Регрессионно-корреляционный анализ предприятия

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание 1.

коррекционный регрессия экономический моделирование

По предложенным вам экспериментальным данным, представляющим собою макроэкономические показатели или показатели финансовой (денежно-кредитной) системы некоторой страны, т.е. случайной выборке объема n - построить математическую модель зависимости случайной величины Y от случайных величин X1 и X2. Построение и оценку качества экономико-математической (эконометрической) модели вести в следующей последовательности: Построить корреляционную матрицу для случайных величин и оценить статистическую значимость корреляции между ними. Исходя из наличия между эндогенной переменной и экзогенными переменными, линейной зависимости, оценить параметры регрессионной модели по методу наименьших квадратов. Вычислите вектора регрессионных значений эндогенной переменной и случайных отклонений. Найдите средние квадратические ошибки коэффициентов регрессии. Используя критерий Стьюдента проверьте статистическую значимость параметров модели. Здесь и далее принять уровень значимости 0,05(т. е. надежность 95%). Вычислите эмпирический коэффициент детерминации и скорректированный коэффициент детерминации. Проверьте, используя критерий Фишера, адекватность линейной модели. Установите наличие (отсутствие) автокорреляции случайных отклонений модели. Используйте для этого метод графического анализа, статистику Дарбина-Уотсона и критерий Бреуша-Годфри. Установите наличие (отсутствие) гетероскедастичности случайных отклонений модели. Используйте для этого графический анализ, тест Вайта и тест Парка для вариантов с добавочным индексом А (графический метод, тест Глейзера и тест Бреуша-Пагана для вариантов с добавочным индексом В). Обобщите результаты оценивания параметров модели и результаты проверки модели на адекватность.

Решение.

В таблице 1.1. приведены ежеквартальные данные о валовом внутреннем продукте (млн. евро); экспорта товаров и услуг (млн. евро); эффективный обменный курс евро к национальной волюте для Испании на период с 2000 по 2007 годы.

Таблица 1.1 Ежеквартальные данные о валовом внутреннем продукте, экспорте товаров и услуг, эффективном обменном курсе евро к национальной валюте для Исландии на период с 2000 по 2007 годы

	Регрессант Y	Регрессор X1	Регрессор X2
Период	ВВП, млн. евро (GDP)	Импорт товаров и услуг, млн. евро (IGS)	эффективный обменный курс евро к национальной волюте (NEER)
2000q01	151549	47714	90,96
2000q02	158657	51536	88,19
2000q03	152859	48795	86,98
2000q04	167198	54661	85,5
2001q01	163783	53405	90,9
2001q02	171855	54839	88,76
2001q03	165799	50334	90,54
2001q04	179241	52755	91,29
2002q01	175002	51491	90,4
2002q02	184589	54702	93,06
2002q03	177018	50857	97,34
2002q04	192597	57702	98,73
2003q01	188474	54743	103,68
2003q02	197781	56357	107,51
2003q03	189581	53818	106,6
2003q04	207093	59763	109,28
2004q01	201864	59480	111,84
2004q02	211842	63645	109,37
2004q03	204702	61347	110,3
2004q04	222634	67328	113,24
2005q01	217862	65023	112,83
2005q02	229895	72045	110,28
2005q03	219807	69368	108,49
2005q04	240886	75123	107,34
2006q01	235765	76477	107,37
2006q02	248721	79219	110,14
2006q03	235901	76581	111,22
2006q04	260567	83314	111,29
2007q01	254391	81896	112,04
2007q02	267098	85250	113,46
2007q03	251521	84189	114,09
2007q04	276838	92342	116,95

Создадим файл с исходными данными в среде Microsoft Excel.

Исследуем степень корреляционной зависимости между переменными. Для этого построим корреляционную матрицу, используя средства «Анализа данных». Корреляционная матрица приведена в таблице 1.2.

Таблица 1.2 Корреляционная матрица приведена в таблице

	Столбец 1	Столбец 2	Столбец 3
Столбец 1	1	0,8602266	0,7479278
Столбец 2	0,8602266	1	0,6310579
Столбец 3	0,7479278	0,6310579	1

Из корреляционной матрицы следует, что на валовой внутренний продукт оказывает влияние оба регрессанта, т. е. экспорт товаров и услуг и обменный курс национальной валюты имеют корреляционную связь с валовым внутренним продуктом. Так же можем отметить наличие корреляционной зависимости между объясняющими (экзогенными) переменными, это может свидетельствовать о наличии в модели явления мультиколлениарности.

Построим многофакторную регрессионную модель, в которой зависимая переменная - Y валовой внутренний продукт.

Определим коэффициенты уравнения регрессии.

Y = ₀ + ₁•X1 + ₂•X2



Таблица 1.3 Результаты множественной регрессии в численном виде

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	-1046,49	452,8635	-2,31082	0,028151
Переменная X 1	2,033422	0,328972	6,181146	9,7E-07
Переменная X 2	18,28825	5,601336	3,26498	0,002809

Таблица 1.4

Регрессионная статистика
Множественный R	0,899932
R-квадрат	0,809877
Нормированный R-квадрат	0,796765
Стандартная ошибка	243,4784
Наблюдения	32
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	7323237	3661618	61,76641	3,52E-11
Остаток	29	1719170	59281,71
Итого	31	9042406

Как следует из данных, полученных с помощью Excel методом наименьших квадратов, полученная многофакторная модель будет иметь вид:

Y = -1046,49 + 2,0334•X1 + 1828,83•X2 (1.1)

Уравнение (1.1) выражает зависимость валового внутреннего продукта (Y) от экспорта товаров и услуг (Х1), обменного курса евро к национальной валюте (Х2). Коэффициенты уравнения показывают количественное воздействие каждого фактора на результативный показатель при неизменности других. В нашем случае валовой внутренний продукт увеличивается на 2,033 ед. при увеличении экспорта товаров и услуг на 1 ед. при неизменности показателя обменного курса евро к национальной валюте; валовой внутренний продукт увеличивается на 18,288 ед. при увеличении обменного курса евро к национальной валюте на 1 ед. при неизменности показателя экспорта товаров и услуг. Случайное отклонение для коэффициента при переменной Х1 составляет 0,329; при переменной Х2 - 5,601; для свободного члена -452,86.

Табличное значение критерия Стьюдента, соответствующее доверительной вероятности = 0,95 и числу степеней свободы

v = n - m - 1 = 29

t_кр. = t_0,025;29 = 2,364

Сравнивая расчетную t-статистику коэффициентов уравнения с табличным значением, заключаем, что все коэффициенты уравнения регрессии будут значимы, за исключением свободного члена в уравнении регрессии. Коэффициент детерминации R² = 0,8099;

Скорректированный на потерю степеней свободы коэффициент множественной детерминации AR² = 0,7968;

Критерий Фишера F = 61,766;

Уровень значимости модели р < 0,0000;

Согласно критерию Фишера данная модель адекватна. Так как уровень значимости модели меньше 0,00001.

Проверим остатки на наличие автокорреляции. Для этого найдем значение статистики Дарбина-Уотсона.

Таблица 1.4 Промежуточные расчеты

Остатки	et2	(et - et-1)2
218,5906	47781,84	0
195,5567	38242,44	530,5579
67,01115	4490,494	16523,97
263,2028	69275,71	38491,16
-93,1291	8673,038	126972,4
-39,0766	1526,984	2921,674
-273,414	74754,99	54913,8
-148,784	22136,71	15532,51
-146,073	21337,19	7,352526
-142,422	20284,12	13,32423
-178,064	31706,95	1270,362
-21,1856	448,8302	24610,97
-56,3965	3180,569	1239,809
-131,957	17412,62	5709,365
-323,811	104853,4	36807,9
-166,388	27685,12	24781,77
-122,682	15050,78	1910,29
-132,145	17462,21	89,54899
-348,301	121313,8	46723,67
-80,555	6489,111	71688,04
143,844	20691,09	50354,9
-38,3544	1471,06	33196,24
199,4414	39776,86	56546,82
563,206	317201	132324,7
558,4567	311873,9	22,55623
-92,4285	8543,033	423651,6
8,944249	79,99959	10276,44
350,2045	122643,2	116458,5
-114,207	13043,27	215678,1
175,3924	30762,5	83867,9
264,622	70024,81	7961,921
-359,099	128952	389027,8
	1719170	1990106

DW = 1,1576.

По таблице приложения 4 [1] определяем значащие точки d_L и d_U для 5% уровня значимости.

Для m = 2 и n = 32: d_L = 1,28; d_U = 1,57

Так как DW < d_L (1,1576<1,28), то нулевую гипотезу об отсутствии автокорреляции мы не можем принять. Следовательно, в модели присутствует автокорреляция остатков случайных отклонений.

Проверим наличие автокорреляции, используя тест Бреуша-Годфри. Тест основан на следующей идее: если имеется корреляция между соседними наблюдениями, то естественно ожидать, что в уравнении

, t = 1,…, n

(где e_t -- остатки регрессии, полученные обычным методом наименьших квадратов), коэффициент с окажется значимо отличающимся от нуля.

Таблица 1.5 Значение коэффициента с

	Столбец 1	Столбец 2
Столбец 1	1
Столбец 2	0,620823	1

Проверим значимость коэффициента корреляции, находим наблюдаемое значение по формуле:

=4,265

T>t_кр, следовательно коэффициент корреляции значим, и в модели присутствует автокорреляция остатков случайных отклонений.

Проведем графический анализ гетероскедастичность. Построим график, где по оси абсцисс будем откладывать расчетные значения Y, полученные из эмперического уравнения регрессии, а по оси ординат квадраты остатков уравнения е².

График представлен на рисунке 1.1.



Рисунок 1.1 Графический анализ гетероскедастичность

Анализируя график, можем предположить непостоянство дисперсий. Т. е. наличие гетероскедастичности в модели. Проверим наличие гетероскедастичности, используя тест Вайта. Строим регрессию:

е² = a + b₁x₁ + b₁₁x₁² + b₂x₂ + b₂₂x₂²+ b₁₂•x₁•x₂

Таблица 1.5 Результаты теста

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	5	1,91E+10	3,82E+09	0,582977	0,712725
Остаток	26	1,7E+11	6,55E+09
Итого	31	1,89E+11

Результаты теста Уайта показывают отсутствие гетероскедастичности, так как при 5% уровне значимости F_факт<F_табл. Р-вероятность принятия гипотезы о гетероскедастичности равна 0,713, что больше 0,05.

Для проверки наличия гетероскедастичности воспользуемся тестом Парка. В Excel рассчитаем логарифмы значений e², X1 и X2 (см. табл. 1.7).

Таблица 1.7. проверка наличия гетероскедастичности

lne2	lnX1	lnX2
10,7744	6,529565	4,51042
10,5517	6,66772	4,479494
8,409718	6,815092	4,465678
11,14585	6,658139	4,448516
9,067974	6,687483	4,50976
7,33105	6,701715	4,485936
11,22197	6,838405	4,505792
10,00499	6,767113	4,514041
9,968207	6,745001	4,504244
9,917593	6,82622	4,533244
10,36429	6,847687	4,57821
6,106645	6,726233	4,592389
8,064816	6,736374	4,641309
9,76495	6,685986	4,677584
11,56032	6,812015	4,669084
10,22865	6,658011	4,693913
9,619185	6,731137	4,717069
9,767794	6,753555	4,694737
11,70614	6,93644	4,703204
8,777881	6,81564	4,729509
9,937458	6,805723	4,725882
7,293739	6,996224	4,703023
10,59104	7,032271	4,686658
12,66729	6,92844	4,676001
12,65035	6,898715	4,676281
9,052871	7,008053	4,701752
4,382021	7,034124	4,71151
11,71703	6,924416	4,712139
9,476027	7,114037	4,718856
10,33405	7,124478	4,73145
11,1566	7,113549	4,736988
11,7672	7,281661	4,761746

Таблица 1.8 Результаты переменной зависимости

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	2,70392	13,26605	0,203822	0,839869
Переменная X 1	1,044038	1,936061	0,539259	0,593688
Y-пересечение	3,953056	15,22128	0,259706	0,796865
Переменная X 1	1,274538	3,285978	0,387872	0,700849



В таблице 1.8 рассчитана t-статистика для каждого коэффициента .

Определяем статистическую значимость полученных коэффициентов . По таблице приложения 2 [1] находим табличное значение коэффициента Стьюдента для уровня значимости = 0,05 и числа степеней свободы v = n - 2 = 29. t_{/2; v} = t_{0,025; 29} = 2,364.

Сравнивая рассчитанную t-статистику с табличной, получаем, что ни один коэффициент не является статистически значимым. Это говорит о отсутствии в модели гетероскедастичности.

Результаты теста Парка, подтвердили результаты теста Уайта.

Построенное уравнение регрессии (1.1), хотя и адекватно экспериментальным данным (имеет высокий коэффициент детерминации и значимую F-статистику, все коэффициенты регрессии статистически значимы), не может быть использовано в практических целях, так как оно имеет следующие недостатки: присутствует автокорреляция остатков случайных отклонений, имеется мультиколлинеарность.

Перечисленные недостатки могут привести к ненадежности оценок, выводы по t- и F- статистикам, определяющим значимость коэффициентов регрессии и детерминации, возможно, неверны.

Задание 2.

Используя данные из задания 1, сформулируйте и проверьте гипотезу о наличии на исследуемом временном интервале точки разрыва (имеется сдвиг свободного члена или коэффициента наклона). В случае, если предварительный графический анализ не подтверждает наличия разрыва на временном интервале, примите, что точка разрыва находится посередине.

Решение.

На рисунке 2.1 представлен график зависимости величины валового внутреннего продукта от времени.

Предварительный графический анализ не подтверждает наличие разрыва на рассматриваемом временном интервале, предположим, что точка разрыва находится посередине рассматриваемого интервала.

Найдем зависимости валового внутреннего продукта от времени на каждом из двух интервалов времени, т. е. с 2000 года по 2003 год и с 2004 года по 2007 год. Так же найдем зависимость ВВП от времени на протяжении всего временного интервала.

Y1 - показатель ВВП с 2000 года по 2003 год; Y2 - показатель ВВП с 2004 года по 2007 год; Y - показатель ВВП с 2000 года по 2007 год. Найдем зависимости уравнения регрессии:

Y(t) = a + b•t, Y1(t) = a₁ + b₁(t); Y2(t) = a₂ + b₂(t),

Где t - показатель времени.

Результаты моделирования в Eviews представлены в таблицах 2.1- 2.3 соответственно.

Рисунок 2.1 Результаты моделирования в Eviews

Таблица 2.1 Характеристики уравнения Y(t).

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	7601822	7601822	158,3071	1,69E-13
Остаток	30	1440584	48019,47
Итого	31	9042406



Таблица 2.2 Характеристики уравнения Y1(t)

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	41066,33	41066,33	3,628866	0,077536
Остаток	14	158432	11316,57
Итого	15	199498,4

Таблица 2.3 Характеристики уравнения Y2(t).

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	1971859	1971859	57,11647	2,64E-06
Остаток	14	483328,5	34523,47
Итого	15	2455187

Проведем тест Чоу, для оценки структурной стабильности тенденции изучаемого временного ряда. Введем гипотезу Н₀: тенденция изучаемого ряда структурно стабильна. Остаточная сумма квадратов по кусочно-линейной модели:

Сокращение остаточной дисперсии при переходе от единого уравнения тренда к кусочно-линейной модели:

С^кл_ост = С¹_ост + С²_ост = 158432 + 483329 = 641761.

?С_ост = С_ост - С^кл_ост = 1440584 - 641761 = 798823.

Так как число параметров в уравнениях Y(t), Y1(t) и Y2(t) одинаково и равно k, то фактическое значение F - критерия находим по формуле:

(2.1)

F_факт = (798823/2)/(641761/(32 - 2•2)) = 17,426.

Критическое (табличное) значение критерия Фишера для доверительной вероятности = 0,95 и числа степеней свободы v₁ = k = 2 и v₂ = n - 2•k = 32 - 2•2 = 28: F_кр. = F_{0,05; 2; 28} = 3,34.

F_факт > F_табл - уравнения Y1(t) и Y2(t) описывают не одну и ту же тенденцию, а различия численных оценок их параметров а₁ и а₂, а так же b₁ и b₂ соответственно статистически значимы. Следовательно, можно утверждать, что в середине рассматриваемого временного интервала ряд имеет точку разрыва.

Задание 3.

Введите в эконометрическую модель, построенную в задании 1 сезонные фиктивные переменные и с помощью соответствующей модели исследуйте наличие или отсутствие сезонных колебаний.

Решение.

Так как в уравнении (1.1) задачи 1 переменные Х1 и Х2 является статистически значимыми, то для дальнейшего анализа воспользуемся моделью, полученную нами в задании 1:

Y = -1046,49 + 2,0334•X1 + 1828,83•X2 (3.1)

(t) (-2,311) (6,181) (3,265)

Рисунок 3.1 Значимость коэффициентов уравнения



Рисунок 3.2 Графики переменных

Рисунок 3.3 Графики переменных

Значимость коэффициентов уравнения (3.1) высокая. На рисунках 3.1 и 3.3 представлены графики переменных Y, Х1 и Х2 соответственно.

Визуальный анализ графиков переменных Y, Х1 и Х2 позволил выявить некую закономерность - повторения из года в год изменения показателей в определенные промежутки времени, т. е. сезонные колебания.

Обозначим фиктивные квартальные переменные: Qi_t = 1, если наблюдение t относится к i-му кварталу, Qi_t = 0 в противном случае (i = 1, 2, 3, 4). Фиктивную переменную Q4 не будем включать в уравнение регрессии, что бы избежать «ловушки».

Данные для экспорта в Eviews представлены в таблице 3.1.



Таблица 3.1 Данные для экспорта в Eviews

t	Y	X1	X2	Q1	Q2	Q3
2000q01	2228,7	685,1	90,96	1	0	0
2000q02	2361,4	786,6	88,19	0	1	0
2000q03	2464,7	911,5	86,98	0	0	1
2000q04	2364,6	779,1	85,5	0	0	0
2001q01	2154,2	802,3	90,9	1	0	0
2001q02	2192,5	813,8	88,76	0	1	0
2001q03	2233,1	933	90,54	0	0	1
2001q04	2240,9	868,8	91,29	0	0	0
2002q01	2188,7	849,8	90,4	1	0	0
2002q02	2387,2	921,7	93,06	0	1	0
2002q03	2470,5	941,7	97,34	0	0	1
2002q04	2433,8	834	98,73	0	0	0
2003q01	2506,4	842,5	103,68	1	0	0
2003q02	2416,7	801,1	107,51	0	1	0
2003q03	2427	908,7	106,6	0	0	1
2003q04	2369,7	779	109,28	0	0	0
2004q01	2580,4	838,1	111,84	1	0	0
2004q02	2564,4	857,1	109,37	0	1	0
2004q03	2715	1029,1	110,3	0	0	1
2004q04	2798,4	912	113,24	0	0	0
2005q01	2997	903	112,83	1	0	0
2005q02	3153,5	1092,5	110,28	0	1	0
2005q03	3440,1	1132,6	108,49	0	0	1
2005q04	3555,7	1020,9	107,34	0	0	0
2006q01	3490,7	991	107,37	1	0	0
2006q02	3123,3	1105,5	110,14	0	1	0
2006q03	3303,8	1134,7	111,22	0	0	1
2006q04	3406,6	1016,8	111,29	0	0	0
2007q01	3387,6	1229,1	112,04	1	0	0
2007q02	3729,4	1242	113,46	0	1	0
2007q03	3802,7	1228,5	114,09	0	0	1

Уравнение регрессии будем искать в виде:

Y = ₀ + ₁•X1+ ₂•X2 + ₁•Q1 + ₂•Q2 + ₃•Q3 (3.2)



Таблица3.2 Результаты моделирования данного уравнения в Eviews

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	-966,208	477,2275	-2,02463	0,05329
Переменная X 1	2,173794	0,360107	6,036523	2,24E-06
Переменная X 2	16,70785	5,894071	2,834688	0,008757
Переменная X 3	4,967329	126,3013	0,039329	0,968928
Переменная X 4	-77,5262	125,196	-0,61924	0,541148
Переменная X 5	-134,366	128,2955	-1,04732	0,304592

Получим следующее уравнение регрессии:

Y = -966,21 + 2,1738•X1 +16,7079•X2 + 4,9673•Q1 - 77,526 •Q2 - 134,37•Q3

(t) (-2,025) (6,037) (2,835) (0,039) (-0,619) (-1,047)

Табличное значение критерия Стьюдента, соответствующее доверительной вероятности = 0,95 и числу степеней свободы

v = n - m - 1 = 26;

t_кр. = t_0,025;26 = 2,3788.

Ни одна из квартальных переменных, входящих в уравнение (3.3) не является статистически значимой. Следовательно, можно отметить отсутствие влияния квартальных колебаний на рассматриваемые показатели.



Литература

1. Практикум по эконометрике. Под редакцией И. И. Елисеевой - М.: Финансы и статистика., 2007. - 343 с.

2. Эконометрика. Под редакцией И. И. Елисеевой - М.: Финансы и статистика., 2007. - 575 с.

3. Доугерти К. Введение в эконометрику. - М.: МГУ, 1999. - 402 с.

4. Орлов А.И. Эконометрика. - М.: Экзамен, 2002.

5. Валентинов В.А. Эконометрика. - М.: «Дашков и К^о», 2006.

6. Тихомиров Н.П., Дорохина Е.Ю. Эконометрика. - М.: Экзамен, 2003.

7. Крамер Н. Ш., Путко Б. А. Эконометрика. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005.

Размещено на Allbest.ru