Математическая модель роста экономики Краснодарского края

Размещено на http://www.allbest.ru/

СОДЕРЖАНИЕ

моделирование капитал трудящийся региональный

Введение

1. Теоретические аспекты математического моделирования многосекторной экономики

1.1 Понятие многосекторной экономики

1.2 Понятие роста многосекторной экономики

1.3 Понятие математического моделирования экономики

2. Математическая модель роста экономики региона

2.1 Описание модели

2.2 Построение модели

3. Математическая модель роста экономики Краснодарского края

3.1 Нахождение функций роста экономики региона

3.2 Нахождение функции максимального количества трудящихся для роста экономики

3.3 Нахождение функции максимального капитала

3.4 Нахождение функции максимального роста ВРП

Заключение

Библиографический список



ВВЕДЕНИЕ

В наше время математическое моделирование используется во всех отраслях науки. В своей дипломной работе, с помощью математического моделирования, я планирую построить математическую модель роста экономики региона и сравнить ее с данными экономики Краснодарского края.

Экономика региона является многосекторной экономикой, в которой участвует экономические агенты:

1) предприятия

2) домохозяйства(население)

3) государство(администрация)

4) внешний мир

5) банковская система

На основе этого, в своей дипломной работе, я планирую описать экономические процессы математическим аппаратом.

Основная цель построение математической модели роста региона Краснодарского края и ее применение на изученных статистических данных.

Для достижения этого необходимо решить следующие задачи:

1) выбрать модель пригодную для своей дипломной работы

2) разобраться от чего зависит экономический рост и в чем он измеряется

3) научиться на практике принять численные методы

4) сделать расчет своей модели для данных статистики Краснодарского региона

Данный дипломный проект состоит из трех частей.

Целью теоретической части является рассмотрение ключевых тем. В своей работе я выделила три таких ключевые темы:

1) Понятие многосекторной экономике, в которой я описала, что же скрывается под этим термином. А также на какую часть экономики нацелена дипломная работа.

2) Понятие экономического роста, в которой описано что же это такое, в чем измеряется и от чего зависит.

3) Понятие математического моделирования, в этом разделе рассмотрим известные математические модели, для дальнейшего выбора одной из них для данной дипломной работы.

Вторая часть содержит описание модели и ее построение.

Практическая часть дипломного проекта содержит применение полученных знаний из первых двух глав на практике, а также применение, построенной модели для рассмотрения потенциальный рост экономики региона. В заключении сделаны выводы по проекту.



1. Теоретические аспекты математического моделирования многосекторной экономики

1.1 Понятие многосекторной экономики

Многосекторная экономика-- экономическая система, в которой на рыночной основе сосуществуют частная, государственная и общественная собственность на предприятия и иные средства производства.

Из определения видно, что в многосекторной экономике, можно выделить четыре макроэкономических агента:

1) домохозяйства

2) фирмы

3) государство

4) иностранный сектор

Когда в экономике присутствует всего домохозяйства и фирмы, соответственно два рынка- рынок товаров и услуг и рынок ресурсов можно смело говорить о наличии двухсекторной модели экономики.

Рисунок 1 - Модель кругооборота потоков в двухсекторной экономики.

В двухсекторной экономике существуют два экономических агента:

1)фирмы(предприятия);

2)домохозяйства(население).

Модель замкнута. Домохозяйства предлагают свои экономические ресурсы на рынке ресурсов и получают взамен доходы от ресурсов. На полученные доходы домохозяйства идут на рынок товаров и услуг и приобретают товары, которые изготовили фирмы. Следовательно, фирмы получают доход за вычетом затрат на производство.

В двухсекторной экономике потребительские расходы домохозяйств (С) дополняются инвестиционными расходами фирм (I). При этом равенство национального дохода национальному продукту сохраняется, поэтому в макроэкономике национальный доход и национальный продукт обозначаются одной буквой - Y. При этом величина национального продукта в состоянии равновесия равна сумме совокупных расходов: Y = E (1)

Совокупные расходы (национальный продукт) в двухсекторной модели экономики состоят из потребительских расходов домохозяйств (С) и инвестиционных расходов фирм (I):

E = C+ I, (2)

а национальный доход - из потребления (C) и сбережений (S):

Y = С + S. (3)

Следовательно:

С + I = С + S, (4)

что означает, что совокупные расходу равны совокупному доходу, а I = S, (5)

т.е. инвестиции равны сбережениям. Инвестиции представляют собой инъекции в экономику, а сбережения - изъятия из экономики. Под инъекциями понимается все, что увеличивает поток расходов и доходов (за исключением потребительских расходов, которые не относятся ни к инъекциям, ни к изъятиям). Изъятия - это все, что сокращает поток расходов и доходов. Рост инвестиций увеличивает совокупные расходы (совокупный спрос), обеспечивает дополнительные доходы производителям, служит стимулом для увеличения национального продукта (выпуска). Рост сбережений сокращает совокупные расходы и может привести к сокращению производства. В равновесной экономике инъекции равны изъятиям. Матвеева Т. Ю. Макроэкономика: курс лекций для экономистов, М.,2008.

К сожалению, эта модель не имеет ничего общего с нашей реальностью, ведь в любой экономике присутствует государство. Появление государства ведет к возникновению новых видов макроэкономических взаимосвязей и превращению двухсекторной модели экономики в трехсекторную.

В трехсекторной экономике государство делает закупки товаров и услуг (G), что связано с необходимостью содержания государственного сектора экономики, обеспечения производства общественных благ, выполнения функций по регулированию экономики и управлению страной. При этом заработная плата государственных служащих рассматривается не как плата за экономический ресурс на ресурсном рынке, а как оплата услуги на рынке товаров и услуг, так как эта оплата производится из средств государственного бюджета и является результатом перераспределения доходов. Государственные закупки товаров и услуг увеличивают совокупный спрос на национальный продукт, т.е. совокупные расходы.

Государство обязывает всех платить налоги (Tx), которые являются основным источником доходов государственного бюджета. Однако, выступая перераспределителем национального дохода, государство не только собирает налоги, но и выплачивает трансферты (Tr). Трансферты- это платежи, которые домохозяйства и фирмы безвозмездно (не в обмен на товары и услуги) получают от государства. Трансфертные платежи государства домохозяйствам - это разного рода социальные выплаты: пенсии, стипендии, пособия по безработице, пособия по нетрудоспособности, пособия по бедности и др. Трансфертные платежи государства фирмам носят название субсидий.

В зависимости от состояния государственного бюджета государство может выступать либо кредитором, либо заемщиком на финансовом рынке. Если расходы государства (государственные закупки + трансферты) превышают доходы государства (налоги), что соответствует состоянию дефицита государственного бюджета, то государство для оплаты своих расходов должно занять деньги на финансовом рынке, выступая заемщиком. Для этого государство выпускает государственные облигации (делает внутренний займ) и продает их на рынке ценных бумаг домохозяйствам. Домохозяйства тратят часть своих сбережений на покупку государственных облигаций, обеспечивая возможность государству оплаты части его расходов, превышающих доходы казны, т.е. финансируя дефицит государственного бюджета. При этом государство выплачивает домохозяйствам процент по своим облигациям, делая их привлекательными для покупки. Выплаты процентов по государственным облигациям увеличивают доходы домохозяйств, но являются расходами государственного бюджета и носят название «расходов по обслуживанию государственного долга». Если же доходы государства превышают расходы (имеет место излишек (профицит) государственного бюджета), то государство может выступить на финансовом рынке кредитором, покупая ценные бумаги частных фирм. Матвеева Т. Ю. Макроэкономика: курс лекций для экономистов, М., 2008.

Но и трехсекторная экономика далека от современной реальности, ведь в наше время любое государство открыто для внешнего мира. Поэтому к нашей модели добавим иностранный сектор и получим четырехсекторную модель экономики.

Включение в схему кругооборота иностранного сектора дает четырехсекторную модель экономики (модель открытой экономики) и означает необходимость учета взаимоотношений национальной экономики с экономиками других стран, которые, в первую очередь, проявляются через международную торговлю товарами и услугами - через экспорт и импорт товаров и услуг. Поскольку в схеме кругооборота отражены только денежные потоки, то под экспортом (Ex) понимается выручка (доходы) от экспорта (стрелка от иностранного сектора), а под импортом (Im) - расходы по импорту (стрелка к иностранному сектору).

Соотношение экспорта и импорта отражается в торговом балансе. Если расходы по импорту превышают доходы от экспорта (Im > Ex), то это соответствует состоянию дефицита торгового баланса. Финансирование дефицита торгового баланса (разницы между расходами по импорту и доходами от экспорта) может осуществляться:

а) за счет иностранных (внешних) займов у других стран или у международных финансовых организаций, таких как Международный валютный фонд, Мировой банк и др.

б) за счет продажи иностранцам финансовых активов (частных и государственных ценных бумаг) и поступления в страну денежных средств в счет их оплаты.

И в том, и в другом случае в страну (на финансовый рынок) происходит приток денежных средств из иностранного сектора, что носит название притока капитала. Это позволяет профинансировать дефицит торгового баланса. Если же доходы от экспорта превышают расходы по импорту (Ex > Im), что означает излишек (профицит) торгового баланса, то из страны происходит отток капитала, поскольку в этом случае иностранцы продают данной стране свои финансовые активы и получают необходимые для оплаты экспорта денежные средства.

В четырехсекторной модели принцип равенства доходов и расходов также сохраняется. С учетом расходов иностранного сектора, которые носят название «чистый экспорт» (Xn) и представляют собой разницу между экспортом и импортом:

Хn = Ex - Im, (6)

можно записать формулу совокупных расходов, которые равны сумме расходов всех макроэкономических агентов: домохозяйств, фирм, государства и иностранного сектора:

Е = C + I + G + Xn. (7)

Формула совокупного дохода:

Y = C + S + T (8)

(Это означает, что доход используется на потребление, сбережения и выплату налогов). Поскольку в состоянии равновесия Е = Y, то отсюда следует, что:

C + I + G + Xn = C + S + T. (9)

Это равенство носит название макроэкономического тождества. При этом величина совокупных расходов равна стоимости совокупного (валового) внутреннего продукта (ВВП):

Y = Е= C + I + G + Xn (10)

Чтобы вывести из макроэкономического тождества формулу равенства инъекций и изъятий следует иметь в виду, что в показателе чистого экспорта присутствует и инъекция (т.е. экспорт, представляющий собой расходы (спрос) иностранного сектора на продукцию данной страны, и, следовательно, часть совокупных расходов, увеличивающий поток расходов и доходов) и изъятие (т.е. импорт, являющийся «утечкой» части совокупного дохода страны в иностранный сектор и, следовательно, сокращающий внутренние расходы и соответственно доходы), поэтому формула равенства инъекций и изъятий должна быть записана как:

I + G + Ex = S + T + Im (11)

Рисунок 2 - Модель макроэкономического кругооборота

На Рис. 2 изображена модель макроэкономического оборота многосекторной экономики, которая послужит фундаментом моей дипломной работы.



1.2 Понятие роста многосекторной экономики

Экономический рост -- увеличение реального и потенциального доходов (валового внутреннего продукта) в длительный период времени. Реальный экономический рост - это рост ВВП в денежном выражении минус инфляция.

В самом общем виде экономический рост означает количественное и качественное изменение результатов производства и его факторов (их производительности). Свое выражение экономический рост находит в увеличении потенциального и реального валового национального продукта (ВНП), в возрастании экономической мощи нации, страны, региона. Это увеличение можно измерить двумя взаимосвязанными показателями: ростом за определенный период времени реального ВНП или ростом ВНП на душу населения. В связи с этим статистическим показателем, отражающим экономический рост, является годовой темп роста ВНП в процентах.

В связи с трудностями измерения процесса экономического развития в макроэкономике чаще всего анализируют экономический рост, хотя это лишь один из критериев экономического развития.

Экономический рост есть составляющая экономического развития. Свое выражение он находит в увеличении реального ВВП, как в абсолютном объеме, так и на душу населения.

Быстрый или, наоборот, нулевой и даже отрицательный экономический рост не всегда говорит о быстром экономическом развитии, топтании на месте или экономической деградации.

Экономический рост может измеряться как в физическом выражении (физический рост), так и в стоимостном (стоимостной рост). Первый способ более надежен (так как позволяет исключить воздействие инфляции), но не универсален (при расчете темпов экономического роста трудно вывести общий показатель для производства разных изделий). Второй способ употребляется чаще, однако, не всегда возможно до конца "очистить" его от инфляции. Правда, в статистике ряда стран измеряют макроэкономический рост на базе роста производства наиболее важных для экономики товаров, используя при этом их доли в общем объеме производства.

Основные современные модели экономического роста, как и любые модели, представляют собой абстрактное, упрощенное выражение реального экономического процесса в форме уравнений или графиков. Целый ряд допущений, предваряющих каждую модель, уже изначально отодвигает результат от реальных процессов, но, тем не менее, дает возможность проанализировать отдельные стороны и закономерности такого сложного явления как экономический рост.

Большинство моделей роста исходят из того, что увеличение реального объема выпуска происходит, прежде всего, под влиянием роста основных факторов производства труда (L) и капитала (К). Фактор «труд» обычно слабо поддается воздействию извне, тогда как величина капитала может быть скорректирована определенной инвестиционной политикой. Как известно, запас капитала в экономике со временем сокращается на величину выбытия (амортизации) и увеличивается за счет роста чистых инвестиций. Вполне очевидно, что экономический рост ценен не сам по себе, а в качестве основы повышения благосостояния населения, поэтому качественная оценка роста часто дается через оценку динамики потребления.

Кейнсианские модели роста используют в основном тот же логический инструментарий, что и кейнсианские модели долгосрочного равновесия. Но теперь анализ со стороны спроса необходимо соединить с факторами, определяющими динамику предложения, и выяснить условия динамического равновесия спроса и предложения в экономике. Стратегической переменной, с помощью которой можно управлять экономическим ростом являются инвестиции.

Экономический рост в стране происходит при наличии международных связей, что может оказывать значительное влияние на процесс роста. В условиях открытой экономики существует возможность занимать или ссужать деньги в процессе роста, которая может быть причиной существенного изменения взаимосвязей между внутренними сбережениями, внутренними инвестициями и экономическим ростом по сравнению со случаем закрытой экономики.

Кроме этого, модель роста в открытой экономике тесно связана с моделью поведения страны в рамках процесса мировой торговли, а также с имеющимися у нее возможностями импорта технологических достижений из других стран мира.

1.3 Понятие математическое моделирование экономики

Методы математического моделирования экономики развиваются уже почти 200 лет. За это время созданы десятки тысяч моделей разной степени общности и направленности. Тем не менее, в моделировании экономики еще далеко не достигнут решающий успех, подобный тому, который был достигнут в моделировании физических систем.

В области экономики наука столкнулась с феноменом сложных систем. Сложные системы такие, как Вселенная в целом, биосфера, отдельный живой организм, человеческий индивидуум, естественный язык, экономика отличаются тем, что, во-первых, действительно сложны в том смысле, что состоят из множества сильно связанных между собой элементов, во-вторых, уникальны и, в-третьих, самое главное, способны к необратимому качественному развитию. Эти обстоятельства не позволяют в полной мере использовать в исследовании таких систем эмпирический метод - основу успеха естественных наук. Этот метод состоит в последовательном усложнении теоретической модели на основе обобщения более простых моделей и данных экспериментов или массовых наблюдений.

Для сложных систем ни эксперимент, ни массовое наблюдение невозможны. Поэтому ни для одной сложной системы до сих пор не создано универсальной модели, из которой все остальные следовали бы как частные случаи, подобно тому как, скажем, модели радиотехнических устройств следуют из теоретической модели электродинамики. Приходится иметь дело с множеством моделей одной и той же системы, каждая из которых использует свой язык понятий и рассматривает систему в своем ракурсе, пренебрегая отнюдь не малыми величинами. Статус таких моделей также отличается от моделей физических систем. Если модели физических систем должны объяснить результаты сделанных и предсказывать результаты планируемых экспериментов, то модели сложных систем призваны, в первую очередь, заменить невозможный в этих областях эксперимент.

Указанные методологические особенности применения моделей для описания сложных систем приводят к невозможности построить одну универсальную модель для обработки всех имеющихся данных. Существует множество подходов к моделированию экономики. Несколько условно их можно разделить на четыре типа.

Эконометрические модели.

Эконометрические модели воплощают попытку применить к изучению экономики классический эмпирический метод исследования. Эконометрические модели отличает стремление опираться непосредственно на данные, а не какое-либо представление о системе причинных связей в экономике. При построении эконометрической модели выбирается определенный набор наблюдаемых статистикой экономических показателей (объемы производства и потребления, индексы цен, инвестиции, а также темпы роста этих величин и т. п.) и методами математической статистики изучаются корреляционные связи между временными рядами этих показателей. Если оказывается, что ряд значений какой-то величины раскладывается по остальным с небольшой и независимой погрешностью, то считается, что обнаружена некоторая закономерность в экономике: первая величина зависит от остальных. Когда таких зависимостей наберется достаточно, чтобы определить все величины через их прошлые значения, получается система соотношений формально способная предсказывать будущие значения показателей. Это и есть эконометрическая модель.

Сильная сторона эконометрических моделей в их относительной независимости от общественно-политических взглядов автора модели и от использующихся статистическими органами методик сбора и обработки исходных данных. Слабая сторона в том, что эконометрические модели только констатируют существование связи величин, но не помогают ее объяснить. Кроме того, эконометрические модели на этапе построения требуют огромных массивов данных, собранных по единой методике за большой промежуток времени. Эконометрические модели также мало пригодны для аналитических расчетов, т.е. ответов на вопрос «что было бы, если бы применялась другая политика».

Балансовые модели

Балансовые модели возникли как метод обеспечения процедур планирования экономики. Главная часть этих моделей - система материальных балансов для некоторого набора продуктов, в совокупности охватывающего все хозяйство. Крупномасштабное применение балансовых моделей для управления экономикой и отдельными ее комплексами началось в 1950е, когда во всем мире большую популярность приобрели идеи долгосрочного планирования.

Процедуры планирования в 1950е-1970е во всем мире базировались практически исключительно на модели Леонтьева. Лауреат Нобелевской премии В.В. Леонтьев, продолжив в США свои исследования, начатые в 1920е в Госплане СССР, на основе анализа экономической статистики установил, что отношения текущих затрат сырья и материалов разных видов на выпуск данного вида продукции к объему производства этой продукции в стране (коэффициенты прямых затрат) остаются практически постоянными, несмотря на существенные колебания выпусков. Если измерить коэффициенты прямых затрат, то получится большая по размеру, но простая и единообразная по структуре линейная система уравнений, связывающая валовые выпуски отраслей с объемами конечного потребления их продукции. Это и есть модель Леонтьева. Модель Леонтьева не замкнута. Она позволяет рассчитать выпуски по заданным объемам конечного потребления, но само конечное потребление она не определяет.

Позднее был предложены динамические варианты модели Леонтьева, связывающие выпуски не только с текущими затратами, но и с предшествующими капитальными затратами с помощью коэффициентов приростной фондоемкости, а также с затратами труда с помощью коэффициентов трудоемкости.

Динамическая модель Леонтьева позволяет ставить задачу об оптимальном развитии экономики. Для этого нужно установить какой-то критерий, определяющий, какая из двух возможных траекторий изменения конечного потребления продуктов предпочтительнее. После этого по модели можно рассчитать выпуски и капиталовложения, обеспечивающие траекторию изменения конечного потребления продуктов, наиболее предпочтительную из всех возможных. Можно также просто проводить массовые вариантные расчеты, проверяя, способна ли экономика обеспечить ту или иную конкретную траекторию роста конечного потребления.

Прогнозы развития российской экономики по модели Леонтьева в настоящее время составляют (в основном по собственной инициативе) несколько исследовательских групп.

Сильная сторона балансовых моделей в том, что они состоят практически только из самых надежных в экономике балансовых соотношений, причем данные для этих соотношений собираются специально «под модель». Слабая сторона в том, что на языке балансов невозможно выразить отношения между экономическими агентами, поэтому балансовые модели часто не способны уловить фактические проблемы, с которыми сталкивается экономическое развитие. Следует помнить, что в балансовой модели учитывается максимум несколько тысяч, а обычно несколько десятков продуктов, в то время как реально в современной экономике обращается несколько миллиардов различных благ. Поэтому «продукты» балансовой модели фактически суть агрегаты, индексы, построенные из реальных благ с помощью цен, курсов, потоков платежей и бухгалтерских оценок. Первичной и самой точной информацией в экономике всегда остается информация о финансовых потоках

Имитационные модели и синергетичский подход

Сильное усложнение экономической системы привело к отказу от планирования, к дерегулированию и децентрализации, как на уровне государств, так и еще раньше на уровне корпораций. Рубежом стал энергетический кризис 1975г. Ни балансовые, ни эконометрические модели не смогли не только предсказать этот кризис, но и, что еще более важно, не смогли просчитать его последствия.

Реакцией на этот кризис стал огромный рост популярности, так называемых моделей глобальной динамики, которые после энергетического кризиса 1975г. на некоторое время приобрели широкую известность во всем мире. Однако произвольность предпосылок и разрыв с экономической теорией вызвали серьезную критику этих моделей, а мрачные прогнозы моделей глобальной динамики не оправдались.

Сохранился, впрочем, метод системной динамики. Модели системной динамики, описывающие сложившуюся практику принятия корпоративных решений, используются сейчас практически во всех крупных корпорациях. Модели системной динамики относятся к классу имитационных моделей. Имитационное моделирование родилось из попыток применить к описанию сложных систем приемы, разработанные при моделировании технических систем. Основной прием моделирования имитационного моделирования - разделение системы на блоки, отвечающие существенным процессам или объектам, и описание системы составляется из описаний отдельных блоков.

Имитационные модели обычно довольно сложны - содержат несколько сотен соотношений. Это меньше, чем в больших эконометрических моделях, и примерно столько же, сколько в балансовых. Однако в балансовых моделях большая часть соотношений - это линейные однотипные уравнения балансов, а в имитационных - это нелинейные соотношения, описывающие причинные связи в экономике. Поэтому имитационные модели, как правило, описывают систему в менее подробной номенклатуре продуктов и ресурсов, чем балансовые.

Трудность применения этого метода к моделированию экономики состоит в том, что в отличие от технической системы, которая создается из отдельных частей, экономика возникает в процессе самоорганизации, и членение ее на части отнюдь не однозначно. Поэтому созданию имитационной модели экономики предшествует содержательное исследование конкретной ситуации, в результате которого вырабатывается сценарий экономических отношений - перечень и качественная характеристика важнейших составляющих описываемой экономической системы.

Вычислимые модели общего равновесия

Особый класс моделей экономики образуют, так называемые, модели общего экономического равновесия, восходящие к работам экономиста XIXв. Л. Вальраса и принявшие современную форму благодаря исследованиям К. Эрроу и Дж. Дебре. Модель общего равновесия описывает экономику как результат взаимодействия экономических агентов различных типов. Обычно это производственные отрасли, домохозяйства, финансовые организации, государство и внешнеторговые организации фирмы. В модели каждый из агентов выбирает для себя наиболее выгодные действия в рамках своих технологических и институциональных ограничений, исходя из величин информационных переменных (цен, курсов, процентов). Значения информационных переменных определяются так, чтобы обеспечить выполнение материальных и финансовых балансов во всей системе.

Модели общего равновесия сложны, поскольку представляют собой целую связку нелинейных задач оптимизации поведения. Эти модели могут описывать и экономическую динамику, хотя в этом случае модель оказывается еще гораздо более сложной с математической и вычислительной точки зрения.

Долгое время практическое применение моделей равновесия сводилось к изучению и сравнению стационараных состояний двух-четырех рынков, в совокупности схематически описывающих всю экономику. Эти «теоретические» модели равновесия сыграли исключительно важную роль в становлении современной экономической теории и подробно обсуждаются в любом учебнике по макроэкономике.

Однако, к 1990м выяснилось, что учета одних технологических ограничений (балансовые модели Леонтьева), экстраполяции предыдущих тенденций (эконометрические модели) и прямолинейного наложения внешних ограничений (модели системной динамики) недостаточно для адекватного описания современной экономики. С другой стороны децентрализация не отменила необходимость целенаправленной координации усилий общества на решении общих проблем, и тенденция к регулированию стала снова усиливаться. Особенно это заметно в современной России, где надежда на широкое частное инвестирование в насущные сферы так и не оправдалась. В результате правительство должно было обратиться к национальны проектам и консолидации важнейших отраслей в рамках государственных корпораций. По общему мнению, необходимым шагом при реализации этих программ будет внедрение в какой-то форме индикативного планирования экономики.

В новых условиях, однако, необходимо учитывать упомянутые выше институциональные ограничения, прежде всего, финансовые, а также принимать в расчет, что в условиях децентрализации экономические агенты будут делать только то, что сочтут выгодным для себя.

По этим причинам с 1990х основным инструментом, применяемом в мире для экономического планирования и прогнозирования стали так называемые вычислимые модели общего равновесия (CGE).

В обзоре, подготовленном в Высшей школе экономики, указано около полусотни практически работающих в разных странах мира вычислимых моделей общего равновесия. По проблематике они распределяются следующим образом:

1) Проблемы экологии и долгосрочного развития (контроль выбросов в окружающую среду, последствия истощения полезных ископаемых, переход на альтернативные источники энергии и т.д.) - 13% от общего числа.

2) Анализ последствий глобализации и увеличения объемов внешней торговли (в частности создание и расширение торговых блоков, последствия вступления в ВТО, последствия либерализации внешней торговли) - 47% от общего числа.

3) Изменения внутри национальной экономики (последствия: налоговой реформы, пенсионной реформы, регулирование естественных монополий, монетарной политике, структурные изменения, политика направленная на поддержку определенных отраслей) - 40% от общего числа.

По количеству моделей лидирует Китай, за ним идут США. Почти половина моделей приходится на Азию далее идет Латинская Америка, Африка, Европа Северная Америка и Австралия.

Примером может служить модель Австралийской экономики MONASH, созданная одноименным университетом совместно с правительством Австралии. Модель описывает экономику Австралии, выделяя в ней 113 отраслей, объединенных в 21 производственный сектор. Результаты модельных расчетов преобразуются затем в прогнозы для 860 товаров, 341 вида занятости, 56 регионов и нескольких типов домашних хозяйств. Основным предназначением модели являются детализированные прогнозы уровней занятости, однако, модель позволяет также предсказывать и анализировать последствия изменения внутренней политики. В числе ее приложений были:

· Анализ последствий изменения пошлин на автомобильный транспорт

· Анализ последствий реформы угольной промышленности

· Анализ роли воды в австралийской экономике

· Прогноз последствий падения стоимости береговых территорий

· Прогноз последствий финансирования крупного проекта, такого, как перевод линий электропередач в подземные коммуникации за счет различных видов налогов и другие.

Для России CGE модель недавно была разработана в ЦЭМИ РАН под руководством академика В.Л. Макарова.

О практических результатах применения вычислимых моделей общего равновесия судить трудно, т. к. полное описание этих моделей и конкретные результаты расчетов, как правило, открыто не публикуются, отчасти по причине громоздкости модели, отчасти вследствие конфиденциальности использованных данных. Однако создание такой модели дело довольно дорогостоящее и длительное, так что вряд ли правительства и фонды продолжали десятилетиями финансировать эти проекты, если бы не получали практической отдачи.



2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РОСТА ЭКОНОМИКИ РЕГИОНА

2.1 Описание модели

Экономические агенты, участвующее в модели:

1) производство

2) население

3) центральный банк

4) администрация региона

Создадим однопродуктовую модель, в которой производство осуществляет одно предприятие. Предприятие стремится к максимальной прибыли. Также в модели нет посредников, и никто не занимается перепродажей, товары покупаются по оптовой цене p(t). В модели существуют один банк, который диктует ставку процента, кредитует и обслуживает счета.

На предприятии работает население, которое получает заработную плату из доходов предприятия.

w(t)-заработная плата в единицу времени;

Часть заработной платы население тратит на покупку товаров, а часть сберегает и кладет в банк под проценты.

r₁(t)-ставка банковского процента под вклады;

Клиентами банка становятся производители, которые берут ссуду у банка на производство s(t). Администрация региона осуществляет управление и устанавливает налоги v(t).

2.2 Построение математической модели

Пусть Y(t)-величина выпуска продукции за единицу времени, а производственной функцией Кобба-Дугласа зададим производственные возможности предприятия:

Y(t)=A*L(t)^a*K(t)^b. (12)

Прибыль предприятия равняется выручке за вычетом затрат на производство и отчислений по налогам.

В данный момент, предприятие выпуска продукцию на деньги банка, но получив прибыль расплачивается с долгами и процентами на них.

r₂(t)-ставка процента банка под кредит C(t);

Поведение производителя можно описать дифференциальным уравнением:

s'(t)=r₂(t)s(t)+C(t)-hd(t), (13)

s(0)=s_0.

Общий объем задолженности банку увеличивается за счет кредитов C(t) и начисления по процентам r₂(t), а уменьшатся за счет погашения hd(t), где d(t)-текущий счет в банке, а коэффициент h:

0<h<1.

Банку требуется обеспечение выданных кредитов, обеспечением служат такие активы производства, как основной капитал.

Изменение капитала зависит от инвестиционной привлекательности производства за вычетом расходов на амортизацию:

K'(t)=-µK(t)+bY(t),

K(0)=K₀, (14)

где b-коэффициент инвестиционных отчислений и принадлежит промежутку:

0?b<1, а µ-коэффициент амортизации капитала, где µ (0?µ?1).

Часть прибыли возвращается в производство в виде инвестиций, и частично оседает на банковском счету d(t). Уравнение счета производителей будет выглядеть следующим образом:

d'(t)=(r₁(t)-h)d(t)+z(1-v(t))[(1-a)(1-b)p(t)Y(t)-w(t)L(t)]+C(t),

d(0)=d₀, (15)

где a и b, коэффициенты из производственной функции Кобба-Дугласа,

a-коэффициент материальных затрат

b-коэффициент поступлений инвестиций, а z-коэффициент пополнения банковского счета.

Производители могут как пополнять свой счет, так и снимать вложенные средства с процентами hd(t).

Лимитирующим фактором производства является труд. Для описания уравнением труда, возьмем логистическое уравнение Ферхюльста:

L(0)=L_0. (16)

Добавим к этому уравнению функцию миграции по труду:

(17)

где n(t) - функция роста населения, ?(t) - функция миграции.

Начальные уравнения заданы, теперь нам надо прописать взаимосвязь между ними. Имеем ввиду, что в модели деятельность производства направлена на получение максимальной прибыли, деятельность населения на получение максимальных доходов (заработной платы), банк же нацелен на получение прибыли, от своей деятельности. А экономический интерес государства определяется его собственностью на землю, предприятия, налоговые поступления и прочее.

Начнем с прибыли банка, которая получается из прибыли по кредитным операциям и по операциям по счетам.

Целью банковской системы служит максимизация дисконтированных финансовых потоков за цикл деятельности T:

(18)

Управляющей функцией банка может служить функция начисления процентов на невыплаченную часть долга r₂(t) или функция начисления процентов по вкладу r₁(t).

Производственные отношения выражаются в предположении, что производитель так регулирует уровень производства, чтобы извлечь из него по больше прибыли.

Целью предприятий служит максимизация дисконтированной прибыли производства за цикл деятельности T:

(19)

Управляющей функцией производства может служить p(t), где 1?p(t)?Pmax. А также функция w(t), которая определяет уровень доходности нанятой рабочей силы.

Под рабочей силой, понимаем ту часть населения, которая занята в производстве. Рабочие получают своих доход от производителей и тратят свой доход на потребление. Тогда функцией потребительского спроса будет m(t), с помощью которой находим максимум потребления:

(20)

Она же является управляющей функцией, коэффициент которой находится в пределах:

0<m(t)<1 (21)

Деятельность администрации описывается налоговыми поступлениями:

(22)

Управляющей функцией администрации региона служит ставка налога на прибыль v(t).

Рассмотрим математическую модель принятия оптимального решения одновременно по нескольким критериям, учитывая интересы каждого из экономических агентов. Задача оптимального управления примет вид:

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

, (32)



где N^B, N^O, N^T, N^G - весовые коэффициенты линейной комбинации критериев, которые удовлетворяют условию:

N^B+ N^O+ N^T+ N^G=1. (33)

Функции управления многокритериальной задачи: r₂(t), r₁(t),w(t),p(t), m(t), v(t).

Остальные переменные: K(t),L(t), s(t),d(t), выступают как фазовые с естественными для экономических величин ограничениями:

0?K(t)?Kmax, 0<Lmin? L(t)? Lmax, s(t)?0, d(t)?0. (34)

Многокритериальная задача была формализована как задача оптимального управления



3. ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ НА ЭКОНОМИКЕ КРАСНОДАРСКОГО КРАЯ

3.1 Нахождение функций роста экономики региона

Применив математическую модель на практике, можно узнать на сколько увеличится валовый региональный продукт, если экономика будет ориентирована на рост.

Найдем функцию n(t) -роста населения по данным, которые находятся в свободном доступе на сайте статистики Краснодарского края.

Таблица 1-данные для нахождения функции роста населения

t(порядковый номер года)	n(тысяч человек)
2005	5100,3
2006	5069,6
2007	5101,1
2008	5121,8
2009	5141,9
2010	5226,6
2011	5230
2012	5284,5

С помощью программы MS Excel, я построила график n(t), на который нанесла точки из таблицы 1. Аппроксимировав функцию, я нашла уравнение максимально проходящее, через искомые точки. На Рисунке 3 изображена функция роста населения n(t). На оси абсцисс находятся порядковые номера годов, где 1-2005 год, 2-2006 и т.д. А на оси ординат расположено количество человек в тысячах.

Рисунок 3 - Функция роста населения

Уравнение функции полином 4 степени, при этом уравнение функции подходит для прогноза на ближайшие 3 года.

n(t) = 0,18t⁴ - 4,35t³ + 38,90t² - 110,62t + 5 174,59(тысяч человек) (35)

Теперь найдем функцию L(t)- функцию роста трудящихся, взяв за значения L-среднегодовую численность занятых в экономике.

Таблица 2 - Данные для нахождения функции роста трудящихся

t(год)	L(тысячах человек)
2005	2189,4
2006	2197,9
2007	2237,3
2008	2280,3
2009	2270,3
2010	2274,2
2011	2288,5
2012	2328,3

Аппроксимировав функцию L(t), я пришла к выводу, что она приняла логарифмический вид.

Рисунок 4 - Функция роста трудящихся

L(t) = 62,932ln(t) +2174,9(тысяч человек). (36)

Для того, чтобы узнать на сколько изменяются значения функции роста трудящихся, если учесть миграцию ?(t), я построю график:

Рисунок 5 - Функция роста миграции

Уравнение функции роста миграции ?(t) примет вид:

?(t)= 4,1298t +14,422. (37)

Лучше всего для прогноза подходит линейная функция роста миграции, т.к. выдает наименьшую ошибку, хоть и не является настолько точной.

Далее найдем функцию роста экономически активного населения Краснодарского края, обозначим как Lmax, так как под экономически активным населением понимается, все население, которое находится в трудоспособном возрасте и может работать, т.е. включает в себя как трудящееся, так и безработное население.

Рисунок 6 - Функция роста экономически активного населения.

Lmax(t)= -0,3294t⁵ + 9,256t⁴ - 93,508t³ + 405,91t² - 670,66x + 2777,3 (тысяч человек). (38)

Lmax-это максимальное количество возможных трудящихся в нашей модели в рамках нашего региона, т.е. без учета миграции.

3.2 Нахождение функции максимального количества трудящихся для роста экономики

Теперь исходя из нашей модели мы можем просчитать оптимальное кол-во трудящихся, которое потребуется для роста экономики:

(39)

Рассчитаем данные по годам с 2005 по 2013 года и спрогнозируем значения для 2014-2015 года.

Таблица 3 - Результаты функции L(t), Lmax(t), Lопт.

Год	Lmax(тысяч человек)	L(тысяч человек)	Lопт(тысяч человек)
2005	2427,90	2193,67	2492,56
2006	2449,11	2211,83	2512,10
2007	2563,11	2230,00	2628,87
2008	2636,94	2248,17	2702,83
2009	2638,88	2266,34	2710,30
2010	2602,73	2284,50	2680,78
2011	2568,46	2302,67	2669,00
2012	2632,96	2320,84	2720,19
2013	2730,61	2339,00	2820,94
2014	2773,70	2357,17	2871,10
2015	2522,90	2375,34	2618,54

В таблицу 3, я занесла получившиеся результаты, далее я просчитаю рост этих значений по годам, т.к. функция труда влияет на производственную функцию.

Таблица 4 - Изменение функций L(t) и Lmax к предыдущему году в %

Год	изменение Lmax к предыдущему году, в %	изменение L к предыдущему году, в %
2005	_________________	_________________
2006	100,8736768	100,8281567
2007	104,6547483	100,8213546
2008	102,8803267	100,8146633
2009	100,0734564	100,8080802
2010	98,63040121	100,8016026
2011	98,68303818	100,795228
2012	102,511431	100,788954
2013	103,7088282	100,7827783
2014	101,5779241	100,7766984
2015	90,95785413	100,7707123

В 2010, 2011 и 2015 годах рост экономически активного населения падает, в то время, как рост трудящихся возрастает, что говорит о снижении количества безработного населения. Чтобы проверить это предположение, вычтем из значений экономически активного населения значения работающего населения, получим:

Таблица 5-Данные по безработице по годам:

год	Безработные (тысяч человек)
2005	234,23
2006	237,28
2007	333,11
2008	388,77
2009	372,54
2010	318,23
2011	265,79
2012	312,13
2013	391,61
2014	416,53
2015	147,56

Снижение безработицы ведет к росту экономики. Но с другой стороны количество трудящихся к 2015 году сократилось меньше. Чем количество экономически активного населения, что говорит о спаде трудоспособного населения.

В таблице 3 просчитано значение Lопт-это оптимальное количество сотрудников, задействованное в производстве для получения большей прибыли. Больше этого количества человек, задействовать в экономике мы не можем.

В рамках нашей математической модели найдем функцию роста заработной платы.

Рисунок 7 - Функция роста заработной платы

На рисунке 7 можно увидеть, что уравнение задается полиномом второй степени.

w(t)= 3,4218t² + 2021,1t + 4570,8 (рублей) (40)

Подставим в уравнение данные:

Таблица 6-Значения функции роста заработной платы

(t) год	W (в рублях)
2005	6595,3
2006	8626,6
2007	10664,8
2008	12709,9
2009	14761,8
2010	16820,5
2011	18886,1
2012	20958,5
2013	23037,8
2014	25123,9
2015	27216,9

Из таблицы 6 мы видно, что средняя заработная плата в 2014 году составит 25123 рубля, а в 2015 году 27216 рублей.



Таблица 7-Изменение функции роста заработной платы к пред. году в %

Год(t)	Изменение w(t) к предыдущему году в %
2005	-
2006	130,7992
2007	123,6269
2008	119,1762
2009	116,1441
2010	113,9461
2011	112,2803
2012	110,9731
2013	109,921
2014	109,0551
2015	108,3307

Из таблицы 7 можно сделать вывод, что в 2014 году средняя заработная плата увеличится на 9%, а в 2015 на 8%. Что немного выше инфляции по стране.

3.3 Нахождение функции максимального роста капитала

Для того, чтобы узнать, на сколько максимум может увеличится ВРП Краснодарского края, не хватает оптимального значения капитала. Для этого построим функцию роста капитала.

Таблица 8-Данные для построения функции роста капитала

Год (t)	K(миллион рублей)
2005	1080000
2006	1115000
2007	1386000
2008	1646000
2009	1870000
2010	2139000
2011	2471000
2012	2822000

Рисунок 8 - Функция роста капитала

K(t) = 16339t² + 108387t + 911732 (41)

K измеряется в млн руб.

Теперь мы можем просчитать изменение капитала.

При коэффициенте амортизации ?=0,1, т.е. полная амортизация основного капитала происходит за 10 периодов, изменение капитала:

K'(t)=-µK(t)+bY(t),

K(0)=K₀ (42)

Таблица 9-Значения функций Кизм(t), K(t), Копт(t).

год	Kизм(млн. рублей)	K(млн. рублей)	Kопт(млн. рублей)
2005	196580	1036458	1233038
2006	299439	1193862	1493301
2007	395867	1383944	1779811
2008	485866	1606704	2092570
2009	569434	1862442	2431876
2010	646573	2150258	2796831
2011	717282	2471052	3188334
2012	781562	2824524	3606086
2013	839410	3210674	4050084
2014	890829	3629502	4520331
2015	935818	4081008	5016826

В таблице 9 я просчитала значения функций и нашла Копт, который увеличивается гораздо быстрее функции роста капитала.

Таблица 10-Изменение функции капитала к предыдущему году в %

год	изменение Kопт к предыдущему году	изменение К к предыдущему году
2005	__________________	_________________
2006	121,1074598	115,1867225
2007	119,1863529	115,9216057
2008	117,5725962	116,096027
2009	116,2147981	115,9169331
2010	115,0071385	115,4536893
2011	113,9980928	114,9188609
2012	113,1025169	114,3045148
2013	112,3124629	113,6713301
2014	111,6107962	113,0448622
2015	110,9835983	112,4398884

Функции капитала и труда найдены, теперь нужно построить производственную функцию Кобба-Дугласа:

Y(t)=A*L(t)^a*K(t)^b. (43)

Для этого зададим следующие данные:

1) функцию роста ВРП

2) функцию роста труда

3) функцию роста капитала



3.4 Нахождение функции максимального роста ВРП

Построим функцию роста валового регионального продукта:

Таблица 11-Данные для функции роста ВРП

Год (t)	Y (миллион рублей)
1	372930
2	483951
3	648211
4	803834
5	861603
6	1028308
7	1229738
8	1244700

На основе таблицы 11, я построила график:

Рисунок 9 - Функция роста ВРП

На рисунке 9 видно, что уравнение задано полиномом второй степени.

Найдя все три функции, я задам данные для уравнения Кобба-Дугласа:



Таблица 12-Данные для построения функции Кобба-Дугласа

год	Y(миллион рублей)	K(миллион рублей)	L(тысяч человек)
2005	361283	1036458	2193,667
2006	504001	1193862	2211,834
2007	642914	1383944	2230,001
2008	778022	1606704	2248,168
2009	909325	1862442	2266,335
2010	1036822	2150258	2284,502
2011	1160514	2471052	2302,669
2012	1280401	2824524	2320,836

Преобразуя исходные данные в соответствии с линейной функцией путем логарифмирования получим следующие исходные данные:

Таблица 13 - Логарифмированные данные

год	Ln(Y)	Ln(K)	Ln(L)
2005	12,79741686	13,85132	7,69333
2006	13,13033353	13,9927	7,701577
2007	13,37376625	14,14045	7,709757
2008	13,56451008	14,2897	7,717871
2009	13,72045785	14,4374	7,725919
2010	13,85167082	14,5811	7,733903
2011	13,96437357	14,72015	7,741824
2012	14,06268387	14,85385	7,749683

Анализируем исходные данные с помощью линейного регрессионного анализа Microsoft Excel 2003, который заключается в подборе графика для набора наблюдений с помощью метода наименьших квадратов. Регрессия используется для анализа воздействия на отдельную зависимую переменную значений одной или более независимых переменных. В результате получаем следующие показатели:



Регрессионная статистика
Множественный R	0,980796
R-квадрат	0,961962
Нормированный R-квадрат	0,946746
Стандартная ошибка	0,100508
Наблюдения	8
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	1,277341	0,63867	63,22307	0,000282
Остаток	5	0,050509	0,010102
Итого	7	1,32785
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика
Y-пересечение	318,3936	1221,534	0,260651
K	3,80341	9,842171	0,38644
L	-46,5499	176,4943	-0,26375

Рисунок 10 - Регрессионный анализ

Данные показатели определяются следующим образом.

R-квадрат характеризует долю вариации зависимой переменной, обусловленной регрессией или изменчивостью объясняющих переменных.

В нашем случае R-квадрат (0,961962) близок к 1, что говорит о высоком качестве подгонки данной модели, то есть регрессия хорошо описывает зависимость между объясняющими и зависимой переменной.

На основании полученных данных можно вывести функцию Кобба-Дугласа для вышеописанной ситуации:

(44)

На основании полученной модели можно вывести производственную функцию Кобба-Дугласа путем экспонирования:

Y=1,27*K^3,8*L^-46,5 (45)

Полученная модель может быть использована для прогнозирования будущих значений ВВП на основе известных или ожидаемых уровнях капитала и рабочей силы. Наглядно полученная зависимость прироста ВРП от изменения рабочей силы

Рисунок 11 - Функция Кобба-Дугласа и Функция роста ВРП

Рисунок 11 показывает, что есть небольшая погрешность в заданной функции Кобба-Дугласа, но не столь существенная. Теперь мы можем узнать, на сколько увеличится валовый региональный продукт, если мы одновременно увеличим по максимуму капитал и на работу выйдет максимальное количество сотрудников. Зададим уже известные параметры, а функцию Yопт, высчитаем с помощью уравнения производственной функции.

Таблица 14-Находим функцию Yопт

год	Kопт(миллион рублей)	Lопт	Yопт
2005	1233038	2492,56	832101,81
2006	1296721	2512,10	905998,45
2007	1480372	2628,87	1286259,06
2008	1696703	2702,83	1674862,43
2009	1946010	2710,30	1921607,49
2010	2227397	2680,78	2052302,38
2011	2541761	2669,00	2259988,71
2012	2888804	2720,19	2793404,01
2013	3268522	2820,94	3756621,29
2014	3680921	2871,10	4572956,23
2015	4125997	2618,54	3171555,79

Из таблицы 14 мы видим, что полученные результаты сильно разнятся, т.е. рост ВРП составит:

Таблица 15-Сравнение Yопт и Y

год	Yопт	Y(t)	Отношение Yопт/Y(t) в %
2005	832101,814	361283	230,318563
2006	905998,4453	504001	179,7612396
2007	1286259,056	642914	200,0670473
2008	1674862,428	778022	215,2718596
2009	1921607,489	909325	211,3224083
2010	2052302,382	1036822	197,9416314
2011	2259988,714	1160514	194,7403232
2012	2793404,009	1280401	218,1663407
2013	3756621,293	1396483	269,0058735
2014	4572956,225	1508760	303,0936813
2015	3171555,785	1617231	196,1102517

Из таблицы 15 можно сделать выводы, что если по максимуму увеличить капитал и привлечь максимальное число работников, то ВРП вырастит в 2-3 раза.

Теперь изобразим это на графике:

Рисунок 12 - Функция роста Y(t) и функция максимального роста Y(t)

Из рисунка 12 следует, что смоделированная мною функция в 2014 году идет на спад, это связанно с тем, что экономика перегрелась и начиная с 2013 года, государство должно увеличить налоги и снизить государственные закупки. Но в целом математическая модель показала рост валового регионального продукта почти в 2-3 раза.



ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Целью дипломной работы было построение математической модели многосекторной экономики и ее применение на практике.

В ходе работы были изучены теоретические аспекты математического моделирования. Приведя достаточно примеров для точного и последовательного изучения данной темы, я достигла вышеуказанных результатов, которые отразила в виде схем, графиков и таблиц. Для своего задания я выбрала вычислимые модели общего равновесия. Модель общего равновесия описывает экономику как результат взаимодействия экономических агентов различных типов. Обычно это производственные отрасли, домохозяйства, финансовые организации, государство и внешнеторговые организации фирмы. В модели каждый из агентов выбирает для себя наиболее выгодные действия в рамках своих технологических и институциональных ограничений, исходя из величин информационных переменных (цен, курсов, процентов). Значения информационных переменных определяются так, чтобы обеспечить выполнение материальных и финансовых балансов во всей системе.