Множественная линейная регрессия

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Задание

линейный регрессия переменная детерминация

Составить уравнение линейной регрессии , используя МНК, и найти числовые характеристики переменных.

Составить уравнение линейной регрессии , используя матричный метод.

Вычислить коэффициент корреляции и оценить полученное уравнение регрессии.

Найти оценки параметров .

Найти параметры нормального распределения для статистик и .

Найти доверительные интервалы для и на основании оценок и при уровне значимости б = 0,05.

Вычислить коэффициент детерминации и оценить качество выбранного уравнения регрессии.

Имеются данные по десяти заводам одной отрасли промышленности об уровнях энерговооруженности труда Х (тыс. кВт/ч) и об уровне производительности труда одного рабочего в год Y (тыс. шт. изд.):

Решение:

Составим уравнение линейной регрессии , используя МНК, и найдем числовые характеристики переменных:

Чтобы найти оценки параметров модели используя 1МНК, запишем систему нормальных уравнений:

где коэффициент ковариации показателя и фактора характеризует плотность связи этих признаков и разброс и рассчитывается за формулой:

средние значения показателя и фактора:

среднее значение произведения показателя и фактора:

дисперсия фактора характеризует разброс признаки вокруг среднего и рассчитывается за формулой:

среднее значение квадратов фактора:

Найдем компоненты 1МНК и результаты занесем к таблице:

Найдем коэффициент ковариации:

Найдем дисперсию:

Находим оценки параметров модели:

Получим: Подставим найденные параметры в уравнение , будем иметь уравнение линейной регрессии:

.

Составить уравнение линейной регрессии , используя матричный метод.

В общем виде однофакторная линейная эконометрическая модель записывается следующим образом:

где вектор наблюдений за результативным показателем:

вектор наблюдений за фактором:

неизвестные параметры, что подлежат определению;

случайная величина ( отклонение, остаток)

Ее оценкой является модель:

вектор оцененных значений результативного показателя;

оценки параметров модели.

Отклонения рассчитывается как различие между наблюдаемыми значение показателя и его значениями, которое рассчитано за составленной моделью, то есть .

По данным таблицы составить систему нормальных уравнений, для чего запишем следующие матрицы:

Найдем матрицу моментов:

Вычислим следующую матрицу:

Составим систему нормальных уравнений:

Решение в матричном виде будет иметь следующий вид:

где обратная матрица к матрице В.

Найдем обратную матрицу по формуле:

Находим решение системы в матричном виде:

Следовательно, регрессионные коэффициенты равны:

На основании полученных оценок параметров составим уравнение производственной функции:

Параметры линейной регрессии были найдены двумя методами, полученные результаты совпадают, можно сделать вывод. Что параметры найдены, верно. Оценим полученные параметры с помощью коэффициента корреляции.

Вычислить коэффициент корреляции ryx:

С целью избежание ошибок спецификации модели рассчитаем коэффициент парной корреляции:

где среднее квадратическое отклонение фактора :

;

среднее квадратическое отклонение показателя :

:

Следовательно:

Вывод : Линейный коэффициент корреляции принимает значения . 

Если - имеем линейную функциональную связь, при - линейная связь отсутствует.

При прямая линейная связь, а при - обратная линейная связь.

Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока: 

0,1 << 0,3: слабая; 

0,3 < < 0,5: умеренная; 

0,5 < < 0,7: заметная; 

0,7 < < 0,9: высокая; 

0,9 < < 1: весьма высокая; 

В нашем примере связь между признаком Y фактором X прямая, высокая.

На основе проведенного анализа подтверждается предположение о наличии зависимости величины уровня производительности труда одного рабочего в год от уровня энерговооруженности труда.

Найти оценки параметров .

Оценка параметров уравнения регрессии осуществляется с помощью t-критерия Стьюдента. С этой целью по каждому из параметров определяется его стандартная ошибка: , и .

Стандартная ошибка коэффициента регрессии определяется по формуле:

Для оценки значимости коэффициента регрессии его величина сравнивается с его стандартной ошибкой, т.е. определяется фактическое значение t-критерия Стьюдента:

Вычислим, стандартные ошибки коэффициентов регрессии определяется:

Определяется фактическое значение t-критерия Стьюдента для параметров

которые теперь сравнивается с табличным значением при определенном уровне значимости и числе степеней свободы .

Если , то делается вывод о значимости параметра.

Имеем для параметр : значим параметр не значим, а для параметра : и следовательно делаем вывод, что параметр значим.

Найти параметры нормального распределения для статистик и .

Найти доверительные интервалы для и на основании оценок и при уровне значимости б = 0,05.

Проверка значимости оценок параметров ничего не говорит о том, насколько эти оценки могут отличаться от точных значений. Ответ на этот вопрос дает построение доверительных интервалов.

Под доверительным интервалом понимаются пределы, в которых лежит

точное значение определяемого показателя с заданной вероятностью ().

Доверительные интервалы для параметров и уравнения линейной регрессии определяются соотношениями:

Величина представляет собой табличное значение -критерия Стьюдента на уровне значимости при числе степеней свободы .

Если в границы доверительного интервала попадает ноль, т. е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр принимается равным нулю, так как он не может одновременно принимать и положительное, и отрицательное значения.

Определяем доверительные интервалы для оцененных параметров и уравнения линейной регрессии определяются соотношениями:

Вычисляем коэффициент детерминации R2

Выводы

Анализ полученных результатов приводит к следующим выводам:

В нашем примере связь между признаком Y фактором X прямая, высокая.

На основе проведенного анализа подтверждается предположение о наличии зависимости, величины уровня производительности труда одного рабочего в год от уровня энерговооруженности труда.

С помощью полученных коэффициентов множественной детерминации, корреляции делаем предварительные выводы об адекватности модели: поскольку коэффициент множественной детерминации , то это свидетельствует о том, что вариация (изменяемость) переменной на 49,96% определяется вариацией фактора , и на 50,04% определяются факторами, которые не учтены в модели;

Размещено на Allbest.ru