Бюджетное множество

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Целевая функция потребления и моделирование поведения потребителей. Понятие бюджетного множества

На уровне общества для описания поведения потребителей вводится целевая функция потребления. Целевая функция потребления - функция, выражающая уровень удовлетворения материальных потребностей общества. Целевая функция моделируется для решения задачи оптимизации. Целевая функция показывает, как различные значения входящих в нее переменных влияют на уровень удовлетворения материальных потребностей. Значение функции является критерием эффективности распределения бюджетных ресурсов. При описании поведения индивидуального потребителя роль целевой функции играет функция полезности.

Один из подходов к моделированию поведения индивидуального потребителя (а это может быть не обязательно физическое лицо, а любой участник рынка) базируется на предположении о том, что каждый потребитель принимает решения о потреблении и покупках, исходя из своей системы предпочтений.

Формулировка этого положения в математических терминах выглядит следующим образом.

Под товаром понимается некоторое благо или услуга, поступившие в продажу в определенное время и в определенном месте.

Будем считать, что имеется n различных товаров, количество i-го товара обозначается х_i, тогда некоторый набор товаров обозначается Х = (x₁,...,х_n). Как известно, упорядоченный набор n чисел называется n-мерным вектором, так что Х есть n-мерный вектор. Будем рассматривать только неотрицательные количества товаров, так что х_i ?0 для любого i=1,...,n или Х ?0 . Множество всех наборов товаров называется пространством товаров С. Это множество называется пространством потому, что в нем можно сложить любые два набора и умножить любой набор товаров на любое неотрицательное число. Возможность умножения набора товаров на любое неотрицательное число отражает предположение о безграничной делимости и умножении товаров (т.е. товары устроены наподобие сахарного песка, возможна его любая мера). Набор товаров можно трактовать как корзину, в которой лежат эти товары в соответствующих количествах. Аналогично интерпретируются и операции с наборами товаров.

Далее вводится понятие бюджетного множества. Пусть вектор цен есть Р. Зафиксируем какую - нибудь денежную сумму Q и назовем ее доходом.

Тогда множество наборов товаров стоимостью не более Q при данных ценах Р называется бюджетным множеством В; множество наборов товаров стоимости ровно Q называется границей G этого бюджетного множества.

Бюджетное множество и его граница зависят от цен и дохода, так что точнее было бы их обозначить B(P,Q) и G(P,Q).

Бюджетное множество и его границу можно определить с помощью обычных неравенств и равенств:

B(P,Q) = {( x₁,...,х_n) : x₁,...,х_n >0, р₁х₁ +... + р_nх_n ? Q };

G(P,Q) = {( x₁,...,х_n) : x₁,...,х_n > 0, р₁х₁ +... + р_nх_n = Q }.

Для случая двух товаров рис. 1.

Рис. 1 Бюджетное множество

Например, при Р = (2,3) и Q = 30 бюджетное множество B(P,Q) есть треугольник ОАВ, точка А имеет координату Q/р₁ =15, точка В - Q/р₂ =10. Отрезок АВ есть граница бюджетного множества, отрезок АВ перпендикулярен вектору цен. При увеличении Q граница бюджетного множества движется в направлении вектора цен. При изменении цен об изменении бюджетного множества можно судить по движению точек А(р₁) =
Q/р₁ , В(р₂) = Q/р₂ .

Одним из основных участников рынка является домашнее хозяйство, определяемое как некоторая группа индивидуумов, выступающая как единое целое, распределяющее свой доход на покупку и потребление товаров и услуг. Участник рынка, рассматриваемый с этой точки зрения, называется потребителем. Проблема рационального поведения потребителя заключается в решении вопроса о том, какие количества товаров или услуг он хочет и может приобрести при заданных ценах и его доходе.

Следует особо отметить, что существуют разные точки зрения на роль индивидов-потребителей. В неоклассической экономической теории эта роль является основной, определяющей. Вся остальная экономика вырастает из желаний и потребностей такого индивида.

При моделировании потребительского поведения формулируется аксиома потребителя, полностью описывающая его поведение в вопросах потребления. Эта аксиома чрезвычайно упрощает анализ поведения потребителя.

Выбор потребителем некоторого набора товаров во многом зависит от его вкусов и желаний. Потребитель различает наборы товаров, предпочитая один товар другому. Пусть запись Y Х означает, что потребитель предпочитает набор Х набору Y либо не делает между ними различий. Такое отношение называется слабым предпочтением. Оно формирует еще два отношения: отношение безразличия (или равноценности) - Х ? Y, если и только если Х УиУ Х,и отношение предпочтения (или строгого предпочтения) - Х Y, если неверно, что Х ? Y. Каковы свойства этих отношений?

Математики называют отношение рефлексивным, если Х Х для всякого X; симметричным, если Х Y влечет Y X; транзитивным, если Х Y и Y Z влечет Х Z; совершенным (или полным), если для любых двух наборов X, Y либо Х Y, либо Y X.

Аксиома предпочтений гласит: 1) отношение слабого предпочтения рефлексивно, транзитивно и совершенно; 2) отношение равноценности рефлексивно, симметрично и транзитивно; 3) отношение предпочтения транзитивно; 4) для любого Х € С множество предпочтительности Рx ={Y: Х Y} выпукло; 5) каждый товар желателен для индивида: еслиХУ, то иУХ, а если к тому жеХ ? У (т.е. хi < уi для некоторого i), то Х Y.

Подчеркнем, что это именно аксиома, выражающая фундаментальные свойства системы предпочтений индивида, вообще говоря, живого человека. Что касается рефлексивности и совершенности, то они представляются вполне понятными. Ведь рефлексивность означает, что любой набор товара равноценен сам себе. А совершенность означает, что индивид в состоянии сравнить по привлекательности любые два набора товаров.

Выпуклость множества предпочтительности означает, что лучше иметь комбинацию товаров, пусть в меньших количествах, чем просто какой-то один из этих товаров (лучше иметь немножко соли, сахара, кофе, хлеба, чем Одну только соль, один только сахар и т. д., хотя бы и в большем количестве). Свойство транзитивности, которым обладают отношения предпочтения и слабого предпочтения, не совсем очевидно, не очень наглядно и не сразу осознается потребителем. Но если потребителю объяснить, что получится, если его система предпочтений не транзитивна, то он согласится, что свойство транзитивности должно быть, и произведет необходимую переоценку привлекательности для него тех или иных наборов товаров.

Рассмотрим аргументы в пользу транзитивности на примере поведения некоего мистера Джонса. Джонс собирается купить дачу. При рассмотрении трех дач выясняется, что любая из них лучше другой по двум из трех важнейших свойств.

Поэтому, поразмыслив о том, к какому бы решению он пришел, если бы ему предложили любую пару вариантов, Джонс решает, что он бы В предпочел А, А предпочел С и С предпочел В. Все это кажется ему разумным, поскольку, размышляет он, в каждом сравнении предпочитаемая альтернатива является лучшей с точки зрения двух из трех интересующих его свойств. Например, А лучше В по стоимости и удобствам. Итак, налицо нарушение транзитивности. Безобидно ли это? Можно ли переубедить Джонса?

Разговаривать с людьми вроде Джонса, которые, единожды приняв решение, упорно отказываются изменить его, весьма занятно. Представьте себе, мистер Джонс, что вы только что приобрели права на дачу В, а агент (по торговле недвижимостью) предлагает вам А с небольшой наценкой. Если ваши предпочтения что-нибудь значат, то, конечно, вы согласитесь доплатить небольшую сумму за то, чтобы В сменить на А. Прекрасно, теперь у вас есть А. Предположим далее, что агент предлагает вам теперь С за такое же несущественное вознаграждение Конечно, вы соглашаетесь, и теперь у вас вместо А есть уже С Но зачем вам С, если за скромную сумму вы можете обменять С на 6 - в конце концов не Вы ли говорили, что В лучше, чем С?

Отношение безразличия рефлексивно, симметрично и транзитивно. Любое отношение, обладающее этими свойствами, называется эквивалентностью. Любая эквивалентность на множестве разбивает это множество на непересекающиеся подмножества, называемые классами эквивалентности. Таким образом, отношение равноценности является эквивалентностью и разбивает пространство товаров на непересекающиеся подмножества, называемые классами равноценности (или безразличия), а в случае двух или трех товаров эти классы называются линиями, или поверхностями равноценности (или безразличия).

Кривые безразличия - уровни целевой функции потребления, изображенные на плоскости в виде кривых. Каждый отдельный класс равноценности состоит из наборов товаров, одинаково привлекательных для потребителя, - он не отдает предпочтения ни одному из этих наборов. При этом каждый набор из пространства товаров попадает в какой-нибудь из классов равноценности, именно в тот, где собраны наборы, одинаково ценные с ним (для данного индивида).

Типичная картина для двух видов товаров показана на рис. 2, где Кx, Ку - классы равноценности наборов X, Y соответственно (кривые безразличия); стрелка - указатель направления предпочтения; за штрихованное поле - множество предпочтительности Ру.

Рис. 2 Кривые безразличия

Система предпочтений потребителя указывает, какой из двух наборов предпочтительнее для него. Во многих случаях, однако, весьма желательно и удобно оценивать привлекательность набора товаров количественно, т.е. приписать каждому набору Х из пространства товаров С какое-то число u(Х). Получается функция u: С --> R. Главное требование к такой функции, чтобы она отражала отношение (слабого) предпочтения на С, т.е. удовлетворяла условиям:

u(X) ? u(Y), если и только если Х Y;

u(X) = u(Y), если и только если Х ~ Y, значит и

u(X) < u(Y), если и только если Х Y.

Такая функция называется функцией полезности. Видно, что функция полезности постоянна на каждом классе равноценности, так что ее наглядно и вполне правильно представить себе как функцию, "пересчитывающую" классы равноценности в сторону большего предпочтения наборов товаров.

Работать с функцией полезности гораздо удобней, чем с системой предпочтений. Однако математики выяснили, что если на систему предпочтений не накладывать никаких ограничений, кроме уже рассмотренных ранее, а именно транзитивность, совершенность и рефлексивность, то функция полезности может и не существовать. Тем не менее, при некоторых естественных условиях, наложенных на систему предпочтений, функция полезности существует.

При моделировании потребительского поведения большое внимание уделяется математическому описанию выбора при наличии товаров-заменителей.

Рассмотрим график, отражающий систему предпочтений индивида на наборах из двух товаров (рис. 3).

Рис. 3 Иллюстрация процесса замещения

Пусть MN - кривая безразличия. Предположим, что у индивида есть набор Х° = (Х₁⁰, X₂⁰) товаров. На графике видно, что уменьшение первого товара на ?Х₁ можно компенсировать увеличением второго товара на величину ?X₂. Компенсация означает, что набор X¹ = (Х₁⁰ + ?X₁, X₂⁰+?X₂) имеет ту же ценность, что и набор Х°, т.е. обе точки находятся в одном классе равноценности. Отношение | ?X₁/?X₂| показывает, сколько единиц второго товара добавочно может компенсировать уменьшение первого товара на единицу. Поскольку ?X₁ < 0, ?X₂ > 0, то без знака абсолютной величины отношение можно записать так: -?X₁/?X₂. Если в этом отношении перейти к пределу, то получим предельную норму замещения первого товара вторым. В общем виде lim (-?X₁/?X₂) при ?X₀ ->О называется предельной нормой замещения j-го товара k-м и обозначается M j ^k.

Предельная норма замещения j-го товара k-м равна отношению предельных полезностей этих товаров.

Вывод этот понятный и естественный: если предельная полезность первого товара равна, скажем, 6, а второго товара только 2, то при уменьшении первого товара на единицу для компенсации надо, конечно, увеличить количество второго товара на три единицы.

Для наличия у данного товара х других товаров-заменителей у, т.е. таких, по которым норма замещения Мx^у не столь уж пренебрежительно мала, очень существенно следующее положение: если у товара х есть товары-заменители, то при повышении цены на него потребитель уменьшит его потребление и увеличит потребление товаров-заменителей. Например, для чая хорошим заменителем являются кофе и какао, соки, лимонад, так что при повышении цены на чай произойдет уменьшение его потребления и увеличится потребление его заменителей. В то же время для бензина хороших заменителей нет, поэтому при повышении на него цен просто происходит уменьшение его потребления, без увеличения потребления какого-нибудь его заменителя (в действительности происходят более сложные процессы - при повышении цены на бензин люди начинают меньше пользоваться автомобилями и другими транспортными средствами, использующими бензин, начинают больше ходить пешком, ездить на велосипеде и т.п.).

Следует обратить внимание на то, как меняется норма замещения первого товара вторым при движении по кривой равноценности слева--сверху, вниз--направо - эта норма (по абсолютной величине) от очень большой величины уменьшается до очень малой.

Понятия, связанные с замещением одного товара другим, являются весьма важными, хотя их не легко использовать на практике.

Использование предельных соотношений для анализа экономических закономерностей и поведения субъектов экономики является сущностью маржинализма - течения в экономической теории, зародившегося в середине XIX в. Одним из основоположников этого течения был К. Госсен. Сейчас маржинализм не является господствующим течением, но все еще весьма популярен.

2. Функции покупательского спроса. Моделирование и прогнозирование покупательского спроса

спрос бюджетный множество потребитель

Для индивидуального потребителя может быть сформулирована задача оптимизации выбора. Потребитель, имея доход, желает его потратить и, естественно, с максимальной пользой. Польза понимается в смысле его предпочтений или его функции полезности. Это приводит к задаче математического программирования: найти набор товаров Х = (x₁,...,х_n), максимизирующий функцию полезности u(x₁,...,х_n) при выполнении бюджетного ограничения р₁х₁ +... + р_nх_n ? Q. По смыслу задачи все переменные принимают неотрицательные значения, т.е. x₁,...,х_n ?0.

Рис. 4 Определение точки спроса: В - бюджетное множество; G -граница бюджетного множество; К - кривая безразличия; N - направление предпочтения

Если и строго вогнута, то решение задачи потребителя единственно, т.е. существует только одна точка максимума функции полезности на бюджетном множестве. Это решение X* называют точкой спроса. Точка спроса X* зависит от цен Р и дохода Q, т.е. точка спроса есть функция цен и дохода. Эта функция в математической экономике и называется функцией индивидуального спроса: X* = X*(P,Q).

Перейдем теперь от рассмотрения проблемы описания функции спроса с позиции индивидуального потребителя к множеству покупателей, действующих на рынке. Переход от шкалы индивидуального спроса к шкале рыночного спроса, вообще говоря, может быть осуществлен посредством суммирования величин спроса, предъявляемого каждым потребителем при разных возможных ценах.

Рыночный спрос изображается в виде графика, показывающего количество продукта, которые потребители готовы и в состоянии купить по некоторой цене из возможных в течение определенного периода времени.

Спрос на потребительские товары принято называть покупательским спросом.

Спрос имеет количественную и качественную определенность. Его общий объем определяется той суммой денежных средств, которая может быть израсходована на покупку определенного набора товаров, способных удовлетворить определенную часть сложившихся потребностей. Спрос на группы товаров (одежду, обувь, электротовары и т.п.) принято называть макроспросом. Спрос на отдельные виды и разновидности товаров внутри товарных групп называют микроспросом.

При построении кривых спроса в качестве основного фактора, определяющего спрос, обычно выступает цена. Однако хорошо известно, что существуют и другие факторы, влияющие на спрос. Их называют неценовыми детерминантами. Когда неценовые детерминанты начинают оказывать существенное влияние на спрос, то положение кривой спроса сдвигается.

К основным неценовым детерминантам рыночного спроса относят:

1) потребительские вкусы и предпочтения потребителей;

2) число потребителей на рынке;

3) денежные доходы потребителей;

4) цены на сопряженные товары;

5) потребительские ожидания относительно будущих цен и доходов.

Для того чтобы наглядно представить и проанализировать зависимость величины спроса от различных, оказывающих на него влияние факторов, строятся функции спроса. Функция спроса - функция, отражающая зависимость объема спроса на отдельные товары и услуги от комплекса факторов, влияющих на него.

Известно, что покупательский спрос изменяется под влиянием значительного количества факторов. Выявить полный комплекс всей сложной системы факторов, формирующих покупательский спрос и вызывающий его изменения, очень трудно. Еще труднее измерить их влияние на спрос. По этому при анализе процессов формирования спроса и его прогнозировании принимают во внимание не все факторы, а только наиболее важные из них, т.е. значительно упрощают прогнозируемое явление. Результатом одного из таких упрощений и является понятие "эластичность".

Эластичностью спроса называют его способность изменяться под влиянием доходов, цены и других экономических факторов. Показателем эластичности спроса является отношение между процентным изменением спроса и процентным изменением фактора, его формирующего. Это отношение называется коэффициентом эластичности.

Процентные изменения фактора вычисляются путем деления величины изменения в факторе (например, в цене) на первоначальное значение фактора и умножением на 100%; процентные изменения спроса вычисляются путем деления величины изменения спроса на первоначальное значение спроса и умножением на 100%; 100% сокращаются, поэтому формула может быть представлена в виде

где Е - коэффициент эластичности; ?x - прирост спроса;

х - размеры спроса в базовом периоде; ?у - изменение значения фактора;

у - значение фактора в базовом периоде.

Если в качестве фактора рассматривается доход, то вычисляют коэффициент эластичности спроса по доходу. Коэффициент эластичности спроса по доходу - величина относительного изменения спроса при изменении доходов на 1% (при прочих не изменяющихся факторах):

где Еq - коэффициент эластичности по доходу; ?x - прирост спроса;

х - размеры спроса в базовом периоде; ?q - изменение дохода; q - первоначальный доход.

Если анализируется изменение спроса при изменении цены, то вычисляют коэффициент эластичности спроса по цене. Коэффициент эластичности спроса по цене - величина изменения спроса в процентах при изменении цены на 1%:

где Ер - коэффициент эластичности по цене; ?x - прирост спроса;

х - размеры спроса в базовом периоде; ?р - изменение цены; р - первоначальная цена.

Нисходящая кривая спроса демонстрирует обратную зависимость, существующую между ценой и объемом спроса. Это означает, что ценовой коэффициент эластичности будет иметь отрицательное значение. Как правило, если цена снижается, то количество покупаемой продукции растет. Тем самым числитель в формуле будет положительным, а знаменатель - отрицательным, давая в результате отрицательный коэффициент. Напротив, в случае увеличения цены числитель будет отрицательным, а знаменатель - положительным, что опять дает отрицательный коэффициент. Во избежание недоразумений существует правило игнорировать отрицательный знак, отмечая лишь абсолютную величину коэффициента эластичности.

Спрос считается эластичным, если процентное изменение цены ведет к большему процентному изменению спроса на товар. Например, если снижение цены на 2% вызывает рост спроса на 4%, спрос является эластичным. При эластичном спросе коэффициент эластичности больше 1. При неэластичном спросе коэффициент эластичности будет меньше 1. Вводится также термин "совершенно неэластичный спрос", когда изменение цены не приводит вообще ни к какому изменению спроса. Обратный случай совершенно эластичного спроса связывают с крайней ситуацией, когда самое незначительное снижение цены побуждает покупателей увеличивать покупки от нуля до предела своих возможностей.

Использование коэффициента эластичности - один из методов прогнозирования покупательского спроса. При прогнозировании покупательского спроса используются методы экономического прогнозирования, такие как экстраполяция рядов динамики, метод нормативных расчетов, метод экспертных оценок, построение многофакторных математических моделей.

В практике прогнозирования потребительского спроса главным фактором, определяющим выбор метода прогнозирования, чаще всего является информационная обеспеченность.

Экстраполяция, т.е. нахождение уровня ряда за его пределами в будущем, может осуществляться при наличии динамических рядов. При прогнозировании спроса обычно используют динамические ряды о продажах товаров, характеризующие объемы реализованного спроса.

Экономико-математическое моделирование - один из основных способов изучения и прогнозирования потребительского спроса.

Углубленное изучение процессов формирования покупательского спроса, выявление особенностей этих процессов по отдельным видам и группам товаров является основой для создания моделей с высокой прогностической точностью.

Среди многофакторных моделей, используемых для прогнозирования потребительского спроса, широко применяются модели, построенные в виде уравнений множественной регрессии, в которых в качестве функции выступает спрос, а в качестве аргументов - формирующие его факторы. Наиболее часто употребляются линейные, степенные и логарифмические уравнения.

Линейное:

степенное:

логарифмическое:

где у - спрос на данный товар; х₁, x₂,...,x_n- факторы, формирующие спрос; a₁, a₂,...,a_n - параметры уравнения. В динамические многофакторные модели в качестве независимой переменной включают время.

Литература

1. Замков 0.0., Черемных Ю.А., Толстопятенко А. В. Математические методы в экономике. М., 1999.

2. Колемаев В.А. Математическая экономика. М., 1998.

3. Иванилов Ю.П., Лотов А.В. Математические модели в экономике. М., 1979.

4. Макконнелл Р., БрюЛ. Экономикс. М., 1992.

5. Малыхин В.И. Математическое моделирование экономики. М., 1998.

6. Столмов Л.Ф. Изучение и прогнозирование покупательского спроса. М., 1972.

Размещено на Allbest.ru