Определение оптимальной стратегии рыночного поведения с использованием макроэкономических методов и моделей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство железнодорожного транспорта

Федерально государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

"Московский государственный университет путей сообщения" (МИИТ)

Институт Экономики и Финансов

Кафедра "Финансы и кредит"

Курсовая работа

По дисциплине "Макроэкономическое планирование и прогнозирование"

На тему "Определение оптимальной стратегии рыночного поведения с использованием макроэкономических методов и моделей"

Выполнил: Шевелкин И.А.

Преподаватель: доц. Коришева О.В.

Москва 2015

Содержание

Введение

1. Автоматизированное решение транспортной задачи линейного программирования

2. Особенности постановки и решения общей задачи линейного программирования

3. Возможности использования теории игр для принятия оптимальных экономических решений в условиях рынка

Список литературы

Введение

Планирование и прогнозирование являются одними из важнейших задач любого предприятия. Особенно актуальными эти аспекты делают нестабильность экономической жизни. Таким образом, объект курсовой работы - хозяйственная деятельность предприятий. Предмет - оптимизация деятельности предприятия.

В ходе курсовой работы, нам необходимо решить следующие задачи:

1) Рассмотреть основные способы математического моделирования экономических процессов

2) Научиться привлекать новые информационные технологии для решения оптимизации задач, в частности, модуль "Поиск решений" программного продукта "Microsoft Excel".

3) Научиться использовать математическую модель общей задачи линейного программирования, ее разновидность - транспортную задачу, а также методы теории вероятности и игровых способов принятия решения.

Курсовая работа состоит из трех логически связанных между собой разделов.

В первом разделе курсовой работы студенту предлагается максимизировать прибыль некоторого предприятия, для чего требуется сформулировать и решить общую задачу линейного программирования (ОЗЛП).

Второй раздел курсовой работы посвящён особенностям постановки и решения некоторой разновидности общей задачи линейного программирования, а именно, транспортной задаче (ТЗЛП).

В третьем разделе курсовой работы рассматриваются различные способы оптимизации портфеля заказов при реализации продукции всех филиалов предприятия через розничную торговую сеть с привлечением методов теории вероятности и игровых способов принятия решения.

1. Автоматизированное решение транспортной задачи линейного программирования

В разделе 1 курсовой работы требуется:

1.1. Определить количество закупаемого заданным филиалом фирмы сырья у каждого АО, (xj), максимизируя прибыль филиала.

1.2. С помощью полученных в результате реализации модели отчетов сделать рекомендации филиалу фирмы по расширению программы выпуска ассортимента продукции.

Сформулируем экономико-математическую модель общей задачи линейного программирования (ОЗЛП).

Как следует из задания, переменными задачи Xi j является количество сырья, закупаемого филиалом предприятия у каждого из семи акционерных обществ, поставляющих сырье разного типа и качества для производства всех видов продукции данного предприятия.

Составление экономико-математической модели общей задачи линейного программирования начинается с формулирования целевой функции F, для чего используются нормы прибыли Ci j, получаемой от переработки единицы каждого вида сырья, поставляемого семью акционерными обществами.

Таблица 10 Норма прибыли
№№	Акционерное Общество (переработчики)
вариантов	1	2	3	4	5	6	7
26	25	70	35	15	50	55	35

В соответствии с поставленной в задании задачей максимизации прибыли целевая функция должна стремиться к максимуму:

Приступим к составлению системы ограничений общей задачи линейного программирования.

Предприятие может выпускать до пяти вдов продукции, их конкретный набор определяется номером варианта курсовой работы.

В соответствии с вариантом выберем ограничение на максимальный объем выпуска каждого вида продукции, производимого филиалом предприятия.

Виды и максимальный объем выпуска продукции
№№	Вид продукции
вариантов	1	2	3	4	5
26	-	2,6	3,6	2,8	1,8

Вид продукции	Выход (из 1 тн сырья) готового продукта
Прод 2	0,2	0,2	0,15	0,1	0,1	0,2	0,1
Прод 3	0,1	0,15	0,1	0,25	0,1	0,15	0,1
Прод 4	0,1	0,15	0,2	0,1	0,15	0,2	0,1
Прод 5	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1

Сформулируем систему ограничений общей задачи линейного программирования:

Таблица для ввода условий задачи с введенными исходными данными и математическими формулами представлена ниже.

Ввод исходных данных должен происходить вследующие ячейки:

· В 5:Н 5 - коэффициенты при переменных в целевой функции (нормы прибыли),

· В 9:Н 12 - коэффициенты при переменных в ограничениях задачи (норма расхода сырья);

· К 9:К 12 - правые части ограничений задачи (максимальные объемы выпуска продукции),

· Y9:Y12- знаки ограничения задачи.

Остальные клетки таблицы должны быть пустыми

Мы сообщили компьютеру адреса ячеек таблиц Excel, в которых находятся переменные задачи, а так же коэффициенты целевой функции и системы ограничений.

Для реализации модели воспользуемся модулем "Поиск решения" в среде электронной таблицы "Excel".

В появившемся диалоговом окне модуля "Поиск решения" устанавливаем следующие параметры:

· Указываем адрес целевой ячейки

· Задаем направление целевой функции: "Максимальному значению",

· В поле "Изменяя ячейки" вводим адреса искомых переменных $В$3;$Н$3 (количество сырья)

· Выбор опции "Добавить" вызывает появление диалогового окна "Добавление ограничений", в котором последовательно задаются нижние или верхние границы для переменных задачи и ограничения по выпуску продукции.

В диалоговом окне "Добавление ограничения" вводим ограничения по выпуску продукции:

· В окне "Ссылки на ячейки" указываем адрес $I$9 - $I$12 (Расчетный объём продукции),

· В окне "Ограничения " выбираем знаки для ввода в ограничение " <= ";

· В правом окне указываем адрес нижней границы для $K$9 - $K$12 (Максимальный обьем продукции);

· "Добавить"

Далее выполняется команда ОК и на экране появляется основное окно модуля "Поиск решения"

Выбор в этом окне команды "Выполнить" инициирует автоматизированное решение ОЗЛП симплекс-методом, после чего на экране появится диалоговое окно "Результаты поиска решения"

Решение найдено, основные результаты решения будут показаны в поле таблицы.

В строке В 3:Н 3 окажутся значения искомых семи переменных, в клетке I6 - значение максимальной прибыли; в клетках I9:I12 - количество произведенной продукции различных типов

Постановка и решение ОЗЛП
Филиалы	A01	A02	A03	A04	A05	A06	A07
СЫРЬЕ	0	0	0	0	18	0	0	Прибыль целевая функция)
ограничение по сырью								900
Коэфф.	25	70	35	15	50	55	35
	Ограничения
Вид продукции	Выход (из 1 тн сырья) готового продукта	Расчетный объем родукции	Знак	Макс. объем продукции
Прод 2	0,2	0,2	0,15	0,1	0,1	0,2	0,1	1,8		1,8
Прод 3	0,1	0,15	0,1	0,25	0,1	0,15	0,1	1,8		2,3
Прод 4	0,1	0,15	0,2	0,1	0,15	0,2	0,1	2,7		3,1
Прод 5	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	1,8		2,7

Таким образом, для варианта, представленного в таблице

АО 1=0 АО 2=0 АО 3=0

АО 4=0 АО 5= 18 АО 6= 0 АО 7=0

Следовательно, филиалу предприятия выгодно закупать сырьё только у акционерных обществ АО 5в количестве 18 тонн. При этом максимум прибыли предприятия составит 900 тыс. рублей и будут произведены следующие объемы продукции: предприятие 1 - 1,8 т, предприятие 2 - 2,3 т, предприятие 3 - 3,1 т, предприятие - 2,7т.

Экономический анализ полученного оптимального решения производится с помощью отчетов по результатам, устойчивости и пределам, вызываемым через диалоговое окно "Результаты поиска решения".

Отчет по результатам состоит из трех таблиц:

В первой таблице приводится исходное и окончательное (оптимальное) значение целевой ячейки, в которую мы поместили целевую функцию решаемой задачи.

Во второй таблице мы видим исходные и окончательные значения оптимизируемых переменных, содержащихся в изменяемых ячейках.

Последняя таблица в данном отчете содержит информацию об ограничениях. В столбце "Значение" помещены оптимальные значения потребных ресурсов и оптимизируемых переменных. Столбец "Формула " содержит ограничения на потребляемые ресурсы и оптимизируемые переменные, записанные в форме ссылок на ячейки, содержащие эти данные. Столбец "Состояние" определяет связанными или несвязанными являются те или другие ограничения.

Проанализируем данную таблицу:

Продукция 2 произведена полностью. Произведено 1,8 соответственно.

Продукция 3,4 и 5 произведены не полностью. Не-дефицитные ресурсы.

Не произведенными остаются 1,8; 2,7; 1,8 тонны соответственно.

Из этого следует, что запас недефицитных ресурсов можно уменьшить на 0,5 ;0,4 и 0,9 тонны и это никак не повлияет на оптимальное решение

На основании отчета о результатах можно сделать вывод, что существуют причины, не позволяющие предприятию выпускать большее количество продукции и получать большую прибыль. Проанализировать эти причины позволяет отчет об устойчивости.

В графе "Формула" указаны зависимости, которые были введены в диалоговом окне "Поиск решения", в графе "Значения" приведены величины объемов отдельных видов продукции и значения искомых "переменных задачи". В графе "Допуск" показано количество не произведенной продукции. Если объем производства продукции данного типа равен максимально возможному, то в графе "Состояние" указывается привязка, при неполном производстве продукции в графе "Состояние" указывается "Без привязки", а в графе "Допуск" - остаток. Для граничных условий приводятся аналогичные величины.

Отчет по устойчивости содержит информацию о том, насколько целевая ячейка чувствительна к изменениям ограничений и переменных.

В разделе ячейки переменных графа "Приведенная стоимость" содержит значения дополнительных двойственных переменных, показывающих, как изменится целевая функция при принудительной закупке единицы сырья у данного акционерного общества.

Графа "Целевая функция Коэффициент" показывает степень зависимости между изменяемой и целевой ячейками, те коэффициенты целевой функции программирование экономический математический

Графы "Допустимое увеличение" и "Допустимое уменьшение" показывают предельные значения приращения коэффициентов в целевой функции Сi,, при которых сохраняется оптимальное решение.

Для ограничений в графе "Тень Цена" приведены двойственные оценки Z,, которые показывают, как изменится целевая функция при изменении объема выпуска продукции на единицу.

В графах "Допустимое увеличение" и "Допустимое уменьшение" показаны размеры приращений объемов выпуска продукции bi, при которых сохраняется оптимальный набор переменных, входящих в оптимальное решение

Отчет по пределам показывает, в каких пределах может измениться объем закупаемого сырья, вошедшего в оптимальное решение, при сохранении структуры оптимального решения.

В отчете указаны значения Xj в оптимальном решении и нижние пределы изменений значений Xj. Кроме этого, в отчете указаны значения целевой функции пи закупке данного типа сырья на нижнем пределе, а также верхние пределы изменений Xj и значения целевой функции при закупке сырья, вошедшего в оптимальное решение, на верхних пределах.

Как видим, нижний предел у всех АО равен 0т, хотя результат целевой функции не у всех одинаковый. А верхний предел у АО 1,АО 3,АО 4,АО 6,A07равен 0, а у АО 5 верхний предел равен 18 т., а результат целевой функции одинаковый.

2. Особенности постановки и решения общей задачи линейного программирования

Второй раздел курсовой работы посвящён особенностям постановки и решения общей задачи линейного программирования, а именно, транспортной задаче (ТЗЛП). Постановка и модель ТЗЛП представлена ниже:

Пусть имеется 7 пунктов отправления (A1, A2, А 3, А 4, А 5, А 6, А 7), в которых сосредоточены запасы некоторых однородных грузов (товаров) в количестве a1,a2,а 3, а 4, а 5, а 6, а 7.

Имеется 5 пунктов назначения (B1,B2, В 3, В 4, В 5) имеющих заявки на b1,b2,b3, b4, b5 единиц грузов.

Предполагается, что сумма всех заявок равна сумме всех запасов:

Известна стоимость (Cij) перевозки единицы товара от каждого пункта отправления Ai до каждого пункта назначения Bj:

	1,2	2,3	3,1	1,6	2,7		Сij
	3,1	1,1	4,2	3,8	1,6
	0,8	3,1	1,5	2,1	4,5				Удельные затраты
	4,0	2,9	3,7	4,3	2,8
	3,1	4,0	3,6	5,2	2,6
	3,4	2,8	4,1	3,0	3,7
	4,8	5,6	6,7	4,2	5,8

Потребности филиалов в сырье
№№	Номер филиала
вариантов	1	2	3	4	5
26	16,2	18,4	16,4	28	17

Объемы предложения сырья у АО, Aj в тн

AO (j)
	j=1	j=2	j=3	j=4	j=5	j=6	j=7
Aj	7	4	11	16	8	5	45

Условия при решении данной задачи:

1) Суммарное количество грузов должно быть равно запасу:

2) Суммарное количество груза должно быть равно заявке:

3) суммарная стоимость всех перевозок должна быть минимальна:

4) Искомые переменные должны быть неотрицательными: Хij0

Вот так выглядит таблица матриц и дополнительных полей для ввода исходных данных с необходимыми формулами с помощью модуля Поиск решения.

Клеткам матрицы изменяемых ячеек присваиваются нулевые значения, данные для заполнения матрицы удельных затрат берутся из таблицы.

В поля С 2:G9 и А 3:А 9 заносятся граничные значения объёмов спроса и предложения, взятые из условий задачи.

В ячейке I3:I9 с помощью встроенной функции СУММ ($C3:$G3) заносятся формулы для определения суммы по строкам матрицы изменяемых ячеек (объёмы предложения);

В ячейки С 12:G2 аналогичным способом заносятся формулы для вычисления сумм по столбцам матрицы изменяемых ячеек (объёмов спроса).

В ячейку целевой функции С 26 с помощью функции СУММПРОИЗВ заносится формула для вычисления целевой функции СУММПРОИЗВ (С 3:G3; C14:G20)

Далее вызывается модуль "Поиск решения", в диалоговом окне которого задается адрес целевой ячейки, диапазон изменяемых ячеек и все виды ограничений в соответствии с моделью ТЗЛП.

При определении параметров поиска решения следует помнить, что оптимизация проводится по линейной модели с минимизацией значения целевой функции.

Задав все необходимые условия в окне "Поиска решения", можем сформировать транспортную задачу:

Проанализируем полученные результаты:

1) Объем предложения первого АО равен 7т. Все свои запасы сырья данное АО отвезет в филиал фирмы 1.

2) Объем предложения второго АО равен 4т. Данное АО также полностью все свое сырье отвезет в филиал фирмы 2.

3) Объем предложения третьего АО равен 11т. Это АО все свои запасы отвезет в филиал фирмы 3.

4) Объем предложения четвертого АО равен 16 т. Это АО повезет свои запасы в 2 филиала (2, 3)в размере 1,6 и 5,4 т, соответственно.

5) Объем предложения пятого АО равен 8т. Данное АО отвезет весь свой запас сырья в филиал 5.

6) Объем предложения шестого АО равен 5т. Все свои запасы АО отвезет в филиал фирмы 2.

7) Объем предложения седьмого АО равен 45т.. Свои запасы это АО отвезет трем филиалам (1,2,4) в размере 9,2т., 7,8т. и 28т. соответственно.

8) Проанализировав все поставки в каждый можно сделать вывод, что все филиалы фирм получат необходимое им количество продукции.

9) Размер необходимой продукции для филиала фирмы 1-ого равен 16,2т., для 2-ого -18,4т., для 3-его -16,4т., 4-ого - 28т., для 5-ого -17т.

10) Минимальная стоимость перевозки равна 319,4тыс.р.

Рассмотрим отчет о результатах:

Все АО вывезли свои товары полностью, так же все фирмы получили необходимые ресурсы полностью. Дефицитные ресурсы.

Отчет об устойчивости:



Отчет о пределах:



3. Возможности использования теории игр для принятия оптимальных экономических решений в условиях рынка

Комментарии к третьему разделу курсовой работы

В третьем разделе курсовой работы студенту предлагается определить оптимальную стратегию заказа в условиях риска, опираясь на методы теории вероятности и игровые способы принятия решений. Условия формирования портфеля заказов и относительная частота дневного спроса на товар приведены в приложении (таблица 6).

№№	Покупка на складе	Продажа на рынке	Возврат на склад
вариантов	тыс.руб/единица	тыс.руб/единица	тыс.руб/единица
26	21,5	34	16,5

Образец платежной матрицы

Стратегия заказа	Спрос
	1	2	3	4	5	6
1	21,5	21,5	21,5	21,5	21,5	21,5
2	7,5	25	25	25	25	25
3	2,5	20	37,5	37,5	37,5	37,5
4	-2,5	15	32,5	50	50	50
5	-7,5	10	27,5	45	62,5	62,5
6	-12,5	5	22,5	40	57,5	75

Расходы продавца - 21,5*3 = 64,5

Выручка от спроса - 34*3 = 102

Итого доход: 102-64,5=37,5

Если закупка продавца оказывается меньше спроса, он упускает прибыль из-за неправильно выбранной стратегии.

Расходы продавца - 21,5*2 = 43

Выручка от продаж - 34*2 = 68

Итого доход: 68-43=25

Если закупка продавца превышает дневной спрос, то, по условию задачи, он должен сдать часть нереализованного товара обратно на склад за меньшую цену, доход продавца сокращается, а при значительной ошибке в выборе стратегии даже может привести к убыткам.

Предположим, при спросе 1 партии товара продавец приобрел 6 партий:

Расходы продавца - 21,5*6 = 129

Выручка от продаж - 34*1 = 34

При этом у продавца осталось 5 нереализованных партий товара, которые он сдает на склад;

Выручка от сдачи 5 партий на склад:

16,5*5 = 82,5

Итого доход:

(34+82,5)-129 = -12,5, т.е. продавец несет потери.

Далее следует рассчитать матрицу потерь, которая формируется на основе платежной матрицы и показывает те потери, которые несет продавец, если формирует портфель заказов, отступая от оптимальной стратегии.

Таблица 3.4

Матрица потерь

Стратегия запаса	Спрос
	1	2	3	4	5	6
1	0	3,5	16	28,5	41	53,5
2	14	0	12,5	25	37,5	50
3	19	5	0	12,5	25	37,5
4	24	10	5	0	12,5	25
5	29	15	10	5	0	12,5
6	34	20	15	10	5	0

Допустим, спрос составил 4, а предложение (заказ) 3.

При оптимальной стратегии при спросе 4 доход должен составить 41 тысяч рублей. Однако при данном предложении в 3 единицы составил 28,5 тысяч рублей.

41-28,5=12,5 тысяч рублей составила упущенная прибыль продавца.

Данные рассчитанной матрицы потерь, а также сведения о вероятности дневного спроса на продукцию по вариантам задания (таблица 3.1) используются далее для вычисления вмененных издержек от занижения заказа (верхний "Треугольник" матрицы потерь) - таблица 3.4., вмененных издержек от завышения заказа (нижний "треугольник" матрицы потерь) - таблица 3.5., а также суммарных ожидаемых вмененных издержек - таблица 3.6.

Расчет ожидаемых вмененных издержек от занижения заказа приведен в таблице 3.5.

Матрица потерь от занижения заказов	Вектор столбца вероятности спроса	Ожидаемые вмененные издержки
0	3,5	16	28,5	41	53,5	0,1	22,525
0	0	12,5	25	37,5	50	0,3	19,375
0	0	0	12,5	25	37,5	0,2	11,875
0	0	0	0	12,5	25	0,05	6,875
0	0	0	0	0	12,5	0,15	2,5
0	0	0	0	0	0	0,2	0

Расчет ожидаемых вмененных издержек от завышения заказа приведен в таблице 3.6.

Таблица 3.6

Расчет суммарных издержек и определение оптимальной стратегии заказа приведен в таблице 3.7.

Таблица 3.7

Стратегия заказа	От занижения	От завышения	Суммарные
1	22,525	0	??????
2	19,375	1,4	??????
3	11,875	3,4	??????
4	6,875	6,4	??????
5	2,5	9,65	?????
6	0	13,65	?????
Минимальное значение	12,15

Рисунок 3. График вмененных издержек

Оптимальная стратегия заказа - 4.

Планирование и прогнозирование в условиях неопределенности производится с применением специальных критериев теории игр, расчет которых показан в таблице 3.8

Таблица 3.8

Расчет максимального, гарантированного и упущенного доходов

Стратегия заказа	Критерии
	MAXIMAX	MAXIMIN	MINIMAX
1	21,5	21,5	53,5
2	25	7,5	50
3	37,5	2,5	37,5
4	50	-2,5	25
5	62,5	-7,5	12,5
6	75	-12,5	34
ДОХОД
	Максимальный	Гарантированный	Упущенный
	75	21,5	12,5

Критерий MAXIMAX используется азартным продавцом, если он настроен на максимальный выигрыш. Для определения этого критерия из каждой строки платежной матрицы выбирается максимальное значение, а затем из них находится наибольшее - это максимальный доход.

Критерий MAXIMIN используется "осторожным продавцом", который желает получить свой гарантированный доход - это максимизация минимума доходов. Для определения MAXIMINа из каждой строки платежной матрицы выбирается минимальное значение, из которых затем находится наибольшее.

Если продавец несет потери, и речь идет не о доходе, а хотя бы о минимизации убытков, выбирается критерий MINIMAX - это минимизация максимальных потерь.

Для определения MINIMAXа из каждой строки матрицы потерь выбираются максимальные значения, а затем из них - наименьшее - это упущенный доход.

Таблица 3.9

Maximax	Maximin	Maximax (60%)	Maximin (40%)	Сумма
21,5	21,5	12,9	8,6	????
25	7,5	15	3	??
37,5	2,5	22,5	1	????
50	-2,5	30	-1	??
62,5	-7,5	37,5	-3	????
75	-12,5	45	-5	??
Максимальное значение	40

Первый и второй столбцы таблицы 3.9 представляют собой данные для расчета критериев Maximax и Maximin, которые берутся из платежной матрицы и уже были применены в таблице 3.8. Далее исследователь сам выбирает, в какой мере он является игроком "азартным" и в какой - "осторожным". Выбор производится в процентах и определяет ту долю от критериев maximax и maximin, которая войдет в обобщенный минимаксальный критерий Гурвица.

Например, мы считаем себя на 50% - "азартным" и на 50% - "осторожным". В этом случае все значения из первого столбца таблицы 3.9 умножается на 0,5 и записывают в 3 столбец.

Данные из 2 столбца (критерий maximin) умножается на 0,5 и записывается в 4 столбце таблицы 3.9. В 5 столбце суммируются значения 3 и 4 столбца, из них находится максимальное значение - соответствующая ему стратегия и считается оптимальной по обобщенному минимаксному критерия Гурвица.

Заключение

Итак, в первых двух разделах курсовой работы мы использовали модуль Excel "Поиск решении" для решения задачи общего линейного программирования (1 раздел) и транспортной задачи линейного программирования (2 раздела). С помощью "Поиска решения" мы вывели отчеты и проанализировали их. В первом разделе главным результатом анализа стало выявления сырья, закупка которого дает нам наибольший вклад в прибыль. Во втором разделе основным результатом анализа стало выявление филиалов, которым мы можем поставить (у которых мы можем купить) дополнительные единицы продукции. Таким образом, с помощью модуля "Поиск решения" мы не только нашли оптимальное решение, но и смогли проанализировать, как и в каких пределах оно может изменяться

В 3 разделе мы использовали методы теории игр для принятия экономических решений в условиях рынка. Сначала мы рассчитали платежную матрицу и матрицу потерь, на основании которых уже нашли издержки от завышения и занижения заказов и определили оптимальную стратегию заказа. Затем рассчитали максимальный, гарантированный и упущенный доходы. Полагая, что мы являемся на 50% осторожным игроком и на 50% азартным, нашли оптимальную стратегию заказа по обобщенному минимаксному критерию Гурвица.

Список литературы

1. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем: учеб. пособие. М.: Финансы и статистика, 2006. - 432 с.

2. Гармаш А.Н., Орлова И.В., Федосеев В.В., Половников В.А. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебное пособие для вузов -2-е изд. Переработанное и дополненное. Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по экономическим специальностям. Рекомендовано Учебно-методическим центром "Профессиональный учебник" в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по экономическим специальностям М.: ЮНИТИ-ДАНА.-2005

3. Дрогоыцкий И.Н. Экономико-математическое моделирование. Учебник для студентов ВУЗов. М..: Экзамен, 2006. - 832 с.

4. Мезенцев Ю.А. Экономико-математические методы. Новосибирск.: Изд-во НГТУ, 2004. - 212 с.

5. Стариков, А.В. Экономико-математическое и компьютерное моделирование: учеб. пособие / А.В. Стариков, И.С. Кущева; Фед. агентство по образованию, ГОУ ВПО "ВГЛТА". - Воронеж, 2008. 132 с.

Размещено на Allbest.ru