Моделирование времени жизни ипотечного кредита

Размещено на http://www.allbest.ru/

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

«ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ»

Факультет экономических наук

Образовательная программа " Математические методы анализа экономики"

МАГИСТЕРСКАЯ ДИССЕРТАЦИЯ

«Моделирование времени жизни ипотечного кредита»

Румянцева Екатерина Владимировна

Москва 2015



Введение

Постановка задачи. Экономическое и практическое обоснование важности ее решения.

Рассмотрим задачу моделирования денежных потоков по портфелю (пулу) ипотечных кредитов. Моделирование денежных потоков является важным направлением деятельности любой кредитующей организации (например, банка или ипотечного агентства), поскольку правильно смоделированные потоки, учитывающие специфические риски, позволяют ответить на многие вопросы. Во-первых, на основании потоков можно максимально точно оценить справедливую стоимость ипотечного пула, рассчитываемую как приведенную к текущему моменту сумму будущих денежных поступлений по пулу. Расчет fair value пула может оказаться важным в случае, если возникнет необходимость его продажи контрагенту. Во-вторых, на основании потоков можно строить прогнозные балансы для бизнес-планов, а также отслеживать возможные моменты возникновения дефицита ликвидности в будущем. Данная ситуация может возникнуть, если в какой-то момент входящие потоки (процентные доходы по активам ипотечной организации - выданным ипотечным кредитам) оказываются меньше исходящих потоков (процентные расходы по пассивам кредитной организации - обслуживание долговых обязательств: корпоративных облигаций, а также ипотечных ценных бумаг). В-третьих, с помощью денежных потоков по ипотечным кредитам строятся вторичные потоки по ипотечным ценным бумагам - то есть бумагам, обеспеченным пулом закладных, в рамках так называемой процедуры секьюретизации портфеля закладных.

Модель денежных потоков по пулу ипотечных кредитов без учета рисков.

Рассмотрим пул ипотечных кредитов со схемой погашения равными ежемесячными платежами (аннуитетами).

Пусть B(t)- суммарный остаток основного долга (ООД) по пулу кредитов на начало периода t, B(0) - остаток долга по пулу кредитов на момент выдачи или сумма кредита по пулу,

r-средневзвешенная (по ООД) ставка по пулу кредитов,

T- средневзвешенный (по ООД) срок до погашения по пулу кредитов.

Тогда для пула кредитов с такими характеристиками аннуитетный платеж рассчитывается по формуле A=(B(0)•r/12)/(1-(1+r/12)^(-T) ) .

Часть аннуитета, отвечающая за процентный доход по пулу, равна Int(t)=r/12•B(t-1). Часть аннуитета, соответствующая платежу в счет погашения основного долга, равна Principal(t)=A-r/12•B(t-1).

Тогда плановая амортизация (по графику, без учета рисков) основного долга по пулу кредитов описывается соотношением:

B(t)=B(t-1)-(A-r/12•B(t-1))=(1+r/12)•B(t-1)-A (1)

В начале жизни кредита большая часть платежа приходится на процентные выплаты, а меньшая часть - идет в счет погашение основного долга. Во второй половине жизни закладной наступает обратная динамика, то есть начинает доминировать часть платежа, отвечающая за погашение основного долга. Ввиду длительности срока жизни ипотечного кредита (до 30 лет) и, как следствие, высоких кредитных ставок (чем выше срок, тем выше ставка) процентные расходы являются обременительными, особенно в начале жизни закладной. Поэтому ипотечные кредиты связаны с рисками «недожития» - риска наступления досрочного погашения и риска наступления дефолта.

Данное обстоятельство приходится учитывать при моделировании денежных потоков по кредиту, поскольку эти два типа рисков связаны с прямыми потерями кредитора.

Модель денежных потоков по пулу ипотечных кредитов с учетом рисков.

В процессе жизни кредит подвержен двум типам рисков «недожития»: риск досрочного погашения (рыночный или процентный риск) и риск наступления дефолта (кредитный риск).

Если есть возможность совершать досрочное погашение без штрафов, то заемщик, скорее всего, воспользуется данным правом на том или ином отрезке жизни кредита. Реализация данного права может быть обусловлена «естественными» факторами, например:

изменением динамики платежеспособности заемщика, к примеру, ростом заработной платы по отношению к моменту выдачи кредита.

социо-демографическими факторами: изменением состава семьи, рождением детей, и, как следствие, необходимостью расширения жилплощади.

миграцией населения из одного региона в другой.

Риск досрочного погашения также может быть следствием резкого падения процентных ставок в сегменте аналогичных кредитов на рынке ипотечного кредитования. В этом случае заемщику становится невыгодно оплачивать собственный кредит, если на рынке кредит с аналогичными характеристиками обходится дешевле. В американской финансовой литературе в таком случае говорят, что реализуется the refinancing incentive - стимул рефинансирования (перекредитования). Сегодня в Российском ипотечном сегменте некоторые банки предлагают соответствующие схемы рефинансирования. С точки зрения выгодоприобретателя (кредитующей организации, банка) выбытие высокодоходного кредита означает недополученные проценты, то есть потерю доходности.

Дефолт по закладной присваивается, если заемщик не совершает обязательные ежемесячные платежи по кредиту в течение определенного срока, определяемого регламентом банка-кредитора.

Риск наступления дефолта может быть связан как с утратой платежеспособности заемщиком вследствие потери работы, болезни, миграции в другие регионы и т.д., так и быть вызван чисто экономическими факторами. Так, при обесценении объекта недвижимости, находящегося под обременением, заемщик может перестать выполнять свои кредитные обязательства, поскольку на рынке аналогичные жилищные предложения стоят гораздо дешевле, и как следствие, кредиту будет присвоен статус дефолта. В данной ситуации кредитор теряет не только процентную прибыль или доходность.

Если заемщик из состояния дефолта не возвращается в платежеспособное состояние посредством внесения просроченных ежемесячных платежей, то кредитор начинает процедуру обращения взыскания на объект недвижимости, находящийся под залогом (предмета ипотеки), через суд и продает объект в рынок с торгов. При этом, если реализация объекта происходит по цене, превышающей сумму требования кредитора, то излишек возвращается заемщику. Возможна ситуация, когда, например, вследствие обесценения жилья на рынке, вернуть весь остаток долга по кредиту, не говоря уже о процентах, накопленных за время «простаивания» объекта, а также судебные расходы, вряд ли удастся, и кредитор вынужден будет отразить у себя в балансовом отчете убыток.

В любом случае, вследствие реализации недвижимости, находящейся под залогом (далее по тексту залога), с торгов происходит возврат денежных средств кредитору в счет погашения задолженности. Поэтому для моделирования адекватных денежных потоков крайне желательно также учитывать время до реализации залога с момента дефолта кредита или риск реализации залога. Этот тип риска является опосредованным или вторичным по отношению к риску наступления дефолта, поскольку возникает только вследствие запуска процедуры судебного взыскания по дефолтному кредиту.

Отметим, что при невозможности реализации объекта в рынок с торгов, объект недвижимости, как правило, ставится на баланс кредитора. В дальнейшем, специальные подразделения занимаются его продажей.

Учет рисков досрочного погашения и дефолта, а также возврата денежных средств вследствие реализации залога, приводят к изменению плановой динамики остатка основного долга (1).

Пусть CPR(t) - доля досрочно погашенного основного долга по пулу за период [t-1;t] , то есть отношение суммы досрочно погашенного за период долга к суммарному долгу (по всему портфелю) на начало периода (t-1). По сути, CPR(t) - это условная вероятность наступления досрочного погашения в периоде [t-1;t], т.е. вероятность наступления события в периоде [t-1;t] при условии, что оно не случилось ранее;

CDR(t) - отношение остаточной суммы основного долга по кредитам, вошедшим в дефолт в периоде [t-1;t] , к суммарному долгу на начало периода (t-1), то есть, по сути, условная вероятность наступления дефолта в периоде [t-1;t].

Обозначим за h_(time_to_fcl) (t) - функцию риска реализации залога в момент t, иначе, вероятность наступления реализации залога в момент [t-1;t] при условии, что оно не случилось ранее (т.е. условная вероятность реализации залога в периоде).

Тогда динамику остатка основного долга по кредиту с учетом рисков досрочного погашения и дефолта по закладной можно описать следующим соотношением:

B(t)=(1+r/12)•B(t-1)-A (t)-CPR(t)•B(t-1)-CDR(t)•B(t-1), (21)

где A (t)=(1-CPR(t)-CDR(t))•A(t-1) , A(0)=A

Последнее соотношение характеризует снижение планового платежа (аннуитета) по пулу вследствие полного выбытия кредитов по причине полного досрочного погашения и дефолта.

Часть аннуитета в счет погашения основного долга корректируется на часть выбывшего вследствие досрочного погашения долга и на возврат части денежных средств вследствие реализации залога:

Principal(t)=A-r/12•B(t-1)+CPR(t)•B(t-1)+Recovery(t),

где Recovery(t)=?_(ф<t)-?min?(CDR(ф)•B(ф-1)•?(1+r/12) ?^(t-ф),(CDR(ф)•B(ф-1)•(1+r/12)^(t-ф))/LTV)Чh_(time_to_fcl) (t-ф) ?,

где LTV - средневзвешенный показатель, равный отношению суммы кредита к стоимости жилья, находящегося под залогом, на момент выдачи кредита.

При этом формула для части аннуитета в счет погашения процентов не меняется по сравнению со случаем модели денежных потоков без учета рисков.

Таким образом, для построения динамики снижения основного долга, учитывающей риски, необходимо уметь моделировать функции CPR(?) и CDR(?), а также функцию риска реализации залога h_(time_fcl ) (?).

Обзор работ, посвященных исследованию риска наступления досрочного погашения или дефолта по пулу закладных.

Простейшие модели, описывающие скорость досрочного погашения и дефолтов по пулу закладных в зависимости от времени жизни кредита - это модели PSA и SDA, разработанные международной финансовой ассоциацией Bond Market Association (прежнее название Public Securities Association), для прогноза доли дефолтов и досрочного погашения по портфелю кредитов. Эти модели инвариантны к изменению рыночных процентных ставок. Подробнее о моделях можно прочесть в [14, 2003].

Модель PSA (Public Securities Association).

Это простейшая модель, описывающая темп досрочного погашения по пулу закладных в зависимости от времени жизни кредита. Вводится понятие CPR - доля досрочно предоплаченного долга в годовом выражении по пулу закладных. Согласно конвенции, принятой Ассоциацией, CPR как функция от времени соответствует траектории 100% PSA, если темп досрочного погашения равномерно возрастает первые 30 месяцев, а затем стабилизируется на уровне 6% годовых.

Масштабируя стандартную кривую 100% PSA мультипликаторами, можно получить различные скорости досрочного погашения. Например, 200% PSA соответствует кривая 100% PSA, умноженная на 2. Получаемые таким образом масштабированные кривые PSA используются при тестировании различных стресс-сценариев в задаче быстрой оценке справедливой стоимости пула (с учетом риска наступления досрочного погашения) с целью его продажи/выкупа.

Модель SDA (Standard Default Assumption).

Эта модель иллюстрирует простейшее предположение, используемое при моделировании дефолтов, а также убытков (потерь), возникших вследствие наступления дефолта, по пулу закладных. Базовая кривая SDA, обозначаемая по аналогии с досрочным погашением, как 100% SDA строится следующим образом: сначала скорость дефолтов растет первые 30 месяцев жизни кредита, затем стабилизируется, а начиная с 60 месяца жизни кредита снижается. На следующем графике по вертикальной оси отложена доля долга, вошедшего в дефолт (доля убытков), в месячном выражении:

Масштабируя базовую кривую, можно получить различные темпы дефолтов по портфелю закладных (кривые 200% SDA, 50% SDA), закладываемых в потоки при стресс-тестировании.

Следующий ряд работ посвящен исследованию факторов, влияющих на риск наступления досрочного погашения.

Например, простейшая регрессионная модель была предложена в работе Asay, Guillaume, Mattu [6 , 1987]. Для объяснения доли досрочно предоплаченного долга авторы используют единственный фактор - спред (разница ставок) между рыночной ставкой и собственной кредитной ставкой.

В работе Chinloy [8, 1991] для объяснения месячной доли досрочно предоплаченного долга за период с января 1986 г. по май 1989 г. по пулу ценных бумаг, обеспеченных закладными MBS (mortgage-backed securities), используются 3 фактора: средняя рыночная ставка по вновь выданным закладным с фиксированной ставкой, собственная кредитная ставка (договорная ставка по кредиту, т.е. ставка, прописываемая в кредитном договоре), возраст кредита или, так называемый в иностранной литературе, фактор старения (seasoning) кредита. По результатам оценивания соответствующей регрессионной модели автор пришел к выводу, что возраст кредита (или эффект старения кредита) практически не оказывает никакого влияния на целевое событие.

В модифицированной модели Goldman Sachs, получившей развитие в работе Scott F.R., Roll [23, 1989], для объяснения годовой доли досрочного погашения (CPR) рассматриваются 4 важных экономических фактора:

the refinancing incentive - стимул рефинансирования (перекредитования);

seasoning - возраст кредита (эффект старения);

seasonality - месяц года (сезонность);

burnout effect - эффект выгорания (выжигания) пула кредитов.

По смыслу стимул рефинансирования возникает, когда на рынке имеются предложения кредитов с аналогичными характеристиками, но более выгодными условиями кредитования, то есть ставка по таким продуктам (ставка рефинансирования) ниже собственной кредитной ставки. Следовательно, у заемщика появляется возможность рефинансировать имеющийся кредит (то есть перекредитоваться в другом банке), и, как следствие, осуществить его досрочное погашение. Для моделирования эффекта рефинансирования авторы используют некоторую функцию от величины, представляющей собой взвешенное среднее отношений лагированных собственной кредитной ставки к ставке рефинансирования (обычно лаг берут равным 3 месяцам). Лаг обусловлен тем, что заемщики, как правило, на изменение рыночной ситуации реагируют с запозданием.

Согласно статистике, рассматриваемой авторами, частота досрочного погашения возрастает в конце лета и зимой, поэтому данную особенность авторы моделируют функцией, имеющей форму функции синуса.

Эффект выгорания возникает из-за неравномерного поведения заемщиков. Некоторые заемщики совершают досрочное погашение, когда ставки рефинансирования ниже их собственной ставки по кредиту, другие - ждут, пока ставки упадут еще сильнее. А есть заемщики, никогда не совершающие досрочное погашение вне зависимости от ситуации на рынке. Таким образом, по мере старения кредита, те заемщики, которые быстро реагируют на рыночную ситуацию, покидают пул (происходит «выгорание» пула). Обычно эффект выгорания описывается формально экспоненциальной функцией:

pool burnout factor = exp(-б*B), где б - некоторая константа, B - равняется отношению собственной кредитной ставки к ставке рефинансирования.

Доля досрочного погашения очень незначительна для вновь выданных кредитов, однако по мере старения кредитов возрастает. Заемщики редко решаются на перекредитование и, соответственно, осуществление досрочного погашения сразу после выдачи кредита, что можно объяснить, в частности, транзакционными издержками.

Тогда функцию CPR авторы объясняют с помощью мультипликативного представления:

CPR = (Refinancing Incentive)(Seasoning Factor)(Month Factor)(Pool Burnout Factor).

Идея о существенном влиянии на риск наступления досрочного погашения соотношения между договорной кредитной ставкой и ставкой рефинансирования нашла дальнейшее развитие в работе Kang, A. Zenios [19, 1992]. Модель строится по пулу MBS и для объяснения целевого события используются те же 4 фактора, сформулированные в предыдущей работе.

Эффект сезонности s (seasonality effect) моделируется как функция s(m, C/R) от месяца года m и отношения договорной кредитной ставке C к ставке рефинансирования R. Этот фактор призван уловить возможности увеличения рефинансирования (и, как следствие, досрочного погашения) в летний и ранне- осенний период (по статистике США) и уменьшения - в зимние месяцы. Иногда увеличение возможностей рефинансирования относят к периоду, следующему за завершением налогового года.

Чисто экономический эффект стимул рефинансирования (refinancing incentive) с моделируют как функцию от C/R. Он отражает принятие заемщиком решения о рефинансировании имеющегося кредита вследствие падения ставки рефинансирования ниже собственной кредитной ставки.

Эффект старения кредита (seasoning) у моделируется как у((C/R)t, t, C/R). Доля досрочного погашения в ранние годы жизни закладной невысока из-за недостатка денег и мотивации для рефинансирования только что выданного кредита. С течением времени вероятность рефинансирования возрастает, так что растет и доля досрочного погашения. Следовательно, условная вероятность досрочного погашения пула зависит от всей истории ставок (C/R)t, начиная с момента выдачи.

Эффект выгорания пула (burnout effect) наблюдается на более поздних сроках жизни закладной по сравнению с эффектом seasoning, однако отражает ту же зависимость вероятности досрочного погашения от времени жизни кредита. Поэтому данный эффект моделируется как в((C/R)t, t, C/R), но для более «старых» закладных и характеризуется более низкой активностью осуществления досрочного погашения. Чем меньше период, оставшийся до погашения закладной, тем больше должен быть стимул рефинансирования, формально описываемый величиной C/R. Если R<C, то не все заемщики будут рефинансировать. Некоторые будут ждать более значительного снижения ставок, а иные в силу особенностей характера вовсе не склонны брать на себя лишние хлопоты, связанные с перекредитованием (так называемые транзакционные издержки). Вне зависимости от причины, те заемщики, которые обладают большей чувствительностью к величине C/R, будут совершать досрочное погашение и покидать пул, оставляя заемщиков с более низкой степенью чувствительности. Таким образом, активность досрочного погашения будет снижаться к окончанию срока жизни закладной.

Факторы seasoning и burnout характеризуют эффект влияния старения закладной (aging) на вероятность досрочного погашения. Итоговая модель, объясняющая зависимость досрочного погашения от 4 факторов, представляется авторами в виде:

CPR(t,m,(?C/R)?_t )=s(m,C/R)•с(C/R)• у((C/R)t, t, C/R) • в((C/R)t, t, C/R)•е.

где е - нормально распределенная случайная величина, описывающая ошибку моделирования.

Данная модель очень сложна и сильно не линейна. Факторы зависят от одной или более независимых переменных, причем некоторые факторы зависят от одних и тех же величин, но не обязательно функционально одинаковым образом. Для моделирования эффектов refinancing incentive и burnout данные приближают сплайнами, эффект burnout моделируют экспоненциально убывающей по t функцией.

Важная роль ставки рефинансирования при принятии заемщиком решения о совершении досрочного погашения, нашла свое отражение в работе Schwartz и Torous [29, 1989]. Так, для оценки влияния различных объясняющих переменных на ставки досрочного погашения в период с января 1978 г. по ноябрь 1987 г. по пулу однородных 30-летних кредитов Ginnie Mae, авторы используют модель пропорциональных рисков. Авторы исследуют влияние фактора старения кредита на целевое событие (seasoning), а также воздействие факторов сезонности и лагированных ставок рефинансирования. Авторы оценивают логлогистическую регрессию - то есть опорная функция риска, зависящая только от времени до наступления целевого события, описывается логлогистической функцией. Функциональная форма объясняющих переменных в модели задается с помощью следующих функций:

V_1 (t)=c-I(t-s),s?0 - спред доходностей, характеризующий влияние издержек рефинансирования (перекредитования) на принятие заемщиком решения о совершении досрочного погашения. Здесь с - договорная кредитная ставка, I(t-s) - длинносрочная доходность по американским безрисковым бумагам в месяц t c s-месячным лагом (в исследовании s=3).

Кубическая функция от V_1 (t) характеризует возможность ускорения осуществления досрочных платежей заемщиком, если рыночные ставки существенно ниже договорной кредитной ставки.

Функция V_3 (t)=ln?(?AO?_t/?AO?_t^*) определяет часть досрочно предоплаченного пула. Здесь ?AO?_t - остаток основного долга по пулу в момент t, ?AO?_t^* - часть долга по пулу в момент t при условии отсутствия досрочных погашений (т.е. при условии плановой амортизации долга).

Фактор сезонности описывается индикаторной функцией, равной 1 в месяцы, когда наблюдаются пиковые показатели досрочных погашений (в модели, используемой авторами, это месяцы с мая по август) и 0 - в другие месяцы.

В результате оценивания модели наиболее значимым оказывается коэффициент при V_1 (t).

К идее оценивания факторов, влияющих на интенсивность осуществления досрочного погашения с помощью модели пропорциональных рисков, обратились и авторы следующей работы [17 , 1986]. Для описания целевого события Green и Shoven используют одну объясняющую переменную - величину, равную отношению разницы между текущей (по остатку основного долга) и рыночной стоимостью закладной к проиндексированной первоначальной стоимости закладной (суммы кредита): (face valuet-market valuet)/initial principal amount*(Pt/P0). В своем исследовании авторы показывают, что эта величина является одной из важнейших детерминант вероятности досрочного погашения, поскольку в основе опять, как и в предыдущих работах - разница C-R между договорной кредитной С ставкой и рыночной ставкой R.

Следующие работы посвящены исследованию факторов, влияющих на риск наступления дефолта по кредиту. Для описания связи регрессоров с целевой функцией авторы используют различные разновидности модели Кокса пропорциональных рисков.

В статье Demyanyk Y., Van Hemert O. [12] авторы пытались разобраться в причинах кризиса рынка закладных класса subprime , начавшегося в 2007 году в США. Кризис характеризовался высокой долей закладных класса subprime с датой выпуска 2006-2007 гг., которые входили в дефолт или процедуру обращения взыскания всего спустя несколько месяцев после даты выпуска. Для ответа на поставленный вопрос авторы исследовали портфель секьюретизированных закладных с датой выдачи в периоде с 2001 по 2007 гг., с высокой вероятностью подверженных риску наступления дефолта (кредиты класса subprime). Для оценки риска наступления дефолта используется дискретный аналог модели пропорциональных рисков (поскольку платежи поступают ежемесячно), причем оценка производится с помощью метода максимума правдоподобия по выборке, состоящей из 1 млн. закладных.

Для объяснения целевого события используются как показатели, описывающие параметры самого кредита и заемщика, например:

cкоринговый балл FICO,

показатель, равный отношению суммы заемных средств к стоимости жилья LTV,

показатель, равный отношения долга к доходу,

кредитная ставка,

dummy переменная, указывающая на то, предоставлена ли необходимая документация о заемщике,

dummy переменная, характеризующая наличие права штрафа за досрочное погашение,

dummy переменная, указывающая на то, был ли кредит рефинансирован с целью извлечения денег cash-out refinancing (т.е. кредитор досрочно закрыл имеющийся кредит клиента за счет выдачи более крупного кредита),

так и макроэкономические показатели:

переменная, измеряющая переоценку стоимости жилья с момента выдачи кредита до момента исследования,

переменная, характеризующая изменение уровня безработицы с момента выдачи до момента исследования,

переменная, измеряющая медианный уровень дохода домохозяйств, приписанных к одному почтовому индексу.

В результате оценивания все регрессоры оказались статистически значимыми на 1% уровне. Среди них наибольшую объясняющую силу показали 4 показателя: скоринговый балл FICO, индекс LTV, кредитная ставка и рыночный фактор, характеризующий переоценку стоимости жилья.

Авторы также пришли к выводу, что кризис рынка закладных, разразившийся в 2007 гг., назревал в течение предшествующих пяти лет. Качество закладных постепенно ухудшалось, начиная с 2001 г., что видно на графике подогнанных функций риска дефолта, а к концу 2005 г. кризис стал очевиден. Стремительная переоценка стоимости жилья на протяжении исследуемого периода замаскировала признаки ухудшения качества закладных типа subprime, и, как следствие, истинную степень рискованности закладных исследуемого класса.

В работе Stepanova M., Thomas L. [30] рассматривается модель поведенческого скоринга (behavioural scoring). Это информация по клиенту, которую получает кредитор ежемесячно с момента выдачи кредита заемщику: информация о ежемесячном уменьшении долга, о частоте и количестве просроченных платежей и т.д. Поведенческий скоринг дополняет первичную информацию о клиенте, собранную кредитором на этапе выдачи кредита - так называемый application scoring, содержащий информацию о параметрах кредита и заемщика. Простейшие модели поведенческого скоринга, основанные на логистической регрессии, пытаясь ответить на вопрос, наступит ли дефолт по кредиту через 6 или 12 месяцев жизни кредита, не учитывают информацию о том, сколько месяцев до того уже прожила закладная. Таким образом, при прогнозировании дефолта закладные всех возрастов оценивают единообразно. Авторы данной работы для объяснения времени до наступления дефолта по кредиту развивают технику, основанную на оценке моделей пропорциональных рисков Кокса, дополнительно с аппликационным скорингом внедряя информацию о поведенческом скоринге клиента. Авторы сконструировали PHAB модель - модель пропорциональных рисков, учитывающую поведенческий скоринг. В этой модели время, оставшееся до дефолта с момента s, описывается соотношением:

h^s (t)=e^(b(s)x+c(s)y(s) ) h_0^s (t),

где s - количество месяцев после выдачи закладной, через которое кредитор получил поведенческую информацию о клиенте (заемщике) y(s), h_0^s (t) - опорная функция риска для семейства кредитов, по которым в периоде s еще не наступило целевое событие (т.е. те кредиты, которые досрочно погасились, вошли в состояние дефолта или погасились по графику до момента s исключаются из выборки), b(s) и c(s) - векторы неизвестных параметров, x - вектор аппликационных характеристик (вектор индивидуальных характеристик кредита).

В результате оценивания данной модели авторы статьи пришли к выводу, что PHAB модель не уступает по качеству оценивания классической модели логистической регрессии, особенно после двух лет жизни кредита.

Еще одним интересным направлением исследования является комбинированный подход, позволяющий одновременно учесть и риск досрочного погашения, и риск дефолта в одной модели. Это модель основывается на теории опционов. Теория опционов объясняет важность совместного рассмотрения этих двух типов риска. Заемщик исполняет опцион на досрочное погашение или дефолт в зависимости от того, какое решение повысит его благосостояние.

В статье Deng Y., Quigley J.M., van Order R. [13] строится объединенная модель для двух конкурирующих рисков прекращения состояния: досрочное погашение и дефолт. Авторы считают эти 2 риска зависимыми и оценивают их совместно, используя идеологию моделей пропорциональных интенсивностей.

Цель исследования. Научная новизна.

Целью настоящей работы является исследование зависимости риска наступления досрочного погашения и дефолта от специфических факторов x, свойственных определенной группе кредитов, и временного фактора t, оценивающего эффект сезонности одновременно с эффектом выгорания. Также по портфелю кредитов, которым присвоен статус дефолта, исследуется время до реализации залога с момента дефолта и строится функция риска реализации залога в зависимости от индивидуальных характеристик кредита x и времени жизни кредита с момента дефолта. Для решения этих задач апробированы методы моделей длительности состояния.

В соответствии с постановкой задачи получены автономные (не зависящие от рыночных факторов) оценки кривых досрочного погашения и дефолта, полностью объясняющие структуру индивидуального (специфического) эффекта на рыночные и кредитные риски денежных потоков в ипотечном кредитовании. Также получена оценка функции риска реализации объекта, находящегося под залогом.

Найденные в результате исследования, функции риска наступления досрочного погашения, дефолта, а также функция риска реализации залога внедряются в модель денежных потоков в соответствии с формулами (2), причем считаем, что CPR(t,x), CDR(t,x) и h_(time_to_fcl) (t,x) зависят, как от времени жизни кредита, так и от индивидуальных характеристик кредита.

К настоящему времени, рассматриваемый комплексный подход по описанию индивидуального эффекта характеристик кредитного дела на риски денежных потоков по пулу закладных на всем временном горизонте жизни кредита является малоизученным на российской статистике направлением. Настоящим исследованием открывается возможное развитие по решению подобного класса задач в части описания рисков денежных потоков в ипотечном кредитовании. Потребность в моделях с такого рода функциональным наполнением диктуется также потребностью оценки естественных опционов на досрочное погашение и дефолт, скрытых в ипотечном кредите. Оценка их является важной составляющей для расчета справедливой надбавки (к стоимости фондирования) за соответствующий риск в структуре процентной ставки по кредиту.

По нашему мнению, важным фактором, придающим значимость такому типа задач с практической точки зрения, является во многом стагнирующий рынок ипотечной секъюритизации по причине отсутствия культуры и практики комплексной оценки денежных потоков по пулу ипотечных кредитов, кастомизированных под реалии российского рынка кредитования с его индивидуальными особенностями. С этой точки зрения исследование, базирующееся на статистике компании, имеющей достаточную диверсифицированность на региональном уровне, будет, безусловно, полезным для участников рынка.

Также отметим, что оценка времени до реализации залога и его учет в денежных потоках является в определенном смысле новаторским подходом. В литературе нет работ, посвященных данной теме. Как правило, при моделировании денежных потоков банками-кредиторами, принимаются упрощающие предпосылки о том, что реализация залога, и, соответственно, возврат денежных средств (суммы требования) кредитору происходит в среднем через 2-3 года с момента вхождения кредита в дефолт.

Данные для исследования.

Моделирование функций риска производится на основе данных Агентства по ипотечному жилищному кредитованию (АИЖК), занимающегося разработкой ипотечных программ для различных сегментов населения. АИЖК производит выкуп закладных у банков-контрагентов и занимается их сопровождением (функция мастер-сервисер). Данные - это ипотечные кредиты Агентства. Изучается срез данных на отчетную дату 1 января 2014 года, то есть исследование производится по всем кредитам, выданным с момента начала деятельности Агентства до отчетной даты.

Согласно стандартам АИЖК (свод правил для банков-контрагентов, работающих по схемам кредитования АИЖК) под событием досрочное погашение понимают событие, произошедшее ранее планового срока, при котором кредит гасится полностью и происходит его выбытие из ипотечного портфеля (не путать с частичным досрочным погашением, когда кредит погашается частично на сумму, превышающую ежемесячный платеж). Событие дефолт по закладной наступает, если заемщик не совершает обязательные ежемесячные платежи по кредиту не менее 3 месяцев.

По кредиту, которому присвоен статус дефолта, начинается процедура судебного взыскания, что подразумевает реализацию (продажу) объекта недвижимости, находящегося под залогом, в рынок. В настоящей работе под событием «реализация залога» по дефолтному кредиту мы понимаем продажу объекта недвижимости в рынок с торгов или постановку его на баланс кредитора вследствие невозможности в данный момент по каким-либо причинам реализации с торгов. Предпосылка о том, что объект, поступивший на баланс, считается реализованным (то есть по нему наступило целевое событие), является упрощающим реалии допущением, поскольку на текущий момент нам недоступна информация о дальнейшей судьбе объекта недвижимости, в первую очередь, о дате его балансовой реализации. Этапы сопровождения объектов на балансе, а также их возможное выбытие вследствие продажи не отражаются в базе данных (откуда взяты данные для исследования), а предоставляются строго по внутреннему запросу с указанием цели.

Отметим, что формулы динамики денежных потоков (1) - (3), учитывающие риски наступления досрочного погашения и дефолта, а также возвраты части заемного долга в результате реализации залога, являются собственными разработками аналитического подразделения АИЖК.

Подходы к моделированию рисков наступления досрочного погашения, дефолта и реализации залога. Теоретическое обоснование методов.

Методы анализа, используемые в работе.

В настоящей работе будем моделировать функции, описывающие условные вероятности наступления досрочного погашения CPR(?), дефолта CDR(?) и реализации залога h_(time_to_fcl) (?) с помощью техники, разработанной для исследования моделей времени жизни. Эти модели характеризуются следующими характеристиками:

есть зависимая переменная - это время ожидания до наступления определенного события;

наблюдения являются цензурированными: для некоторых объектов наблюдения исследуемое событие не наступило на момент анализа данных;

имеются объясняющие переменные, воздействие которых на время ожидания нам хотелось бы оценить или учесть.

Для формального описания моделей введем некоторые базовые определения.

Пусть неотрицательная случайная величины T - время до наступления события (досрочное погашение, дефолт, реализация залога), f(t) - ее функция плотности.

S(t)=P(T>t)=?_t^?-f(x)dx. (3)

Таким образом, функция дожития - это вероятность того, что интересующее нас событие не наступило к моменту времени t.

Распределение величины T можно охарактеризовать другим способом. Для этого вводится понятие функции риска или мгновенной интенсивности осуществления события:

h(t)=limT(dt>0)??P(t<T?t+dt¦T>t)/dt?=f(t)/S(t) . (4)

Также введем понятие кумулятивного риска:

H(t)=?_0^t-h(x)dx . (5)

Связь между функцией дожития и функцией кумулятивного риска описывается соотношением:

S(t)=exp?{-H(x)} . (6)

Вывод данной формулы можно найти в [3].

Как было отмечено выше, анализ длительности состояния обладает важной отличительной чертой - наличием цензурирования (censoring) в данных. Это вид неполноты информации, при котором наблюдения не содержат точной длительности изучаемого состояния. Для некоторых объектов наблюдения исследуемое событие произошло, а значит, известна точная длительность состояния, тогда как для других это событие не произошло и все, что известно - это то, что время ожидания до наступления события превышает время наблюдения. Выделяют цензурирование справа, слева и интервальное цензурирование.

Говорят, что наблюдение цензурировано справа, если известно только, что наблюдаемое состояние продлилось не менее определённого времени. Это может быть связано, как в случае наших данных, с завершением периода наблюдения, а также выпадением объекта из рассмотрения или другими особенностями сбора информации.

Данные, на основании которых производится исследование, цензурированы справа, то есть на момент конца наблюдения (для нас это отчетная дата 01.01.2014) для одних кредитов наступило исследуемое событие (досрочное погашение, дефолт или реализация залога), а для других - известно лишь, что оно продлилось не менее определённого времени.

Для оценки параметров в моделях длительности используется метод максимизации функции правдоподобия, которая в случае наличия цензурирования в данных обладает некоторыми особенностями. Так, если для некоторого объекта исследования в момент окончания наблюдения за ним наступило завершение состояния, то вклад данного наблюдения в функцию правдоподобия описывается значением плотности в этот момент времени, а если наблюдение цензурировалось - функцией дожития до этого момента времени. Подробный вывод данного утверждения можно найти в [24].

Для моделирования интересующих нас функций CPR(?) и CDR(?), описывающих доли досрочно предоплаченного и, соответственно, задефолтившегося долга (или условной вероятности данных событий) наиболее близко по смыслу (см. определение данных функций на стр. 6 настоящей работы) их представление как функций риска наступления соответствующих событий.

В настоящей работе для исследования времени до наступления досрочного погашения, дефолта или реализации залога были применены следующие подходы:

Одномерный анализ;

Модели с объясняющими переменными.

Модели с ненаблюдаемой разнородностью.

Поговорим об особенностях каждого подхода.

Одномерный анализ.

Это упрощенный подход оценки интересующих нас событий, не учитывающий характеристики кредита. Данный подход подразумевает, что целевые функции зависят только от времени жизни кредита.

Этот подход получил широкое хождение в практике быстрой оценки пулов ипотечных кредитов. Это стандарт кривая PSA (t) для досрочного погашения и кривая SDA(t) для прогноза дефолтов по ипотечным кредитам в США [см. I настоящей работы, стр.7-8].

При наличии неполноты в данных стандартные методы оценивания функции распределения (и на основании нее функции дожития и функции интегрального риска) с помощью эмпирической функции распределения непригодны. В этом случае применяются непараметрические способы оценивания закона распределения.

При непараметрическом способе оценивания в каждый момент времени жизни кредита нужна лишь информация о том, сколько всего кредитов находилось под риском и по скольким из них наступило завершение состояния.

Пусть ti - время до наступления события с момента выдачи кредита заемщику. Пусть зафиксировано k различных прекращений состояния. Упорядочим наблюдаемые длительности по возрастанию. Тогда получим ряд t_((1)),… ,t_((k)). Цензурированные наблюдения в этот ряд никакого вклада не вносят, фиксируются только точно известные длительности.

Обозначим за r_i число наблюдений «под риском» в момент t_((i)), т.е. число состояний в выборке, которые продлились точно не меньше, чем t_((i)) (включая цензурированные, в которых момент цензурирования наступил после t_((i))). За d_i обозначим число наблюдений, в которых длительность оказалась в точности равна t_((i)). Тогда оценкой для вероятности прекращения состояния в момент t_((i)) при условии дожития до этого момента может служить отношение d_i к r_i:

h ?(t_((i) ) )=d_i/r_i .

Тогда можно оценить и функцию дожития:

S ?(t)=?_(i|t_((i) )<t)-?(1-h ? ? (t_((i) ) ). (7)

Эта оценка называется оценкой Каплана-Мейера [20].

Также можно получить и выражение для интегрального риска, называемое оценкой Нельсона-Аалена [5], [21]:

H ?(t)=?_(i|t_((i) )<t)-h ? (t_((i) )). (8)

Модели с объясняющими переменными.

В данном случае предполагают, что CPR(t,x) и CDR(t,x), а также h_(time_(to_fcl ) ) (t,x) зависят как от времени жизни кредита, так и от факторов - характеристик x, присущих определенной группе кредитов.

Модель пропорциональных рисков.

Если ставится задача описания связи длительности с вектором объясняющих переменных , то наиболее популярной является модель пропорциональных рисков Кокса (proportional hazards, PH). Этот метод был впервые предложен Коксом в 1972 году [9] и базируется на предположении, что объясняющие переменные мультипликативно влияют на функцию риска:

h(t¦x)=h_0 (t)ц(x^' в), (9)

Здесь h_0 (t) - опорная функция риска (baseline hazard), отражающая распределение длительностей в случае отсутствия влияния регрессоров (при x = 0), ц(x) - функция, показывающая, как риск связан с объясняющими переменными. Как правило, берут ц(x)=e^x. Во-первых, для того, чтобы обеспечить неотрицательность функции риска. Во-вторых, часто результаты оценивания приводятся именно как потенцированные значения коэффициентов - так называемые отношения рисков (hazard ratios).

Можно показать, что интегральная функция риска в модели PH также мультипликативно зависит от объясняющих переменных [3, стр.316].

В зависимости от того, какие предположения мы делаем относительно базового риска h_0 (t), выделяют 3 подхода к подгонке моделей длительности состояния (9):

Первый тип - параметрический, когда предполагается определенная функциональная форма для базового риска h_0 (t).

Второй тип - гибкий параметрический подход, когда делаются довольно слабые предположения о базовом риске. В частности, время разбивают на довольно малые интервалы и предполагают, что базовый риск постоянен внутри каждого интервала, что приводит к кусочно-экспоненциальной модели.

Третий тип - непараметрический, при котором регрессионные коэффициенты в оцениваются без какой-либо спецификации функции базового риска. Этот собственно и есть классическая модель пропорциональных рисков Кокса.

В своем исследовании мы будем опираться на первый и третий подходы. Разберем их подробнее.

При непараметрическом подходе для оценки коэффициентов в регрессии Кокса применяется метод частичного правдоподобия. Суть метода заключается в следующем.

Пусть в наших данных зафиксировано k различных моментов прекращения t_((1),) t_((2),)… ,t_((k)) и в каждый из моментов зафиксировано ровно одно прекращение состояния, так что k совпадает с числом нецензурированных наблюдений.

Обозначим за R_j множество состояний под риском в момент t_((j)) и пусть x_i - вектор регрессоров в наблюдении с длительностью t_((i)). Вероятность того, что из всех состояний под риском в момент t_((j)) в наблюдении со значениями регрессоров x_j произойдёт прекращение состояния, равна (доказательство в работе Тума, 1982)

Опорная функция риска сокращается, так что зависит только от регрессоров и коэффициентов при них. Перемножая вероятности для всех наблюдений, где было зафиксировано прекращение состояния, даёт функцию частичного правдоподобия partial likelihood:

Максимизируя логарифм функции частичного правдоподобия, получаем оценку метода частичного правдоподобия для коэффициентов в.

В случае, когда в каждый такт времени целевое событие наступает одновременно для нескольких наблюдений, формулы для расчета коэффициентов и функции базового риска в регрессии Кокса усложняются [31, стр. 259-263].

По результатам оценивания регрессии Кокса также можно оценить опорную интегральную функцию риска. Бреслоу предложил соответствующую формулу [7]:

Если регрессоры отсутствуют, то формула сводится к оценке Нельсона-Аалена (8).

Оценку для опорной функции дожития можно получить из соотношения

Параметрический подход основываются на предпосылке о том, что длительность T подчиняется некоторому закону распределения, причем параметры распределения так или иначе связаны с объясняющими переменными. Различные параметрические спецификации можно получить, делая предположения об опорной функции риска.

Рассмотрим наиболее распространённые параметрические спецификации:

Модель ускоренного времени.

Наиболее популярной альтернативой модели пропорциональных рисков выступает модель ускоренного времени (accelerated failure-time, AFT). В данном случае изменение объясняющих переменных связано с изменением масштаба времени наблюдаемого состояния: ускорением наступления момента прекращения или, наоборот, замедлением.

Предполагается, что регрессоры мультипликативно связаны с масштабом времени, так что:

S(t¦x)=S_0 (texp(x^' в)) (11)

где S_0 (t)- опорная функция дожития. При таком определении увеличение x_j на 1 соответствует ускорению времени в e^(в_j ) раз.

Можно показать, что при таком определении функция риска связана с регрессорами следующим образом (см. [3], стр. 323):

h(t¦x)=h_0 (texp(x^' в))exp(x^' в).

Модель ускоренного времени представима в форме обычной линейной регрессии, удобной для интерпретации. Действительно, пусть T - случайная величина, распределение которой задается моделью AFT (11). Тогда величину T можно описать с помощью линейного уравнения регрессии -ln?T=x^' в+н, где распределение случайной составляющей н связано с опорной функцией дожития соотношением F_н (t)=S_0 (exp?(-t) ). Подробный вывод можно найти в [3, стр. 324]. Данное представление свидетельствует о том, что модель ускоренного времени - это, по сути, полулогарифмическая линейная регрессионная модель, в которой распределение случайной величины не ограничено предпосылками о нормальности и нулевом математическом ожидании.

Перечислим наиболее распространенные AFT модели.

Во-первых, экспоненциальная регрессия и регрессия Вейбулла, представимые в метрике пропорциональных рисков, могут быть представлены также в метрике ускоренного времени. Некоторые другие отобразим в следующей таблице:

Обобщенная гамма регрессия - это наиболее гибкая среди других параметрических спецификаций модель, позволяющая за счет варьирования параметров у и к принимать различные формы. Регрессия Вейбулла, экспоненциальная и логнормальная регрессии являются частными случаями гамма регрессии (так называемые nested model - вложенные модели). Если к = 1, то это модель Вейбулла. Экспоненциальной регрессии соответствует случай к = у = 1, логнормальной регрессии - случай к = 0.

Для выбора параметрической спецификации обычно исследуют характер временной зависимости. Для этого строится график оценки опорного интегрального риска. Если график свидетельствует о монотонно возрастающем или убывающем риске, то рекомендуется подгонять под данные распределения Вейбулла или Гомперца. Если риск немонотонный, то лучше выбрать логлогистическую или логнормальную модель. Если график опорного интегрального риска близок к прямой линии, так что временной зависимости не выявляется, стоит подгонять под данные показательное распределение.

Модели с ненаблюдаемой разнородностью.

Часто предположение о том, что данные однородны и, следовательно, длительность каждого из состояний может быть описана единой функцией риска, является безосновательным. Есть несколько способов учесть разнородность в данных.

Модели с ненаблюдаемым эффектом.

Включение в модель ненаблюдаемого (то есть, не описываемого объясняющими переменными) эффекта является одним из способов учета проблемы разнородности в данных.

В модели PH обычно предполагается мультипликативный характер связи риска с ненаблюдаемой разнородностью: h(t¦x,б)=h_0 (t)•б exp?(x^' в), где случайная величина б отражает «индивидуальный эффект» в отдельном наблюдении. Таким образом, б характеризует отличие объекта от других в выборке, которое не удалось уловить с помощью объясняющих переменных x.

Обычно предполагают, что ненаблюдаемый эффект б имеет гамма распределение с единичным математическим ожиданием и дисперсией ?? или обратное гауссовское распределение. Формулы для плотности распределений можно найти в [1].

Поскольку значение б неизвестно, для того, чтобы найти распределение длительности при заданном векторе регрессоров x, нужно применить формулу смеси [3, стр. 348] к функции дожития S(t|x,б). Подробнее о смесях и их применениях в [2]. Предполагая, что б имеет гамма распределение и S Ю(t|x) - функция дожития в случае б=1, можно получить выражение для функции дожития в модели PH с ненаблюдаемым эффектом (см. [11]):

S(t¦x)=(1-иln?(S Ю(t¦x)))^(-1/и). (12)

При , стремящемся к нулю, выражение (12) стремится к S Ю(t|x) - функции дожития при отсутствии ненаблюдаемой разнородности.

Так же, как и в модели PH, в модели AFT предполагается мультипликативный характер связи риска с ненаблюдаемым эффектом. Поэтому в случае модели AFT функцию риска можно записать так:

h(t¦x,б)=?бh?_0 (texp(x^' в)) exp?(x^' в).

Снова предполагая, что ненаблюдаемый эффект имеет гамма распределение, применим формулу смеси к . Тогда получим выражение для функции дожития в модели AFT с ненаблюдаемым эффектом:

Модели mover-stayer.

Другой распространенный подход учета разнородности в данных при моделировании - это модели mover-stayer или, по-другому, split population model (модели разделённой совокупности). Этот подход получил распространение в работах Schmidt, Witte [26, 27].

Модель базируется на предположении о существовании 2 латентных классов: mover «кочевые» - те, для которых наступает завершение состояния и stayer «оседлые» - те, для которых состояние не завершается. Предположим, что доля «кочевых» составляет д. Для них длительность состояния описывается функцией дожития S_m (t) (индекс m - от слова «mover»). Для класса «оседлых» вероятность дожития до любого времени будет равна единице. Тогда функция дожития для совокупности из двух классов, выглядит так:

S(t)=дS_m (t)+1-д.

Данная формула - частный случай формулы для распределения смеси.

Связь общей функции дожития с объясняющими переменными задается с помощью двух уравнений. Первое описывает длительность состояния для класса «кочевых» S_m (t|x), где для связи вероятности дожития с объясняющими переменными можно использовать различные параметрические спецификации, рассмотренные выше. Второе уравнение определяет вероятность принадлежности к одному из классов. Для описания вероятности можно опираться на любые модели бинарного выбора - например, на модель logit:

д(z)=(exp?(z^' б))/(1+exp?(z^' б))

или probit. Здесь - вектор оцениваемых коэффициентов при объясняющих переменных , которые могут, как совпадать с переменными x из первого уравнения, так и отличаться от них.

Понятно, что в случае д=1 модель mover-stayer сводится к соответствующей параметрической модели.

Проверка правильности спецификации модели и выбор наилучшей модели.

Для проверки правильности спецификации подогнанной модели обычно используются остатки Кокса-Снелла. Остаток Кокса-Снелла представляет собой оценку интегрального риска.

Например, в РH модели по определению остаток Кокса-Снелла в наблюдении с моментом прекращения t_((j)):

r_CSj=(H_0 ) ?(t_((j) ) ) exp?(x_j^' в ? ), (14)

где в ? - параметры, оцененные в модели, (H_0 ) ?(t_((j) ) ) - оценка опорного интегрального риска.

В правильно специфицированной модели остаток Кокса-Снелла должен быть похож на прямую линию - биссектрису угла, образуемого осями координат, то есть должен иметь распределение, близкое к показательному распределению с параметром л=1. Доказательство этого факта можно найти в [3]. А проверить это можно, оценив интегральный риск для остатков - у показательного распределения функция интегрального риска линейна.