) = 13 (C)

F5(4) = max(6 + 6 ; 4 - 10 + 8 + 8) = 12 (C)

F5(5) = max(6 + 5 ; 3 - 10 + 8 + 8) = 11 (C)

3-й шаг : k = 4. Для 3-го шага возможные состояния системы t = 1,2,3,4, а функциональные уравнения имеют вид:

F4(t) = max(r(t) + F5(t+1) ; S(t) - P + r(0) + F5(1))

F4(1) = max(8 + 14 ; 7 - 10 + 8 + 15) = 22 (C)

F4(2) = max(7 + 13 ; 6 - 10 + 8 + 15) = 20 (C)

F4(3) = max(7 + 12 ; 5 - 10 + 8 + 15) = 19 (C)

F4(4) = max(6 + 11 ; 4 - 10 + 8 + 15) = 17 (C/ З )

4-й шаг : k = 3. Для 4-го шага возможные состояния системы t = 1,2,3, а функциональные уравнения имеют вид:

F3(t) = max(r(t) + F4(t+1) ; S(t) - P + r(0) + F4(1))

F3(1) = max(8 + 20 ; 7 - 10 + 8 + 22) = 28 (C)

F3(2) = max(7 + 19 ; 6 - 10 + 8 + 22) = 26 (C/ З )

F3(3) = max(7 + 17 ; 5 - 10 + 8 + 22) = 25 ( З )

5-й шаг : k = 2. Для 5-го шага возможные состояния системы t = 1,2, а функциональные уравнения имеют вид:

F2(t) = max(r(t) + F3(t+1) ; S(t) - P + r(0) + F3(1))

F2(1) = max(8 + 26 ; 7 - 10 + 8 + 28) = 34 (C)

F2(2) = max(7 + 25 ; 6 - 10 + 8 + 28) = 32 (C/ З )

6-й шаг : k = 1. Для 6-го шага возможные состояния системы t = 1, а функциональные уравнения имеют вид:

F1(t) = max(r(t) + F2(t+1) ; S(t) - P + r(0) + F2(1))

F1(1) = max(8 + 32 ; 7 - 10 + 8 + 34) = 40 (C)

Результаты вычислений по уравнениям Беллмана Fk(t) приведены в таблице, в которой k - год эксплуатации, а t - возраст оборудования.

Табл. 22

k / t	1	2	3	4	5	6
1	40	0	0	0	0	0
2	34	32	0	0	0	0
3	28	26	25	0	0	0
4	22	20	19	17	0	0
5	15	14	13	12	11	0
6	8	7	7	6	6	5

В таблице выделено значение функции, соответствующее состоянию (З) - замена оборудования.

II этап. Безусловная оптимизация (k = 6,5,4,3,2,1)

Безусловная оптимизация начинается с шага при k = 1. Максимальной возможный доход от эксплуатации оборудования за годы с 1-го по 7-й составляет F1(1) = 40.

Этот оптимальный выигрыш достигается, если на первом году не производить замены оборудования.

К началу 2-го года возраст оборудования увеличится на единицу и составит:

t2 = t1 + 1 = 1 + 1 = 2.

Безусловное оптимальное управление при k = 2, x2(2) = (C/З), т.е. для получения максимума прибыли за оставшиеся годы необходимо в этом году провести замену оборудования.

К началу 3-го года возраст оборудования увеличится на единицу и составит:

t3 = t2 + 1 = 0 + 1 = 1.

Оптимальное управление при k = 3, x3(1) = (C), т.е. максимум дохода за годы с 3-го по 6-й достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.

К началу 4-го года возраст оборудования увеличится на единицу и составит:

t4 = t3 + 1 = 1 + 1 = 2.

Оптимальное управление при k = 4, x4(2) = (C), т.е. максимум дохода за годы с 4-го по 6-й достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.

К началу 5-го года возраст оборудования увеличится на единицу и составит:

t5 = t4 + 1 = 2 + 1 = 3.

Оптимальное управление при k = 5, x5(3) = (C), т.е. максимум дохода за годы с 5-го по 6-й достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.

К началу 6-го года возраст оборудования увеличится на единицу и составит:

t6 = t5 + 1 = 3 + 1 = 4.

Оптимальное управление при k = 6, x6(4) = (C), т.е. максимум дохода за годы с 6-го по 6-й достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.

Таким образом, за 6 лет эксплуатации оборудования замену надо произвести в начале 2-го года эксплуатации.

Заключение

Изучив основные вопросы, связанные с календарным планированием, подведем итог.

Задачи календарного планирования отражают процесс распределения во времени ограниченного числа ресурсов для выполнения проекта, состоящего из заданного множества взаимосвязанных работ.

На сегодняшний день они широко используются в таких областях как строительство, военная промышленность, разработка программного обеспечения и т.д. Кроме того, данная задача представляет интерес с математической точки зрения, так как для решения задач календарного планирования привлекаются разнообразные методы прикладной математики (линейного, нелинейного, динамического программирования и др.).

Задачи календарного планирования представляет собой сложную комбинаторную задачу, имеющую множество решений, среди которых необходимо найти решение, оптимальное в смысле некоторого критерия. Данная задача может быть решена точно или приближенно, в соответствии с этим и методы ее решения делятся на точные и приближенные.

В работе были рассмотрены основные задачи календарного планирования: задача Джонсона о двух станках, задача о назначениях, задача о замене оборудования.

Литература

1. Л.В. Михайлова.- М-: ИТЦ МАТИ, 2002. Учебное пособие - С. 14-17. Формирование и оперативное управление производственными системами на базе поточно-группового производства в автоматизированном режиме.

2. В.А. Колемаев.- М: Юнити-Дана, 2007. Учебник - С. 297-298. Математические методы и модели исследования операций.

3. Л.В. Михайлова.- М-: ИТЦ МАТИ, 2002. Учебное пособие- С. 25-29. Формирование и оперативное управление производственными системами на базе поточно-группового производства в автоматизированном режиме.

4. Л.В. Михайлова.- М-: ИТЦ МАТИ, 2002. Учебное пособие - С. 36-38. Формирование и оперативное управление производственными системами на базе поточно-группового производства в автоматизированном режиме.

5. Д.И. Коган.- Н. Новнород-: ННГУ, 2004. - Учебное пособие С. 52-53.

6. Учебник / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов.- М-: Финансы и статистика, 2007. - С. 306-311. Математика в экономике: Математические методы и модели.

Размещено на Allbest.ru