Экспоненциальные топологические операторы

Размещено на http: //www. allbest. ru/

Арзамасский филиал ННГУ им. Н.И. Лобачевского

Экспоненциальные топологические операторы

Широков Лев Васильевич

кандидат физико-математических наук, доцент

Аннотация

Исследуются связи топологических операторов с функтором экспоненты. Приводится соответствующая классификация топологических операторов.

Ключевые слова: категория, компакт, непрерывное отображение, топологическое пространство, функтор экспоненты, экспоненциальный топологический оператор

Вопросы характеристики пространств посредством использования различного вида многозначных отображений и операторов продолжения топологий впервые рассматривалась в работах . Под влиянием результатов именно этих работ возникли вопросы, исследования которых содержатся в настоящей статье. Определение всех используемых в данной статье понятий можно найти в работах . В дальнейшем компакт - компактное хаусдорфово пространство, не обязательно метризуемое. Все пространства предполагаются вполне регулярными. Через  обозначается топология пространства . Всякое отображение  называется топологическим оператором.

Определение 1. Пусть  и  - сюръективное отображение. Топологический оператор  называется оператором продолжения топологии пространства  относительно отображения , если выполняется условие  для любого .

Определение 2. Пусть  - вложение пространства  в пространство . Топологический оператор  продолжения топологии пространства  относительно отображения , называется оператором продолжения топологии  пространства .

Определение 3. Пусть  и  - топологические пространства. Топологический оператор  называется слабо инъективным, если для любых  таких, что  выполняется условие .

Определение 4. Пусть  и  - топологические пространства. Топологический оператор  - называется экспоненциальным, если оператор  является слабо инъективным и удовлетворяет условиям:

топологический оператор экспонента

1) , ,

2)  для любых ,

3) если  и , то .

Для каждого хаусдорфова пространства  через  обозначается множество всех непустых компактных подмножеств пространства , наделенное топологией Вьеториса. Базу этой топологии образуют всевозможные множества вида

где . Для каждого хаусдорфова пространства  через  обозначается множество всех непустых связных компактных подмножеств пространства , наделенное топологией Вьеториса. Функторы  и  являются нормальными функторами в категории  .

Предложение 1. Если  - вполне регулярное пространство, то открытые подмножества  вида , где  и  образуют предбазу топологии пространства .

Доказательство. Пусть

,

где  - произвольный элемент базы топологии  и , то есть  является замкнутым подмножеством , причем  и  для любого . Положим  и для каждого  рассмотрим открытое подмножество  пространства  такое, что  и . Далее пусть , где . Непосредственная проверка показывает, что выполняется условие

.

Предложение доказано.

Определение 5. Вложение  называется экспоненциальным, если существует экспоненциальный оператор продолжения топологии  пространства .

Лемма 1. Естественное вложение  пространства  в  допускает экспоненциальный оператор  продолжения топологии  пространства .

Доказательство. Экспоненциальный оператор  продолжения топологии  пространства  определим следующим правилом. Для каждого открытого множества  положим

.

Покажем, что оператор  искомый. Очевидно выполнение условий определения 3 и условия 1) определения 4. Пусть . Ясно, что . Докажем обратное включение. Рассмотрим произвольный элемент . Так как  и , то выполняются условия  и . Следовательно, . Таким образом,  - доказательство выполнения условия 2) определения 4 завершено. Перейдем к доказательству справедливости условия 3) определения 4 для оператора . Пусть  и . Если элемент , но , то выполняется условие . Рассмотрим открытое подмножество

пространства . По определению топологии пространства  выполняются условия  и . Следовательно,  - противоречие. Лемма доказана.

Теорема 1. Для компактных пространств  и  следующие условия эквивалентны:

1) существует непрерывное отображение такое, что ;

2) существует экспоненциальный топологический оператор .

Доказательство. Докажем импликацию . Пусть  - экспоненциальный оператор продолжения топологии  пространства, построенный при доказательстве леммы 1. Тогда оператор , определенный правилом

для любого  является искомым.

Докажем импликацию . Пусть  - экспоненциальный топологический оператор. Для каждой точки  обозначим через  семейство  и положим

.

Так как семейство  центрировано, то множество  не пусто для каждого . Отображение  определим следующим образом: для каждого  положим . Покажем, во-первых, что выполняется условие . Для произвольной точки  рассмотрим семейство

.

Семейство  центрировано и, следовательно, в силу условия 2) определения 4 семейство  также центрировано, причем для любого конечного набора  множеств семейства  найдется множество  такое, что . Последнее замечание обосновано условием 3) определения 4. Так как  компакт, то множество  не пусто, причем для любого  выполняется .

Докажем непрерывность отображения .

Пусть , ,

 и .

Выбрав открытое множество  таким, что  и , положим

.

Так как  (условие 3) определения 4),  и точка  выбрана произвольно, то . В силу справедливости предложения 1 доказательство непрерывности отображения завершено. Теорема доказана.

Определение 6. Пусть  и  - топологические пространства. Топологический оператор  - называется -экспоненциальным, если отображение  является слабо инъективным и удовлетворяет условиям:

1) , ,

2) 2)  для любых ,

3) 3) если  и , то ,

4) 4)  

для любых дизъюнктных множеств .

Определение 7. Вложение  называется -экспоненциальным, если существует -экспоненциальный оператор продолжения топологии  пространства .

Лемма 2. Естественное вложение  пространства  в  является -экспоненциальным.

Доказательство. Также как и при доказательстве леммы 1 оператор  продолжения топологии  пространства  определим следующим правилом. Для каждого открытого множества положим . Проверка условий 1) - 3) определения 6 содержится в доказательстве леммы 1. Покажем, что выполняется условие 4) данного определения. Пусть , причем . Очевидно, что . Докажем обратное включение. Рассмотрим произвольный элемент  такой, что . Так как ,  и  связно, то  или. Пусть, для определенности . Тогда . Тем самым обратное включение доказано. Итак оператор  является -экспоненциальным. Лемма доказана.

Теорема 2. Для компактных пространств  и  следующие условия эквивалентны:

1) существует непрерывное отображение такое, что ;

2) существует -экспоненциальный топологический оператор

Доказательство. Докажем импликацию . Пусть  - -экспоненциальный оператор продолжения топологии  пространства, построенный при доказательстве леммы 2. Тогда оператор , определенный правилом

для любого  является искомым.

Докажем импликацию . Пусть  - -экспоненциальный топологический оператор. Отображение  строим также как и при доказательстве импликации  теоремы 1. Единственное, что требуется доказать это то, что для любого  множество  является связным подмножеством пространства . Допустим, что для некоторого  существуют открытые подмножества  такие, что ,  и пересечение  с каждым из этих множеств не пусто. В силу -экспоненциальности оператора  элемент  должен содержаться в  - противоречие. Теорема доказана.

Определение 8. Пусть  и  - топологические пространства. Топологический оператор  - называется слабо -экспоненциальным, если отображение  является слабо инъективным и удовлетворяет условиям:

1) , ,

2)  для любых ,

3)  для любых дизъюнктных множеств .

Многозначное отображение  - отображение, ставящее в соответствие каждому  некоторое замкнутое подмножество  пространства . Отображение  называется полунепрерывным сверху, если для любого открытого в  множества  малый прообраз

открытое в  множество. Отображение  называется континуумзначным, если  связно для любого .

Теорема 3. Для компактных пространств  и  следующие условия эквивалентны:

1) существует полунепрерывное сверху континнумзначное отображение  такое, что ;

2) существует слабо -экспоненциальный топологический оператор .

Доказательство. Докажем импликацию . Пусть  - -экспоненциальный оператор продолжения топологии  пространства, построенный при доказательстве леммы 2. Тогда оператор , определенный правилом

для любого  является искомым.

Докажем импликацию . Пусть  - слабо -экспоненциальный топологический оператор. Отображение  строим также как и при доказательстве импликации  теоремы 1. Ясно, что . Докажем, что отображение  полунепрерывно сверху. Рассмотрим произвольное  и пусть . Так как , то по построению  найдется множество  такое, что и . Осталось заметить, что для любого  выполняется . Докажем континуумзначность отображения . Допустим, что для некоторого  существуют открытые подмножества  такие, что ,  и пересечение  с каждым из этих множеств не пусто. В силу слабо -экспоненциальности оператора  элемент  должен содержаться в  - противоречие. Теорема доказана.

Определение 9. Вложение  называется слабо -экспоненциальным, если существует слабо -экспоненциальный оператор продолжения топологии  пространства .

Лемма 3. Если существует экспоненциальное вложение  компакта  в тихоновский куб , то и любое вложение  в произвольный компакт  экспоненциально.

Доказательство. Пусть  - экспоненциальный оператор продолжения топологии  пространства  и  - произвольное вложение  в произвольный компакт . Так как тихоновский куб  является абсолютным ретрактом , то существует непрерывное отображение  такое, что сужение отображения  на пространство  является тождественным. Оператор продолжения  топологии  пространства  определим правилом:

для любого . Непосредственная проверка подтверждает экспоненциальность оператора . Лемма доказана.

Аналогично лемме 3 доказываются следующие леммы 4 и 5.

Лемма 4. Если существует -экспоненциальное вложение  компакта  в тихоновский куб , то и любое вложение  в произвольный компакт  -экспоненциально.

Лемма 5. Если существует слабо -экспоненциальное вложение  компакта  в тихоновский куб , то и любое вложение  в произвольный компакт  слабо -экспоненциально.

Пусть  и  - топологические пространства. Запись   означает, что для любого замкнутого подмножества  и любого непрерывного отображения  существует непрерывное продолжение . Другое обозначения для этого свойства -  . Пространство  называется абсолютным экстензором для класса пространств , если все задачи продолжения на по отношению к  для всех  имеют решения () . Далее  - класс абсолютных экстензоров для нормальных пространств размерности  .

Теорема 4. Для компакта  следующие условия эквивалентны: ;

2) любое (некоторое) вложение  в тихоновский куб  является экспоненциальным;

3) любое (некоторое) вложение  в тихоновский куб  является -экспоненциальным;

4) любое (некоторое) вложение  в тихоновский куб  является слабо -экспоненциальным.

Доказательство. Не оговаривая особо сам факт применения, всюду ниже в соответствующих ситуациях используются леммы 3, 4, 5. Докажем импликацию . Пусть  и  - отображение, построенное в работе . Далее, пусть  - отображение удовлетворяющее условию

,

существование которого обеспечено условием . Рассмотрим отображение , определенное правилом

для любого . Это отображение непрерывно в силу открытости отображения . Применение теоремы 1 завершает доказательство рассмотренной импликации. Справедливость импликация  следует из работы . Аналогично, с учетов свойств отображения  и теоремы 2, доказывается эквивалентность , а значит и эквивалентность . Доказательство импликации  тривиально. Теорема 3 из работы  и теорема 3 данной работы обеспечивают справедливость импликации . Теорема доказана.

Замечание. Результаты работ  позволяют допустить возможность обобщения полученных в данной статье результатов.

Библиографический список

1. Дранишников А.Н. Абсолютные экстензоры в размерности n и n-мягкие отображения // УМН. 1984. Т. 39. Вып. 5. С. 55 - 96.

2. Дранишников А.Н. Многозначные абсолютные ретракты и абсолютные экстензоры в размерности 0 и 1 // УМН. 1984. Т. 39. Вып. 5. С. 241 -242.

3. Широков Л.В. Внешняя характеристика пространств Дугунджи и -метризуемых бикомпактов // Доклады Академии наук СССР. 1982. Т. 263. № 5. С.1073-1077.

4. Shirokov L.V. On some forms of embeddings of topological spaces // Russian Mathematical Surveys. 1987. Т. 42. № 2. С. 297-298.

5. Широков Л.В. О AE(n)-бикомпактах // Известия Российской академии наук. Серия математическая. 1992. Т. 56. № 6. С. 1316-1327.

6. Широков Л.В. О -бикомпактах и -мягких отображениях // Сибирский математический журнал. 1992. Т. 33. № 2. С. 151-156.

7. Широков Л.В. Накрытия и их свойства // Современные научные исследования и инновации. 2014. № 9-1 (41). С. 5-11.

8. Федорчук В.В. Ковариантные функторы в категории компактов, абсолютные ретракты и Q-многообразия // УМН. 1981. 36:3(219). С.177-195.

9. Трухманов В.Б. Об одном подклассе класса абелевых групп без кручения ранга 2 // В сборнике: ТЕНДЕНЦИИ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ. Материалы XXXIII Международного научного семинара преподавателей математики и информатики университетов и педагогических вузов, посвященного 100-летию ВятГГУ. Киров, 2014. С. 283-285.

10. Трухманов В.Б. О подпрямых суммах бесконечных циклических абелевых групп // Альманах современной науки и образования. 2014. № 9 (87). С. 131-134.

11. Трухманов В.Б. О некоторых свойствах подпрямой суммы бесконечных циклических абелевых групп // Современные научные исследования и инновации. 2014. № 10-1 (42). С.15-19.

12. Трухманов В.Б. О подгруппах прямой суммы бесконечных циклических абелевых групп // Исследования в области естественных наук. 2014. № 7 (31). С.45-50.

13. Широков Л.В. Современные вопросы радиоэлектроники с позиций теории аналитических функций /Л. В. Широков, Н. П. Ямпурин, В. А. Потехин, В. Д. Садков. -Арзамас: АГПИ, 2008. 176 с.

14. Engelking R. General Topology. - Warszawa: PWN, 1977. - 626 p.

15. Широков Л.В. Класс пространств L и его свойства // Альманах современной науки и образования. 2014. № 8 (86). С. 181-183.

16. Широков Л.В. О некоторых свойствах d-регулярных отображений // Альманах современной науки и образования. 2014. № 9 (87). С. 152-155.

17. Куратовский К. Топология. - М.: Мир, т. 2, 1969. 624 с.

18. Дранишников А.Н. О теории продолжения отображений компактов // УМН. 1998. Т. 53. Вып. 5. С. 65-72.

19. Дранишников А.Н. Универсальные менгеровские компакты и универсальные отображения // Математический сборник. 1986. Т. 129(171) № 1. С. 121 - 139.

20. Широков Л.В. О характеризации AE(n)-бикомпактов // Доклады Болгарской академии наук. 1989. Т. 42. № 12. С. 9-10.

21. Широков Л.В. О сигма-спектрах и абсолютных экстензорах для некоторых классов пространств // В сборнике: ТЕНДЕНЦИИ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ. Материалы XXXIII Международного научного семинара преподавателей математики и информатики университетов и педагогических вузов, посвященного 100-летию ВятГГУ. Киров, 2014. С. 301-302.

22. Широков Л.В. О некоторых свойствах непрерывных образов открытых подмножеств каппа-метризуемых компактов // Исследования в области естественных наук. 2014. № 6 (30). С. 18-22.

23. Широков Л.В. О некоторых свойствах пределов обратных спектров топологических пространств // Исследования в области естественных наук. 2014. № 7 (31). С. 40-44.

24. Широков Л.В. О радиальных пространствах // Austrian Journal of Technical and Natural Sciences. 2014. № 7-8. С. 19-21.

25. Широков Л.В. О продолжении непрерывных отображений и аппроксимативной связности // Проблемы современной науки. 2013. № 9. С. 3-9.

Размещено на Аllbest.ru