Статистичне моделювання процесу функціонування асинхронного двигуна з вентильним збудженням

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Опис випадкових величин магнітної проникності та питомого опору в детермінованому процесі

Індуктивність, що зв'язує потік розсіювання обмотки з протікаючим по ній струмом, називається індуктивністю розсіювання

Підключення кінцевої індуктивності до однієї з обмоток, показує, що осердя фактично має кінцеву проникність, а конструктивно може бути виконаний як з порошкового матеріалу, так і з матеріалу з дуже високою проникністю - ферита або електротехнічної сталі, із зазором або без нього.

Індуктивність, що підключається в такий спосіб до однієї з обмоток, прийнято називати індуктивністю намагнічування (L). Між сердечником і обмоткою існує більший або менший простір. Тому існує магнітний потік, що проходить між ними.

Визначення індуктивності розсіювання як зосередженого параметра може бути засноване на тому факті, що магнітне поле розсіювання створюється частиною струму навантаження.

Якщо знехтувати насиченням магнітопровода АГ, то магнітні потоки, які зчіплюються з його обмотками, будуть пропорційні відповідним МРС. Розглянемо основні співвідношення між цими величинами.

Припустимо, що статор і ротор трифазного АД симетричні, параметри обмотки ротора приведені до обмотці статора і робочий зазор машини рівномірний. Схематично ці обмотки показані на рисунку 1.1 [1].

Рисунок 1.1. Схематичне зображення обмоток ротора і статора

З обмоткою фази б статора зчіплюються магнітні потоки, створювані як нею самою, так і всіма іншими обмотками. Частина магнітного потоку, створюваного самої обмоткою зчіплюється тільки з її власними витками і називається потоком розсіювання. Інша частина, крім витків самої обмотки охоплює також витки інших обмоток і називається головним або основним магнітним потоком. Індуктивність L_1у, що зв'язує потік розсіювання обмотки з протікаючим в ній струмом, називається індуктивністю розсіювання, а індуктивність L_m, визначальна потокозчеплення з основним потоком - взаємною індуктивністю або індуктивністю основного потоку. При відсутності струмів в обмотках ротора можна представити потокозчеплення фази б у вигляді:

(1.1)

де М_ab, M_? - взаємні індуктивності статорних обмоток;

L_1у, L_m - індуктивність в статорній обмотці та обмотці ротора.

Проаналізуємо з формули 1.1 параметр L.

Індуктивність - фізична величина, що характеризує здатність провідника накопичувати енергію магнітного поля, коли в ньому протікає електричний струм.

Дорівнює відношенню магнітного потоку через контур, визначений електричним колом, до величини струму в колі, тобто

. (1.2)

Магнітний потік - потік вектора магнітної індукції. Магнітний потік через нескінченно маленьку площадку dS визначається як

,

де B - значення індукції магнітного поля, и - кут між напрямком поля й нормаллю до поверхні. У векторній формі:

(1.3).

Для описання магнітного поля вводять силову характеристику поля, аналогічну вектору напруженості електричного поля. Такою характеристикою є вектор магнітної індукції - . Вектор магнітної індукції визначає сили, які діють на рухомі заряди в магнітному полі.

В якості напряму вектора прийнято направлення від південного полюсу S до північного полюсу N магнітної стрілки, яка вільну рухається в магнітному полі (як у компасі). Таким чином, за допомогою такої стрілки, досліджуючи магнітне поле створене струмом чи постійним магнітом, можливо з деякою точністю уявити просторову структуру магнітного поля.

Магнітна індукція пов'язана з напруженістю магнітного поля Н, що характеризує магнітне поле в середовищі:

, (1.4)

де - магнітна проникність;

В загальному випадку магнітна проникність не є постійна. Її величина може змінюватися від точки до точки в конкретному середовищі. Вона також може залежати відчастоти прикладеного поля, вологості, температури, а також інших параметрів.

Якщо дві обмотки статора АД мають однакові параметри, то магнітний потік, створюваний струмом другою обмоткою і зчіплюються з витками першої, буде повністю ідентичний потоку, створюваному першій обмотці і зчіплюються з витками другої, за умови однакових струмів і збігу розташування осей двох обмоток в просторі. Очевидно, що за цих умов картина магнітного поля буде однаковою незалежно від того, за якою з обмоток протікає струм. Отже, індуктивність основного потоку статорних обмоток L_m буде дорівнює їх взаємної індуктивності за умови суміщення геометричних осей.

Користуючись тим, що сума струмів статора і ротора утворює струм намагнічування АГ, тобто i₁ + i₂ = i_m потокозчеплення статора і ротора можна також представити через основний магнітний потік:

(1.5)

Потоки розсіювання статора: , і ротора .

Проаналізуємо з формули 1.5 параметр i.

За законом Ома для ділянки кола сила струму є прямо пропорційною до напруги , прикладеної до цієї ділянки кола, і обернено пропорційною до її опору :

(1.6)

Для провідника довжиною l і поперечним перерізом S опір визначається за формулою:

(1.7)

де с - питомий опір - характеристика матеріалу, з якого виготовлений провідник.

Питоммий омпір - питома фізична величина, яка кількісно характеризує здатність речовини створювати опір проходженню електричного струму. Питомий опір чисельно залежить від матеріалу з якого виконаний провідник і температури навколишнього середовища.

Тому для дослідженні випадкових випадкових величин в детермінованому процесі обрані: магнітна проникність та питомий опір.

Для дослідженні випадкових випадкових величин в детермінованому процесі обрані: магнітна проникність та питомий опір.

В загальному випадку магнітна проникність не є постійна. Її величина може змінюватися від точки до точки в конкретному середовищі. Вона також може залежати відчастоти прикладеного поля, вологості, температури, а також інших параметрів.

Магнітна проникність електротехнічної сталі із якої виконані обмотки ротора та статора лежить в межах (4500…5100)·10^-6 Н/А².

Питоммий омпір - питома фізична величина, яка кількісно характеризує здатність речовини створювати опір проходженню електричного струму. Питомий опір чисельно залежить від матеріалу з якого виконаний провідник і температури навколишнього середовища.

Питомий опір електротехнічної сталі при температурі навколишнього середовища 20…27° С, лежить в межах (12…17)·10^-8 Ом·м.

2. Математичні аналоги з випадковими величинами

Конструкція та принцип дії турбодетандерної установки

Принцип роботи турбодетандера заснований на розширенні газу в робочому колесі. Газ віддає енергію, за рахунок чого відбувається зниження його температури. Ця енергія може використовуватися для стиснення газу в компресорі або для вироблення енергії в електрогенераторі. В цьому випадку турбодетандер виробляє не тільки холод, але ще й недорогу електроенергію. В цьому одна з основних перевага даних агрегатів [2].

На рисунку 2.1 представлена структурна схема спроектованої ДТГ установки для постачання електроенергією споживачів власних потреб та компресорного газліфту [2].



1,5 - трубопроводи високого та низького тиску відповідно; 2,4 - засувки; 3 - регульований редукційний клапан; 6,8 - засувки з приводом рукояті; 7 - система автоматизованого управління; 9 - датчики тиску та витрат газу; 10 - підігрівач газу; 11 - детандер турбіна; 12 - редуктор; 13 - асинхронний генератор.

Рисунок 2.1. Структурна схема комбінована ДТГ

Газ з трубопроводу високого тиску потрапляє до підігрівача який живиться з трубопроводу низького тиску, спалюючи нагріває газ під високим тиском, де його температура підвищується до 60С. Це необхідно, щоб уникнути налипання тяжких фракцій газу на турбіну, так як температура газу в ній знижується через його розширення та виконання ним роботи. Турбіну приводить в рух високошвидкісний редуктор який знижує оберти до потрібних для обертання розрахованого асинхронного генератора.

Щоб забезпечити постійну швидкість обертів генератора потрібно підтримувати сталу продуктивність, це досягається вибором продуктивності детандертурбінного генератора нижче середнього рівня споживання газу, та керованим сопловим апаратом турбіни. При використанні більших об'ємів газу ніж продуктивність турбіни тиск в магістралі споживачів падає, це фіксується датчиком тиску сигнал якого поступає на систему управління, яка привідкриває регульований редукційний клапан до потрібного значення. При ситуації коли тиск в магістралі споживачів навпаки перевищує потрібне значення то відбувається призакриття клапану.

При падінні споживання газу менше за необхідний для підтримки параметрів якості електроенергії генератора, а саме: допустиме відхилення напруги 10%, допустиме відхилення частоти від 48 до 68 Гц [3], відбувається автоматичне переключення споживачів з генератора на мережу живлення від трансформаторної підстанції. Живлення системи управління тепер проводиться акумуляторної батареї яка заряджається під час роботи ДТГ. Подається команда на відкриття регульованого редукційного клапана і перекриття засувок 6 та 8, що приводить до зупинки ДТГ.

Датчик витрати газу далі контролює продуктивність і коли вона зростає до значення продуктивності детандертурбіни то система управління фіксує це, відкриває засувки 6, 8 та закриває редукційний клапан, коли генератор набирає необхідних обертів проводиться переключення споживачів власних потреб з трансформаторної підстанції на ДТГ.

При аналізі асинхронних машин зазвичай використовують системи координат: фазні А, В, С або ортогональні б, в, 0, нерухомі відносно статора [4].

При розробці математичних моделей асинхронних генераторів прийняті наступні припущення [13]:

1) вектор потоку взаємоіндукції Ф_m і відповідний йому вектор потокозчеплення ш_m колінеарні вектору намагнічуючого струму I_m, що дозволяє не враховувати гістерезис;

2) індуктивні опори розсіювання обмоток статора і ротора сталі;

3) магнітопровод насичується рівномірно по всьому об'єму, тобто ефект явнополюсності ротора, що виникає при насиченні, не враховується. Врахування насичення проводять по робочому потоку взаємоіндукції;

4) не враховуються зміна температури обмоток і явище витіснення струму в обмотці ротора;

5) всі параметри, струми і напруги обмотки ротора наводяться до обмотки статора генератора (в АГ з двома статорними обмотками до однієї із статорних обмоток приводиться друга обмотка);

7) у системі координат А, В, С несиметрія параметрів має місце тільки в колах навантаження.

Прийняті допущення приводять АГ до розряду ідеалізованої АМ з класичними допущеннями, диференціальні рівняння якої відомі [5]. Повні системи алгебро-диференціальних рівнянь можуть бути записані наступним чином:

Контури статора

(2.1)

Контури ротора

(2.2)

Рівняння руху

(2.3)

де щ_М - механічна частота обертання АГ (визначає електричну частоту обертання ротора щ = р· щ_М; р - число пар полюсів); J - момент інерції агрегату; М, М_Г - відповідно момент обертання первинного двигуна і електромагнітний момент АГ;

Алгебраїчні рівняння для визначення I_AУ, I_BУ, I_CУ, Y_m, L_ЭК, ш_mA, ш_mB, ш_mC, струмів статора I_A, I_B, I_C і ротора I_a, I_b, I_c:

(2.4)

(2.5)

(2.6)

(2.7)

де L₁ i L₂ - індуктивності розсіювання фаз статора і ротора

(2.8)

Здійснено аналіз математичних моделей відомих асинхронних генераторів, які слугують для вироблення енергії отриманої за рахунок розширеного газу в робочому колесі турбодетандера.

3. Визначення закону розподілу випадкової величини

Визначення закону розподілу магнітної проникності в сталі обмотки ротора.

У даному розділі ми розглянемо дві випадкові величини. Це магнітна проникність µ та питомий опір с.

Припустимо, що в нашому розпорядженні результати спостережень над безперервною випадковою величиною (позначимо її через ), оформлені у вигляді простої статистичної сукупності.

Таблиця 3.1. Результати можливих значень

N	i, H/A2·10-6	N	i, H/A2·10-6
1	4500	16	4802
2	4520	17	4882
3	4540	18	4810
4	4603	19	4900
5	4624	20	4825
6	4628	21	4809
7	4609	22	4892
8	4638	23	4930
9	4744	24	4946
10	4780	25	4930
11	4749	26	4950
12	4755	27	5060
13	4741	28	5065
14	4750	29	5008
15	4779	30	5088

Розділимо весь діапазон спостережених значень Х на інтервали або «розряди» і підрахуємо кількість значень , що доводяться на кожний і-тий розряд. Це число розділимо на загальне число спостережень n і знайдемо частоту, що відповідає даному розряду:

- частота розряду;

Сума частот всіх розрядів, очевидно, повинна дорівнювати одиниці.

Побудуємо таблицю, у якій наведені розряди в порядку їхнього розташування уздовж осі абсцис і відповідні частоти. Ця таблиця називається статистичним рядом. Число розрядів, на які варто групувати статистичний ряд, не повинне бути занадто великим (тоді ряд розподілу стає невиразним, і частоти у ньому виявляють незакономірні коливання); з іншого боку, воно не повинне бути занадто малим (при малому числі розрядів властивості розподілу описуються статистичним рядом занадто грубо). Практика показує, що в більшості випадків раціонально вибирати число розрядів порядку 10-20. Довжини розрядів можуть бути як однаковими, так і різними. Простіше, розуміється брати їх однаковими.

Нехай зроблено 30 спостережень над безперервною величиною магнітною проникністю сталі . Результати вимірів зведені в статистичний ряд.

Таблиця 3.2. Статистичний ряд

·10-6	4500-4600	4601-4700	4701-4800	4801 - 4900	4901-5000	5001-5100
	3	5	7	7	4	4
	0,1	0,17	0,235	0,235	0,13	0,13

Статистичний ряд часто оформлюється графічно у вигляді так званої гістограми. Гістограма будується в такий спосіб. По осі абсцис відкладаються розряди і на кожному з розрядів як їхній основі будується прямокутник, площа якого дорівнює частоті даного розряду. Для побудови гістограми потрібно частоту кожного розряду розділити на його довжину й отримане число взяти як висоту прямокутника. У випадку рівних по довжині розрядів висоти прямокутників пропорційні відповідним частотам. Зі способу побудови діаграми виходить, що повна площа її дорівнює одиниці.

Побудуємо гістограму по даним таблиці 3.2:

Рисунок 3.1. Гістограма, яка відображає вхідні дані

У всякому статистичному розподілі неминуче присутні елементи випадковості, пов'язані з тим, що число спостережень обмежене, що зроблено саме ті, а не інші досліди, що дали саме ті, а не інші результати. Тільки при дуже великій кількості спостережень ці елементи випадковості згладжуються, і випадкове явище виявляє повною мірою властиву йому закономірність. На практиці ми майже ніколи не маємо справи з таким великим числом спостережень і змушені зважати на те, що будь-якому статистичному розподілу властиві в більшій або меншій мірі риси випадковості. Тому при обробці статистичного матеріалу часто доводиться вирішувати питання про те, як підібрати для даного статистичного ряду теоретичну криву розподілу, що виражає лише істотні риси статистичного матеріалу, але не випадковості, пов'язані з недостатнім обсягом експериментальних даних. Таке завдання називається завданням вирівнювання (згладжування) статистичних рядів.

Завдання вирівнювання полягає в тому, щоб підібрати теоретичну плавну криву розподілу, яка з тієї або іншої точки зору щонайкраще описує даний статистичний розподіл.

Як правило, принциповий вид теоретичної кривої вибирається заздалегідь із міркувань, пов'язаних із суттю завдання, а в більшості випадків просто із зовнішнім виглядом статистичного розподілу. Аналітичне вираження обраної кривої розподілу залежить від деяких параметрів; завдання вирівнювання статистичного ряду переходить у завдання раціонального вибору тих значень параметрів, при яких відповідність між статистичним і теоретичним розподілами виявилися найкращими.

З теоретичних міркувань і по зовнішньому вигляду статистичного розподілу будемо вважати, що величина Х підкоряється нормальному закону розподілу (розподіл Гауса) на відрізку від 4500 до 5100. Щільність розподілу має вигляд:

За формулою для математичного сподівання нормального закону розподілу і з даного графіку видно, що

при

Таким чином, . Приймаємо х_о= 4800·10^-6

Таблиця 3.3. Розрахункові дані

1	2	3	4	5	6	7
·10-6	4500-4600	4601-4700	4701-4800	4801 - 4900	4901-5000	5001-5100
m	3	5	7	7	4	4
pi	0,1	0,17	0,235	0,235	0,13	0,13
xi' 10-6	-8,33	-5,00	-1,67	1,67	5,00	8,33
xi 10-6	4550	4650	4750	4850	4950	5050
m•xi'10-6	-24,99	-25,00	-11,69	11,69	20,00	33,32
1	2	3	4	5	6	7
mxi'210-12	208,17	125,00	19,52	19,52	100,00	277,56
mxi'310-18	-1734,03	-625,00	-32,60	32,60	500,00	2312,04
mxi'410-24	14444,46	3125,00	54,45	54,45	2500,00	19259,28

Розраховуємо початкові моменти (а₁, а₂, а₃, а₄):

;

Розраховуємо центральні моменти (m₂, m₃, m₄),

m₂ = a₂ - a₁² = 24,978 10^-12;

m₃ = a₃ - 3a₁a₂ + 2a₁³ = 444,47 10^-18;

m₄ = a₄ - 4a₁a₃ + 6a₁²a₂ - 3a₁⁴ =1115,3 10^-24.

Розраховуємо середнє квадратичне відхилення величини Х

- середнє квадратичне відхилення.

Дисперсія

Модою даного розподілу є величина , тобто максимальне значення розподілу.

Оскільки розподіл симетричний, то медіана

.

Так як для нормального закону , то асиметрія його також дорівнює нулю:

Ексцес нормального розподілу також дорівнює нулю:

Рисунок 3.2. Крива щільності розподілу

Метод максимума-мінімума

При зміні магнітної проникності, змінюється магнітна індукція В:

Визначення закону розподілу індуктивності опору розсіювання обмотки статора.

Припустимо, що в нашому розпорядженні результати спостережень над безперервною випадковою величиною.

Таблиця 3.4. Вихідні дані

N	с·10-8, Ом·м	N	с·10-8, Ом·м	N	с·10-8, Ом·м
1	12,0	11	13,0	21	14,2
2	12,2	12	13,1	22	14,4
3	12,3	13	12,8	23	14,3
4	12,5	14	13,2	24	14,5
5	12,55	15	12,9	25	14,9
6	12,1	16	13,45	26	15,2
7	12,6	17	13,5	27	15,4
8	12,12	18	14,0	28	15,6
9	12,75	19	13,7	29	16,0
10	12,9	20	14,0	30	16,8

Розділимо весь діапазон значень Х, що спостерігаються, на інтервали або «розряди» і підрахуємо кількість значень , що доводиться на кожен і-ий розряд. Це число розділимо на загальне число спостережень n і знайдемо частоту, відповідну даному розряду:

,

де - частота розрядів;

Сума частот всіх розрядів, очевидно, повинна бути рівна одиниці.

Побудуємо таблицю, в якій приведені розряди в порядку їх розташування уздовж осі абсцис і відповідні частоти. Нехай проведено 30 спостережень значення індуктивності опору розсіювання обмотки статора. Результати вимірювань зведені в статистичний ряд.

Таблиця 3.5. Розрахункові дані

с·10-8, Ом·м
12,0	12,7	8	0,27
12,7	13,4	7	0,23
13,4	14,1	5	0,17
14,1	14,8	4	0,13
14,8	15,5	3	0,10
15,5	16,2	2	0,07
16,2	17,0	1	0,03

Побудуємо гістограму розподілу питомого опору в сталі статора

Рисунок 3.3. Гістограма розподілу опору індуктивності розсіювання статора

Проведемо вирівнювання (згладжування) статистичних рядів.

З теоретичних міркувань і за зовнішнім виглядом статистичного розподілу вважатимемо, що величина с підкоряється закону розподілу Ерланга.

Розподілом Ерланга k-го порядку називається розподіл, який описує безперервну випадкову величину X, що приймає додатні значення в інтервалі (0; + ?) і представляє собою суму k незалежних випадкових величин, розподілених по одних і тих же експоненціальних законах з параметром л. Функція і щільність розподілу Ерланга k-го порядку мають вигляд:



де л і k - позитивні параметри розподілу (л ? 0; x = 1, 2,…); x ? 0 - неперервна випадкова величина.

При k = 1 розподіл Ерланга вироджується в експоненціальний

Експоненційний розподіл залежить тільки від одного параметру, який позначається буквою л і являє собою середню кількість запитів, які поступають в систему за одиницю часу. Величина 1/ л дорівнює середньому проміжку часу, який проходить між двома послідовними запитами.

Імовірність настання наступного вимірювання визначається по формулі:

де е - основа натурального логарифма, дорівнює 2,71828, л - значення, яке максимально повторюється (л=0,27), x - значення безперервної величини, 12·10^-8 < x < 17·10^-8.

Побудуємо функцію розподілу експоненціального закону:



Рисунок 3.4. Функція розподілу опору індуктивності розсіювання статора

Щільність розподілу задається формулою:

Для даного випадку:

Рисунок 3.5. Крива щільності розподілу питомого опору обмотки статора

Основні характеристики експоненціального розподілу:

Математичне сподівання:

Дисперсія:

Метод максимума-мінімума

При зміні питомого опору, відповідно змінюється електричний опір R в сталевій обмотці статора:

питомий турбодетандер ний магнітний опір

;

Визначено закон розподілу магнітної проникності в сталі обмотки ротора. З теоретичних міркувань і по зовнішньому вигляду статистичного розподілу вирішено вважати, що величина Х (µ) підкоряється нормальному закону розподілу (розподіл Гауса) на відрізку від 4500·10^-6 Н/А² до 5100·10^-6 Н/А². Побудовано гістограму розподілу вхідних величин та криву щільності розподілу. Розраховано середнє квадратичне відхилення величини, дисперсію, моду та медіану. Ексцес та асиметрія для нормального розподілу дорівнює нулю. Здійснено розрахунок методом максимума-мінімума.

Для характеристики зміни випадкової величини питомого опору с, який змінюється в межах (12…17)·10^-8 Ом·м обрано розподіл Ерланга, який при k = 1 вироджується в експоненціальний. Побудовано гістограму розподілу вхідних величин та криву щільності розподілу та функцію розподілу експоненціального закону. Визначено криву щільності розподілу питомого опору статорної обмотки. Здійснено розрахунок методом максимуму-мінімуму.

Размещено на Allbest.ru