Прогноз уровня воды в реке с крутым падением водотока, основанный на фильтрации Кальмана-Бьюси

Размещено на http://www.allbest.ru/

Прогноз уровня воды в реке с крутым падением водотока, основанный на фильтрации Кальмана-Бьюси

Введение

Одной из уникальных черт Краснодарского края является наличие на его территории рек горного типа. Географически сложилось, что данные реки, на территории Краснодарского края, протекают в горных районах большого Сочи. Данный район имеет очень важное рекреационное значение, в то время как особенность рек горного типа к обильным и краткосрочным паводковым ситуациям не благоприятствует развитию горного туризма в указанном районе. Следовательно разработка методики прогнозирования уровня воды в реках горного типа продиктована современной социально-экономической обстановкой, а также профилактикой чрезвычайных ситуаций на реках горного типа.

Практический интерес для решения задач прогнозирования представляют методы, использующие в математической модели материалы непосредственных наблюдений за потоком воды в русле, а также учитывающие стохастическую природу параметров модели. На практике часто возникают задачи определения состояния некоторой динамической системы по результатам непрерывных наблюдений. Поскольку наблюдения всегда сопровождаются ошибками, то такая задача сводится к оцениванию (фильтрации, экстраполяции и т.д.) состояния системы путем статистической обработки результатов наблюдений. Построить оптимальную оценку состояния динамической системы, основываясь на измерениях, содержащих погрешности, позволяет фильтр Калмана-Бьюси [1]. В данной работе предложена методика краткосрочного прогнозирования уровня воды в русле реки горного типа, основанная на методе фильтрации Кальмана-Бьюси в предположении естественных упрощений, характерных для натурных объектов. Данная методика апробирована на данных реки горного типа Мзымта за 2010 год предоставленных краснодарским центром гидрометеорологии и мониторинга окружающей среды.

1. Постановка задачи

Рассмотрим систему, описываемую скалярными уравнениями:

, (1)

, (2)

, (3)

где F, B, G, Н - операторы (непрерывно-дифференцируемые функции); А и К - неизвестные операторы в фильтре Калмана-Бьюси; x - измеряемая величина; u- управляющее воздействие и пусть u = 0, которое воздействует на объект в текущий момент времени; z - величина на выходе измерительного прибора; - фильтрованная величина на выходе фильтра; , - производные по времени от x и соответственно; , v - случайные возмущения (белый шум) в текущий момент времени.

Уравнение (1) соответствует уравнению объекта с измеряемой величиной x. Уравнение (2) - уравнение, описывающее измерение величины x со случайной погрешностью v. Отметим, что для вывода формул потребуется сделать предположения о свойствах возмущений , v. Эти предположения сделаем ниже по мере возникновения необходимости. Уравнение (3) соответствует уравнению получаемого значения c помощью фильтра Калмана-Бьюси с коэффициентами A и K. Задача построения фильтра Кальмана-Бьюси сводится к определению вида и зависимости коэффициентов А и К от операторов уравнений (1), (2).

Рис.1. Структурная схема системы, состоящей из уравнений (1) и (2).

Рис. 2. Структурная схема уравнения (3).

Оптимальная проблема построения фильтра Кальмана-Бьюси состоит в построении таких операторов K и A, чтобы математическое ожидание погрешности была минимальна

. (4)

Рис. 3. Блочная схема для вычисления погрешности.

вода горный измерение кальман

2. Вывод формул для фильтра Кальмана -Бьюси

Для построения оптимального фильтра в непрерывной постановке используем простой подход, суть которого состоит в дифференцировании по коэффициенту, который является оператором К.

Оператор А выразим через H и K (формула 9).

Для определения вида связи оператора А через H и K фильтра Кальмана-Бьюси проведём ряд преобразований. В уравнение (3), вместо z подставим выражение (2)

. (5)

Перейдем к усредненным значениям M[x]=, пользуясь свойствами математического ожидания. Так как по условию постановки задачи , являются белым шумом, то , .

Введем следующие, как правило, допускаемые предположения:

, (6)

. (7)

Из уравнения (1), учитывая u = 0, получаем

. (8)

Подставив (8) в (7) будем иметь

,

откуда следует, что

A=F-KH. (9)

Из (9) видно, что для построения решения фильтра достаточно найти оператор К.

Чтобы определить К, обратимся к уравнениям (3) и (1).

(10)

(11)

Вычтя из уравнения (11) уравнение (10), получим

. (12)

Обозначив в (12) через е, получим обыкновенное дифференциальное уравнение относительно погрешности e

(13)

или

. (14)

Пусть

,

тогда

(15)

Решение дифференциального уравнения будем искать через функцию веса , которая является решением однородного уравнения

, . (16)

Тогда решение (15) можно записать следующим образом [1]

(17)

Дисперсия ошибки e должна быть минимальной

. (18)

Выберем K так чтобы l(t) было минимальным. Для этого

. (19)

Для нахождения математических ожиданий и произведений умножим (17) на (t).

(20)

Возмущения и погрешность измерения есть случайные гауссовские процессы типа белого шума с нулевым среднем и корреляционными процессами

и

,

где единичная функция Дирака; q(t) и r(t) -дисперсии шумов.

Тогда

, (21)

,

.

Между моментом t и t₀ корреляция между , нулевая, поэтому, используя свойства гауссовского белого шума и интегральные свойства симметричной единичной функции Дирака [1], получим

т.к. . (22)

Аналогично

. (23)

Подставив (21), (22) в (19) будем иметь

 (24)

Чтобы l было минимальным, продифференцируем правую часть по К и прировняем полученное выражение к нулю:

, (25)

откуда

и учитывая (9) получим

(26)

Будем предполагать, что H=1, тогда

Подставив (26) в (24) получим:

После проведенных преобразований фильтр Кальмана -Бьюси реализуется с помощью интегрирования системы из двух обыкновенных дифференциальных уравнений:

, (27)

(28)

с естественными начальными условиями

(29)

3. Пример применения фильтра Кальмана-Бьюси

Пример 1. Рассмотрим тестовый пример, для проверки возможностей фильтра, задавая конкретные данные для системы (1)-(3). Пусть операторы скалярные числа равные F == 0.1, G = H = 1; u = 0 - управляющее воздействие равно нулю. Проверку осуществим по упрощённой схеме. Объект ; даёт решение частное решение . Наложим на решение нормальную случайную составляющую , тогда - величина на выходе измерительного прибора, поступающая на фильтр (27), (28); q = 0.5 - дисперсия нормально-распределённой случайной величины (t); r = 0.1- дисперсия случайного возмущения v(t) на измерительном приборе. Начальные условия фильтра , .

Рис. 4. Блочная схема тестовых примеров.

Результаты фильтрации по разработанной программе на математическом пакете MathCAD представлены на рис. 5

Рис.5. Величина z(t) поступающая на вход фильтра.

Рис.6. Величины: - исходная величина и отфильтрованная величина соответственно

Рис.7. Относительная погрешность фильтрации .

Как видно из рис.7 Относительная погрешность фильтрации не превышает по модулю величины 0.05.

Пример 2. Рассмотрим тестовый пример с оператором F = 0, остальные параметры те же, что и в примере 1. Случай F = 0 описывает объект с постоянным уровнем выходного сигнала, ; даёт решение частное решение . Начальные условия фильтра , .

Рис.8. Величина z(t)=0 поступающая на вход фильтра (белый пунктир), - исходная величина нормального возмущения (черные ) и отфильтрованная величина (белая линия) соответственно.

Рис.9. Абсолютная погрешность фильтрации

Как видно из рис.9 абсолютная погрешность не превосходит по модулю 0.05 за рассмотренный промежуток времени.

Пример 3. Рассмотрим реальный объект, а именно уровень воды в реке горного типа. Все параметры те же что и в примере 2, за исключением того что z(t) есть реальное значение уровня воды в реке Мзымта за 2010 год взятое по данным Краснодарского центра гидрометеорологии и мониторинга окружающей среды.

Проведя численный эксперимент согласно (14), (15) и сравнив его с результатами регрессионного анализа проведенного на массиве тех же данных сделан вывод об улучшении краткосрочного прогноза уровня воды на основе следующих данных.

Проведенный двухвыборочный F-тест [2, 3] для дисперсий генеральных совокупностей экспериментальных данных и данных полученных с помощью регрессионного анализа показал вероятность сходства этих двух массивов равной P_регр. = 0,897, а для дисперсий генеральных совокупностей экспериментальных данных и данных полученных с помощью фильтрации Калмана-Бьюси - P_К-Б. = 0,977. Следовательно, вероятность совпадения массива данных полученного с помощью фильтрации Калмана-Бьюси с массивом экспериментальных данных больше, чем вероятность совпадения между реальными данными и данными полученными с помощью регрессионного анализа.

Метод, основанный на регрессионном анализе [4], показывает большую среднюю ошибку (), по сравнению с методом, основанном на использовании фильтра Калмана-Бьюси. Визуализация погрешности прогноза с помощью фильтра Калмана-Бьюси e(t) и погрешности прогноза с помощью регрессионного анализа p(t), представленная на рис. 10, подтверждает проведенные расчеты.

Рис. 10. Графики погрешностей p(t) и e(t).

Список литературы

1. Пугачев В.С. Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация [Текст] / В. С. Пугачев, И. Н. Синицын. М.: Наука, 1990. 632 с.

2. Крамер Г. Математические методы статистики.- М.: ир, 1975. -375 с.

3. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика: учеб. пособие для втузов. ? М.: Высш. шк., 1984. ? 248с.

4. Титов Н.Г., Семенчин Е.А., Об оценке коэффициентов в уравнении линейной регрессии, описывающем изменения уровня воды в русле горной реки //Известия Кубанского государственного университета. Естественные науки. -2013. - №1(2). - С.49-51.

Размещено на Allbest.ru