Математическое моделирование в электромеханике

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Описание математических моделей электрических машин в статическом и динамическом режиме

2. Математическая модель обобщенного электромеханического преобразователя

3. Методы построения решений по математическим моделям

4. Инженерные методы решения задач математического моделирования

Заключение

Список литературы

Введение

Математическое моделирование является основой для проведения исследований практически во всех областях науки и техники. Соответственно не является исключением и такая наука как электромеханика. В электромеханике преимущественное значение имеет математическое моделирование, которое производится за счет современных достижений вычислительной техники, что позволяет заменить изучение сложного электромеханического преобразователя энергии относительно простой для практической реализации моделью. В настоящее время у ученых и инженеров имеется определенные инструменты вычислительной техники, которые позволяют облегчить математическое моделирование сложных систем. В электромеханике широко применяются такие программы как VisSim, Jigrein, Matlab Simulink. Однако, так же как для рабочего, не имеющего знаний основ сварочного производства нет смысла иметь дорогой сварочный аппарат, так и для расчетчика нет смысла иметь высокопроизводительные вычислительные инструменты без знаний теоретических основ математического описания электромеханических устройств. Поэтому, прежде всего необходимо рассмотреть теоретическое описание электрических, электромагнитных и механических процессов в электрических машинах, определить задачи, проблемы исследований и возможные допущения.

1. Описание математических моделей электрических машин в статическом и динамическом режиме

Любой электромеханический преобразователь можно рассматривать в установившемся и динамическом режиме. Модель в установившемся режиме, по сути, является частным видом динамической модели. И позволяет нам узнать характеристики электрической машины только в одной точке (как правило, номинальной), т.е. при строго заданных параметрах.

Процессы преобразования энергии в электрических машинах в установившихся режимах описываются общеизвестными комплексными уравнениями. Например, асинхронные двигатели с короткозамкнутым ротором при синусоидальном напряжении описываются следующим образом:

Где U, I1, I2 - соответствующие напряжения и токи фазы статора и ротора;I0, E0 - ток и ЭДС холостого хода; z1 и z2` - полные сопротивления обмоток статора и ротора; s - относительная частота вращения (скольжение), I2`r2`(1-s)/s - потери, эквивалентные полезной мощности на валу машины.

Откуда появились данные уравнения? Все дело в том, что асинхронный двигатель как и любая электрическая машина имеет свою схему замещения, которая достоверно описывает нам электрическую машину. И получается, что как и любую схему замещения, которая представлена у нас виде электрической цепи возможно с помощью записать уравнений по второму закону Киргофа.

Рис. 1 Схема замещения асинхронного двигателя

Геометрически полученные уравнения можно отобразить на комплексной плоскости, в этом случае получившийся график называется векторной диаграммой.

Рис. 2 Векторная диаграмма асинхронного двигателя

Принцип математического описания элекрических машин через векторные диаграммы получил широкое распространение за счет того, что он очень прост и применим. Однако нельзя забывать, что это всеголишь геометрическая запись комплексных алгебраических уравнений, пригодных для описания процессов в электрических машинах в установившемся режиме, т.е. они применимы для самого простейшего частного случая электромеханического преобразования энергии.

Слудующим шагом в развитии теории математического моделирования электромеханических устройств является создание математических моделей, описывающих динамические режимы. Динамические режимы возможно описать только с помощью дифференциальных уравнений. Первые работы в которых были описан математические модели для динамических режимов работы - это: 1) Моделирование синхронной машины Р.Парк и А.А. Горев(конец 20х годов 20го века).; 2) Дифференциальные уравнения трансформаторов Г.Н. Петров (начало 30х годов 20го века). Особое значение имели работы Г. Крона, который описам уравнение динамики для обобщенной электрической машины. Геометрических образом уравнений электромеханического преобразования энергии является модель простейшей электрической машины показанная на рис.3.

Рис. 3 Графическое представление модели простейшей электрической машины

Описание электрических машин через диференциальные уравнения началось с теории идеализировнной машины. Оно основывается на том, что за основу взята модель простейшая идеальной машины, которую в реальности получить невозможно. Однако накладывая на эту модель различные дополнительные ограничения можно достигать определенной точности расчетов.

2. Математическая модель обобщенного электромеханического преобразователя

В воздушном зазоре электрических машин всегда, наряду с основной гармонической составляющей вращающегося магнитного поля, присутствуют гармонические составляющие других порядков. Это обусловлено насыщением магнитопроводов, зубчатостью статора и ротора, дискретным распределением проводников вдоль длины окружности зазора и другими причинами.

Однако в большинстве практических случаев, главным образом при рас-смотрении силовых общепромышленных преобразователей энергии, ограничи-ваются учетом только основной гармонической составляющей, пренебрегая всеми остальными по причине их относительной малости. Таким образом, пе-реходят к изучению некоторой идеализированной машины, характеризуемой абсолютной симметрией (электрической, магнитной и пространственной), гладкими цилиндрическими поверхностями магнитопроводов статора и ротора, магнитной проницаемостью стальных участков ? и распределением МДС зазоре по гармоническому закону (так называемые «синусные обмотки»).

Модель идеализированной машины может быть получена на основе двух-фазной, трехфазной или m-фазной систем обмоток [1]. Однако двухфазная мо-дель является наиболее предпочтительной, так как в этом случае имеют место наименьшее число переменных, а, следовательно, и уравнений электромехани-ческого преобразования. Кроме того, структура последних упрощается, так как взаимоиндуктивность между взаимно-перпендиркулярными фазами равна ну-лю.

Таким образом, вместо изучения m-фазной в общем случае электрической машины целесообразно анализировать двухфазную эквивалентную математи-ческую модель. При таком переходе должны соблюдаться два условия:

- преобразование должно быть инвариантным по мощности;

- токи и напряжения должны быть преобразованы без нарушения исход-ных уравнений.

Следует иметь в виду, что при моделировании реальной машины такое преобразование является не совсем корректным, поскольку от числа фаз обмот-ки зависит гармонический состав МДС, создаваемый этой обмоткой.

Ввиду того что двухполюсная модель проще, а процессы в многополюсной машине могут быть сведены к процессам в двухполюсной машине, обычно мо-делирование осуществляют при p = 1.

Пространственная расчетная модель двухфазной двухполюсной идеализи-рованной электрической машины показана на рис. 4.

Здесь статорные и роторные обмотки ориентированы в пространстве так, что их оси совпадают с некоторыми взаимно-перпендикулярными осями u и ? . Ротор вращается со скоростью щ.

Таким образом, в представленной модели оси обмотки статора и ротора взаимно неподвижны.

Такое преобразование выполняется для устранения из уравнений так на-зываемых «периодических коэффициентов», появляющихся в математических моделях бесколлекторных вращающихся машин как результат непрерывного пространственного перемещения осей обмоток их статора и ротора. В уравне-ниях напряжений такие периодические коэффициенты встречаются в виде три-гонометрических функций вида sinи и cosи. В реальной машине угол и между осями обмоток статора и ротора непрерывно изменяется, в связи с чем уравне-ния, записанные в естественных (непреобразованных) координатных осях, со-держат в качестве множителей токов упомянутые периодические коэффициен-ты и не имеют аналитического решения.

Возникновение периодических коэффициентов в непреобразованной системе координат связано с тем, что процессы в статоре и роторе описываются уравнениями, составленными в разных координатных системах.

Следовательно, возникает необходимость приведения этих процессов к некоторой общей системе осей.

Принципиально, угловая скорость координатной системы щк может быть выбрана произвольной (система координат u и ? ). Однако в практике модели-рования нашли в основном применение две системы - б, в и d , q .

В системе координат б, в угловая скорость щк=0; в системе координат d , q угловая скорость щк= щ= щ1, где щ1- синхронная угловая скорость.

Неподвижную систему координат б, в применяют для исследований асинхронных машин, так как ротор у них полностью симметричен, а статор может обладать той или иной несимметрией.

Синхронные машины моделируют в основном в осях d , q , вращающихся синхронно с ротором, который обладает магнитной несимметрией, так как име-ет явнополюсную конструкцию.

Систему осей u,? применяют при моделировании машин с вращающи-мися ротором и статором.

Таким образом, при моделировании электрических машин с взаимно пе-ремещающимися осями обмоток для исключения периодических коэффициен-тов из их уравнений следует осуществлять преобразование к той системе коор-динат, которая жестко связана с несимметричным магнитопроводом.

В наиболее общем случае, когда координатная система вращается с про-извольной частотой (система u,? ), математическая модель идеализированной двухфазной машины имеет вид

где полные индуктивности обмоток статора и ротора

L1 ? M ? l1;;

M - взаимная индуктивность;

l1,l2 - индуктивность рассеяния;

u1, u 2 , i1 ,i2 - напряжения и токи соответствующих обмоток статора и ротора; r1 , r2 - активные сопротивления обмоток;

J - момент инерции ротора и приведенный к его частоте вращения момент инерции приводного механизма;

mc - момент сопротивления на валу; p - число пар полюсов.

Уравнения напряжений записаны для эквивалентной машины с фиктив-ными обмотками статора и ротора, вращающимися с угловой скоростью щk. Для сохранения принципа инвариантности мощности между реальной, вра-щающейся со скоростью щ, и эквивалентной моделью в уравнения, помимо соответствующих так называемых трансформаторных ЭДС вида dLdt i , введены ЭДС вращения вида L щ .

Представленная модель называется моделью обобщенной электрической машины, так как может быть сведена к конкретным типам известных электри-ческих машин.

Так, при щ=0 обобщенная машина превращается в статический электро-магнитный преобразователь - двухобмоточный трансформатор. При этом целе-сообразно для упрощения уравнений принять щk=0 и достаточно рассматривать процессы в одной паре обмоток по любой из осей:

Дифференциальные уравнения содержат только напряжения на первич-ной и вторичной обмотках; падения напряжений на активных сопротивлениях и трансформаторные ЭДС, обусловленные наличием взаимоиндуктивной связи между обмотками.

Асинхронную машину из обобщенной можно получить, если к обмоткам статора приложить двухфазную систему напряжений частотой f1 . Обмотки ротора при этом закорочены, т. е. u2 ? 0 , а угловая скорость равна 0.

Осуществляя преобразование к неподвижной системе координат б, в, по-лучаем математическую модель асинхронной машины с невращающимися об-мотками. Для этого в уравнениях обобщенной машины положим щк=0.

Модель синхронной машины можно получить, приложив к обмоткам ста-тора переменное напряжение, к одной из обмоток ротора - постоянное, а вто-рую обмотку закоротив. Переходя к системе осей d , q , вращающейся с угловой скоростью щк= щ1, и учитывая, что в синхронной машине щк= щ1, получаем

Для записи уравнений синхронной машины через потокосцепления про-изведем над последним матричным уравнением необходимые преобразования:

Полученная система уравнений, известная как уравнения Парка-Горева, применяется для моделирования как переходных, так и установившихся про-цессов синхронных явнополюсных машин.

В машинах постоянного тока в обмотке якоря протекает многофазный переменный ток ( f ? 0), преобразованный коллектором - механическим преобразователем частоты из постоянного (двигателем) или в постоянный (генера-тором) - ( f ? 0 ).

Машина постоянного тока может быть получена из обобщенной машины, если постоянный ток подвести к одной из обмоток статора, а обмотки ротора питать через преобразователь частоты, приведя многофазную систему к двух-фазной. При этом поле якоря будет вращаться в направлении, противополож-ном направлению вращения самого якоря. Так как здесь также выполняется ра-венство щ= щ1, то поле якоря неподвижно относительно обмотки возбуждения.

Вращающийся механический преобразователь частоты может быть заме-нен статическим преобразователем частоты на полупроводниковых или каких-либо других элементах. При этом принцип электромеханического преобразова-ния не изменится.

Модель коллекторной машины переменного тока отличается от описан-ной модели машины лишь тем, что обмотки статора и ротора запитываются пе-ременным током, а преобразователь частоты преобразовывает переменный ток частоты сети f1 в переменный ток частоты скольжения sf1 .

Математическая модель обобщенной машины имеет то обоснование, что процесс электромеханического преобразования энергии во всех электрических машинах независимо от их типа протекает принципиально одинаково.

Математическая модель содержит пять независимых переменных (напря-жения u1u , u 2 u , u1? ,u2? и момент сопротивления на валу машины mc ), пять за-висимых переменных (токи i1u , i2 u , i1? ,i2? и угловую скорость щ), а также коэффициенты перед зависимыми переменными (активные сопротивления, индук-тивности, взаимоиндуктивности и момент инерции J ), называемые параметра-ми. В зависимости от формы записи уравнений в качестве индуктивных пара-метров могут выступать соответствующие индуктивные сопротивления.

3. Методы построения решений по математическим моделям

Системы дифференциальных уравнений, полученные для конкретных ти-пов электрических машин, содержат в скрытом виде исчерпывающую инфор-мацию о всех режимах их работ. Для извлечения этой информации дифферен-циальные уравнения следует решить.

Основными методами решения таких уравнений являются аналитический, численный (с применением ЭВМ) и графоаналитический.

Аналитическое решение уравнений электромеханического преобразова-ния осуществляют классическим и операторным методами.

Классический метод заключается в получении точных решений, выра-женных через элементарные функции, путем интегрирования. При отыскании решений требуется сначала найти общее решение уравнения, а затем опреде-лить все постоянные по начальным условиям.

Операторный метод в некоторых случаях оказывается более предпочти-тельным, так как позволяет сразу найти решение уравнения, отвечающее задан-ным начальным условиям. Его преимущества, главным образом, проявляются по мере усложнения уравнений.

Аналитические методы решения применяются в тех случаях, когда диф-ференциальные уравнения линейны и содержат постоянные коэффициенты.

Для решения нелинейных уравнений иногда применяется графоаналити-ческий метод, позволяющий достаточно быстро отыскать наглядные решения. Однако моделирование процессов в многообмоточных машинах в особых ре-жимах их работы связано с необходимостью решения нелинейных дифферен-циальных уравнений высоких порядков, что может быть реализовано лишь численным методом с использованием ЭВМ.

4. Инженерные методы решения задач математического моделирования

В инженерной практике в настоящее время широко используются современные программные комплексы позволяющие моделировать сложные физические процессы. Для решения задач электропривода и электромеханики большую популярность сыскали программы MathCAD, Matlab Simulink, VisSim, Jigrein.

MathCAD - это система компьютерной алгебры из класса систем автоматизированного проектирования. Она отличается легкостью использования и применения, по сути являясь мощным калькулятором.

Matlab Simulink, VisSim, Jigrein - это визуальные языки программирования для моделирования динамических систем. Данные программы весьма похожи друг на друга, их интерфейс и работа связаны с созданием математической модели из блок схем. В умелых руках данные программы становятся очень хорошим инструментом. По существу получается, что инженеру необходимо просто графически записать дифференциальные уравнения описывающие математическую модель, а далее программа сама за счет математического ядра произведет расчет.

В своём реферате я приведу простой пример моделирования безреостатного пуска двигателя постоянного тока (ДПТ) в программе VisSim. Покажу пример расчета пускового тока и времени разгона двигателя. Схема замещения двигателя постоянного тока параллельного возбуждения представлена на рис. 5.

Рис. 5 Схема замещения двигателя постоянного тока параллельного возбуждения

Для начала необходимо не обходимо задать параметры моделируемой системы. В случае моделирования электродвигателя параметрами принимаются его конструктивные особенности: сопротивление и индуктивность обмоток (хотя они способны изменяться в процессе работы двигателя), момент инерции ротора, номинальный ток и номинальное напряжение питания. Все эти параметры можно узнать из паспорта электродвигателя.

математический электрический пространственный преобразователь

Таблица 1.

Далее запишем уравнения, описывающие математическую модель ДПТ. Данные уравнения записываются по второму закону Киргофа, исходя из схемы замещения электрического двигателя и имеют вид:

б

где - ЭДС возбуждения; - потокосцепление ОВ.

-- сопротивление ОВ;

-- активное сопротивление цепи якоря;

- ЭДС вращения;

- потокосцепление якоря и ОВ;

- ЭДС само- и взаимоиндукции;

- потокосцепление цепи якоря;

- взаимоиндуктивности обмоток: компенсационной и добавочной, компенсационной и обмотки якоря, добавочной и обмотки якоря.

Для решения данной задачи возможно принять ряд допущений, чтобы систему дифференциальных уравнений (1) можно было свести к линейной.

1. Пренебрежем взаимоиндуктивностями обмоток добавочных полюсов и компенсационных обмоток.

2. Активные сопротивления и собственные индуктивности обмоток складываются.

3. Рассматриваем безреостатный пуск без нагрузки, моментом холостого хода пренебрегаем, считаем, что в момент подключения контактом К обмотки якоря к источнику питания переходный процесс в ОВ уже закончился.

4. Так как реакция якоря не влияет на основной магнитный поток машины, то при пуске = Const.

5. ЭДС вращения и электромагнитный момент являются линейной функцией, т.к. индуктивности -- Const, а насыщение магнитной цепи -- неизменное.

В результате допущений имеем систему линейных уравнений дифференциальных уравнений, описывающих безреостатный пуск двигателя постоянного тока параллельного возбуждения.

б

б

Далее переходим к моделированию в программе VisSim. Для этого соберем блок схему согласно системе уравнений (2). Блок схема в данном случае это графичекая запись уравнений припомощи блоков. Если вести пальцем по линиям связи между блоками, то можно с лёгкостью востановить запись системы диференциальных уранений. На рис. 6 представлена блок схема для моделирования пуска ДПТ паралельного возбуждения в программе VisSim.

На рис. 6 так же видны получившиеся осциллограммы тока и скорости от времени. Это и является результатом моделирования пуска ДПТ. Из осциллограммы тока отчетливо виден пусковой ток двигателя, который в первые моменты пуска, достигает своего максимального значения, а потом снижается до велечины тока хх. Из осциллограммы скорости можно определить время разгона двигателя (в принципе это так же возможно и из осциллограммы тока).

Таблица 2.

Заключение

Математического моделирование электропривода и электромеханических устройств в настоящее время весьма востребованная, но в то же самое время довольно сложная задача, несмотря на то, что математические модели, описывающие динамические режимы работы электрических машин были выведены ещё в прошлом веке. Данная проблема требует единого методолгического подхода, обеспечивающего одновременное совместное рассмотрение и учет процессов, происходящих в электрической и механической частях машины. При этом приходится искать приемлемый компромисс между точностью и сложностью получаемых физических и математических моделей. В инженерной практике, на основе теоретических знаний о описании математических моделей электродвигателя, для достижения точных результатов расчетов в настоящее время используются программы математического моделирования, позволяющее с большей легкостью решать сложные дифференциальные уравнения математического моделирования сложных электромеханических систем. Как показала практика с помощью данных программ возможно получать точные результаты расчета, максимально приближенные к реальным объектам.

Список литературы

1. Копылов И.П. Математическое моделирование электрических машин: Учебник для вузов по специальности «Электрические машины». - М.: Высш.шк.,1987. - 248 с.

2. Вольдек А.И. Электрические машины. - Л.: «Энергия», 1974. - 839 с.

Размещено на Allbest.ru