Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство транспорта Российской Федерации

Федеральное агентство железнодорожного транспорта

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Высшего профессионально образования

«ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»

Кафедра «Прикладная математика»

Контрольная работа

по дисциплине Методы оптимальных решений

Выполнила:

Гусятникова К.В.

Проверила:

Мурая Е.Н.

Хабаровск 2016 г

«Принятие решения по политике цен»

Условие.

Производится некоторый товар А. Исходные данные приведены в таблице.

Издержки на производство и сбыт продукции А.

Наименование показателя	Значение показателя
Затраты на производство	0,75 ден.ед./ единица продукции (Ипер)
Аренда техники и помещений	5000 ден.ед./ год (Иа)
Заработная плата непроизводственного персонала и административные расходы	10 000 ден.ед./год (Изп)
Планируемая цена при продаже	1,5 ден.ед./ единица продукции (Ц)
Планируемые расходы на рекламу	2000 ден.ед./ год (Ир)

Требуется определить:

1. Сколько продукции надо продавать, чтобы сделать задуманное предприятие самоокупаемым?

2. Сколько продукции надо продать, чтобы получить 1000 ден.ед. прибыли?

3. Какое решение будет лучшим при установлении цены, если известно, что, продавая продукцию по 1,5 ден. ед. за единицу, можно прогнозировать уровень продаж в 1500 единиц продукции в месяц, а по цене 3 ден.ед. - 500 единиц продукции в месяц?

Решение:

1. Определим прибыль предприятия как разность между суммой, вырученной от продаж, и затратами (переменными и постоянными) на производство:

П = Ц * Ог - Ипер * Oг - Ипост,

где П - прибыль за год;

Ц - цена за единицу;

Oг - годовой объем производства;

Ипост = Иа + Изп + Ир.

Для самоокупаемости (безубыточности) необходимо, чтобы П была больше или равна нулю. Отсюда

Ц * Ог - Ипер * Ог - Ипост 0 или Ог * (Ц - Ипер) Ипост,.

Следовательно, минимальный объем выпуска находится из условия:

Ог Ипост / (Ц - Ипер).

Подставляя значения параметров (Ипост = 5000 + 10000 + 2000 = 17000;

Ц = 1,5; Ипер = 0,75), получаем:

Ог 17000 / (1,5 - 0,75) = 17000 / 0,75 = 22667;

Ог 22667 единиц продукции в год (или 1889 единиц в месяц).

2. Для определения объема выпуска, при котором достигается заданный уровень прибыли (Птр = 1000 ден.ед.), используется формула 2.1. Преобразованная к виду 3.2а и 3.3а она дает следующий результат:

Ц * Ог - Ипер * Ипост П или Ог * (Ц - Ипер) Ипост + П,

Ог (Ипост + П) / (Ц - Ипер).

Ог (17000 + 1000) / (1,5 - 0,75) = 18000 / 0,75 = 24000;

Ог 24000 единиц продукции в год (или 2000 единиц в месяц).

Подставим в формулу прогнозные значения объемов продаж для двух вариантов цены (приведя объемы к годовым) и проведем расчеты:

П1 = (1,5 - 0,75) * 1500 * 12 - 17000 = 13500 - 17000 = - 3500;

П2 = (3 - 0,75) * 500 * 12 - 17000 = 13500 - 17000 = - 3500.

Выберите оптимальную стратегию (Р) выпуска пластмассовых изделий при различных состояниях внешней среды (S) для компании, производящей хозяйственные товары из пластмассы, основываясь на критерии максимина. Необходимая информация для принятия решения приведена в таблице эффективности производства (дохода).

Платежная матрица (таблица 1.)

Yi\Sj	S1	S2	S3	S4	i
Y1 Y2 Y3	f 11 f 21 f 31	f 12 f 22 f 32	f 13 f 23 f 33	f 14 f 24 f 34	1 2 3
Pj	Р1	Р2	Р3	Р4

Платежная матрица с известной вероятностью событий

Требуется определить оптимальное по критерию среднего выигрыша (Байеса-Лапласа) решение Y*.

^ Методические рекомендации по решению. Поскольку коэффициенты матрицы в данном случае отражают поступления на фирму, то пользуясь стандартной формулой для расчета коэффициентов важности решения



определим коэффициенты i:

1 = 0,1 * 1 + 0,2 * 4 + 0,5 * 5 + 0,2 * 9 = 5,2;

2 = 0,1 * 3 + 0,2 * 8 + 0,5 * 4 + 0,2 * 3 = 4,5;

3 = 0,1 * 4 + 0.2 * 6 + 0,5 * 6 + 0,2 * 2 = 5,0

и занесем их в последнюю графу табл. 2.

По формуле 3.1. выберем оптимальное решение, которое соответствует максимальному значению коэффициента i = 5,2, т.е. Y* = Y1.

Примечание. Если бы элементы матрицы отражали затраты (о чем было бы указано в условии), то расчет коэффициентов остался тем же, а решение выбиралось бы исходя из минимума средних затрат.

Для производства трех видов продукции A, B, C используется три вида сырья I, II, III. Нормы затрат каждого из видов сырья на единицу продукции каждого вида, а также прибыль с единицы продукции приведены в таблице. Определить план выпуска продукции для получения максимальной прибыли при условии, что сырье III должно быть полностью израсходовано.

Сырье	Продукция	Запас сырья
	А	В	С
I	16	10	1	112
II	12	4	1	64
III	4	2	1	24
Прибыль	15	5	1

1. Построить математическую модель задачи.

2. Привести задачу к стандартной форме.

3. Решить полученную задачу графическим методом.

4. Привести задачу к канонической форме.

5. Решить полученную задачу симплекс-методом.

6. Провести анализ модели на чувствительность.

7. Проанализировать результаты решения.

Обозначив через x1, x2, x3 неотрицательные2 объемы выпуска продукции вида A, B, C соответственно, видим, что прибыль, полученная при реализации 15 единиц продукции A, 5 единиц продукции B и 1 единицы про- дукции C, равна 15x1 + 5x2 + x3, так что задача состоит в максимизации целе- вой функции:

f(x1, x2, x3) = 15x1 + 5x2 + x3 > max

Ограниченность ресурсов сырья I и II приводит к неравенствам

16x1 + 10x2 + x3 112, 12x1 + 4x2 + x3 ?64.

Ограниченность ресурсов сырья III вместе с требованием, чтобы сырье III было полностью израсходовано, приводит к уравнению

4x1 + 2x2 + x3 = 24.

Итак, математическая модель задачи имеет следующий вид:

f(x1, x2, x3) = 15x1 + 5x2 + x3 > max,

16x1 + 10x2 + x3 ?112,

12x1 + 4x2 + x3 ?64,

4x1 + 2x2 + x3 = 24,

x1 ? 0, x2? 0, x3? 0.

(2) Приведем задачу к стандартной форме, т.е. к виду, где все ограничения имеют форму неравенств. Выразив из ограничения-уравнения (2d) одну из переменных, например x3,

x3 = 24 ? 4x1 ? 2x2,

поставим полученное выражение в целевую функцию(2a):

f(x1, x2, x3) = 15x1 + 5x2 + (24 ? 4x1 ? 2x2) = 11x1 + 3x2 + 24,

в ограничения-неравенства:

16x1 + 10x2 + (24 ? 4x1 ? 2x2)? 112 ?? 12x1 + 8x2 ?88 ?? 3x1 + 2x2? 22,

12x1 + 4x2 + (24 ? 4x1 ? 2x2) ?64 ?? 8x1 + 2x2 ?40 ?? 4x1 + x2 ?20.

Кроме того, учтем тот факт, что x3 ?0 (см. (2e)), откуда получаем еще одно ограничение неравенство

4x1 + 2x2 ?24 ?? 2x1 + x2 ?12.

Итак, получена стандартная форма задачи:

f ? (x1, x2) = 11x1 + 3x2 + 24 > max,

3x1 + 2x2 22,

4x1 + x2 20,

2x1 + x2 12,

x1 ?0, x2 ? 0. 4e)

Решим полученную задачу графическим методом; это возможно, так как число неизвестных в ней равно двум. Сначала изобразим на координатной плоскости Ox1x2 область допустимых значений неизвестных. Нетривиальные ограничения-неравенства определяют полуплоскости, содержащие начало координат и имеющие в качестве границ прямые

3x1 + 2x2 = 22 ?? + = 1

4x1 + x2 = 20 ?? + = 1,

2x1 + x2 + 12 ?? + = 1;

при построении чертежа учтем, что прямая на плоскости, задаваемая уравнением вида

+ = 1,

пересекает координатные оси Ox1 и Ox2 в точках (a, 0) и (0, b) соответственно. Выполнив построение, получаем пятиугольник OABCD с вершинами

O(0, 0), A(0, 11), B(2, 8), C(4, 4), D(5, 0).

Точки A и D использовались при построении чертежа, так что их координаты очевидны. Точка B является пересечением прямых (5a) и (5c), а точка C -- пересечением прямых (5b) и (5c), так что координаты этих точек вычисляются как решения линейных систем

B:

Вектор градиента целевой функции (4a) равен = (11, 3)T ; также изобразим его на чертеже. Значения целевой функции (4a) во всех точках любой прямой, перпендикулярной этому вектору, одинаковы, а при сдвиге указанной прямой в направлении вектора значения целевой функции увеличиваются. Используя чертеж, находим, что наибольшее значение целевой функции в пятиугольнике OABCD достигается в точке C(4, 4) и равно

f ? (4, 4) = 11 · 4+3 · 4 + 24 = 80.

Соответствующее значение переменной x3 вычисляется с помощью(3) и равно

x3 = 24 ? 4 · 4 ? 2 · 4=0.

Итак, максимальное значение целевой функции f (x1, x2, x3) достигается при x1 = 4, x2 = 4, x3 = 0 и равно 80.

Отметим, что использование одного лишь чертежа в данной задаче приводит к затруднению при выборе точки максимума целевой функции: отрезок CD на чертеже выглядит перпендикулярным вектору градиента . В этом случае приходится прибегать к методу перебора вершин, вычисляя значения целевой функции f ?(x1, x2) в точках C и D и выбирая наибольшее из этих значений:

f ? (C) = f ? (4, 4) = 80, f ? (D) = f ? (5, 0) = 79.

(4) Приведем задачу (2) к канонической форме, т.е. к виду, где все нетривиальные ограничения имеют форму уравнений. Для этого достаточно ввести в неравенства (2b) и (2c) балансовые переменные x4 и x5 соответственно. Задача принимает вид

F (x1, x2, x3, x4, x5) = 15x1 + 5x2 + x3 > max,

16x1 + 10x2 + x3 + x4 = 112,

12x1 + 4x2 + x3 + x5 = 64,

4x1 + 2x2 + x3 = 24,

x1 ? 0, x2 ? 0, x3 ? 0.

Решим полученную задачу симплекс-методом. Сначала необходимо получить начальный опорный план задачи, т.е. неотрицательное базисное решение системы нетривиальных ограничений-уравнений (6b)-(6d). Запишем расширенную матрицу этой системы:

Вычитая третью строку из первой и второй, получим матрицу

Очевидно, неизвестные x3, x4, x5 являются базисными, x1 и x2 -- свободными; взяв значения свободных неизвестных равными нулю, для базисных получаем x3 = 24, x4 = 88, x5 = 40. Итак, найден начальный опорный план x1 = 0, x2 = 0, x3 = 24, x4 = 88, x5 = 40.

Выразим целевую функцию (6a) через свободные неизвестные x1 и x2. Из (6d) получаем x3 = 24?4x1?2x2 (ср. (3)); подставляя это выражение в (6a), получим f(x1, x2, x3, x4, x5) = 11x1 + 3x2 + 24 (ср. (4a)); запишем это выражение в виде

f ? 11x1 ? 3x2 = 24.

Теперь можно заполнить первую симплекс-таблицу:

В f-строке имеются отрицательные элементы (не считая свободного члена); следовательно, начальный опорный план не является оптимальным. Найдем минимальный отрицательный элемент f-строки: это ?11 в столбце «x1»; этот столбец будет ведущим, т.е. в следующей симплекс-таблице неизвестная x1 будет включена в базис вместо одной из x3, x4, x5.

Так как среди элементов ведущего столбца «x1» имеются положительные, то существует новый опорный план, более близкий к оптимальному. Для его построения определим, какую из неизвестных x3, x4, x5 нужно исключить из базиса. Для этого вычисляем симплексные отношения (отношения свободных членов к соответствующим положительным элементам ведущего столбца) и выбираем среди них минимальное: неопределенность математический канонический итерация

Минимальное симплексное отношение, равное 5, получилось в строке «x5», т.е. переменную x5 нужно исключить из базиса.

Проведем одну итерацию метода Гаусса. Столбцы «x3»и«x4» останутся базисными и в новой симплекс-таблице, а столбец «x1» следует сделать единичным. Сначала сделаем единичным ведущий элемент (он выделен в предыдущей таблице), для чего разделим на 8 ведущую строку:

Теперь выполняем следующие элементарные преобразования матрицы:

(i) к строке «x3» прибавляем строку «x5», умноженную на ?4;

(ii) к строке «x4» прибавляем строку «x5», умноженную на ?12;

(iii) к строке «f» прибавляем строку «x5», умноженную на 11.

В результате получается вторая симплекс-таблица:

В f-строке все еще имеются отрицательные элементы, так что план не является оптимальным. Единственный минимальный отрицательный элемент f-строки равен ?1/4; он находится в столбце «x2». Этот столбец -- ведущий, т.е. в следующей симплекс-таблице неизвестная x2 будет включена в базис вместо одной из x3, x4, x1.

Так как среди элементов ведущего столбца «x2» имеются положительные, то существует новый опорный план, более близкий к оптимальному. Вычислим симплексные отношения и выбираем среди них минимальное:

Ведущей строкой является строка «x3»; ведущий элемент равен 1. Столбцы «x1», «x4» по-прежнему остаются базисными, а вместо «x3» базисным станет столбец «x2»; для этого нужно сделать столбец «x2» единичным. Выполним следующие элементарные преобразования:

(i) к строке «x4» прибавляем строку «x3», умноженнуюна ?5;

(ii) к строке «x1» прибавляем строку «x3», умноженнуюна ?1/4;

(iii) к строке «f» прибавляем строку «x3», умноженнуюна 1/4.

В результате получается следующая симплекс-таблица:

Теперь в f-строке нет отрицательных элементов, так что оптимальный план найден. Согласно этому плану максимальное значение целевой функции, равное 80, достигается при значениях базисных переменных x1 = 4 и x2 = 4 (значение x4 = 8 игнорируем, поскольку x4 -- балансовая переменная, отсутствующая в исходной постановке задачи) и значении x3 = 0 свободной переменной (значение x5 также игнорируется).

Ответ: Максимальное значение целевой функции равно fmax = f(4, 4, 0) = 80

Министерство желает построить один из двух объектов на территории города. Городские власти могут принять предложение министерства или отказать. Министерство -- первый игрок -- имеет две стратегии: строить 1-йобъект, строить 2-й объект. Город -- второй игрок -- имеет две стратегии: принять предложение министерства или отказать. Свои действия (стратегии) они применяют независимо друг от друга, и результаты определяются прибылью (выигрышем) согласно следующим матрицам:

A =В=

(например: если игроки применяют свои первые стратегии, министерство решает строить 1 объект, а городские власти разрешают его постройку, тогда город получает выигрыш 5 млн, а министерство теряет 10 млн, и т.д.)

Решение. Для этой игры имеем :

a1 = a11- a12- a21 + a22 = -10 - 2 - 1 - 1 = -14 < 0,

a2 = a22- a12 = -1 - 2 = -3,

.

Так как a1 < 0, то множество решений K имеет следующий вид :

(0, y) при ;

(x, ) при 0 ЈxЈ 1;

(1, y) при 0 ЈyЈ.

Для 2 игрока имеем :

b1 = b11- b12- b21 + b22 = 5 + 2 + 1 + 1 = 9 > 0,

b2 = b22- b21 = 1 + 1 = 2,

.

Точка пересечения множеств L и K есть точка C с координатами x = ; y = и является соответственно приемлемыми стратегиями министерства и города. При этом выигрыш соответственно равен

E1(A,x,y) = (x, 1-x)= =

E2(A,x,y) = (x, 1-x)=

Замечание. Если решить эту игру как матричные игры двух игроков с нулевой суммой, то для игры с матрицей A оптимальные смешанные для 1 игрока и цена игры получаются из решения уравнений

откуда вероятность применения игроком 1 первой стратегии равна , цена игры - , что совпадает с E1, вероятность применения игроком 2 первой стратегии ; для игры с матрицей B оптимальные смешанные стратегии и цена игры для игрока 2 определяются из системы :

Следовательно, вероятность применения игроком 2 своей стратегии , а игроком 1, цена игры , что совпадает с E2.

Таким образом, если каждый из игроков будет применять свои стратегии в этой игре, исходя только из матриц своих выигрышей, то их оптимальные средние выигрыши совпадают с их выигрышами при ситуации равновесия.

Рассматривается двух отраслевая модель экономики. Задана балансовая таблица за прошедший год.

1. Найдите валовой выпуск каждой отрасли в прошедшем году; запишите вектор валового выпуска d для прошедшего года.

2. Найдите матрицу Леонтьева A. Сделать проверку продуктивности матрицы прямых затрат.

3. Найдите матрицу полных затрат H.

4. В следующем году конечное потребление продукции отрасли I увеличится на a %, а отрасли II--уменьшится на b %. Найдите конечное потребление продукции каждой отрасли в следующем году. Запишите вектор конечного потребления xў для следующего года.

5. Найдите валовой выпуск каждой отрасли в следующем году; запишите вектор валового выпуска d для прошедшего года.

6. На сколько процентов изменился валовой выпуск каждой отрасли в следующем году по сравнению с прошедшим?

7. Известен вектор норм добавленной стоимости v в прошедшем году. Найдите равновесные цены продукции каждой отрасли в прошедшем году. Запишите вектор равновесных цен p

8. На основании расчетов п.4-7, принятии решение: стоит или нет увеличивать конечное потребление продукции каждой отрасли.

9. Что показывает равновесная цена. Как данная цена влияет на принятия решения по увеличению конечного потребления продукции.

Решение. (1) Валовой выпуск продукции по каждой из отраслей получается сложением объемов производственного и конечного потребления по каждой из отраслей:

Отрасли производства	Произв. потребление	Конечное потребление	Валовый выпуск
	отрасль I	отрасль II
I	1	4	3	1+4+3=8
II	5	3	7	5+3+7=15

Таким образом, вектор валового выпуска для прошедшего года равен x = (8, 15)T .

(2) Элементы aij матрицы Леонтьева вычисляются по формулам

де xij -- объем производственного потребления продукции отрасли i отраслью j, xj -- валовой выпуск отрасли j. Имеем:

(3) Матрицу полных затрат H найдем по формуле H = (E ? A)?1; имеем

Обращение матрицы второго порядка удобно провести с помощью формулы

Согласно этой формуле

Конечное потребление в следующем году изменяется по сравнению с про- шедшим годом; объем конечного потребления продукции отрасли I увеличивается на 70% и становится равным

аналогично для второй отрасли

Таким образом, вектор конечного потребления для следующего года равен d = (5.1, 6.3)T.

Вектор валового выпуска x связан с вектором конечного потребления d уравнением Леонтьева:

(E ? A)x = d ?? x = (E ? A) ?1 d = H d.

Поэтому вектор валового выпуска x для следующего года равен

(6) Найдем, на сколько процентов изменился валовой выпуск по каждой отрасли:

валовой выпуск обеих отраслей увеличился.

(7) Вектор равновесных цен p находим с помощью «двойственного» уравнения Леонтьева

p = AT p + v,

где v -- вектор норм добавленной стоимости. Имеем

Размещено на Allbest.ru