Двумерная математическая модель жидкости водоема с учетом наличия на поверхности ледяной пластины

Размещено на http: //www. allbest. ru/

Таганрогский технологический институт Южного федерального университета

Двумерная математическая модель жидкости водоема с учетом наличия на поверхности ледяной пластины

Кандалфт Хекмат

Введение

В данной работе рассматривается численная модель движения в двумерных (в вертикальной плоскости) водоемах. Математическая модель основана на уравнениях Навье-Стоксавприближениях. Для построения численного алгоритма применяются метод расщепления по физическим процессам.

1. Постановка задачи

Рассматривается задача волновой динамики жидкости. Исходными уравнениями являются:

- уравнение Навье-Стокса:

; (1)

. (2)

- уравнение неразрывности:

жидкость математический ледяной алгоритм

(3)

Уравнения (1) - (3) рассматриваются при следующих граничных условиях, где для разных границ данной области жидкости отдельные условия

- на дне водоема:

(4)

- на свободной поверхности жидкости:

, ; (5)

- на поверхности жидкости, покрытой ледяной пластиной:

, ,

,

- на входе задается поток от источника:

- на выходе:

, ; ,

- начальные условия: при моменте выполняются следующие условия:

, ,,

где - вектор скорости движения водной среды, - давление, - коэффициент турбулентного обмена по горизонтальному направлению,- коэффициент турбулентного обмена по вертикальному направлению, - ускорение свободного падения, - плотность жидкости, - составляющая тангенциального напряжения (закон Ван-Дорна), - плотность суспензии(взвеси). Система координат выбрана таким образом, что ось совмещена с дном водоема и направлена в сторону ледовой пластины, ось - вертикально вверх.

Имеются разные временные слои два реальных при, и один промежуточный слой при соответственно можно обозначить

, , , .

Расщепляя уравнения (1), (2), по физическим процессам, получим:

, (6)

, (7)

,, (8)

После дифференцирование по и уравнения (18), (18), (20) примут вид:

, , (9)

Суммируя уравнения (9), учитывая уравнение неразрывности (3)получим уравнение:

(10)

Расчет задач гидродинамики по данному методу осуществляется в три этапа. На первом этапе считается поле скоростей. На втором этапе рассчитывается давление. На третьем этапе уточняется поле скоростей по давлению.

Для аппроксимации задачи применяется интегро-интерполяционный метод, по области:

, :

Уравнение (11) и (12) представляет собой конечно-разностную схему для уравнения (6) и (7).

(11)

аналогично:

(12)

.

Для аппроксимации операторов диффузии и конвекции по временной переменной будем использовать схемы с весами .

Также проинтегрируем уравнение (10) по области :

, :

. (13)

Тогда уравнение запишется в виде:

. (14)

Проинтегрируем уравнение (9) по области :

, :

,,. (15)

. (16)

Аналогично можно записать конечно-разностную схему для уравнения:

, (17).

Дискретная конечно-объемная модель волновой гидродинамики. Расчетные ячейки представляют собой прямоугольники, они могут быть заполненными, частично заполненными или пустыми. Центры ячеек и узлы разнесены на, и по координатам и соответственно. Обозначим через заполненность ячейки . Поле скоростей и давление рассчитываются в вершинах ячейки. Вершинами ячейки являются узлы , , , .

Степень заполненности ячейки определяется давлением столба жидкости внутри данной ячейки. Если среднее давление в узлах, которые относятся к вершинам рассматриваемой ячейки, больше давления столба жидкости внутри ячейки, то ячейка считается заполненной полностью . В общем случае заполненность ячейки можно вычислить по следующей формуле:

(18)

где - функция Хевисайда.

В окрестности узла лежат ячейки , , , .

Введутся коэффициенты , , , , , описывающие заполненность областей, находящихся в окрестности ячейки. Значение , характеризует заполненность всей области

Заполненные части областей будем называть , где . В соответствии с этим коэффициенты можно вычислить по формулам:

,

а уравнение (11) примет вид:

Также уравнение (12):

. (19)

Далее представляется следующие сеточные уравнения:

- для составляющей вектора скорости :

, (20)

- для составляющей вектора скорости :

; (21)

- сеточными уравнениями для расчета поля давления:

; (22)

- уравнениями для уточнения поля скоростей по давлению:

, (23)

, (24)

где параметр , :. «маски» граничных условий.

Таким образом, построена конечно-объемная модель задачи волновой гидродинамики, представленная уравнениями (20) - (25).

Рис. 1 Поле вектора скоростей жидкости

Результаты численных экспериментов расчета движения водной среды, частично покрытой ледяной пластиной представлены на рис. 1, где изображена динамика набегающего к пластине потока воды.

Полученная модель, проектируемая для расчетной области с заданными численными значениями, являющимися размером сетки с шагами по оси x и y соответствующимиhx, hy.

Заключение

Разработана двумерная математическая модель для расчета полей скоростей; приведено описание программной реализации математической модели для расчета полей скоростей водной среды; выполнен численный эксперимент, построена картина потока воды водоема при наличии ледового покрытиявпериодов времени, которые согласуются с реальным физическим процессом.

Литература

1. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. М.: Физматлит, 2001. 320 с.

2. Стокер, Дж. Дж. Волны на воде. Пер. с англ. - М. : Иностр. литер., 1959. 618 с.

Размещено на Аllbеst.ru