Размещено на http://www.allbest.ru/

6

Содержание

1. Условие задачи

2. Решение задачи

3. Таблица ответов

Список использованной литературы

1. Условие задачи

По 10 странам Западной Европы имеются следующие данные: Х - доля расходов домашних хозяйств на конечное потребление, % к ВВП; Y - индекс развития человеческого потенциала, %. Признаки Х и Y имеют нормальный закон распределения.

Х	57	67	78	64	83	75	88	61	71	82
Y	0,71	0,80	0,95	0,77	0,95	0,89	0,99	0,80	0,86	0,95

регрессия линейный корреляция дисперсионный

Задание

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи между долей расходов домашних хозяйств на конечное потребление и индексом развития человеческого потенциала.

2. Рассчитайте оценки параметров , уравнения парной линейной регрессии.

3. Оцените тесноту связи между признаками с помощью выборочного коэффициента корреляции (r_в). Проверьте значимость коэффициента корреляции (б = 0,05).

4. Рассчитайте выборочный коэффициент детерминации (R²_в). Сделайте экономический вывод.

5. Проверьте значимость оценки параметра с помощью критерия Стьюдента при уровне значимости б = 0,05.

6. Постройте 95-процентный доверительный интервал для коэффициента регрессии b. Сделайте экономический вывод.

7. Проверьте значимость оценки параметра с помощью критерия Стьюдента при уровне значимости б = 0,05.

8. Постройте 95-процентный доверительный интервал для свободного члена уравнения а.

9. Составьте таблицу дисперсионного анализа.

10. Оцените с помощью F-критерия Фишера - Снедекора значимость уравнения линейной регрессии (б = 0,05).

11. Рассчитайте индекс развития человеческого потенциала (), если расходы домашних хозяйств составят 80% к ВВП. Постройте 95-процентный доверительный интервал для прогнозного значения объясняемой переменной (). Сделайте экономический вывод.

12. Рассчитайте средний коэффициент эластичности (). Сделайте экономический вывод.

13. Проверьте гипотезу Н₀: b = b₀, (b₀ = 0,01).

14. На поле корреляции постройте линию регрессии.

2. Решение задачи

1. Построим поле корреляции и сформулируем гипотезу о форме связи между признаками:

Х - доля расходов домашних хозяйств на конечное потребление (%))

У - индекс развития человеческого потенциала (%)

Рис. 1 Поле корреляции

По расположению точек на поле корреляции можно предположить наличие прямой линейной связи между долей расходов домашних хозяйств на конечное потребление и индексом развития человеческого потенциала.

2. Рассчитаем оценки параметров линейной связи модели у=а+bx+е методом наименьших квадратов (МНК). Оценкой модели по выборке является выборочное уравнение регрессии .

Составим таблицу 1, которую будем заполнять расчетами по мере решения задачи.

Таблица 1

№ п/п	xi	yi	x2i	xi*yi	y2i
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	57	0,71	3 249	40,47	0,50	0,73	0,0003335	0,0192486	0,0246490	243,36
2	67	0,8	4 489	53,60	0,64	0,82	0,0002957	0,0024804	0,0044890	31,36
3	78	0,95	6 084	74,10	0,90	0,92	0,0012232	0,0023064	0,0068890	29,16
4	64	0,77	4 096	49,28	0,59	0,79	0,0004209	0,0058499	0,0094090	73,96
5	83	0,95	6 889	78,85	0,90	0,96	0,0000901	0,0085549	0,0068890	108,16
6	75	0,89	5 625	66,75	0,79	0,89	0,0000027	0,0004556	0,0005290	5,76
7	88	0,99	7 744	87,12	0,98	1,00	0,0001949	0,0187582	0,0151290	237,16
8	61	0,8	3 721	48,80	0,64	0,76	0,0013079	0,0106430	0,0044890	134,56
9	71	0,86	5 041	61,06	0,74	0,85	0,0000523	0,0002025	0,0000490	2,56
10	82	0,95	6 724	77,90	0,90	0,95	0,0000004	0,0069888	0,0068890	88,36
Итого	726	8,67	53 662	637,93	7,60	8,67	0,0039216	0,0754884	0,0794100	954,40

Заполним столбцы 3 и 4 в таблице 1.

Найдем оценки параметров и из системы нормальных уравнений линейной зависимости, которая имеет вид:

Отсюда можно выразить и :

Необходимые суммы рассчитаны в таблице 1 столбцах 1-4.

Занесем полученные ответы в таблицу 4. Подставим рассчитанные значения и в уравнение (1) и запишем линейную модель в виде:

3. Оценим тесноту взаимосвязи между признаками с помощью выборочного коэффициента корреляции:

Заполним столбец 5 и подставим рассчитанные суммы из таблицы 1.

Проверим значимость выборочного коэффициента корреляции. Для этого выдвигаем нулевую гипотезу Н₀ об отсутствии линейной зависимости между признаками Х и У:

Н₀: r_ген = 0

Н₁: r_ген ? 0

Конкурирующая гипотеза Н₁ определяет двустороннюю критическую область.

Данная гипотеза проверяется с помощью случайной величины , которая имеет распределение Стьюдента с k=n-2=10-2=8 степенями свободы.

По выборочным данным найдем:

По таблице критических точек распределения Стьюдента находим:

Построим график распределения Стьюдента (Рис. 2) и сравним и Т_н.

Рис. 2 График плотности распределения Стьюдента

Т.к. , то Т_н попало в критическую область, следовательно, нулевая гипотеза об отсутствии линейной связи между долей расходов домашних хозяйств на конечное потребление и индексом развития человеческого потенциала при 5%-ном уровне значимости отвергается, справедлива конкурирующая гипотеза Н₁: r_ген ? 0, r_в значим, признаки Х и У коррелированны.

Коэффициент корреляции r_в по модулю близок к 1, значит, связь между признаками тесная, r_в > 0, следовательно, между признаками существует прямая зависимость, что подтверждается экономической теорией.

4. Рассчитаем выборочный коэффициент детерминации . Для этого возведем коэффициент корреляции r_в в квадрат:

Коэффициент детерминации характеризует вариацию признака У, объясненную линейным уравнением регрессии.

Таким образом, в среднем 95,06% вариации индекса развития человеческого потенциала объясняется вариацией долей расходов домашних хозяйств на конечное потребление, а 4,94% зависит от вариации неучтенных в модели факторов.

5. Проверим значимость оценки параметра регрессии с помощью критерия Стьюдента. Выдвигаем нулевую гипотезу о незначимости коэффициента регрессии:

Н₀: b = 0

Н₁: b ? 0

Конкурирующая гипотеза Н₁ определяет двустороннюю критическую область.

Данная гипотеза проверяется с помощью случайной величины , которая имеет распределение Стьюдента с k=n-2=10-2=8 степенями свободы.

Заполним столбцы 6 и 7 таблицы 1.

Предварительно найдем стандартную ошибку коэффициента регрессии по формуле:

, где - это несмещенная оценка остаточной дисперсии ,

Тогда стандартная ошибка регрессии:

Дисперсия фактора Х вычисляется по формуле:

Итак,

Найдем наблюдаемое значение критерия Стьюдента:

По таблице критических точек распределения Стьюдента находим:

Построим график распределения Стьюдента (Рис. 3) и сравним и Т_н.

Рис. 3 График плотности распределения Стьюдента

Т.к. , то Т_н попало в критическую область, следовательно, нулевая гипотеза о незначимости коэффициента регрессии отвергается при 5%-ном уровне значимости, справедлива конкурирующая гипотеза Н₁: b ? 0, оценка параметра статистически значима, признаки Х и У взаимосвязаны.

Таким образом, если доля расходов домашних хозяйств на конечное потребление увеличится на 1% в ВВП, то индекс развития человеческого потенциала увеличится в среднем на 0,0089%.

6. Построим доверительный интервал для коэффициента регрессии b:

Подставим ранее рассчитанные значения , , :

Таким образом, при увеличении расходов домашних хозяйств на конечное потребление увеличится на 1% в ВВП индекс развития человеческого потенциала увеличится в среднем с 0,0072 до 0,011 %.

7. Проверим значимость оценки параметра регрессии с помощью критерия Стьюдента. Выдвигаем нулевую гипотезу о незначимости свободного члена уравнения:

Н₀: a = 0

Н₁: a ? 0

Конкурирующая гипотеза Н₁ определяет двустороннюю критическую область.

Данная гипотеза проверяется с помощью случайной величины , которая имеет распределение Стьюдента с k=n-2=10-2=8 степенями свободы.

Предварительно найдем стандартную ошибку по формуле:

Найдем наблюдаемое значение критерия Стьюдента:

По таблице критических точек распределения Стьюдента находим:

Построим график распределения Стьюдента (Рис. 4) и сравним и Т_н.

Рис. 4 График плотности распределения Стьюдента

Т.к. , то Т_н попало в критическую область, следовательно, нулевая гипотеза о незначимости свободного члена при 105%-ном уровне значимости отвергается. Оценка параметра статистически значима.

8. Построим доверительный интервал для коэффициента регрессии a:

Подставим ранее рассчитанные значения , , :

Границы доверительного интервала имеют одинаковые знаки, линейную модель оставляем в общем виде:

9. Составим таблицу дисперсионного анализа по общей схеме.

Таблица 2

Источник вариации	Число степеней свободы	Суммы квадратов отклонений	Средние квадраты	Fн
	df	SS	MS	F-статистика
Регрессия	1
Остаток	n-2
Итого	n-1

Сначала найдем среднее значение признака У:

Затем в таблице 1 заполним столбцы 8 и 9.

- регрессионная сумма квадратов отклонений.

- остаточная сумма квадратов отклонений.

- общая сумма квадратов отклонений.

F-статистика рассчитана по формуле:

Таблица 3

Источник вариации	Число степеней свободы	Суммы квадратов отклонений	Средние квадраты	Fн
	df	SS	MS	F-статистика
Регрессия	1	0,0750	0,0075	153,8
Остаток	8	0,0039	0,0004
Итого	9	0,0790

10. Оценим значимость линейной модели в целом при 5%-ном уровне значимости. Выдвигаем нулевую гипотезу о незначимости линейной модели:

Н₀: модель незначима

Н₁: модель значима

Конкурирующая гипотеза Н₁ определяет правостороннюю критическую область.

Данная гипотеза проверяется с помощью случайной величины F, которая имеет распределение Фишера-Снедекора с k₁=1 и k₂=n-2=10-2=8 степенями свободы.

Наблюдаемое значение критерия берем из схемы дисперсионного анализа: F_н=153,8.

Критическое значение критерия находим в таблице критических точек Фишера-Снедекора:

Построим график распределения Фишера-Снедекора (Рис. 5) и сравним и F_н.

Рис. 5 График плотности распределения Фишера-Снедекора

Т.к. , то F_н попало в критическую область, следовательно, нулевая гипотеза о незначимости линейной модели при 5%-ном уровне значимости отвергается, справедлива конкурирующая гипотеза Н₁. Модель значима и ее можно использовать для прогноза.

11. Рассчитаем индекс развития человеческого потенциала (), если доля расходов домашних хозяйств на конечное потребление составит 80% к ВВП: х₀=80.

Для этого подставим х₀ в уравнение регрессии:

Таким образом, если доля расходов домашних хозяйств на конечное потребление составит 80% к ВВП, то индекс развития человеческого потенциала составит 0,933%.

Построим 95%-ный доверительный интервал прогноза:

Предварительно заполним столбец 10 таблицы 1 и найдем стандартную ошибку прогноза :

, где

Итак,

Подставим значения в формулу доверительного интервала:

Таким образом, если доля расходов домашних хозяйств на конечное потребление составит 80% к ВВП, то индекс развития человеческого потенциала будет колебаться в среднем от 0,878 до 0,988 %.

12. Найдем средний коэффициент эластичности:

Таким образом, с увеличением доли расходов домашних хозяйств на конечное потребление на 1% объем индекс развития человеческого потенциала увеличивается в среднем на 0,745%.

13. Проверим гипотезу о равенстве параметра b некоторому теоретическому значению b₀. Например: b₀=0,009.

Н₀: b = 0,009

Н₁: b ? 0,009

Конкурирующая гипотеза Н₁ определяет двустороннюю критическую область.

Данная гипотеза проверяется с помощью случайной величины , которая имеет распределение Стьюдента с k=n-2=10-2=8 степенями свободы.

Заполним столбцы 6 и 7 таблицы 1.

Стандартная ошибка коэффициента регрессии:

По выборочным данным:

По таблице критических точек распределения Стьюдента находим:

Построим график распределения Стьюдента (Рис. 6) и сравним и .

Рис. 6 График плотности распределения Стьюдента

Т.к. , то попало в область принятия гипотезы, следовательно, нулевая гипотеза о равенстве параметра b некоторому теоретическому значению b₀ при 5%-ном уровне значимости принимается.

Таким образом, b и b₀ различаются несущественно, незначимо, случайно.

14. На поле корреляции построим график уравнения линейной регрессии (Рис. 1).

Графиком является прямая, которую можно построить по данным столбцов 1 (x_i) и 6 ().

3. Таблица ответов

	Оценки	Стандартные ошибки (s)	Тн	Доверительные интервалы
				Нижняя граница	Верхняя граница
Свободный член а	0,221	= 0,052	4,21	0,1003	0,342
Коэффициент регрессии b	0,0089	= 0,00072	12,41	0,0072	0,011
Прогноз y0	0,933	= 0,0238		0,878	0,988
Уравнение регрессии	0,221+0,0089	= 0,221

Список использованной литературы

1. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс [Текст]: Учеб. 6-е изд., перераб. и доп. М.: Дело, 2004. 576 с.

2. Практикум по эконометрике [Текст]: Учебное пособие / И.И Елисеева [и др.]; под ред. И.И. Елисеевой. УМО, 2-е изд. перераб. и доп. М.: Финансы и статистика, 2010. 344 с.: ил.

3. Соколов Г.А. Эконометрика: теоретические основы [Текст]: Учебное пособие. М.: ИНФРА-М, 2015. 216 с.

4. Суханова Е.И., Ширяева Л.К. Начальный курс эконометрики: руководство к решению задач [Текст]: Учебное пособие / Суханова Е.И., Ширяева Л.К., Л. К. Ширяева. УМО. Самара: СГЭУ, 2006. 192 с.

Размещено на Allbest.ru