Эконометрическое моделирование стоимости квартир в Московской области. Анализ одномерного временного ряда

Размещено на http://www.allbest.ru

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО

ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНУНИВЕРСИТЕТ)

НОВОРОССИЙСКИЙ ФИЛИАЛ ФИНУНИВЕРСИТЕТА

Кафедра «Математика и информатика»

Контрольная работа

по дисциплине: «Эконометрика»

Задача 1

Эконометрическое моделирование стоимости квартир в Московской области

Исследуемые факторы: Y - цена квартиры (тыс. долл.); X₁ - город области (1 - Подольск, 0 - Люберцы); X₂ - число комнат в квартире; X₄ - жилая площадь квартиры (кв. м).

Задание:

1. Рассчитайте матрицу парных коэффициентов корреляции; оцените статистическую значимость коэффициентов корреляции Y с X.

2. Постройте поле корреляции результативного признака и наиболее тесно связанного с ним фактора.

3. Рассчитайте параметры линейной парной регрессии для фактора Х, наиболее тесно связанного с Y.

4. Оцените качество модели через коэффициент детерминации, среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера.

5. По модели осуществите прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости , если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения. Представьте графически фактические и модельные значения, точки прогноза.

6. Используя пошаговую множественную регрессию (метод исключения или метод включения), постройте модель формирования цены квартиры на основе только значимых факторов. Дайте экономическую интерпретацию коэффициентов модели регрессии.

7. Оцените качество построенной модели. Улучшилось ли качество модели по сравнению с однофакторной моделью? Дайте оценку влияния значимых факторов на результат с помощью коэффициентов эластичности, в- и Д-коэффициентов. эконометрический стоимость корреляция регрессия

Таблица 1

Исходные данные для эконометрического моделирования стоимости квартир

Номер наблюдения	Y	X1	X2	X4
1	115	0	4	51,4
2	85	1	3	46
3	69	1	2	34
4	57	1	2	31
5	184,6	0	3	65
6	56	1	1	17,9
7	85	0	3	39
8	265	0	4	80
9	60,65	1	2	37,8
10	130	0	4	57
11	46	1	1	20
12	115	0	3	40
13	70,96	0	2	36,9
14	39,5	1	1	20
15	78,9	0	1	16,9
16	60	1	2	32
17	100	1	4	58
18	51	1	2	36
19	157	0	4	68
20	123,5	1	4	67,5
21	55,2	0	1	15,3
22	95,5	1	3	50
23	57,6	0	2	31,5
24	64,5	1	2	34,8
25	92	1	4	46
26	100	1	3	52,3
27	81	0	2	27,8
28	65	1	1	17,3
29	110	0	3	44,5
30	42,1	1	1	19,1
31	135	0	2	35
32	39,6	1	1	18
33	57	1	2	34
34	80	0	1	17,4
35	61	1	2	34,8
36	69,6	1	3	53
37	250	1	4	84
38	64,5	1	2	30,5
39	125	0	2	30
40	152,3	0	3	55

Решение задачи

1) Рассчитаем матрицу парных коэффициентов корреляции и оценим статистическую значимость коэффициентов корреляции Y с X.

Коэффициент парной корреляции вычисляется по формуле:

.

Для расчета коэффициента корреляции в MS Excel можно использовать функцию =КОРРЕЛ(массив1;масив2). Для построения матрицы парных коэффициентов корреляции можно использовать также надстройку Анализ данных, инструмент Корреляция. Окно Корреляция необходимо заполнить как на рис. 1: в качестве входного интервала необходимо выделить все 4 столбца с данными, а в качестве выходного интервала - область размером 5 на 5.



Рис. 1. Заполнение окна Корреляция исходными данными

В результате получили матрицу парных коэффициентов корреляции (см. рис. 2), так как матрица симметрична относительно диагонали (к примеру, ), то инструмент выдает только часть матрицы.

Парные коэффициенты корреляции могут находиться в границах от +1 до -1, при этом, чем ближе значение по модулю к единице, тем сильнее связь. Также отрицательное значение коэффициента говорит об обратной связи между показателями, а положительное - о прямой связи.

Рис. 2. Матрица парных коэффициентов корреляции

Полученные в матрице значения коэффициентов корреляции Y с X говорят о следующем:

- наиболее тесная прямая связь наблюдается между стоимостью квартиры (Y) и ее жилой площадью (X₄) - 0,83;

- умеренная прямая связь наблюдается между стоимостью квартиры (Y) и числом комнат (X₂) - 0,69;

- заметная обратная связь наблюдается между стоимостью квартиры (Y) и городом ее расположения (X₁) - (-0,40).

Следует также отметить, что между числом комнат (Х₂) и жилой площадью (Х₄) квартиры наблюдается очень тесная связь - 0,92. А между парами признаков Х₁ - Х₂ и Х₁ - Х₄ наблюдается слабая отрицательная зависимость (-0,16 и -0,11 соответственно).

Статистическую значимость коэффициентов корреляции Y с X оценим при помощи t-критерия Стьюдента по формуле:

,

где r_Y,X - коэффициент корреляции признака Y и соответствующего фактора;

n - количество наблюдений.

Полученные расчеты представлены на рис. 3. Там же при помощи функции =СТЬЮДРАСПОБР(вероятность;степени_свободы) рассчитано критическое (табличное) значение критерия. В расчетах используем число степеней свободы и уровень значимости .

Рис. 3. Оценка значимости коэффициентов корреляции

Все полученные расчетные значения критерия Стьюдента превышают табличное, значит можно сделать вывод о значимости всех трех парных коэффициентов корреляции. С вероятностью 90% () коэффициенты корреляции значимо отличаются от нуля.

2) Построим поле корреляции результативного признака (Y) и наиболее тесно связанного с ним фактора (Х₄ - жилая площадь квартиры). На рис. 4 кроме непосредственно корреляционного поля добавим также линию тренда и выведем ее уравнение и коэффициент детерминации.

Рис. 4. Корреляционное поле для пары компонентов Y и X₄

Как видно на рисунке, между признаками, действительно, наблюдается тесная прямая возрастающая связь, близкая к линейному виду.

3) Рассчитаем параметры линейной парной регрессии для фактора Х, наиболее тесно связанного с Y.

В MS Excel оценить параметры модели парной регрессии можно при помощи инструмента Регрессия из надстройки Анализ данных. Вторым вариантом является использование функции =ЛИНЕЙН(), но при этом следует помнить, что необходимо выделить две ячейки и после ввода функции нажать Ctrl+Shift+Enter. В результате будут получены параметры уравнения, оцененные МНК в обратном порядке (сначала коэффициент при Х, а затем свободный член).

В общем виде уравнение парной регрессии для фактора Х₄ будет представляться в виде: . Результаты использования функции =ЛИНЕЙН() представлены на рис. 5.

Рис. 5. Результаты расчета параметров линейной парной регрессии

Значит, уравнение парной регрессии для фактора Х, наиболее тесно связанного с Y примет вид: .

Следует отметить, что полученные результаты совпали с уравнением линии тренда на рис. 4, значит, вычисления проведены верно.

4) Оценим качество модели через коэффициент детерминации, среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера.

Оценка качества модели также может быть проведена в MS Excel двумя методами: при помощи инструмента Регрессия и при помощи функции =ЛИНЕЙН().

При использовании второго метода следует выделить вместо двух соседних ячеек область 2Ч5, тогда функция выдаст некоторые дополнительные расчетные показатели (см. табл. 2).

Таблица 2

Параметры парной линейной регрессии

Значение коэффициента b	Значение коэффициента а
Среднеквадратическое отклонение b	Среднеквадратическое отклонение а
Коэффициент детерминации R2	Среднеквадратическое отклонение Y
F-статистика	Число степеней свободы
Регрессионная сумма квадратов	Остаточная сумма квадратов

Коэффициент детерминации определяется по формуле:

,

где - рассчитанные по линейной модели значения результативного признака;

- среднее значение результативного признака.

Критерий Фишера или F-статистика определяется по формуле:

.

После автоматического расчета средствами MS Excel (рис. 6) получили следующие значения: или 68,29% и .

Рис. 6. Результаты расчета дополнительных параметров регрессии

Полученная величина коэффициента детерминации свидетельствует о том, что связь между стоимостью квартиры и ее жилой площадью тесная: стоимость квартиры на 68,29% зависит от ее жилой площади.

Для анализа критерия Фишера необходимо сравнить полученный результат с табличным значением. При числе степеней свободы и уровне значимости этот критерий составит примерно 4,08. Так как F_факт > F_табл (81,84 > 4,08), можно сделать вывод, что уравнение регрессии с вероятностью 0,9 статистически значимое.

Средняя ошибка аппроксимации определяется по формуле:

,

где n - число наблюдений;

Y_i - исходное i-е значение результативного признака;

- расчетное i-е значение результативного признака.

Для расчета этого показателя необходимо провести некоторые вспомогательные расчеты (см. табл. 3).

Таблица 3

Расчет средней относительной ошибки аппроксимации

№	Y	X4	Y	|(Y-Y) / Y|	(X-Xср.)2	№	Y	X4	Y	|(Y-Y) / Y|	(X-Xср.)2
1	115	51,4	121,89	0,06	138,83	21	55,2	15,3	35,37	0,36	591,34
2	85	46	108,95	0,28	40,74	22	95,5	50	118,53	0,24	107,80
3	69	34	80,19	0,16	31,56	23	57,6	31,5	74,19	0,29	65,89
4	57	31	73,00	0,28	74,26	24	64,5	34,8	82,10	0,27	23,21
5	184,6	65	154,48	0,16	644,27	25	92	46	108,95	0,18	40,74
6	56	17,9	41,60	0,26	471,65	26	100	52,3	124,05	0,24	160,85
7	85	39	92,17	0,08	0,38	27	81	27,8	65,33	0,19	139,65
8	265	80	190,44	0,28	1630,75	28	65	17,3	40,16	0,38	498,07
9	60,65	37,8	89,29	0,47	3,30	29	110	44,5	105,35	0,04	23,84
10	130	57	135,31	0,04	302,15	30	42,1	19,1	44,48	0,06	420,97
11	46	20	46,63	0,01	384,85	31	135	35	82,58	0,39	21,32
12	115	40	94,57	0,18	0,15	32	39,6	18	41,84	0,06	467,32
13	70,96	36,9	87,14	0,23	7,38	33	57	34	80,19	0,41	31,56
14	39,5	20	46,63	0,18	384,85	34	80	17,4	40,40	0,49	493,62
15	78,9	16,9	39,20	0,50	516,08	35	61	34,8	82,10	0,35	23,21
16	60	32	75,39	0,26	58,03	36	69,6	53	125,72	0,81	179,09
17	100	58	137,71	0,38	337,92	37	250	84	200,02	0,20	1969,81
18	51	36	84,98	0,67	13,09	38	64,5	30,5	71,80	0,11	83,13
19	157	68	161,68	0,03	805,57	39	125	30	70,60	0,44	92,50
20	123,5	67,5	160,48	0,30	777,43	40	152,3	55	130,52	0,14	236,62
Сумма	3746,01	1584,7	3746,01	10,4665	12293,74
Среднее	93,65	39,62	93,65	0,26	307,34

Как видно из расчетов сумма расчетных значений результативного признака совпали с суммой исходных данных (3746,01), что говорит о высоком качестве линейной модели.

Средняя относительная ошибка аппроксимации составит:

.

Полученный результат 26,17% говорит о достаточно большой относительной ошибке (рекомендуемое значение ошибки не больше 10%).

5) По модели осуществим прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости , если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения.

Максимальное значение фактора (№ 37), тогда 80% от максимального значения (прогнозное значение фактора) составит:

.

Точечный прогноз () определяется при помощи уравнения парной регрессии:

тыс. долл.

Таким образом, прогнозная стоимость квартиры с жилой площадью 67,2 кв. м. составит 159,98 тыс. долл.

Теперь необходимо определить границы доверительного интервала. в которых будет находиться точечный прогноз: .

При уровне значимости доверительная вероятность составит 90%, а критерий Стьюдента при равен 1,6860.

Ширину доверительного интервала вычисляется по формуле:

,

где .

Показатель нет необходимости вычислять дополнительно, так как он соответствует показателю Остаточная сумма квадратов, рассчитанному при помощи функции =ЛИНЕЙН (см. табл. 2).

Тогда .

Вспомогательные расчеты приведены в табл. 3.

.

Таким образом, с вероятностью 90% средняя стоимость квартиры с жилой площадью 67,2 кв. м будет находиться в пределах от 108,36 до 211,6 тыс. долл. при средней стоимости 159,98 тыс. долл. ().

Представим графически фактические и модельные значения, точки прогноза (рис. 7).

Рис. 7. Прогноз среднего значения показателя Y при прогнозе фактора X₄ на уровне 80% от его максимального значения

6) Используя пошаговую множественную регрессию (метод включения), построим модель формирования цены квартиры на основе только значимых факторов.

Так как согласно критерию Стьюдента все три фактора считаются значимыми, то включим в регрессию все три фактора.

Начнем с наиболее значимого фактора (Х₄), регрессия для которого уже построена, и включим пошагово два оставшихся фактора, начиная с более значимого (сначала фактор Х₂, а затем Х₁).

В общем виде уравнение множественной регрессии имеет вид:

.

Для решаемой задачи уравнение регрессии будет преобразовываться по следующей схеме:

1) ;

2) ;

3) .

Вновь используем функцию =ЛИНЕЙН(), только теперь выделим строку длиной в три ячейки (см. рис. 8).

Рис. 8. Результаты расчета параметров уравнения множественной регрессии (включены два фактора)

В итоге получили следующее уравнение: .

Теперь включим в полученное уравнение третий фактор. Так как в дальнейшем потребуется оценить полученную модель, проведем расширенный анализ при помощи функции =ЛИНЕЙН() (выделим область 4Ч5) и получим некоторые дополнительные показатели. Результаты расчета регрессии представлены на рис. 9. В итоге для трехфакторной модели получим уравнение регрессии: .



Рис. 9. Результаты расчета параметров уравнения множественной регрессии (включены три фактора)

Дадим экономическую интерпретацию коэффициентов модели регрессии:

- если жилая площадь квартиры (Х₄) увеличится на 1 кв. м, то стоимость квартиры вырастет в среднем на 3,85 тыс. долл. и наоборот;

- если количество комнат (Х₂) вырастет на 1, то стоимость квартиры упадет в среднем на 28,53 тыс. долл.;

- если квартира расположена в городе Подольске (Х₁ = 1), то стоимость квартиры будет в среднем ниже на 36,18 тыс. долл. по сравнению с аналогичной квартирой, расположенной в городе Люберцы (Х₁ = 0).

7) Оценим качество построенной модели и сравним ее с однофакторной моделью.

Проведем оценку качества многофакторной модели на основе показателей, использованных ранее: коэффициента детерминации, средней ошибки аппроксимации и F-критерия.

Сначала проведем вспомогательные расчеты для определения средней ошибки аппроксимации (см. табл. 4).

Как видно из расчетов сумма расчетных значений совпали с суммой исходных данных (3746,01), что говорит о высоком качестве многофакторной модели. Средняя относительная ошибка аппроксимации составит:

.

Таблица 4

Расчет средней относительной ошибки аппроксимации

№ п/п	Y	Y	|(Y - Y) / Y|	№ п/п	Y	Y	|(Y - Y) / Y|
1	115	114,15	0,01	21	55,2	60,80	0,10
2	85	85,72	0,01	22	95,5	101,12	0,06
3	69	68,07	0,01	23	57,6	94,62	0,64
4	57	56,52	0,01	24	64,5	71,15	0,10
5	184,6	195,02	0,06	25	92	57,19	0,38
6	56	34,63	0,38	26	100	109,97	0,10
7	85	94,96	0,12	27	81	80,38	0,01
8	265	224,22	0,15	28	65	32,33	0,50
9	60,65	82,69	0,36	29	110	116,12	0,06
10	130	135,70	0,04	30	42,1	39,25	0,07
11	46	42,72	0,07	31	135	108,09	0,20
12	115	98,80	0,14	32	39,6	35,02	0,12
13	70,96	115,41	0,63	33	57	68,07	0,19
14	39,5	42,72	0,08	34	80	68,89	0,14
15	78,9	66,96	0,15	35	61	71,15	0,17
16	60	60,37	0,01	36	69,6	112,66	0,62
17	100	103,37	0,03	37	250	203,44	0,19
18	51	75,77	0,49	38	64,5	54,60	0,15
19	157	178,04	0,13	39	125	88,85	0,29
20	123,5	139,94	0,13	40	152,3	156,54	0,03
Сумма	3746,01	3746,01	7,1257
Среднее	93,65	93,65	0,18

Теперь сравним две модели:

- коэффициент детерминации для парной регрессии составил 68,29%, а для множественной - 83,53%, т.е. качество модели повысилось;

- средняя ошибка аппроксимации уменьшилась с 26,17% до 17,81%, что вновь говорит об улучшении модели;

- расчетный критерий Фишера для многофакторной модели (60,87) превышает табличное значение (для числа степеней свободы 36 и уровня значимости оно составит 3,86), т.е. можно сделать вывод о том, что и это уравнение регрессии с вероятностью 0,9 статистически значимо.

В целом можно сделать вывод, что включение в парную регрессию дополнительных факторов повысило ее качество.

Дадим оценку влияния значимых факторов на результат с помощью коэффициентов эластичности, в- и Д-коэффициентов.

Коэффициент эластичности рассчитывается по формуле:

.

Для каждого фактора он составит:

1) ;

2) ;

3) .

Согласно полученным результатам, если показатель Х₁ изменится на 1%, то Y изменится на -0,22%. Если фактор Х₂ изменится на 1%, то стоимость квартиры упадет на 0,73%. Если жилая площадь квартиры поднимется на 1%, то стоимость такой квартиры вырастет на 1,63%.

Бета-коэффициент рассчитывается по формуле:

,

где и .

Вспомогательные расчеты приведены в табл. 5. В результате получим промежуточные данные:

; ;

; .

в-коэффициенты для каждого фактора составят:

; ;

.

Таблица 5

Вспомогательные расчеты

№ п/п	Y	X1	X2	X4	(X1-X1ср.)2	(X2-X2ср.)2	(X4-X4ср.)2	(Y-Yср.)2
1	115	0	4	51,4	0,33	2,56	138,83	455,81
2	85	1	3	46	0,18	0,36	40,74	74,83
3	69	1	2	34	0,18	0,16	31,56	607,63
4	57	1	2	31	0,18	0,16	74,26	1343,24
5	184,6	0	3	65	0,33	0,36	644,27	8271,86
6	56	1	1	17,9	0,18	1,96	471,65	1417,54
7	85	0	3	39	0,33	0,36	0,38	74,83
8	265	0	4	80	0,33	2,56	1630,75	29360,74
9	60,65	1	2	37,8	0,18	0,16	3,30	1089,02
10	130	0	4	57	0,33	2,56	302,15	1321,30
11	46	1	1	20	0,18	1,96	384,85	2270,55
12	115	0	3	40	0,33	0,36	0,15	455,81
13	70,96	0	2	36,9	0,33	0,16	7,38	514,85
14	39,5	1	1	20	0,18	1,96	384,85	2932,25
15	78,9	0	1	16,9	0,33	1,96	516,08	217,57
16	60	1	2	32	0,18	0,16	58,03	1132,34
17	100	1	4	58	0,18	2,56	337,92	40,32
18	51	1	2	36	0,18	0,16	13,09	1819,04
19	157	0	4	68	0,33	2,56	805,57	4013,19
20	123,5	1	4	67,5	0,18	2,56	777,43	891,01
21	55,2	0	1	15,3	0,33	1,96	591,34	1478,42
22	95,5	1	3	50	0,18	0,36	107,80	3,42
23	57,6	0	2	31,5	0,33	0,16	65,89	1299,62
24	64,5	1	2	34,8	0,18	0,16	23,21	849,74
25	92	1	4	46	0,18	2,56	40,74	2,72
26	100	1	3	52,3	0,18	0,36	160,85	40,32
27	81	0	2	27,8	0,33	0,16	139,65	160,03
28	65	1	1	17,3	0,18	1,96	498,07	820,84
29	110	0	3	44,5	0,33	0,36	23,84	267,31
30	42,1	1	1	19,1	0,18	1,96	420,97	2657,43
31	135	0	2	35	0,33	0,16	21,32	1709,80
32	39,6	1	1	18	0,18	1,96	467,32	2921,43
33	57	1	2	34	0,18	0,16	31,56	1343,24
34	80	0	1	17,4	0,33	1,96	493,62	186,33
35	61	1	2	34,8	0,18	0,16	23,21	1066,04
36	69,6	1	3	53	0,18	0,36	179,09	578,41
37	250	1	4	84	0,18	2,56	1969,81	24445,24
38	64,5	1	2	30,5	0,18	0,16	83,13	849,74
39	125	0	2	30	0,33	0,16	92,50	982,81
40	152,3	0	3	55	0,33	0,36	236,62	3439,79
Сумма	3746,01	23	96,00	1584,70	9,78	43,60	12293,74	103406,41
Среднее	93,65	0,58	2,40	39,62	0,24	1,09	307,34	2585,16

Данный коэффициент показывает, на какую часть величины своего среднеквадратического отклонения (СКО) изменится зависимая переменная (Y), если независимая переменная (Х) изменится на всю величину своего СКО. Таким образом:

- если переменная Х₁ изменится на 0,5, то результирующий признак сократится примерно на 18,02 тыс. долл. ();

- если переменная Х₂ изменится на 1,06, то стоимость квартиры сократится на 30,38 тыс. долл. ();

- если жилая площадь квартиры (Х₄) вырастет на 17,75 кв. м, то стоимость квартиры вырастет примерно на 68,48 тыс. долл. ().

Дельта-коэффициент рассчитывается по формуле:

.

Для трех факторов этот показатель составит:

1) ;

2) ;

3) .

Д-коэффициент показывает долю влияния каждого фактора в их суммарном влиянии. Можно сказать, что наибольшее влияние оказывает последний фактор - жилая площадь квартиры. Обратное влияние оказывает второй фактор и слабое влияние - первый.

Задача 2

Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен в таблице 6.

Таблица 6

Номер наблюдения (t = 1, 2, …, 9)
1	2	3	4	5	6	7	8	9
3	7	10	11	15	17	21	25	23

Требуется:

1) Проверить наличие аномальных наблюдений.

2) Построить линейную модель , параметры которой оценить МНК ( - расчетные, смоделированные значения временного ряда).

3) Оценить адекватность модели, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7-3,7).

4) Оценить точность на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

5) Осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).

6) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

Решение задачи

1) Проверим наличие аномальных наблюдений. Будем использовать метод Ирвина. Для этого определим показатель л_t для каждого наблюдения по формуле:

,

где .

Вспомогательные вычисления, проведенные в MS Excel, представлены на рис 10.

Рис. 10. Результаты проверки на наличие аномальных наблюдений

Все , следовательно, среди наблюдений нет аномальных.

2) Построим линейную модель регрессии , параметры которой оценим МНК по формулам:

; .

В MS Excel эти расчеты можно провести при помощи функции =ЛИНЕЙН(). Результаты использования функции приведены на рис. 11.

Рис. 11. Результаты расчета параметров линейной модели

Таким образом, уравнение линейной регрессии примет вид:

.

3) Оценим адекватность модели, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения.

Независимость остаточной компоненты оценивается при помощи d-критерия Дарбина-Уотсона по формуле:

.

Проведем сначала вспомогательные расчеты, которые представлены в табл. 7.

Таблица 7

Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели

t	yt	yt	et	et2	(et-et-1)2	точки пиков	| et / yt |·100%
1	3	3,87	-0,87	0,75	-	-	28,89
2	7	6,57	0,43	0,19	1,69	0	6,19
3	10	9,27	0,73	0,54	0,09	1	7,33
4	11	11,97	-0,97	0,93	2,89	1	8,79
5	15	14,67	0,33	0,11	1,69	1	2,22
6	17	17,37	-0,37	0,13	0,49	1	2,16
7	21	20,07	0,93	0,87	1,69	0	4,44
8	25	22,77	2,23	4,99	1,69	1	8,93
9	23	25,47	-2,47	6,08	22,09	-	10,72
Сумма	132	132	0,00	14,60	32,32	5	79,68
Среднее	14,67						1,99

Критические значения d_статистики для числа наблюдений n=9 и уровня значимости =0,05 составляют: d₁=0,82; d₂=1,32. Расчетное значение d-критерия составило:

.

Так как полученное значение находится в интервале от 2 до 4, то его преобразуют по формуле: . Значение dw' входит в интервал от d₂ до 2, делается вывод об отсутствии автокорреляции.

Проверку случайности проведем на основе критерия пиков (поворотных точек). Если уровень последовательности e_t является максимумом (т.е. он одновременно больше и e_t+1 и e_t-1) или минимумом (e_t одновременно меньше и e_t+1 и e_t-1), то он считается пиком (поворотной точкой).

Критерием случайности с уровнем значимости 0,05 (или с доверительной вероятностью 95%) является выполнение неравенства (квадратные скобки означают целую часть числа):

,

где и .

В итоге получим неравенство:

;

;

;

.

Неравенство выполняется и модель по данному свойству адекватна.

Соответствие нормальному закону распределения определим при помощи R/S-критерия (табулированные границы 2,7-3,7):

,

где - максимальный уровень ряда остатков;

- минимальный уровень ряда остатков;

- среднеквадратическое отклонение, вычисляется по формуле:

.

Тогда R/S-критерий будет равен:

.

Расчетное значение R/S-критерия попадает в интервал между критическими границами, следовательно, гипотеза о нормальном распределении подтвердилась.

Таким образом, по всем трем критериям полученная линейная модель адекватна.

4) Оценим точность модели на основе средней относительной ошибки аппроксимации. Данный показатель рассчитывается по формуле:

.

Промежуточные расчеты приведены в табл. 7. Таким образом, средняя ошибка аппроксимации составила:

.

Средняя относительная ошибка аппроксимации менее 10%, что свидетельствует о высокой точности линейной модели.

5) Осуществим прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитаем при доверительной вероятности 70%). Сначала построим точечный прогноз, подставляя в линейную модель значения t = 10, а затем 11:

млн. руб.;

млн. руб.

Ширина доверительного интервала для построения интервального прогноза рассчитывается по формуле:

,

где .

При доверительной вероятности 70% уровень значимости составит . При таком уровне значимости и числе степеней свободы критерий Стьюдента составит 1,12.

Вспомогательные расчеты приведены в табл. 8.

Таблица 8

Вспомогательные расчеты

	t	t - tср.	(t - tср.)2
	1	-4	16
	2	-3	9
	3	-2	4
	4	-1	1
	5	0	0
	6	1	1
	7	2	4
	8	3	9
	9	4	16
Сумма	45		60
Среднее	5

Ширина доверительного интервала для прогноза на первую неделю составит:

Ширина доверительного интервала для прогноза на вторую неделю составит:

Теперь вычислим границы прогноза:

- для первой недели он составит от 26,18 млн. руб. (28,17+1,99) до 30,16 млн. руб. (28,17-1,99);

- для второй недели интервал составит от 28,76 млн. руб. (30,87-2,11) до 32,98 млн. руб. (30,87+2,11).

Таким образом, с вероятностью 70% фактическое значение спроса на кредитные ресурсы на следующей неделе будет находиться в интервале 28,17±1,99 млн. руб., а через две недели - в интервале 30,87±2,11 млн. руб.

6) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представим графически (рис. 12).



Рис. 12. Результаты моделирования и прогнозирования

Как видно на графике, уравнение регрессии совпало с рассчитанным, а значение коэффициента детерминации R²=96,77% говорит о высокой точности модели.

Список использованной литературы

1. Орлова И. В., Половников В. А. - Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование: Учебное пособие. - М.: Вузовский учебник, 2007. - 365 с.

2. Орлова И. В. - Экономико-математические модели и методы. Практическое пособие по решению задач. - Москва, 2003.

3. Орлова И. В. - Экономико-математические методы и модели. Выполнение расчетов в среде Excel / Практикум: Учебное пособие для вузов. - М.: ЗАО «Финстатинформ», 2000. - 136 с.

4. Эконометрика: Учебник / Под ред. И. И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2004. - 351 с.

5. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебное пособие для вузов/ В. В. Федосеев, А. Н. Гармаш, Д. М. Дайитбегов и др.; Под редакцией В. В. Федосеева. - М.: ЮНИТИ, 2001. - 391 с.

Размещено на Allbest.ru