Линейное программирование в экономике

Размещено на http://www.allbest.ru

1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ (ЗЛП)

Линейное программирование - направление математики, изучающее методы решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной зависимостью между переменными и линейным критерием оптимальности. Несколько слов о самом термине линейное программирование. Он требует правильного понимания. В данном случае программирование - это, конечно, не составление программ для ЭВМ. Программирование здесь должно интерпретироваться как планирование, формирование планов, разработка программы действий. К математическим задачам линейного программирования относят исследования конкретных производственно-хозяйственных ситуаций, которые в том или ином виде интерпретируются как задачи об оптимальном использовании ограниченных ресурсов.

Круг задач, решаемых при помощи методов линейного программирования достаточно широк. Это, например:

· задача об оптимальном использовании ресурсов при производственном планировании;

· задача о смесях (планирование состава продукции);

· задача о нахождении оптимальной комбинации различных видов продукции для хранения на складах (управление товарно-материальными запасами или "задача о рюкзаке")

· транспортные задачи (анализ размещения предприятия, перемещение грузов).

Линейное программирование - наиболее разработанный и широко применяемый раздел математического программирования (кроме того, сюда относят: целочисленное, динамическое, нелинейное, параметрическое программирование). Это объясняется следующим:

· математические модели большого числа экономических задач линейны относительно искомых переменных;

· данный тип задач в настоящее время наиболее изучен. Для него разработаны специальные методы, с помощью которых эти задачи решаются, и соответствующие программы для ЭВМ;

· многие задачи линейного программирования, будучи решенными, нашли широкое применение;

· некоторые задачи, которые в первоначальной формулировке не являются линейными, после ряда дополнительных ограничений и допущений могут стать линейными или могут быть приведены к такой форме, что их можно решать методами линейного программирования.

Экономико-математическая модель любой задачи линейного программирования включает: целевую функцию, оптимальное значение которой (максимум или минимум) требуется отыскать; систему ограничений в виде системы линейных уравнений или неравенств; условие не отрицательности переменных.

1.1 Критерии оптимальности в задачах с ограничениями

Ряд инженерных задач связан с оптимизацией при наличии некоторого количества ограничений на управляемые переменные. Такие ограничения существенно уменьшают размеры области, в которой проводится поиск оптимума. На первый взгляд может показаться, что уменьшение размеров допустимой области должно упростить процедуру поиска оптимума. Между тем, напротив, процесс оптимизации становится более сложным, поскольку установленные выше критерии оптимальности нельзя использовать при наличии ограничений. При этом может нарушаться даже основное условие, в соответствии с которым оптимум должен достигаться в стационарной точке, характеризующейся нулевым градиентом. Например, безусловный минимум функции имеет место в стационарной точке х=2. Но если задача минимизации решается с учетом ограничения , то будет найден условный минимум, которому соответствует точка x=4. Эта точка не является стационарной точкой функции f, так как (4)=4. Далее исследуются необходимые и достаточные условия оптимальности решений задач с ограничениями. Изложение начинается с рассмотрения задач оптимизации, которые содержат только ограничения в виде равенств.

1.2 Задачи с ограничениями в виде равенств

Рассмотрим общую задачу оптимизации, содержащую несколько ограничений в виде равенств:

Минимизировать

при ограничениях , k=1,…,n

Эта задача в принципе может быть решена как задача безусловной оптимизации, полученная путем исключения из целевой функции kнезависимых переменных с помощью заданных равенств. Наличие ограничений в виде равенств фактически позволяет уменьшить размерность исходной задачи с nдо n-k.. В качестве иллюстрации рассмотрим следующий пример. линейный программирование задача экономический моделирование

Пример 1

Минимизировать

при ограничении

Исключив переменную , с помощью уравнения , получим

оптимизационную задачу с двумя переменными без ограничений

min

Метод исключения переменных применим лишь в тех случаях, когда уравнения, представляющие ограничения, можно разрешить относительно некоторого конкретного набора независимых переменных. При наличии большого числа ограничений в виде равенств, процесс исключения переменных становится весьма трудоемкой процедурой. Кроме того, возможны ситуации, когда уравнение не удается разрешить относительно переменной. В частности, если в примере 1 ограничение задать в виде

то получить аналитическое выражение какой-либо из переменных через другие не представляется возможным. Таким образом, при решении задач, содержащих сложные ограничения в виде равенств, целесообразно использовать метод множителей Лагранжа, описание которого дается в следующем разделе.



2. ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ

Термин «система» охватывает большой круг понятий, которые используются для выделения явлений, объектов, методов, правил из окружающей нас природы. Понятие системы может быть использовано для определения некоторой совокупности в живой и неживой природе. Это могут быть: система знаний в определенной области науки, система материальных объектов, система показателей, т. е. все то, что может представлять собой совокупность элементов, находящихся во взаимной связи и взаимодействии.

С позиции теории систем материальное производство как важнейшая сфера человеческой деятельности может рассматриваться как своеобразная сложная система -- производственная система. Системами, состоящими из взаимосвязанных и взаимозависимых элементов, являются - народное хозяйство, отрасль промышленности, предприятие, цех, участок.

Вместе с тем к сложным системам относятся комплексы функций и виды деятельности, осуществляемые на предприятиях. Как единую сложную систему можно рассматривать всю деятельность предприятия, которая состоит из сети подчиненных менее сложных систем.

В производственной системе предприятия выделяются следующие подсистемы:

* социальная -- комплекс отношений между людьми как организационное проявление системы;

* производственно-техническая -- материальные средства: комплекс машин и оборудования, материалов, инструментов, энергии;

* подсистема информации -- информационные элементы и их взаимосвязи.

Каждая из перечисленных подсистем имеет признаки системы, но не обладает обособленностью, присущей самостоятельным системам. Нельзя назвать системой группу работающих на предприятии людей без материальных средств, и наоборот.

Обратим внимание на то, что производственная система изучается разными науками. Так, предприятие как систему работающих на нем людей изучают экономические науки и прикладная социология, техническую систему -- технические науки, систему информации -- теория информации и кибернетика. Комплексно во взаимосвязи всех аспектов предприятие рассматривается наукой об организации производства, в которой исследуются сочетание его элементов и методы совершенствования предприятия как единого целого.

Классификация элементов предприятия по содержанию позволяет сделать следующие выводы:

* в теоретических исследованиях и в практической деятельности необходимо обеспечить комплексность деятельности путем привлечения специалистов разного профиля;

* при проектировании организации производства каждая подсистема должна представлять собой законченное целое и вместе с тем быть неотъемлемой частью системы предприятия

* для оценки организационных проблем и качества их решения необходимо применять широкий спектр критериев и показателей, так как комплексность организационных решений не позволяет ограничиваться традиционными показателями себестоимости, прибыли и т. д.

Классификация элементов по структурным подразделениям и процессам. Всякое предприятие состоит из структурных подразделений, в которых осуществляются производство и управление. Их следует рассматривать как элементы (подсистемы) предприятия.

В состав предприятия входят производственные подразделения: филиалы, производства, цехи, участки, бригады; подразделения инфраструктуры -- ремонтное, транспортное, складское хозяйства, инструментальное производство; отделы и службы заводоуправления, научно-технические подразделения и т. д.

В состав крупных предприятий (например, объединений, концернов) могут входить элементы (предприятия, фирмы), которые функционируют обособленно, самостоятельно. В отличие от подсистем обычного типа их можно называть локальными подсистемами. Локальные подсистемы имеют ту же классификационную структуру компонентов, что и системы предприятия.

Кроме того, на каждом предприятии в качестве элементов могут быть выделены те или иные процессы. Например, производственные процессы, процессы технического развития, реконструкции и т. д.

Основные организационно-методические выводы:

* предметом организационной задачи является не предприятие в целом, а его локальные частичные системы: подразделения, процессы и их компоненты;

* при решении организационных задач невозможно обеспечить полную комплексность и избежать односторонности;

* если решение частичной организационной задачи не дает ожидаемого результата вследствие нежелательного слияния других подсистем, эти подсистемы должны стать объектом специального изучения. Система в целом -- это нечто больше, чем сумма составляющих ее частей. Чтобы все элементы и подсистемы производственной системы воссоединились в единое целое, в комплексную систему, ее необходимо организовать, т. е. спроектировать, построить и обеспечить функционирование интегральной производственной системы -- предприятия.

При этом реализация принципов системности при проектировании производственных систем и организации производства предполагает следующее:

* рассмотрение предприятия как особой самоорганизующейся системы, которая фактически взаимодействует с другими системами в рамках рыночной экономики;

* необходимость создания на предприятии системы организации производства, охватывающей во взаимосвязи все процессы по изготовлению, реализации и обслуживанию в эксплуатации конкретных видов техники;

* применение целевого начала при разработке мероприятий по совершенствованию организации производства;

* ориентацию на комплексное решение проблем экономики, техники, организации производства и социальных задач коллектива;

* внедрение многовариантного проектирования производственных систем, анализ и выбор альтернативных решений в процессе определения рациональных направлений совершенствования организации производства;

* использование систем оценок, критериев и нормативов эффективной организации производства в процессе ее проектирования и функционирования.

2.1 Теория затрат

Затраты - это сумма средств (материальных, трудовых, финансовых), использованных в процессе производства. Часто понятие затрат заменяют понятием «издержки».

Все затраты носят альтернативный характер.

Выделяют:

1. Постоянные (фиксированные, условно-постоянные) затраты (FC) - это затраты, величина которых не меняется с изменением объема производства, а изменяется лишь относительная величина данных затрат на единицу продукции (аренда, затраты на амортизацию, аренду, лизинг, % по кредитам; оплата труда управленческого персонала и др.).

При увеличении объема выпуска продукции величина постоянных затрат в сумме остается неизменной, но в расчете на единицу продукции - уменьшается. С этой точки зрения - больший объем производства предпочтителен.

Графическое изображение постоянных затрат представлено на рисунке.



Рис. Графическое изображение постоянных затрат

2. Переменные затраты (условно-переменные) (VC) - это затраты, величина которых зависит от объема выпускаемой продукции: чем больше объем производства, тем больше переменных затрат и наоборот. К ним относят: затраты на сырье, материалы, топливо, электроэнергию, коммунальные услуги, используемые в производстве; заработную плату основных производственных рабочих, работающих по «сделке». К непроизводственным переменным затратам относят расходы на упаковку продукции, транспортные расходы, комиссионные выплаты и др.

При увеличении объема выпуска продукции (несмотря на то, что в расчете на единицу продукции размер переменных затрат остается неизменным) величина совокупных переменных затрат увеличивается, С этой точки зрения больший объем производства способствует формированию больших переменных затрат.

Графическое изображение переменных затрат может быть представлено как:

В упрощенном виде график переменных затрат следующий:



Рис. Графическое изображение переменных затрат в упрощенном виде

3. Общие (валовые) затраты (TC) - это сумма затрат для производства данного товара.

TC = FC + VC

Рис.54. Графическое изображение общих затрат

4. Средние затраты - показывают во сколько обходятся затраты производителю для производства единицы продукции в среднем. Выделяют:

4.1. Средние постоянные затраты (AFC) - это постоянные затраты, приходящиеся на единицу продукции.

AFC = FC



4.2. Средние переменные затраты (AVC) - это переменные затраты, приходящиеся на единицу продукции.

AVC = VC

4.3. Средние общие затраты (ATC) - показывают общие затраты на единицу продукции. Сокращенно иногда обозначают АС.

ATC = TC = FC + VC = AFC + AVC

3. Динамические системы довольно популярны в экономическом моделировании.

Типы процессов, происходящих в экономических системах:

· Детерминированные

· Стохастические

· Хаотические

Для макроуровня, благодаря действиям объективных экономических законов и регуляторных воздействий государства, более характерные детерминированные процессы. Для микроуровня -- стохастические (вероятностные).

При достаточно большом количестве наблюдений и обобщении исследуемого явления на более высоком уровне иерархии детерминированная компонента начинает превалировать, а стохастическая превращается в «шум».

При хаотичном характере исследуемой системы применения методов экономической динамики позволяет несколько облегчить изучение объекта за счет определения детерминированного механизма его поведения. Это, в свою очередь, позволяет уменьшить неопределенность познания системы.

Динамическая система -- это такая система, параметры которой явно или неявно зависят от времени.

Итак, если для поведения системы заданные функциональные уравнения, то в них включены в явном виде переменные, относящиеся к разным моментам времени.

Важнейшие свойства сложных динамических систем

Рассмотрим самые важные свойства динамических систем.

1. Целостность (эмерджентность) динамических систем

В системе отдельные части функционируют совместно, составляя в совокупности процесс функционирования системы как целого. Совокупное функционирование разнородных взаимосвязанных элементов порождает качественно новые функциональные свойства целого, не имеющие аналогов в свойствах его элементов. Это означает принципиальную невозможность сведения свойств системы к сумме свойств ее элементов.

2. Взаимодействие динамической системы с внешней средой

Система реагирует на воздействие окружающей среды, эволюционирует под этим влиянием, но при этом сохраняет качественную определенность и свойства, отличающие ее от других систем.

3. Структура динамической системы

При исследовании системы структура выступает как способ описания ее организации. В зависимости от поставленной задачи исследования осуществляется декомпозиция системы на элементы и вводятся существенные для решаемой проблемы отношения и связи между ними. Декомпозиция системы на элементы и связи определяется внутренними свойствами данной системы. Структура динамична по природе, ее эволюция во времени и пространстве отражает процесс развития систем.

4. Бесконечность познания динамической системы

Под этим свойством понимается невозможность полного познания системы и всестороннего представления ее конечной множеством описаний, т.е. конечной количеством качественных и количественных характеристик. Поэтому система может быть представлена множеством структурных и функциональных вариантов, отражающих различные аспекты системы.

5. Иерархичность динамической системы

Каждый элемент в декомпозиции системы может рассматриваться как целостная система, элементы которой, в свою очередь, могут быть также представлены как системы. Но, с другой стороны, любая система -- лишь компонент более широкой системы.

6. Элемент динамической системы

Под элементом понимается наименьшее звено в структуре системы, внутреннее строение которой не рассматривается на выбранном уровне анализа. Согласно свойства 5 любой элемент является системой, но на заданном уровне анализа эта система характеризуется только целостными характеристиками.

Целостность, структура, элемент, бесконечность и иерархичность составляют ядро системообразующих понятий общей теории систем и является основой системного представления объектов и формирования концепций системных исследований.

Для более подробного изучения свойств динамических экономических систем (ЭС) необходимо рассмотреть еще ряд дополнительных ее свойств характеристик.

Состояние динамической системы. Состояние системы определяется состояниями ее элементов. Теоретически возможный набор состояний равно количеству возможных сочетаний всех состояний элементов. Однако взаимодействие составных частей приводит к ограничению количества реальных сочетаний. Изменение состояния элемента может происходить неявно, непрерывно и скачкообразно.

Поведение динамических систем. Под поведением системы понимается закономерный переход из одного состояния в другое, обусловленный свойствами элементов и структурой.

Непрерывность функционирования системы. Система существует, пока функционируют социально-экономические и иные процессы в обществе, которые не могут быть прерваны, иначе система перестанет функционировать. Все процессы в ЕС, как в живом организме, взаимосвязаны. Функционирования частей определяет характер функционирования целого, и наоборот. Функционирование системы связано с непрерывными изменениями, накопление которых приводит к развитию.

Развитие динамической системы. Жизнедеятельность сложной системы является постоянным изменением фаз функционирования и развития, которая выражается в непрерывной функциональной и структурной перестройке системы, ее подсистем и элементов. Эволюция экономических систем обусловлена одной из важнейших свойств сложных систем -- способностью к саморазвитию. Центральным источником саморазвития является непрерывный процесс возникновения и разрешения противоречий. Развитие, как правило, связан с усложнением системы, т.е. с увеличением ее внутреннего разнообразия.

Динамичность системы. Экономическая система функционирует и развивается во времени, она имеет предысторию и будущее, характеризуется определенным жизненным циклом, в котором могут быть выделены определенные фазы: возникновение, рост, развитие, стабилизация, деградация, ликвидация или стимул к изменению.

Сложность динамической системы. Экономическая система характеризуется большим количеством неоднородных элементов и связей, полифункциональностью, полиструктурностью, многокритериальностью, многовариантностью развития и свойствами сложных систем, поэтому она представляется, как сложная динамическая система.

Гомеостатичность отражает свойство системы к самосохранению, противодействие разрушающим воздействиям среды.

Целеустремленность. Всем динамическим системам в экономике присуща целеустремленность, т.е. наличие определенных целей и стремление ее достижения. Развитие системы связан именно с изменением цели.

Управляемость динамической системы. Осознанная организация целенаправленного функционирования системы и ее элементов называется управляемостью. В процессе жизнедеятельности система посредством целенаправленного управления решает постоянно возникающие в ней противоречия и реагирует на изменение внутренних и внешних условий своего существования. Согласно изменяющимся, она меняет свою структуру, корректирует цели развития и содержание деятельности элементов, т.е. происходит целенаправленная самоорганизация системы, которая на практике реализует способность к саморазвитию. Одной из основных функций самоорганизации является сохранение качественной уникальности системы в процессе ее эволюции. Свойства управляемости оказываются также в таких особенностях, как относительная автономность и функциональная управляемость. Относительная автономность функционирования экономических систем означает, что в результате действия обратной связи каждая из составляющих выходного сигнала может быть изменена за счет изменения входного сигнала, причем другие составляющие остаются не измененными. Функциональная управляемость экономической системы означает, что соответствующим выбором входного воздействия можно добиться любого выходного сигнала.

Адаптивность динамической системы. Адаптивная экономической системы определяется двумя видами адаптации -- пассивной и активной. Пассивная адаптация является внутренней характеристикой экономической системы, которая располагает определенными возможностями саморегулирования. Активная адаптация представляет механизм адаптивного управления экономической системой и организацию его эффективной реализации.

Инерционность динамической системы. Инерционность экономической системы проявляется в возникновении запаздывания в системе, симптоматично реагирует на возмущения и управляющие воздействия.

Устойчивость динамической системы. Система считается относительно устойчивой в определенно определенных пределах, если при достаточно малых изменениях условий функционирования его поведение существенно не меняется. В рамках теории систем исследуются структурная устойчивость и устойчивость траектории поведения системы. Устойчивость ЕС обеспечивается такими аспектами самоорганизации, как дифференциация и лабильность (чувствительность). Дифференциация -- это стремление системы к структурной и функциональной разнообразия элементов, которая обеспечивает не только условия возникновения и разрешения противоречий, но и определяет способность системы быстро приспосабливаться к имеющимся условиям существования. Больше разнообразия -- больше устойчивости, и наоборот. Лабильность означает подвижность функций элементов при сохранении устойчивости структуры системы в целом.

Состояние равновесия динамической системы. Устойчивость системы связана с ее стремлением к состоянию равновесия, которое предполагает такое функционирование элементов системы, при котором обеспечивается повышенная эффективность движения к целям развития. В реальных условиях система не может полностью достичь состояния равновесия, хотя и стремится к нему. Элементы системы функционируют по-разному в разных условиях, и их динамическое взаимодействие постоянно влияет на движение системы. Система стремится к равновесию, на это направлены усилия управления, но, достигая его, она тут же от него уходит. Таким образом, устойчивая экономическая система постоянно находится в состоянии динамического равновесия, она непрерывно колеблется относительно положения равновесия, что является не только ее специфическим свойством, но и условием непрерывного возникновения противоречий как движущих сил эволюции.



ИСТОЧНИКИ

1. Аббасов, И.Б. Компьютерное моделирование в промышленном дизайне / И.Б. Аббасов. - М.: ДМК, 2013.

2. Авдеев, В. Компьютерное моделирование цифровых устройств / В. Авдеев. - М.: ДМК, 2012.

3. Белова, И.М. Компьютерное моделирование / И.М. Белова. - М.: МГИУ, 2011.

4. Исаев, О.Б. Моделирование современных процессов внепечной обработки и непрерывной разливки стали / О.Б. Исаев, Е.А. Чичкарев, В.В. Кислица и др. - Вологда: Инфра-Инженерия, 2012

5. Северцев, Н.А. Системный анализ и моделирование безопасности. / Н.А. Северцев. - М.: Высшая школа, 2011.

Размещено на Allbest.ru