Методология построения регрессионных моделей оценки объема продаж сети предприятий розничной торговли

Размещено на http://www.allbest.ru/

МЕТОДОЛОГИЯ ПОСТРОЕНИЯ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ ОЦЕНКИ ОБЪЕМА ПРОДАЖ СЕТИ ПРЕДПРИЯТИЙ РОЗНИЧНОЙ ТОРГОВЛИ

Архипова Е.М., Власов Д.А., Насельский С.П.

МГОПУ им. М.А. Шолохова

Цель данной статьи - системный анализ прикладных возможностей современных математических методов прогнозирования в финансово-экономической сфере. Обобщив классические разделы регрессионного анализа, мы представляем принципиальную схему построения и исследования (7 этапов) регрессионных моделей оценки объема продаж сети предприятий розничной торговли.

Имеются следующие данные табл. 1 о зависимости объема продаж y (тыс. ед.) от затраченных денег на рекламу x₁ (дес. тыс. долл.), количества сетей предприятий розничной торговли (сетей магазинов), продающих продукт фирмы в регионе - x₂ (ед.), и уровня безработицы в регионе - x₃ (%).

Таблица 1

Проблема: Построить регрессионную модель и провести серию необходимых проверок для подтверждения ее статистической значимости.

Этап I. Построим регрессионную модель:

,

где

y - оценка объема продаж (тыс. ед.);

x₁ - затраты на рекламу (дес. тыс. долл.);

x₂ - число сетей предприятий розничной торговли (ед.);

x₃ - уровень безработицы(%).

Данные таблицы являются исходной информацией для вычисления коэффициентов нормальных уравнений следующей системы:

Вычислим данные, необходимые для того, чтобы воспользоваться формулой и сведем их в таблицу 2.

Таблица 2

Определим коэффициенты , которые являются оценками . Для этого используем формулы Крамера.

В результате проведенных расчетов получаем уравнение множественной регрессии:

. (*)

Этап II. Вычислим множественную стандартную ошибку для уравнения (*).

Определим точечную оценку объема продаж для первого региона:

Фактическое значение объема продаж для первого региона y = 16. Следовательно, величина остатка

y -= 16 - 15,89 =0,11.

Аналогично вычислим оценочные значения , остатки и их квадраты для остальных девяти регионов. Полученные данные сведем в табл. 3.

Таблица 3

Вычислим множественную стандартную ошибку регрессии по формуле

где n - число наблюдений, k - число независимых переменных. Получаем, что

=

Этап III. Вычислить значения R², R, Rср² для регрессии. Используя все полученные выше данные, вычислим общую вариацию, = 22,4. Полученные данные занесем в табл. 4.

Таблица 4

По формуле

вычислим R²:

R² = = 0,905265064.

Как видно из таблицы

?(-)^2 = 237,5415528.

По формуле

вычислим скорректированный коэффициент Rср²:

Rср² = 1 - ( 1 - 0,905265064) • (10-1) / (10 - 3 - 1) = 0,857897596.

Определим R по формуле:

.

R = 0,951454184 (**)

Этап IV. Проверим существенность коэффициентов уравнения (*) при = 0,1.

Исходной информацией для расчетов является матрица:

С помощью программного обеспечения Microsoft Excel нами вычислены стандартные отклонения коэффициентов:

0,08769957; 0,907790908; 0,244071095

Далее вычислим t - статистики, используя формулу:

t₁ = 2,210710561, t₂ = 2,575602317, t₃ = -0,666898793.

Находим

= t_0,05;6 = 1,943,

Как видно, несущественным является коэффициент , так как

| t₃| = 0,666898793 < 1,943. (***)

Проведем еще один тест, дополняющий t - тесты для отдельных коэффициентов регрессии. Он проверяет совместную способность k независимых переменных объяснять зависимую переменную.

Этот тест является проверкой нулевой гипотезы:

Нулевая гипотеза проверяется с помощью F - критерия:

Или

С помощью F - статистики проверяется, действительно ли объясненная сумма квадратов отклонений превышает ту сумму квадратов отклонений, которая может быть случайной. Критический предел для F - статистики находится как значение F - распределения с параметрами (уровень значимости), k (число степеней свободы числителя), n - k - 1 (число степеней свободы знаменателя).

Коэффициент детерминации R² = 0,905265064. Определим F - отношение:

.

Зададимся критерием значимости = 0,05 и по статистической таблице найдем F_0,05;3;6 = 4,76. Отсюда

F = 19,11153587 > 4,76,

т.е. гипотеза H₀ отвергается при = 0,05. Следовательно, уравнение множественной регрессии в целом статистически значимо.

Этап VII. Выше было определено, что в регрессии объема продаж на три переменные переменная x₃ (процент безработных) оказалась статистически незначимой. Поэтому в модели следует оставить только переменные x₁ (затраты на рекламу) и x₂ (количество сетей предприятий розничной торговли).

Модель (*) в этом случае будет иметь вид:

Ход вычислений аналогичен вышепоказанному варианту и произведен в программной среде Microsoft Excel. Полученные результаты сведем в таблицу 5.

Таблица 5

Проверим существенность коэффициентов .

Таблица 6

t - статистика показывает, что все коэффициенты существенны. Т.о. мы определили статистическую значимость вклада каждой независимой переменной в объяснение зависимой.

Для проверки F - критерия, вычислим следующие данные:

Таблица 7

По полученным данным, можно сделать вывод, что уравнение множественной регрессии в целом статистически значимо. Проведем еще одну проверку на определение серийной корреляции ошибок. Воспользуемся критерием Дарбина - Уотсона. Выберем уровень значимости 5%.

Таблица 8

Вычислим статистику Дарбина - Уотсона по формуле:

и проверим выполнение следующих гипотез:

H₀ : автокорреляции не существует;

H₁ : существует положительная автокорреляция.

d_h =0,70; d_u = 1,64

Отсюда,

d_u < DW = 1,6420088 < 2,

т.е. гипотеза H₀ принимается, это означает, что положительная автокорреляция отсутствует, и полученное уравнение регрессии адекватно отражает статистическую зависимость между переменными.

Этап VIII. Рассматривая в качестве прогнозной модели уравнение

оценим объем продаж в регионе при условии, что x₁ затраты на рекламу = 36 (дес. тыс. долл.); x₂ число сетей предприятий розничной торговли = 4 и найдем 95 - процентные доверительные пределы.

Вычислим прогнозную оценку объема продаж:

тыс. единиц.

Значение = 23,302 является точечной оценкой объема продаж при заданных значениях независимых переменных. Она указывает, какой объем продаж в среднем следует ожидать в регионе, если ситуация будет характеризоваться заданными значениями факторных показателей.

Для определения доверительных границ прогнозирования необходимо вычислить стандартную ошибку прогноза. Дисперсия модели

включает дисперсию случайной ошибки и дисперсию , связанную с параметрами модели.

Дисперсия случайной ошибки, была вычислена на этапе 7 равна:

= 1,9531. Определим , воспользовавшись формулами:

,

Где

,

а матрица

.

Для вычисления стандартной ошибки прогноза подставим вычисленные значения в выражение:

, .

По статистической таблице найдем при = 0,05, n = 10, k = 2:

t_0,025;7 = 2,365.

Используя формулу:

,

вычислим доверительные пределы:

23,302 ± 2,365 • 2,091 = 23,302 ± 4,945 = 18,357 ч 28,247.

Это означает, что с вероятностью 95% можно утверждать, что при x₁ = 36, x₂ = 4 истинное значение объема продаж будет в указанных пределах.

регрессионный модель продажа анализ

ВЫВОДЫ

1. Представлена концептуальная схема построения регрессионных моделей современных эконометрических исследований;

2. Формула (*) имеет значимую экономическую интерпритацию. Коэффициент = 2,34 показывает, что при увеличении на единицу числа сетей магазинов можно ожидать увеличения в среднем объема продаж на 2340 единиц при условии, что затраты на рекламу и уровень безработицы остаются на прежнем уровне. Смысл коэффициента = - 0,163 заключается в том, что при увеличении на 1% уровня безработицы при условии неизменности числа сетей предприятий розничной торговли и затрат на рекламу можно ожидать уменьшения в среднем объема продаж на 163 ед.

3. По результатам (**) можно утверждать, что наблюдается очень тесная корреляционная связь между объемом продаж и факторными показателями: затратами на рекламу, количеством сетей предприятий розничной торговли и уровнем безработицы.

4. Результат (***) свидетельствует о том, что переменная x₃ отвечающая за уровень безработицы должна быть исключена из регрессионного анализа, так как статистически очень слабо объясняет результативный показатель y объема продаж.

Размещено на Allbest.ru