Экономическое моделирование временных рядов

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

НИЖЕГОРОДСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ

СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ

Экономический факультет

Кафедра «ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ»

Реферат

на тему: «Экономическое моделирование временных рядов»

Выполнил: Панфёров Денис

студент магистратуры

Группы 19 м

Проверила: Лаптева Е.А. , к.э.н., доцент

Нижний Новгород 2016

1. Виды эконометрических моделей и примеры их использования в эконометрическом анализе

моделирование временной переменная автокорреляция

Главным инструментом эконометрического исследования является модель. Выделяют три основных класса эконометрических моделей:

1) модель временных рядов;

2) модели регрессии с одним уравнением;

3) системы одновременных уравнений.

Моделью временных рядов называется зависимость результативной переменной от переменной времени или переменных, относящихся к другим моментам времени.

К моделям временных рядов, характеризующих зависимость результативной переменной от времени, относятся:

а) модель зависимости результативной переменной от трендовой компоненты или модель тренда;

б) модель зависимости результативной переменной от сезонной компоненты или модель сезонности;

в) модель зависимости результативной переменной от трендовой и сезонной компонент или модель тренда и сезонности.

К моделям временных рядов, характеризующих зависимость результативной переменной от переменных, датированных другими моментами времени, относятся:

а) модели с распределённым лагом, объясняющие вариацию результативной переменной в зависимости от предыдущих значений факторных переменных;

б) модели авторегрессии, объясняющие вариацию результативной переменной в зависимости от предыдущих значений результативных переменных;

в) модели ожидания, объясняющие вариацию результативной переменной в зависимости от будущих значений факторных или результативных переменных.[3, с.35]

Кроме рассмотренной классификации, модели временных рядов делятся на модели, построенные по стационарным и нестационарным временным рядам.

Стационарным временным рядом называется временной ряд, который характеризуется постоянными во времени средней, дисперсией и автокорреляцией, т. е. данный временной ряд не содержит трендовой и сезонной компонент.

Нестационарным временным рядом называется временной ряд, который содержит трендовую и сезонную компоненты.

Определение. Моделью регрессии с одним уравнением называется зависимость результативной переменной, обозначаемой как у, от факторных (независимых) переменных, обозначаемых как х1,х2,…,хn. Данную зависимость можно представить в виде функции регрессии или модели регрессии:

y=f(x,

где - параметры модели регрессии.

Можно выделить две основных классификации моделей регрессии::

а) классификация моделей регрессии на парные и множественные регрессии в зависимости от числа факторных переменных;

б) классификация моделей регрессии на линейные и нелинейные регрессии в зависимости от вида функции f(x,

В качестве примеров моделей регрессии с одним уравнением можно привести следующие модели:

а) производственная функция вида Q=f(L,K), выражающая зависимость объёма производства определённого товара (Q) от производственных факторов - от затрат капитала (К) и затрат труда (L);

б) функция цены Р=f(Q,Pk), характеризующая зависимость цены определённого товара (Р) от объема поставки (Q) и от цен конкурирующих товаров (Pk);

в) функция спроса Qd=f(P,Pk,I), характеризующая зависимость величины спроса на определённый товар (Р) от цены данного товара (Р), от цен товаров-конкурентов (Pk) и от реальных доходов потребителей (I).

Системой одновременных уравнений называется модель, которая описывается системами взаимозависимых регрессионных уравнений.[5,с. 128]

Системы одновременных уравнений могут включать в себя тождества и регрессионные уравнения, в каждое из которых могут входить не только факторные переменные, но и результативные переменные из других уравнений системы.

Регрессионные уравнения, входящие в систему одновременных уравнений, называются поведенческими уравнениями. В поведенческих уравнениях значения параметров являются неизвестными и подлежат оцениванию.

Основное отличие тождеств от регрессионных уравнений заключается в том, что их вид и значения параметров известны заранее.

Примером системы одновременных уравнений является модель спроса и предложения, в которую входит три уравнения:

а) уравнение предложения: =а0+а1*Рt+a2*Pt-1;

б) уравнение спроса: =b0+b1* Рt+b2*It;

в) тождество равновесия: QSt = Qdt,

где QSt - предложение товара в момент времени t;

Qdt - спрос на товар в момент времени t;

Рt - цена товара в момент времени t;

Pt-1 - цена товара в предшествующий момент времени (t-1);

It- доход потребителей в момент времени.

В модели спроса и предложения выражаются две результативные переменные:

а) Qt- объём спроса, равный объёму предложения в момент времени t;

б) Pt- цена товара в момент времени t.

2. Лаговые модели

Для многих экономических процессов характерно, что эффект от воздействия некоторого фактора на показатель, характеризующий процесс, оказывается не сразу, а постепенно, через некоторое время или в течение некоторого времени. Такое явление называется запаздыванием (задержкой), а промежуток времени, в который наблюдается это запаздывание, -- временным лагом, или просто лагом.

Модели, в которых исследуемый показатель в момент времени t определяется

не только текущими, но и предварительным значениями независимых переменных, называются дистрибутивно-лагов

Модели, в которых исследуемый показатель в момент времени t определяется своими предыдущими значениями, называются авторегрессионные или динамическими моделями.

Если в эконометрической модели независимые переменные используют за несколько предыдущих периодов, то такие модели называют моделями с конечным лагом (конечными моделями). Если влияние независимой переменной не ограничивается определенным периодом, рассматривают бесконечные лаговые модели. Конечно, бесконечная лагов модель более общая, однако практическое применение такой модели весьма проблематично из-за обилия факторов, сложность внутренней структуры и ограниченность временных рядов -- информационной базы моделей. [1, с. 57]

3. Виды структуры оператора запаздывания во времени экзогенных переменных

Модель Бокса и Дженкинса

Процедуры оценки параметров и прогнозирования, описанные в разделе Идентификация модели временных рядов, предполагают, что математическая модель процесса известна. В реальных данных часто нет отчетливо выраженных регулярных составляющих. Отдельные наблюдения содержат значительную ошибку, тогда как вы хотите не только выделить регулярные компоненты, но также построить прогноз. Методология АРПСС, разработанная Боксом и Дженкинсом (1976), позволяет это сделать. Данный метод чрезвычайно популярен во многих приложениях, и практика подтвердила его мощность и гибкость (Hoff, 1983; Pankratz, 1983; Vandaele, 1983). Однако из-за мощности и гибкости, АРПСС - сложный метод. Его не так просто использовать, и требуется большая практика, чтобы овладеть им. Хотя часто он дает удовлетворительные результаты, они зависят от квалификации пользователя (Bails and Peppers, 1982). Следующие разделы познакомят вас с его основными идеями. Для интересующихся кратким, рассчитанным на применение, (нематематическим) введением в АРПСС, рекомендуем книгу McCleary, Meidinger, and Hay (1980). [2, с. 236]

Процесс авторегрессии. Большинство временных рядов содержат элементы, которые последовательно зависят друг от друга. Такую зависимость можно выразить следующим уравнением:

xt = + 1*x(t-1) + 2*x(t-2) + 3*x(t-3) + ... +

Здесь:

- константа (свободный член),

1, 2, 3 - параметры авторегрессии.

Вы видите, что каждое наблюдение есть сумма случайной компоненты (случайное воздействие, ) и линейной комбинации предыдущих наблюдений.

Требование стационарности. Заметим, что процесс авторегрессии будет стационарным только, если его параметры лежат в определенном диапазоне. Например, если имеется только один параметр, то он должен находиться в интервале -1<<+1. В противном случае, предыдущие значения будут накапливаться и значения последующих xt могут быть неограниченными, следовательно, ряд не будет стационарным. Если имеется несколько параметров авторегрессии, то можно определить аналогичные условия, обеспечивающие стационарность (см. например, Бокс и Дженкинс, 1976; Montgomery, 1990).

Процесс скользящего среднего. В отличие от процесса авторегрессии, в процессе скользящего среднего каждый элемент ряда подвержен суммарному воздействию предыдущих ошибок. В общем виде это можно записать следующим образом:

xt = µ + t - 1*(t-1) - 2*(t-2) - 3*(t-3) - ...

Здесь:

µ - константа,

1, 2, 3 - параметры скользящего среднего.

Другими словами, текущее наблюдение ряда представляет собой сумму случайной компоненты (случайное воздействие, ) в данный момент и линейной комбинации случайных воздействий в предыдущие моменты времени.

Обратимость. Не вдаваясь в детали, отметим, что существует "двойственность" между процессами скользящего среднего и авторегрессии (см. например, Бокс и Дженкинс, 1976; Montgomery, Johnson, and Gardiner, 1990). Это означает, что приведенное выше уравнение скользящего среднего можно переписать (обратить) в виде уравнения авторегрессии (неограниченного порядка), и наоборот. Это так называемое свойство обратимости. Имеются условия, аналогичные приведенным выше условиям стационарности, обеспечивающие обратимость модели.

Распределённый лаг Алмона

Обычная проблема, возникающая в множественной регрессии, состоит в том, что соседние значения x сильно коррелируют. В самом крайнем случае, это приводит к тому, что корреляционная матрица не будет обратимой и коэффициенты бета не могут быть вычислены. В менее экстремальных ситуациях вычисления этих коэффициентов и их стандартные ошибки становятся ненадежными из-за вычислительных ошибок (ошибок округления). В контексте множественной регрессии эта проблема хорошо известна как проблема мультиколлинеарность.

Алмон (1965) предложил специальную процедуру, которая в данном случае уменьшает мультиколлинеарность. Именно, пусть каждый неизвестный коэффициент записан в виде:

i = 0 + 1*i + ... + q*iq

Алмон показал, что во многих случаях (в частности, чтобы избежать мультиколлинеарности) легче оценить коэффициенты альфа, чем непосредственно коэффициенты бета. Такой метод оценивания коэффициентов бета называется полиномиальной аппроксимацией.

Неправильная спецификация. Общая проблема полиномиальной аппроксимации, состоит в том, что длина лага и степень полинома неизвестны заранее. Последствия неправильного определения (спецификации) этих параметров потенциально серьезны (в силу смещения, возникающего в оценках при неправильном задании параметров).

Пример. Имеются следующие данные (х -- доход, ден. ед., y -- расход на потребление некоторого блага; табл. 1).

Таблица 1

Условное время	X	y	Z0	Z1	Z2
1	11,4	13,2	-	-	-
2	11,8	14	-	-	-
3	7,1	12,5	-	-	-
4	10,4	13	40,7	64,9	156,9
5	7,5	11,5	36,8	60	145
6	14	13,8	39	49,6	113
7	9,9	13,8	41,8	60,2	137,6
8	14,4	15,9	45,8	60,4	133,4
9	9	14	47,3	76,2	180
10	9,4	13,3	42,7	67,5	155,7
11	14,9	15,7	47,7	70,6	175
12	15,3	16,9	48,6	60,7	133,5
13	12,8	16,5	52,4	73,3	159,5
14	14,8	17,6	57,8	88,1	208,1
15	9,6	15,3	52,5	86,3	203,7
16	18	18,1	55,2	77,6	184
17	11,3	16,8	53,7	81,6	189,6
18	9,8	14,8	48,7	76,1	169,7

Пусть число лагов равно трем и веса в модели Алмон подчиняются полиному второй степени, т.е.

Тогда модель примет вид:

После оценки параметров получим эмпирическое уравнение регрессии:

Следовательно

Возвращаясь к исходным переменным, получим:

Нелинейный метод наименьших квадратов. Метод Койка

В случае если модель с распределенным лагом характеризуется бесконечной величиной максимального лага L, то для оценивания неизвестных параметров данной модели применяются нелинейный метод наименьших квадратов и метод Койка. При ???м исходят из предположения о геометрической структуре лага, т. е. влияние лаговых значений факторной переменной на результативную переменную уменьшается с увеличением величины лага в геометрической прогрессии.

В случае если в модель включена только одна объясняющая переменная, то её можно представить в виде:

В модели с распределённым лагом (1) неизвестными будут три параметра: в0, в1 и л. Найти оценки данных параметров с помощью традиционного метода наименьших квадратов невозможно по нескольким причинам, по???му в данном случае могут быть использованы нелинейный метод наименьших квадратов и метод Койка

Суть нелинейного метода наименьших квадратов состоит по сути в том, что для параметра

л определяются значения в интервале [-1;+1] с определённым шагом, например, 0,05 (чем меньше шаг, тем точнее будет результат).

Несмотря на то, что метод Койка очень удобен в вычислительном отношении (оценки параметровв0, в1 и л можно рассчитать с помощью традиционного метода наименьших квадратов), оценки, полученные с его помощью, будут смещёнными и несостоятельными, т. к. нарушается первое условие нормальной линейной модели регрессии.

4. Примеры лаговых моделей в экономике

Модель адаптивных ожиданий

Моделью адаптивных ожиданий называется динамическая эконометрическая модель, которая учитывает предполагаемое (или желаемое) значение факторной переменной



в момент времени (t+1).

Общий вид модели адаптивных ожиданий:

Предполагаемое (ожидаемое) значение переменной

в момент времени (t+1) рассчитывается на основании значений фактических (реальных) переменных в предшествующий момент времени t.

Примером модели адаптивных ожиданий является модель зависимости размера предполагаемой в будущем периоде (t+1) индексации заработных плат и пенсий на текущие цены, или модель зависимости объёма текущих инвестиций в момент времени t от ожидаемого курса валюты в момент времени (t+1).

Механизм формирования ожиданий в модели адаптивных ожиданий можно представить следующим образом:

Следовательно, ожидаемое значение переменной xt в следующий момент времени (t+1) можно определить как среднее арифметическое взвешенное значение её фактического xtи ожидаемого

значений в текущем периоде t.

Величина называется параметром адаптации. Чем больше величина параметра адаптации, тем быстрее ожидаемое значение адаптируется предыдущим фактическим событиям xt. Чем меньше величина данного параметра, тем ближе ожидаемое в будущем значение

к ожидаемому значению предшествующего периода

что характеризует сохранение тенденций в ожиданиях.

Модель адаптивных ожиданий содержит предполагаемые значения факторной переменной, которые нельзя получить эмпирическим путём, поэтому применение традиционного метода наименьших квадратов для оценки неизвестных коэффициентов данной модели невозможно.

Для определения оценок неизвестных коэффициентов исходной модели адаптивных ожиданий (1) её необходимо преобразовать.

Подставим выражение (2) в исходную модель (1):

Исходя из предположения о том, что если модель адаптивных ожиданий (1) верна для момента времени t, то она будет верна и для момента времени (t-1), запишем модель адаптивных ожиданий для периода (t-1):

Умножив данное выражение на (1-?), получим:

Далее вычтем почленно полученное выражение из модели (3):

Преобразованная модель (4) является обычной моделью авторегрессии. Оценки неизвестных коэффициентов данной модели можно рассчитать с помощью метода инструментальных переменных. После определения модели авторегрессии можно перейти к оценке параметров исходной модели адаптивных ожиданий (1).

Долгосрочной функцией модели адаптивных ожиданий называется модель (1), которая характеризует зависимость результативной переменной от предполагаемых значений факторной переменной.

Определение. Краткосрочной функцией модели адаптивных ожиданий называется модель вида [4], полученная в результате преобразований, которая характеризует зависимость результативной переменной от фактических значений факторной переменной.

Модель частичной корректировки

Моделью частичной (неполной) корректировки называется динамическая эконометрическая модель, к????ая учитывает предполагаемое (или желаемое) значение результативной переменной y*t.

Общий вид модели частичной корректировки:



Примером модели частичной корректировки будет модель Литнера, ко???ая демонстрирует зависимость желаемого объёма дивидендов y*t от фактического текущего объёма прибыли xt.

Неизвестные коэффициенты динамических эконометрических моделей нельзя рассчитать с помощью традиционного метода наименьших квадратов, потому что они не будут удовлетворять ???йствам несмещённости, состоятельности и эффективности.

Неизвестные коэффициенты моделей авторегрессии оцениваются с помощью метода инструментальных переменных.

Для моделей с распределённым лагом в зависимости от структуры лага для оценивания неизвестных коэффициентов применяются метод Алмон и метод Койка. Суть данных методов состоит преобразовании исходной модели с распределённым лагом к модели авторегрессии, оценки неизвестных параметров к????ой можно рассчитать с помощью метода инструментальных переменных.

Для определения оценок неизвестных коэффициентов модели адаптивных ожиданий и модели частичной корректировки их также преобразуют в модели авторегрессии.

Пример. Производственные компании распределяют прибыль П, оставшуюся после уплаты налогов: одну часть на выплату доходов акционерам в форме дивидендов D, другую -- на финансирование инвестиций.

Известны данные (усл. ед.) о деятельности производственных компаний за ряд предыдущих лет:

t	D	П	t	D	П
1	100	400	6	800	1100
2	300	600	7	900	1300
3	450	700	8	1000	1400
4	550	800	9	1100	1500
5	700	1000	10	1200	1700

Предположим, что у фирмы имеется целевая долгосрочная доля выплат у и что желаемый объем дивидендов Dt* соотносится с текущей прибылью Пt, как Dt* = Пt + t. Однако реальный объем дивидендов подвержен процессу частичной корректировки:

Dt-Dt-1=(Dt* - Dt-1),

или

Dt = Пt +(1-)Dt-1 + t

На основе данных о деятельности производственных компаний за ряд лет построено уравнение регрессии

Dt = 68+0,29Пt +0,58Dt-1

где все коэффициенты значимы.

Из соотношения 1- = 0,58 определяется корректирующий коэффициент = 0,42, а из соотношения = 0,29 -- оценка доли выплат = 0,69.

5. Критерии диагностики автокорреляции в лаговых моделях

Критерий Дарбина-Уотсона применяют для обнаружения автокорреляции, подчиняющейся авторегрессионному процессу 1-го порядка. Предполагается, что величина остатков еt в каждом t-м наблюдении не зависит от его значений во всех других наблюдениях. Если коэффициент автокорреляции с положительный, то автокорреляция положительна, если с отрицательный, то автокорреляция отрицательна. Если с = 0, то автокорреляция отсутствует (т.е. четвертая предпосылка нормальной линейной модели выполняется).

Критерий Дарбина-Уотсона сводится к проверке гипотезы:

Н0 (основная гипотеза): с = 0

Н1 (альтернативная гипотеза): с > 0 или с < 0.

Для проверки основной гипотезы используется статистика критерия Дарбина-Уотсона - DW:

где ei = y - y(x)

Тест Дарбина-Уотсона проводится с помощью трех калькуляторов:

Парная регрессия

Множественная регрессия

Уравнение тренда (линейная и нелинейная регрессия)

Определим наличие автокорреляции с помощью критерия Дарбина - Уотсона:

Номер	ei	ei- еi-1	(eiЎЎ- еi-1)2
1	8,30
2	4,26	-4,04	16,32
3	-12,46	-16,72	279,56
4	-1,86	10,60	112,36
5	-7,38	-5,52	30,47
6	5,26	12,64	159,77
7	-9,66	-14,92	222,61
8	-2,26	7,40	54,76
9	8,34	10,60	112,36
10	7,46	-0,88	0,77
Сумма	х	х	988,98

1.Заполняем таблицу. Из каждого числа 2-го столбца вычитаем предыдущее число. 2-го столбца и результат пишем в 3-м столбце. В 4-м столбце числа округляем до двух знаков после запятой.

Тест множителей Лагранжа (англ. Lagrange multiplier test, Score test) -- статистический тест, используемый для проверки ограничений на параметры статистических моделей, оцененных на основе выборочных данных. Тест является асимптотическим, то есть для достоверности выводов требуется достаточно большой объем выборки.

Имеется два способа производства некоторого продукта. Издержки производства при каждом способе зависят от произведенных y1 и у2 следующим образом: g(y1)= 9y1 + y12, g(y2)=6y2+ y22 . За месяц необходимо произвести 3Ч50 единиц продукции, распределив ее между двумя способами так, чтобы минимизировать общие издержки.

Решение. Найдем экстремум функции F(X) = 9*x1+x12+6*x2+x22, используя функцию Лагранжа:

где

- целевая функция вектора .

- ограничения в неявном виде (i=1..1)

В качестве целевой функции, подлежащей оптимизации, в этой задаче выступает функция:

F(X) = 9*x1+x12+6*x2+x22

Перепишем ограничение задачи в неявном виде:

Составим вспомогательную функцию Лагранжа:



Необходимым условием экстремума функции Лагранжа является равенство нулю ее частных производных по переменным хi и неопределенному множителю л.

Составим систему:

?L/?x1 = 2*x1+л+9 = 0

?L/?x2 = л+2*x2+6 = 0

?F/?л = x1+x2 -150= 0

Систему решаем с помощью метода Гаусса или используя формулы Крамера.

Запишем систему в виде:

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 2-ую строку на (2). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Из 1-ой строки выражаем x3

Из 2-ой строки выражаем x2

Из 3-ой строки выражаем x1

Таким образом, чтобы общие издержки производства были минимальны, необходимо производить y1 = 74.25; y2 = 75.75.

Список используемой литературы

Э.Р. Берндт. Практика эконометрики: классика и современность: Учебник для студентов вузов, обучающийся по специальностям 060000 экономики и управления / Пер. с англ. под ред. проф. С.А. Айвазяна / Э.Р. Берндт.-М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. (Серия «Зарубежный учебник»).

С.А. Бородич. Эконометрика: Учеб. Пособие.-Мн.: Новое знание, 2004.

К. Доугерти. Введение в эконометрику: Пер. с англ. - М.: ИНФРА-М, 1999.

Эконометрика. Учебник для вузов / Под ред. И.И. Елисеевой.-М.: Финансы и статистика, 2001.

Эконометрика: Учебное пособие / В.Ф. Комиссарчик; Тверской государственный технический университет, Тверь, 2003.

Размещено на Allbest.ru