Разработка математической модели оптимизации страховой прибыли в договорах пенсионного инвестиционного страхования

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Введение

На сегодняшний день в нашей стране практически половине населения необходимо добровольное пенсионное страхование и связано это с простой и очень понятной причиной: недостаточно эффективная государственная система. Весь мир страхуется, в постсоветские страны понимание необходимости данной финансовой услуги приходит медленнее. В развитых странах люди понимают, что это позволит им облегчить последствия неблагоприятных событий и опасностей, которые их окружают. Данное исследование призвано помочь страховым компаниям быстрее анализировать условия предоставления страховых услуг, а также предлагать конкретные решения в кратчайшие сроки.

В настоящее время не смолкают дискуссии на тему кризиса, санкций, негативных прогнозов для экономики Российской Федерации. Страховой рынок также активно обсуждается, потому что находится в прямой зависимости от состояния экономики. Но не надо забывать, что спад - это еще и возможность для развития новых направлений. Рынок страхования жизни продолжает формироваться: в 1 полугодии 2015 года по сравнению с аналогичным периодом 2014 года сократились взносы по страхованию заемщиков на 20,2 %. Активнее стали продаваться продукты с накопительной и инвестиционной составляющей: на 23,2 % и 57,6 % соответственно. В инвестициях всегда выигрывает тот, кто делает вложения на падающем рынке. Ожидания в отношении очередной реформы пенсионной системы привели к росту на 20 % негосударственного пенсионного страхования.

В связи с расширением рынка страхования, появления новых страховых организаций, возникает проблема в привлечении клиентов в эти компании. Чтобы привлечь клиента, можно попробовать рассчитывать страховые условия в кратчайшие сроки, а также предлагать страховые инвестиционные продукты с максимальной ставкой для клиента.

Таким образом целью работы стала разработка программного продукта, который мог бы быть легко внедрен в работу офисов продаж страховых услуг. При этом компьютерную модель нужно реализовать таким образом, чтобы потребовались минимальные затраты на внедрение этой модели и обучение пользователей работе с ней.

Исходя из поставленной цели, вытекают следующие задачи:

? вывести рекуррентное соотношение формирования резервов бонусов и страховых резервов;

? провести обзор методов решения задач оптимизации;

? определить прямую и обратную задачи линейного программирования;

? провести обзор алгоритмов решения задачи линейного программирования;

? решить задачи линейного программирования симплекс-методом;

? проанализировать результаты.

1. Математическая постановка задачи

1.1 Вывод рекуррентного соотношения формирования резервов бонусов и страховых резервов

При заключении контракта по страхованию пенсии страхователь уплачивает страховщику единовременно или в рассрочку определенную сумму денег. Страховщик, в свою очередь, обязуется периодически выплачивать лицу, в пользу которого заключен контракт, оговоренные суммы денег (пожизненно или в течение некоторого срока). Последовательность таких платежей принято называть страховым аннуитетом.

Поток платежей в добровольном пенсионном страховании есть ни что иное как поток дисконтированных платежей аннуитета. Современная стоимость аннуитета, состоящего из платежей S, …, S, находится как сумма дисконтированных платежей:

При условии, что платежи производятся в конце каждого года, а момент оценки приходится на начало аннуитета.

При страховании пенсий дело осложняется тем, что выплата сумм не является безусловной, она определяется вероятностью дожития пенсионера до соответствующего возраста. С учетом этого фактора современная величина одной выплаты пенсии через n лет в момент заключения контракта составит:

Где вероятность прожить n лет лица в возрасте х лет. Для последовательности выплат, представляющих страховой аннуитет, современная величина определяется как:

Рассмотрим схему страхования с участием прибыли, которая приставлена на рисунке 1.

Рисунок 1 - Страховая схема

Следуя данной схеме, рассмотрим задачу оптимального распределения прибылей для формирования бонусов в полисе пенсионного страхования с участием в прибыли. Т.к. сумма V складывается из страховых премий, то формирование этой суммы можно записать следующим образом:

,

где n - количество лет.

Исходя из соотношения выше можно записать рекуррентное соотношение:

 , (1)

Где:

x - возраст страхователя на момент заключения договора;

- величина годовой премии;

- резерв, вычисляемый непосредственно перед внесением k-й премии;

- дисконтирующий множитель;

- вероятность дожития до возраста (x+k+1) при условии дожития до возраста (x+k).

Но так как мы имеем дело с инвестиционным страхованием, то кроме суммы страховых премий клиент должен получить еще и дополнительный бонус, назовем его u(k). Он формируется аналогично, но не из страховых премий, а из величины прибыли, полученной от вложенных в инвестиции средств , аналогично можно записать рекуррентное соотношения для резерва бонусов:

(2)

Где:

x - возраст страхователя на момент заключения договора; - величина прибыли, выделяемая на формирование бонусов; - резерв бонусов на начало (k+1)-го года; - дисконтирующий множитель;

- вероятность дожития до возраста (x+k+1) при условии дожития до возраста (x+k).

Складывая оба рекуррентных соотношения получим:

 (3)

Где: x - возраст страхователя на момент заключения договора; - величина годовой премии; - резерв, вычисляемый непосредственно перед внесением k-й премии; - величина прибыли, выделяемая на формирование бонусов; - резерв бонусов на начало (k+1)-го года; - дисконтирующий множитель; - вероятность дожития до возраста (x+k+1) при условии дожития до возраста (x+k).

В случае расторжения договора будем считать, что выкупная сумма составляет определенный процент (100-r%) от текущего резерва. Тогда потери страхователя в случае расторжения договора в начале k+1-го года составят r*.

Из условия (2) можно следующим образом выразить величину резерва бонусов u(k):

Следовательно, вектор резерва u[u(1), u(2),…,u(n)] линейно выражается через вектор c=[]. Перед нами стоит задача минимизации выплат .

Введем еще одно условие - условие продолжения договора на k+1 год:

Модель, реализующая расчеты для нахождения решения, организована следующим образом.

Задача будет решаться для модельного примера - договора пенсионного страхования для человека в возрасте 40 лет (x=40), пенсионный возраст 60 лет (m=60-х), окончание срока страхования n=15.

Используемые соотношения описаны выше.

1.2 Обзор методов решения задач оптимизации

Для решения задачи минимизации существует множество методов оптимизации. Наша задача на минимум, так как нам надо удержать клиента минимальными затратами на бонусы. Но одновременно с этим нам нужно максимизировать прибыль для компании-страховщика. Так как у нашей задачи есть ограничения в виде условия продления договора, то нужно исследовать методы условной оптимизации. Основных методов минимизации функции многих переменных существует несколько, в данной работе рассматриваются следующие методы:

1. Общая задача линейного программирования.

2. Метод потенциалов.

3. Метод проекции градиента.

4. Комплексный метод Бокса.

Общая задача линейного программирования.

Определим задачу линейного программирования (ЗЛП) в стандартной форме (1):

Такая задача может быть решена несколькими способами:

1) Симплекс-метод.

2) Метод эллипсоидов.

3) Метод внутренних точек.

Однако метод эллипсоидов считается неперспективным в виду большой вычислительной сложности. Метод внутренний точек, однако алгоритмы решения таким способом довольно трудоемки. Оптимальным выбором можно считать Симплекс-метод, он обладает неплохой вычислительной сложностью, а также хорошо изучен.

Определение. Любой вектор x=(x1,…,xn)будем называть решением задачи (1). Решение называется допустимым, если оно удовлетворяет ограничениям задачи (1). Множество допустимых решений задачи (1) обозначим через X. допустимое решение x* называется оптимальным, если оно реализует максимум целевой функции на множестве всех допустимых решений, т.е. Z(x*)=maxZ(x), x€X.

Определение. Решение x0 =(x01,…,x0n+m), удовлетворяющее ограничениям-равенствам задачи (2), называется базисным, если система столбцов {Aj |jЃё J(x0)}матрицы (AIm) линейно независима.

Нетрудно видеть, что базисное решение x0-решение системы уравнений (J):

Поскольку существует конечное число линейно независимых систем, составленных из столбцов матрицы (AIm), то число базисных решений конечно. Перебирая системы такого вида, можно найти все базисные решения.

Для базисных допустимых решений будем использовать аббревиатуру БДР. Пусть - множество допустимых решений задачи (2). Множествопредставляет собой многогранное множество в Em+n. Ограниченное множество X называется многогранником.

Определение. Решение x0Ѓё X называется крайней точкой (вершиной) множества X, если не существует таких различных решений x',x''Ѓёи такого числа лЃё (0,1) что решение x0 представимо в виде x0=лx' + (1-л)x''.

Для того чтобы решение x0Ѓё X было БДР, необходимо и достаточно, чтобы оно являлось крайней точкой множества X.

Перебирая крайние точки, найдем оптимальное решение. Таков общий смысл симплекс-метода.

Двойственная задача линейного программирования.

Каждой задаче ЛП можно поставить в соответствие другую задачу ЛП, называемую двойственной (2):

Теорема 1. Обе задачи (1) и (2) взаимодвойственны, то есть двойственной к задаче (2) является задача (1).

Наша задача на минимум (2), так как нам надо удержать клиента минимальными затратами на бонусы. Тогда двойственная к ней, по теореме 1, является задача (1). Назовем нашу задачу прямой задачей, а задачу (1) - двойственной.

Теорема двойственности. Задача (1) имеет решение тогда и только тогда, когда имеет решение задача (2). При этом, значение данных задач совпадают.

Таким образом, для решения проблемы данной работы будет использована задача линейного программирования.

Метод потенциалов.

Метод потенциалов является модификацией симплекс-метода решения задачи линейного программирования применительно к транспортной задаче. Он позволяет, отправляясь от некоторого допустимого решения, получить оптимальное решение за конечное число итераций. Общая схема отдельной итерации такова. По допустимому решению каждому пункту задачи сопоставляется число, называемое его предварительным потенциалом. Пунктам Аi соответствуют числа ui, пунктам Bj - числа vj. Они выбираются таким образом, чтобы их разность на k-й итерации была равна Сij - стоимости перевозки единицы продукции между пунктами Аi и Вj:

vj[k] - ui[k] Cij, i 1, ..., m; j 1, …, п.

Если разность предварительных потенциалов для каждой пары пунктов Аi, Вj не превосходит Сij, то полученный план перевозок является решением задачи. В противном случае указывается способ получения нового допустимого плана, связанного с меньшими транспортными издержками. За конечное число итераций находится оптимальный план задачи.

Метод проекции градиента.

В качестве начальной выбирается некоторая точка допустимой области G. Если х[0] - внутренняя точка множества G (рисунок 2), то рассматриваемый метод является обычным градиентным методом:

x[k+l] x[k] -akf'(x[k]), k 0, 1, 2, ...,

градиент целевой функции f(х) в точке x[k].

После выхода на границу области G в некоторой граничной точке х[k] , k 0, 1, 2,..., движение в направлении антиградиента -f'(х[k]) может вывести за пределы допустимого множества (рисунок 2). Поэтому антиградиент проецируется на линейное многообразие М, аппроксимирующее участок границы в окрестности точки х[k]. Двигаясь в направлении проекции вектора -f'(x[k]) на многообразие М, отыскивают новую точку х[k+1], в которой f(х[k+1]) f(x[k]), принимают х[k+1] за исходное приближение и продолжают процесс.

Рисунок 2 - Геометрическая интерпретация метода проекции градиента

Комплексный метод Бокса

Этот метод представляет модификацию метода деформируемого многогранника и предназначен для решения задачи нелинейного программирования с ограничениями-неравенствами. Для минимизации функции n переменных f(x) в n-мерном пространстве строят многогранники, содержащие q > n+1 вершин. Эти многогранники называют комплексами, что и определило наименование метода.

Для задачи, рассматриваемой в данной работе лучше всего подойдет общая задача линейного программирования. Потому что метод потенциалов используется для решения транспортной задачи линейного программирования, которую нельзя применить для нашей задачи. Метод проекции градиента так же было решено не использовать ввиду того что этот метод сложнее в программной реализации. Комплексный метод Бокса используется для решения задачи нелинейного программирования, и его использование нецелесообразно в данном случае, ведь стоит задача минимизации линейной функции:

Выходит, что для такой задачи можно сформулировать задачу линейного программирования. Стандартной задачей линейного программирования называется задача нахождения минимума линейной целевой функции (линейной формы) вида:

Необходимо проанализировать данную проблему, сформулировать ее в виде задачи линейного программирования. Для нахождения решения следует построить модель расчета оптимального распределения прибылей и дать оценку решению, полученному на основании данной модели.

1.3 Определение прямой и обратной задач линейного программирования

Будем искать оптимальные наборы , минимизируя линейную функцию apv(c), где:

Где: - вероятность дожития до возраста x+k+1

- коэфициент дисконтирования. Данная формула выводится из определения страхового аннуитета.

При условиях:

Где - величина годовой премии;

- резерв, вычисляемый непосредственно перед внесением k-й премии;

- величина прибыли, выделяемая на формирование бонусов;

- резерв бонусов на начало (k+1)-го года;

- дисконтирующий множитель;

- вероятность дожития до возраста (x+k+1) при условии дожития до возраста (x+k).

Используя выражения (4), (5), (6) и формулу:

для расчета резервов. По умолчанию будем учитывать условие неотрицательности для . Ведь есть ни что иное как величина прибыли, выделяемая на формирование дополнительного бонуса, который, по условиям задачи уменьшаться не может. Таким образом получаем задачу:



Решать полученную задачу будем для модельного примера пенсионного страхования для x=40, срок выплаты по условиям дополнительного пенсионного страхования n=20 и величине годовой премии G=3000. Стоит отметить что оптимальным выбором срока выплаты пенсии является 15-25 лет, такие данные могут быть выбраны в виду среднего возраста дожития, который в нашей стране на данный момент постепенно увеличивается.

Построим двойственную задачу линейного программирования по такой же схеме. Исходя из определения двойственной задачи линейного программирования, будем иметь функцию которую мы должны максимизировать, чтобы сделать условия страхования удобными для компании. Также, исходя из того же определения можно составить следующее условие:

Граничные условия оставим теми же, в результате получим следующую задачу:



Таким образом можно приступить к нахождению решения общей задачи линейного программирования.

2. Реализация компьютерной модели

2.1 Обзор алгоритмов решения задачи линейного программирования

Как было сказано выше, существует несколько методов решения общей задачи линейного программирования, а именно:

1) Симплекс-метод.

2) Метод эллипсоидов.

3) Метод внутренних точек.

Разберем подробнее каждый из них.

Симплекс-метод. Симплекс-метод удивительно эффективен на практике, но в 1972 Кли и Минти привели пример, в котором симплекс-метод перебирал все вершины симплекса, что показывает экспоненциальную сходимость метода в худшем случае. С тех пор для каждого варианта метода был найден пример, на котором метод вел себя исключительно плохо.

Последовательность вычислений симплекс-методом можно разделить на две основные фазы:

1) нахождение исходной вершины множества допустимых решений;

2) последовательный переход от одной вершины к другой, ведущий к оптимизации значения целевой функции.

Симплекс-метод ? алгоритм решения оптимизационной задачи линейного программирования путём перебора вершин выпуклого многогранника в многомерном пространстве.

Сущность метода: построение базисных решений, на которых монотонно убывает линейный функционал, до ситуации, когда выполняются необходимые условия локальной оптимальности.

Метод эллипсоидов. Метод эллипсоидов - алгоритм нахождения точки, лежащей в пересечении выпуклых множеств.

Если в задаче линейного программирования удалось построить шар, содержащий искомое решение, то она может быть решена методом эллипсоидов. Для этого вначале находим какую-нибудь точку u внутри шара, удовлетворяющую ограничениям задачи. Проводим через неё гиперплоскость f(x)<f(u), где f -- целевая функция, и находим точку в пересечении исходных и новой гиперплоскостей (начиная с текущего эллипсоида). С новой найденной точкой проделываем то же самое. Процесс сходится к оптимальному решению с экспоненциальной скоростью (поскольку с этой скоростью убывает объём эллипсоида).

Однако метод эллипсоидов очень сложен и, в некоторых задачах может потребовать весьма большого количества итераций, которые будут по своей структуре гораздо сложнее итераций в симплекс-методе.

Метод внутренних точек. Вычислительный процесс в алгоритмах внутренних точек происходит в относительной внутренности допустимого множества. Кроме того, вырабатываемая последовательность приближений сходится к относительно внутренней точке множества оптимальных решений. Основной вычислительно проблемой в реализации алгоритма является решение на каждой итерации вспомогательной задачи поиска направления улучшения решения. Метод внутренних точек довольно сложен в реализации и классический метод внутренних точек, предложенный алгоритм, исследуемый Хачияном, на практике показал невысокую скорость сходимости. В результате сравнения методов решения задач линейного программирования был выбран симплекс-метод из-за своей простоты, а также неплохой вычислительной скорости.

2.2 Решение задачи линейного программирования симплекс-методом

Задача ЛП в общем виде может быть записана так:

(c, x) ? max

Ax = b,

где c =(c1,c2,...,cn)T - мерный вектор-столбец коэффициентов; x =(x1,x2,...,xn)T - мерный вектор-столбец неизвестных; A =(aij),m Ч n - матрица коэффициентов; B =(b1,b2,...,bm) - вектор-столбец коэффициентов.

В этом случае мы имеем дело с неотрицательными решениями системы уравнений.

Любая задача линейного программирования с помощью элементарных преобразований может быть приведена к каноническому виду.

F(x)=c1x1+c2x2+...+cnxn ->max(min)

a11x1+a12x2+...+a1nxn +х n +1 = b1

a21x1+a22x2+...+a2nxn+х n +2 = b2

........................................................

am1x1+am2x2+...+amnxn+х n +т = bm

xi?0 (i=1..n),

где F(x) - целевая функция; х1, х2,…, хn - базисные переменные; остальные переменные называются свободными.

Задача имеет m+n ограничений, среди них m ограничений типа равенства и n ограничений неотрицательности (таблица 1). По определению крайняя точка удовлетворяет n линейно-независимым ограничениям задачи как точным равенствам.

Таблица 1 - Система ограничений и целевая функция

Базисные переменные	Свободные члены	X 1	X 2	…	X n	X n+1	X n+2	…	Xn+m
X n+1	b1	a 11	a 12	…	a 1n	1	0	…	0
X n+2	b2	a 21	a 22	…	a 2n	0	1	…	0
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
X n+m	b m	a m1	a m2	…	a mn	0	0	…	1
F(x)	0	-c1	-c2	…	-cn	0	0	…	0

Рассмотрим алгоритм перехода к следующим симплекс-таблицам:

Шаг 1. Выбираем ключевой столбец. Это столбец соответствующий минимально отрицательному (максимально положительному) элементу последней (индексной) строке, если отрицательных элементов в индексной строке нет, то план оптимальный.

Шаг 2. В ключевом столбце выбираются положительные коэффициенты, если таких нет, то задача не имеет решений;

Шаг 3. Выбираем ключевую строку. Среди выбранных коэффициентов столбца, для которых абсолютная величина отношения соответствующего свободного члена к этому элементу минимальна.

Ключевой элемент - это элемент, стоящий на пересечении ключевого столбца и ключевой строки;

Шаг 4. Базисная переменная из ключевой строки переводится в разряд свободных, а свободная переменная в ключевом столбце переводится в разряд базисных. Строится новая таблица;

Шаг 5. В новой таблице:

? все элементы ключевой строки делятся на ключевой элемент;

? все элементы ключевого столба равны нулю, за исключением ключевого элемента;

? столбец, у которого в ключевой строке имеется ноль, в новой таблице будет таким же;

? строка, у которой в ключевом столбце имеется ноль, в новой таблице будет такой же;

? в остальные клетки записывается результат преобразования элементов старой таблицы.

Рисунок 3 - Алгоритм симплекс-метода

Шаг 6. Переход к шагу 1.

Через конечное число итераций либо будет получено решение задачи линейного программирования, либо будет установлено, что решение неограниченно.

Алгоритм программы.

Рисунок 4 - Блок-схема симплекс-метода

Вычислительная процедура симплекс-метода является итерационным процессом. Если задача содержит несколько переменных и ограничений, то этот процесс очень громоздок. Во многие практические задачи входят десятки переменных и ограничений (иногда намного больше), и ясно, что неразумно решать эти задачи вручную. Симплекс-метод - это метод для электронно-вычислительных машин. Не случайно развитие теории линейного программирования совпало по времени с развитием электронно-вычислительных машин.

В качестве исходных данных будем использовать данные таблицы смертности за 2015-й год всего мужского населения. Годовой доход от инвестиций распределим в трех вариациях от 5% до 15% (рисунок 5):

1) по возрастанию,

2) по убыванию,

3) с биномиальным распределением.

Рисунок 5 - Годовая инвестиционная доходность

Имея начальные данные можно рассчитать резерв премий (рисунок 6), накопленный за все время действия договора.

Рисунок 6 - Расчет резерва премий

А также рассчитать резерв бонусов (рисунок 7).

Рисунок 7 - Расчет резерва бонусов

Далее можно строить симплекс-таблицу (рисунок 8).

Рисунок 8 - Симплекс-таблица

Также построим таблицу для обратной задачи (рисунок 9).



Рисунок 9 - Двойственная задача

Если прямую задачу можно решить встроенным методом «Поиск решения». То для решения двойственной задачи воспользуемся написанным макросом. Ниже мы разберем основную функцию макроса:

Sub main()

Sheets("Решение двойственной задачи задачи").Activate

reciprocal ? процедура, которая вычисляет обратную матрицу к исходной симплекс-таблице.

id_matr - процедура замены индексов в базисном решении.

Application.DisplayAlerts = False - команда, которая "запрещает" системе задавать лишние вопросы, например, уведомление об удалении листа.

Sheets("Двойственная задача задача").Delete - удаление листа с именем «Двойственная задача задача»

Application.DisplayAlerts = True ? команда, которая "разрешает" системе задавать лишние вопросы, например, уведомление об удалении листа.

Sheets("Решение двойственной задачи").Copy Before:=Sheets(9) - копирование листа №9.

Sheets("Решение двойственной задачи ").Name = "Двойственная задача" - переименование листа.

Sheets("Решение двойственной задачи").Activate - команда, дающая доступ к работе с данными, в листе «Решение двойственной задачи»

basic = Range("f10").Address

For i = Range("c3").Value + 1 To 2 * Range("c3").Value

Cells(8, Range(b).Column + i) = 0

Range(b).Offset(i - Range("c3").Value, -2).Value = i

Next i

Do While min(Range("g7:gx7")) < 0 _

And sign_f() = 0

iterator

Loop

If min(Range("g7:gx7")) >= 0 Then

Range(b).Offset(-4, 1).Value = find_result()

ElseIf Range(find_mindelta()).Offset(7 - 1, 0) < 0 _

And Range(find_mindelta()).Offset(7 - 2, 0) < 0 _

And Range(find_mindelta()).Offset(7 - 3, 0) < 0 Then

Range(b).Offset(-4, 1).Value = "Empty solution"

End If - решение двойственной задачи симплекс-методом

'Sheets("Решениепрямой").Select

solver_opt - вывод оптимального решения задачи

End Sub

2.3 Анализ результатов

Про анализируем результаты, которые у нас получились благодаря решенным задачам. Для анализа результатов воспользуемся следующими показателями:

1. Сумма бонуса.

2. Вектор прибылей компании.

3. Вектор величины прибыли, направленной на формирование бонусов.

4. Максимальная прибыль «max(y)» и минимальная величина прибыли, выделяемая на формирование бонусов «min(Ck)».

5. Минимальная прибыль «min(y)» и максимальная величина прибыли, выделяемая на формирование бонусов «max(Ck)».

Стоит заметить, что в каждой диаграмме на горизонтальной оси будет располагаться значение штрафа, а по вертикали одна из вышеперечисленных величин.

Рисунок 10 - Диаграмма, показывающая величину бонуса в зависимости от суммы штрафа

С линейным увеличением штрафа, получаем линейное уменьшение значения функции. Причем, с 13% штраф настолько высок, что бонус оказывает меньшее влияние на удержание клиента, чем сам штраф.

Рисунок 11 - Диаграмма, показывающая графики максимальных и минимальных прибылей компании и прибыли для бонусов клиенту

Минимальная прибыль компании «min(y)» и максимальная прибыль для клиента линейно падают «max(Ck)». Но максимальная прибыль «max(y)» для компании нелинейно возрастает на отрезке от 7% до 13% при практически нулевой прибыли для клиента «min(Ck)». Таким образом, можно сказать, что если не давать клиенту бонусы с прибыли, а лишь «пугать» его штрафом при разрыве договора, то прибыль компании будет резко возрастать. Однако таким образом привлечь новых клиентов вряд ли удастся. В таком случае лучше относиться к распределению бонусов лояльно и играть на количестве привлеченных клиентов.

Рисунок 12 - Диаграмма, показывающая соотношение прибылей компании в зависимости от штрафа

Как видно из графика, при повышенном штрафе для клиента первая прибыль компании практически не играет роли.



Рисунок 13 - Диаграмма, показывающая сравнение величин бонусов в зависимости от процентных ставок

Можно заметить, что угол наклона отличается. Причем, угол наклона у убывающей ставки меньше, чем у возрастающей, а у равновероятностного распределения лежит между двумя предыдущими. Таким образом, при одинаковом штрафе, суммарный бонус будет больше у возрастающей ставки, а минимальный бонус - у убывающей. Но при увеличении штрафа, уменьшается значение функции.

Рисунок 14 - Диаграмма, показывающая сравнение зависимости прибылей компании от величины штрафа

При возрастающей ставке вклад одной первой переменной выше и стабильней, чем при убывающей, т.е. бонус за первый год имеет большую значимость, целевая функция более зависима от первого бонуса. С 13% штраф настолько высок, что бонус оказывает минимальное влияние.

Таким образом, изменяя штраф и прогнозируя инвестиционный доход, мы имеем возможность гибко настраивать выплаты бонусов:

? при увеличении штрафа, уменьшаются бонусы. Но высокий штраф отталкивает клиентов. До удержания клиента, нужно его привлечь заманчивым предложением, а высокий штраф обычно не является заманчивым предложением. К тому же, при высоком штрафе, сама идея бонусов становится бессмысленной, так как сумма штрафа с определенного момента становится более тяжелой и влиятельной, чем сам бонус.

? инвестиционный доход прогнозировать крайне сложно, тем более если речь идет о долгосрочных перспективах. Но можно ожидать, что ставка будет колебаться вокруг 10% (±5%) в долгосрочной перспективе. В среднесрочной перспективе все-таки можно точнее прогнозировать изменение ставки.

Рассмотрим случай, когда в ближайшие 5 лет ставка будет расти. Тогда мы можем использовать одну из двух стратегий:

? увеличить штраф. При увеличении ставки увеличивается доход, а значит и бонус. Увеличивая штраф, мы уменьшим бонус до среднего значения бонусов, при этом сверхдоход оставим в фонде.

? уменьшить штраф. При увеличении ставки увеличивается доход, а значит и бонус. Уменьшая штраф, мы увеличим бонус, при этом доход останется на своем среднем уровне. Такая стратегия сильно увеличит привлекательность договора (пониженный штраф + повышенный 25 бонус), при этом инструмент удерживания клиента с помощью бонусов остается активным и работоспособным. А прибыль фонда, что немаловажно, остается стабильной.

Если рассматривать случай, когда в ближайшие 5 лет ставка будет падать, то мы можем увеличить штраф, с целью сохранения средней прибыли фонда. Это, конечно, негативно скажется на привлекательности договора, но спасет от непредвиденного уменьшения дохода, а может и от банкротства.

Заключение

рекуррентный градиент симплекс линейный

Данное исследование призвано помочь страховым компаниям быстрее анализировать условия предоставления страховых услуг, а также предлагать конкретные решения в кратчайшие сроки.

В связи с расширением рынка страхования, появления новых страховых организаций, возникает проблема в привлечении клиентов в эти компании. В связи с этим страховые условия должны рассчитываться в кратчайшие сроки, а также предлагать страховые инвестиционные продукты с максимальной ставкой для клиента.

В нашем исследовании, для решения проблемы минимизации функции использовался симплекс-метод, его удалось применить благодаря постановке задачи линейного программирования.

Для решения задачи минимизации существует множество методов оптимизации. Наша задача на минимум, так как нам надо удержать клиента минимальными затратами на бонусы. Но одновременно с этим нам нужно максимизировать прибыль для компании-страховщика. Так как у нашей задачи есть ограничения в виде условия продления договора, то нужно исследовать методы условной оптимизации. Основных методов минимизации функции многих переменных существует несколько, в данной работе рассматриваются следующие методы: общая задача линейного программирования; метод потенциалов; метод проекции градиента; комплексный метод Бокса и др.

В результате, можно использовать данный инструмент для определения бонусов, с целью удержания клиентов и препятствованию досрочного расторжения договора.

Обладая описанными инструментами, мы можем гибко контролировать размер бонусов клиентам и прибыли фонда. Но немаловажным является и само понимание максимального и минимального дохода фонда. Ведь это важнейший показатель, используемый для бюджетирования, прогнозирования портфеля, определения дальнейшего развития компании и т.д.

Итогом данной работы стала компьютерная модель для расчета пенсионных страхований с участием прибыли. Эта модель может быть легко внедрена в точки продаж страховых продуктов без использования специфичных программных продуктов. Для внедрения потребуется лишь наличие программы для работы с электронными таблицами Microsoft Excel, рекомендуемая версия Microsoft Excel 2010.

Литература

1. Ашманов, С.А. Тимохов А.В. Теория оптимизации в задачах и примерах. // М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит. ? 1991, ? 448с.

2. Бондарев Б.В. Математические модели в страховании: учебное пособие / Б.В. Бондарев. Донецк, АПЕКС. ? 2002. ? 116.

3. Денисов Д.В. Актуарная математика: учебное пособие / Д.В. Денисов, Москва. ?2000г. ?101с.

4. Зоркальцев В.И. Алгоритмы внутренних точек в линейном программировании / В.И. Зоркальцев // Оптимизация, управление, интеллект. -- 1995. - № 1. - С. 20-37.

5. Сорокин Е.В. Инновации в страховании жизни: инвестиционное страхование / Е.В. Сорокин // Современная наука: проблемы и пути их решения. Сборник материалов международной научно-практической конференции - 2015 г. ? 546-548с.

Размещено на Allbest.ru