Методы линейного программирования

Размещено на http://www.allbest.ru/

3

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ

ФГБОУ ВПО «АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра: Почвоведения и агрохимии

Контрольная работа

По дисциплине: Экономико-математические методы и моделирование в землеустройстве

Выполнил(а)Ковтун А.В.

5 курс заочного отделения

Барнаул 2014



Содержание

1. Охарактеризовать виды моделей

2. Система информационного обеспечения моделирования. Требование к ней

3. Порядок составления базисного плана при решении задач симплексным методом

4. Параметрическое линейное программирование

Список литературы

линейный программирование симплексный моделирование



1. Охарактеризовать виды моделей

Модель -- это некий новый объект, который отражает существенные особенности изучаемого объекта, явления или процесса. Один и тот же объект может иметь множество моделей, а разные объекты могут описываться одной моделью.

Никакая модель не может заменить сам объект. Но при решении конкретной задачи, когда нас интересуют определенные свойства изучаемого объекта, модель оказывается полезным, а подчас и единственным инструментом исследования.

Наиболее известные три типа моделей: геометрические, физические, математические.

Они передают внешние признаки объекта: размеры, форму, цвет. Геометрические модели представляют собой некоторые объекты, геометрически подобные своему прототипу (оригиналу). Они служат, в основном, для учебных и демонстрационных целей, используются при проектировании сооружений, конструировании различных устройств и изделий. моделирования.

Физические модели отражают подобие между оригиналом и моделью не только с точки зрения их формы и геометрических соотношений, но и с точки зрения происходящих в них основных процессов.

Математической моделью реальной системы считают совокупность соотношений (формул, уравнений, неравенств, логических условий, операторов и т.д.), определяющих характеристики состояний системы в зависимости от ее параметров, входных сигналов, начальных условий и времени.

Модели по их назначению бывают познавательными, прагматическими и инструментальными.

Познавательная модель -- форма организации и представления знаний, средство соединения новых и старых знаний. Познавательная модель, как правило, подгоняется под реальность и является теоретической моделью.

Прагматическая модель -- средство организации практических действий, рабочего представления целей системы для ее управления. Реальность подгоняется под некоторую прагматическую модель. Это, как правило, прикладная модель.

Инструментальная модель -- средство построения, исследования и/или использования прагматических и/или познавательных моделей. Познавательные модели отражают существующие, а прагматические -- хоть и не существующие, но желаемые и, возможно, исполнимые отношения и связи.

По уровню моделирования модели бывают эмпирическими, теоретическими и смешанными.

Эмпирическая -- на основе эмпирических фактов, зависимостей;

Теоретическая -- на основе математических описаний;

Смешанная или полуэмпирическая -- использующая эмпирические зависимости и математические описания.

Проблема моделирования состоит из трех задач:

построения модели (эта задача менее формализуема и конструктивна, в том смысле, что нет алгоритма для построения моделей);

исследования модели (эта задача более формализуема, имеются методы исследования различных классов моделей);

использования модели (конструктивная и конкретизируемая задача).

Моделирование

-- это универсальный метод получения, описания и использования знаний. Оно используется в любой профессиональной деятельности.

В современной науке и технологии математическое моделирование усиливается, актуализируется проблемами, успехами других наук. Математическое моделирование реальных и нелинейных систем живой и неживой природы позволяет перекидывать мостики между нашими знаниями и реальными системами, процессами, в том числе и мыслительными.

Моделирование- процесс построения, изучения и применения моделей.

Т.е. можно сказать, что моделировaние

- это изучение объектa путем построения и исследования его модели, осуществляемое с определенной целью и состоит в зaмене экспериментa с оригинaлом экспериментом нa модели.

Приведем наиболее важные типы моделей (моделирования) с краткими определениями, примерами.

Модель называется статической, если среди параметров, участвующих в описании модели, нет временного параметра. Статическая модель в каждый момент времени дает лишь «фотографию» системы, ее срез.

Модель динамическая, если среди параметров модели есть временной параметр, т. е. она отображает систему (процессы в системе) во времени.

Модель дискретная, если она описывает поведение системы только в дискретные моменты времени.

Модель непрерывная, если она описывает поведение системы для всех моментов времени из некоторого промежутка.

Модель имитационная, если она предназначена для испытания или изучения, проигрывания возможных путей развития и поведения объекта путем варьирования некоторых или всех параметров модели.

Модель детерминированная, если каждому входному набору параметров соответствует вполне определенный и однозначно определяемый набор выходных параметров; в противном случае модель недетерминированная, стохастическая (вероятностная).

Модель теоретико-множественная, если представима с помощью некоторых множеств и отношений принадлежности им и между ними.

Модель логическая, если она представима предикатами, логическими функциями.

Модель игровая, если она описывает, реализует некоторую игровую ситуацию Между участниками игры (лицами, коалициями).

Модель алгоритмическая, если она описана некоторым алгоритмом или комплексом алгоритмов, определяющим ее функционирование, развитие. Модели могут быть исследованы или реализованы алгоритмически.

Модель языковая, лингвистическая, если она представлена некоторым лингвистическим объектом, формализованной языковой системой или структурой. Иногда такие модели называют вербальными, синтаксическими и т. п.

Модель визуальная, если она позволяет визуализировать отношения и связи моделируемой системы, особенно в динамике.

Модель натурная, если она есть материальная копия объекта моделирования.

Модель геометрическая, графическая, если она представима геометрическими образами и объектами.

Тип модели зависит от информационной сущности моделируемой системы, от связей и отношений ее подсистем и элементов, а не от ее физической природы.

Границы между моделями различных типов или же отнесение модели к тому или иному типу часто весьма условны. Можно говорить о различных режимах использования моделей -- имитационном, стохастическом и т. д.

Все основные типы моделей, возможно, за исключением некоторых натурных--системно-информационные (инфосистемные) и информационно-логические (инфологические). В узком понимании информационная модель --это модель, описывающая, изучающая, актуализирующая информационные связи и отношения в исследуемой системе. В еще более узком понимании информационная модель -- это модель, основанная на данных, структурах данных, их информационно-логическом представлении и обработке. Как широкое, так и узкое понимание информационной модели необходимы, определяются решаемой проблемой и доступными для ее решения ресурсами, в первую очередь информационно-логическими.

Основные свойства любой модели:

конечность -- модель отображает оригинал лишь в конечном числе его отношений и, кроме того, ресурсы моделирования конечны;

упрощенность -- модель отображает только существенные стороны объекта и, кроме того, должна быть проста для исследования или воспроизведения;

приблизительность -- действительность отображается моделью грубо, или приблизительно;

адекватность моделируемой системе -- модель должна успешно описывать моделируемую систему;

наглядность, обозримость основных свойств и отношений;

доступность и технологичность для исследования или воспроизведения;

информативность -- модель должна содержать достаточную информацию о системе (в рамках гипотез, принятых при построении модели) и давать возможность получить новую информацию;

сохранение информации, содержавшейся в оригинале (с точностью рассматриваемых при построении модели гипотез);

полнота -- в модели должны быть учтены все основные связи и отношения, необходимые для обеспечения цели моделирования;

устойчивость -- модель должна описывать и обеспечивать устойчивое поведение системы, если даже та вначале является неустойчивой;

замкнутость -- модель учитывает и отображает замкнутую систему необходимых основных гипотез, связей и отношений.

2. Система информационного обеспечения моделирования. Требование к ней

Информация - это все данные, являющиеся объектом сбора, хранения, обработки, передачи и преобразования. Землеустроительная информация - это особый вид данных (сведений), которые характеризуют сущность землеустроительного процесса и используются для решения проблемных задач землеустройства.

Информационное обеспечение задач моделирования:

Получение исходной информации осуществляется на основании детального изучения объекта проектирования.

Обработка информации, ее анализ и оценка производится в камеральных и полевых условиях. Информация приводится к виду, пригодному для использования ее в расчетах в автоматизированном режиме.

Подготовка информации для решения задач; сбор нормативно-справочной и оперативной информации, характеризующей современное состояние и перспективы развития предприятия, фирмы и т.д.

Реализация (переработка) информации производится с использованием ЭВМ, экономико-математических методов и моделей и завершается разработкой выходных документов, анализ которых позволяет принимать управленческие решения.

Требования, предъявляемые к информации

Информация должна быть:

Достоверной.

Своевременной.

Полной.

Существенной

Информация должна быть представлена в виде, пригодном для дальнейшего использования.

Процесс преобразования информации графически может быть представлен следующим образом:

Существуют следующие виды и источники информации:

Отчетная

Нормативная

Планово-проектировочная

Научная

Корректирующая

Отчетная информация - отражает обеспеченность объектов исследования земельными и производственными ресурсами и отражают результаты их хозяйственной деятельности.

Источниками отчетной информации являются:

сведения государственного земельного кадастра;

сведения единого государственного реестра земель;

Книга регистрации землепользования (землевладения);

Годовые отчеты;

Материалы инвентаризации земель;

Материалы бухгалтерского и экономического учета и отчетности.

Основными методами получения отчетной информации и ее обработки являются статистические методы.

Нормативная информация - данные, содержащиеся в научно-технических и технологических документах.

Нормативная информация используется непосредственно для составления основной матрицы экономико-математической задачи и вычисления технико-экономических коэффициентов.

Источники нормативной информации:

Различного рода нормативные справочники.

Технологические карты.

Материалы полевых и хронометражных наблюдений.

Материалы различных экспериментов.

Планово-проектировочная информация - носит директивный характер и обязательна для учета при решении задач.

Источники планово-проектировочной информации:

Планы социального и экономического развития.

Задание на проектирование.

ТЭО - технико-экономическое обоснование.

ТЭР - технико-экономические расчеты.

Данные схем землеустройства, схем районных планировок, материалов землеустроительных обследований и т. д.

Материалы проектов межхозяйственного и внутрихозяйственного землеустройства.

Материалы рабочего проектирования.

Научная информация - данные научных исследований.

Источники научной информации:

Монографии.

Рекомендации.

Указания.

Научные отчеты, доклады.

Данные конференций.

Корректирующая информация представляет собой новые сведения, получаемые при реализации экономико-математической модели, корректировки результатов решения, а также в ходе осуществления проектов землеустройства и авторского надзора. Наличие корректирующей информации требует внесения изменений либо во входные данные модели, либо в ее конечные результаты. Корректирующая информация может оказать существенное влияние на структуру модели и повлечь за собой изменения.

3. Порядок составления базисного плана при решении задач симплексным методом

Экономико-математические методы и моделирование в землеустройстве позволяют решать большой круг задач, связанных с оптимизацией территориальной организации с/х производства с учетом агроэкологических свойств земли, установлением рациональных размеров и структуры землевладений и землепользований, оптимизацией трансформации и улучшения угодий, размещением севооборотов, повышения плодородия почв, проектированием системы противоэрозионных мероприятий.

Экономико-математическая модель разрабатывается в несколько этапов.

Первый этап - постановка задачи, которую предлагается решить экономико-математическими методами. При постановке задачи следует обосновать круг моделируемых процессов. Затем на этой основе устанавливается группа переменных и ограничений.

Переменные делятся на основные и вспомогательные.

Основные переменные - это размеры площадей с/х культур, многолетних насаждений, естественных кормовых угодий, а также поголовье скота.

Вспомогательными являются переменные, характеризующие формирование оптимальных рационов кормления, размеры капиталовложений по отраслям и дополнительную потребность в производственных ресурсах.

В растениеводстве переменные величины означают размеры посевных площадей с/х культур. Каждая из них рассматривается как отдельная отрасль, которая характеризуется не только урожайностью и затратами, но и способами использования конечной продукции на товарные и фуражные цели.

Переменные отражают также площади естественных кормовых угодий, возможные площади трансформации и улучшения угодий, размеры закладки многолетних насаждений, коренного и поверхностного улучшения сенокосов и пастбищ, структуру использования площади пашни.

В животноводстве переменные величины характеризуют его отрасли, размеры поголовья скота, отличающиеся различной структурой или возрастными группами.

Вспомогательные переменные, выражающие пополнение производственных ресурсов, делятся по видам ресурсов:

покупка недостающих кормов;

приобретение минеральных удобрений;

приобретение с/х техники;

привлечение дополнительной рабочей силы в определенные периоды полевых работ;

распределение и определение потребности капиталовложений.

Второй этап разработки экономико-математической модели состоит в выделении видов деятельности, по которым в результате решения экономико-математической задачи должны быть получены численные положительные значения; устанавливаются требования и условия, которые являются ограничивающими при решении конкретной задачи; определяется целевая установка, характеризующая конкретный результат, который должен быть достигнут при решении поставленной проблемы.

Целевая установка определяет выбор показателя оценки развития производства - критерия оптимизации для каждой конкретной экономико-математической задачи.

При математическом моделировании получили распространение следующие показатели критерия оптимизации:

максимум производства валовой продукции в денежном выражении;

максимум валового дохода, представляющего разницу между валовой продукцией и суммой материальных затрат на ее производство;

максимум чистого дохода, измеряемого разницей между стоимостью валовой продукции и суммой издержек производства;

максимум прибыли, измеряемой разницей между суммой денежных поступлений от реализации продукции и ее полной себестоимостью;

минимум производственных затрат на заданный план производства продукции.

Конкретный перечень переменных устанавливается исходя из постановки задачи. Он может охватывать все отрасли производства, которые возможны в данном предприятии, или более конкретным, включающим переменные только по одному признаку: растениеводство или животноводство, все культуры и угодья или только кормовые, а также объёмы производства всех или отдельных видов с/х продукции.

Для обозначения переменных наиболее часто используют символ x с индексами, в ряде случаев обозначающих принадлежность к одному или нескольким условиям.

Константами являются известные величины, не изменяющиеся при заданной постановке задачи. Они выражают объёмы имеющихся ресурсов, объёмы производства продукции, капиталовложений, трансформации угодий.

Коэффициенты представляют информацию по решаемой задаче. Различают:

Нормативные коэффициенты, связанные с технико-экономической характеристикой.

Коэффициенты пропорциональности - вводятся в матрицу по дополнительным и вспомогательным условиям, которые оговаривают уровень развития одной отрасли в связи с уровнем развития другой и др.

Коэффициенты целевой функции - определяют целевую направленность в решении экономической задачи.

Технологические коэффициенты - могут обозначаться любой строчной буквой с индексами, выражающими нормативные показатели, относящиеся к определённой переменной и определённому ресурсу.

Сумма произведений коэффициентов целевой функции на значения переменных количественно характеризует критерий оптимизации, величину целевой функции. Искомая величина целевой функции обозначается буквами С, F, L, Z, коэффициенты целевой функции - прописной буквой с.

После установления перечня переменных определяют состав ограничений, представляющих запись условий, в которых действительны расчеты, использующие эту модель.

Ограничения подразделяют на два основных вида:

ограничения по наличию ресурсов;

ограничения по потреблению ресурсов.

Математическая запись условия задачи. В проектах землеустройства многие экономические процессы являются однотипными, поэтому они могут описываться одинаковыми моделями. Базовая модель задачи линейного программирования, решаемая симплексным методом, формируется следующим образом: требуется найти максимум (или минимум) целевой функции n переменных f(x1, x2,… xn)

Z = f (x1, x2, …, xn ) ® max (min)

Z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn = Snj=1 cj xj ® max (min)

при ограничениях, которые могут быть представлены в виде системы неравенств или уравнений, записываемых в общем виде.

Построение ограничений по земельным ресурсам. Земля является главным средством производства. Состав и соотношение угодий, их качественное состояние оказывают влияние на специализацию с/х предприятий, размер отраслей производства, формирование производственных подразделений, установление типов кормопроизводства и севооборотов.

Ограничение по земельным ресурсам можно разбить на две подгруппы.

В первую подгруппу входят ограничения, связанные с использованием пашни, естественных сенокосов и пастбищ, многолетних насаждений.

При наличии в хозяйстве угодий, отличающихся по качеству, их следует представить самостоятельными ограничениями. Так, при наличии орошаемой и неорошаемой пашни вводятся два самостоятельных ограничения: по использованию орошаемой пашни и по использованию неорошаемой пашни. Если в состав естественных кормовых угодий входят улучшенные и неулучшенные, культурные, орошаемые, также необходимо ввести самостоятельные ограничения.

В проекте при определении состава угодий необходимо определить размер трансформации угодий. В таком случае в общее построение ограничений вводятся переменные, означающие размер трансформации угодий.

Математическая запись этой группы ограничений в виде символов может быть представлена в следующем виде (в структурной модели типовой задачи):

Snj=1 xj Ј bi + xik, Sj xj Ј bk - xki ,

где xj -площади искомых с/х культур

bik - площади с/х угодий i-го вида

xi - площадь k- го вида угодий, подлежащая трансформации в i - ый вид.

Во вторую группу ограничений по земельным ресурсам входят ограничения по структуре использованию пашни. Здесь необходимо учесть агробиологические и агротехнические требования к возделываемым культурам, их чередованию в схемах севооборотов. Для этого по основным культурам необходимо учесть удельный вес их к общей площади посевов, по ряду культур необходимо соблюдение определенных пропорций. Условия, учитывающие требования севооборотов, могут быть выражены различными способами, взаимно дополняющими друг друга.

Отдельными ограничениями могут быть выражены соотношения между группами культур или отдельными культурами, если они связаны между собой.

Построение ограничений по кормовым ресурсам. Баланс кормов является одним из важных этапов экономического обоснования проекта землеустройства. Баланс кормов позволяет установить наиболее оптимальное соотношение растениеводства и животноводства, посевов кормовых культур, установить тип кормопроизводства. Существует несколько способов введения ограничений по кормовым балансам

Наиболее распространенный способ, в котором вводятся ограничения в кормовых единицах в целом и по отдельным видам кормов. Сущность ограничения состоит в том, что производство кормов не должно быть меньше потребности в них.

В математических символах это записывается так (в структурной модели типовой задачи):

-Sj=L1j=L2 dij xj + Sj=n2j=n1 vij xi Ј 0,

где -Sj=L1j=L2 dijxj означает выход кормов в количестве dij - с одного гектара i-го вида корма по i-й культуре с площади xj, где j изменяется от L1 до L2 - число кормовых культур; j ' Ql

Snj=i+l vijxj - потребность в кормах при норме кормления одной головы vij, при i-м виде корма для j-го вида скота и поголовье скота xj, где j - от n1 до n2 -число видов скота. jО Qn

Подобным образом строятся ограничения по отдельным видам кормов. Покупные корма, переходящий запас кормов записываются в правой части ограничения как ресурс(A1).

S j=L1 j=L2 dhjxj + Sj=n2j=n1 vhjxj Ј Ah + xh ,

-Sj=L2j=L1 dfjxj + Sj=n2j=n1 + vfj xj ЈAf- xf

где xh- дополнительно приобретаемые, а хf - продаваемые корма.

Построение ограничений по трудовым ресурсам характеризуют обеспеченность рабочей силой, которая оказывает решающее влияние на уровень интенсивности ведения хозяйства и его производственных подразделений. В ограничении по труду в левой части неравенства находится потребное количество рабочей силы, в правой- фонд рабочего времени хозяйства в целом, или отдельного его подразделения.

Для хозяйств с большой неравномерностью использования трудовых ресурсов целесообразно вводить ограничения с детализацией по наиболее напряжённым периодам.

В общем виде ограничения по трудовым ресурсам могут быть записаны:

Snj=1 stjxj Ј St,где stj- затраты труда в t-й период для j-й отрасли производства;

St- фонд рабочего времени в t-й период.

При недостатке трудовых ресурсов и дополнительном привлечении их в напряжённый период потребное количество необходимых дополнительных трудовых ресурсов определяется в ходе решения задачи, при этом ограничение будет записано в следующем виде:

Snj=l stj xj Ј St + xt,

где xt- дополнительно привлекаемая рабочая сила(в чел.-днях или чел.-ч.).

Ограничения по потребности в с/х технике, по капитальным вложениям, по распределению удобрений подобны ограничениям по трудовым ресурсам.

Построение ограничений по использованию органических удобрений в пересчете на гумус. Данный тип ограничения характеризует баланс гумуса в почве, что предполагает: 1) внесение органических удобрений, поступающих с животноводческих ферм и других источников его поступления; 2) учет выноса или накопления гумуса за счет корневых остатков с/х культур и растений.

Математическая запись этого ограничения следующая:

Slj=l qjxj Ј Sj=n2j=n1 wjxj + xq + Q или

Slj=lqjxj - Snj=l+i wjxj - xq Ј Q, (+,- многолетние травы, сенокосы, пастбища)

где qj - коэффициенты, учитывающие вынос или накопление органических веществ под посевами сельскохозяйственных культур, в пересчете на гумус;

wj - выход навоза с 1 головы скота в год, в пересчёте на гумус;

xq - дополнительное привлечение органических удобрений;

Q - наличие органических удобрений, в пересчёте на гумус.

Аналогично этому составляются ограничения по использованию минеральных удобрений(азотных, фосфорных, калийных).

Математическая формулировка

S1j=l yijxj Ј Yi,где yij - норма внесения i-го вида минеральных удобрений на l га i-й с/х культуры

yi - объём выделенных удобрений i-го вида.

Построение ограничений объёмов перспективного производства продукции вытекают из задания на землеустроительное проектирование. Под влиянием гарантийного плана продажи продукции формируется производственно - отраслевая структура с/х производства. Поэтому ограничения фиксируют минимально необходимый объём производства продукции и вводятся по ведущим отраслям производства с учетом основной специализации хозяйства.

В математической символике этот тип ограничений примет вид:

Sj qpjxj і Qp + xp,где qpj - объём производства p-го вида продукции с единицы объёма j-ой отросли;

Qp - плановый объём производства продукции;

хp - сверхплановый объём производства (ожидаемый).

Рассмотренные группы ограничений являются наиболее типичными. При составлении конкретных задач степень детализации и перечень ограничений могут меняться.

Условие неотрицательных переменных:

хj і 0; xi і 0; хt і 0; xp і 0; xq і 0.

Приведенные примеры записей в математической модели называют базовыми, так как они лежат в основе математических моделей, описывающих, экономические и другие зависимости в задачах, решаемых методами линейного программирования.

Разработку развернутой (расширенной) экономико-математической модели начинают с построения специальной таблицы, содержащей смысловое и кодовое обозначение переменных и ограничений, математические символы ограничений, и коэффициенты целевой функции.

Основой развернутой модели является матрица, элементы которой представляют собой информацию экономической задачи, решаемой математическими методами. Матрица представлена в таблице, включающей номера и наименования ограничений, переменных и групп ограничений.

4. Параметрическое линейное программирование

представляет собой один из разделов математического программирования, изучающий задачи, в которых целевая функция или ограничения зависят от одного или нескольких параметров.

С математической точки зрения параметрическое программирование выступает как одно из средств анализа чувствительности решения к вариации исходных данных, оценки устойчивости решения.

Если обратиться к геометрической интерпретации задачи, то можно заметить, что вектор-градиент линейной формы определяется её параметром. Например, для целевой функции L(X, л) = лX1 + (1-л)X2 при различных значениях параметра л градиент определяет различные направления роста функции.

Нетрудно видеть, что, если при некотором значении параметра максимум достигается в вершине A, то небольшая вариация этого значения несколько изменит направление градиента, но не изменит положение точки максимума. Отсюда, что некоторый оптимальный при л = л0 оптимален и в окрестности л0, т.е. при б ? л ? в где л0 [б, в].

Считая значение параметра равным некоторому числу, находим оптимальный план Х* или устанавливаем неразрешимость полученной задачи линейного программирования.

Определяют множество значений параметра, для которых найденный оптимальный план является оптимальным или задача неразрешима. Эти значения параметра исключаются из рассмотрения.

Полагают значение параметра равным некоторому числу, принадлежавшему оставшейся части промежутка, и находят решение полученной задачи линейного программирования.

Определяют множество значений параметра, для которых новый оптимальный план остается оптимальным или задача неразрешима. Вычисления повторяются до тех пор, пока не будут исследованы все значения параметра.

Предприятие должно выпустить два вида продукции А и В, для изготовления которых используется три вида сырья, нормы расходов заданы в таблице. Известно, что цена на А единицу продукции может изменяться от 2 до 12 у.е., для В от 13 до 3 у.е. Найти оптимальные планы выпуска для заданных интервалов цен.

	А	В	ЗАПАСЫ
1	4	1	16
2	2	2	22
3	6	3	36

Обозначим через Х1 количество единиц продукции А, через X2 -- количество единиц продукции В. Матема­тическая модель задачи имеет вид

При ограничениях:

Область допустимых решений -- многоугольник OABCD (рис. 25.2). Полагая л = 0, L() = 2X1 + 13Х2 строим (2, 13). Перемещая линию уровня по направлению, находим, что в точке А(0, 11) задача имеет оптимальное решение. Таким образом, при л = 0 1опт(0, 11), L(1)Max = 143.

Если уравнение прямой имеет вид

При ограничениях

Область допустимых решений -- многоугольник OABCD (рис. 25.2). Полагая л = 0, L(Х) = 2X1 + 13Х2 строим (2, 13). Перемещая линию уровня по направлению С, находим, что в точке А(0, 11) задача имеет оптимальное решение. Таким образом, при л = 0 х 1опт(0, 11), L(1)Max = 143.

Если уравнение прямой имеет вид

То угловой коэффициент равен K = - А/В.

Угловой коэффициент линии уровня, перпендикулярной С, При произвольном значении л равен K = (2 + л) / (13 - л).

Найдем область оптимальности Х 1опт: Х 1опт будет оставаться оптимальным для всех л, при которых соответствующая линия уровня находится внутри угла, образованного прямыми X1 = 0 и (25.2). Угловой коэффициент прямой (25.2) K = - 2/2 = -1. По условию л1 = 0, л2 = (2 + л) / (13 - л) = -1, откуда л2 = 11/2. Решение Х 1опт остается оптимальным при л Э [0, 11/2].

При л = 11/2 линия уровня совпадает с прямой (25.2) и оптимальными будут все точки, лежащие на прямой (25.2), в том числе и точка В(1, 10), лежащая на пересечении прямых (25.2) и (25.3).

Оптимальное решение будет сохраняться до тех пор, пока при изменении л линия уровня не совпадет с прямой (25.3), что будет соответствовать новому оптимальному решению 2опт. Найдем новый диапазон изменения л: л1 = 11/2, л2 = (- 2 + л) / (13 - л) = -2, так как K3 = -2. Откуда л2 = 8.

Получили при л Э [11/2, 8] Х 2опт = (1, 10), L( х 2)Max = 132 - 9л.

Аналогично определяем, что при л Э [8,10], Х 3опт = (2, 8), L( Х 3)mах = 108 - 6л.

Таким образом, при л = [0, 11/2] необходимо производить только 11 изделий В, при этом стоимость продукции будет максимальной и равной (143 - 11л) усл. ед.; при л Э [11/2, 8] необходимо производить одно изделие А и 10 изделий В, при этом стоимость продукции является максимальной и равной (132 - 9л) усл. ед.; при л Э [8, 10] необходимо производить 2 изделия А и 8 изделий В, при этом стоимость продукции будет максимальной и равной (108 - 6л) усл. ед.

Найдем решение этой же задачи симплексным методом (табл. 25.2-25.4), для чего приведем задачу к каноническому виду:

При ограничениях:

Получим л1 = -, так как все Д”J ? 0;

Таким образом, л э [0, 11/2], Х 1опт = (0, 11, 5, 0, 3), L( Х 1)max = 143 - 11л.

Получим:

Таким образом, л Э [8, 10],Х 3опт = (2, 8, 0, 2, 0), L(Х 3)mах = 108 - 6л.

Получили следующие оптимальные решения в зависимости от диапазона изменения л:



Список литературы

1. Волков С.И. Землеустройство. Экономико- математические методы и модели. 2002 год.

2. Кундиус. Математические методы в экономике и моделирование социально-экономических процессов в АПК. 2001 год.

3. Полунин. Математическое програмирование в землеустройстве. 1972 год.

Размещено на Allbest.ru