Математические модели в экономике

Размещено на http://www.allbest.ru/

Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)

Контрольная работа

по дисциплине “Математические модели в Экономике ”

Вариант №2



Задание №1

1. Объём выпуска продукции Y зависит от количества вложенного труда x как функция

.

Цена продукции v, зарплата p. Другие издержки не учитываются. Найти оптимальное количество вложенного труда.

Решение:

Оптимальное количество вложенного труда обозначим через X^*

Определим прибыль

Воспользуемся соотношением

- т.е. частные производные приравняем к нулю, найдём оптимальное количество вложенного труда

труд цена материальный матрица



Задание №2

2. Даны зависимости спроса D=200-2p и предложения S=100+3p от цены.

Найдите равновесную цену, цену при которой выручка максимальна и эту максимальную выручку.

Решение:

Равновесная цена находится путём приравиевания спроса и предложения, т.е.

200-2p=100+3p; p*=20 - равновесная цена.

Найдём прибыль при равновесной цене:

Найдём цену, определяющую максимум выручки:

При p*(200-2p) максимум достигается в точке p'=50 (определили через производную)

W (50)=50*(200-2*50)=5000

Таким образом, максимальная выручка W(p')=5000 достигается не при равновесной цене.

Задание №3

3. Найти решение матричной игры (оптимальные стратегии и цену игры) .

Решение:

1- способ. Проверим на наличие седловой точки. Седловая точка является одновременно наименьшим элементом строки и наибольшим элементом столбца. В матрице седловой точки нет.

Выигрыш первого есть случайная величина с рядом распределения:

Найдём средний выигрыш за партию Первого - это математическое ожидание случайной величины W(x,y):

Оптимальные стратегии игроков:

2 - способ. Если решить эту игру как матричные игры двух игроков с нулевой суммой, то для игры с матрицей оптимальные смешанные для 1 и 2 игроков и цена игры получаются из решения уравнений:

Откуда, Оптимальные стратегии игроков:

Задание №4

4. Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов

прямых материальных затрат

и вектор конечной продукции

Найти коэффициенты полных материальных затрат двумя способами (с помощью формул обращения невыраженных матриц и приближённо), заполнить схему межотраслевого баланса.

Решение:

I. Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат

приближённо, учитывая косвенные затраты до 2-го порядка включительно.

Матрица косвенных затрат первого порядка:

Матрица косвенных затрат второго порядка:

Получаем матрицу коэффициентов полных материальных затрат (приближённо):

II. Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат с помощью формул обращения невыраженных матриц:

a) Находим матрицу (E-A):

b) Вычисляем определитель этой матрицы:

c) Транспонируем матрицу (E-A):

d) Находим алгебраические дополнение для элемента матрицы (E-A)':

Таким образом:

e) Находим матрицу коэффициентов полных материальных затрат:

Таким образом, расчёты первым и вторым способом получились разные - это произошло из-за того, что второй способ наиболее точен (рассчитан по точным формулам), а первый способ рассчитан приближённо, без учёта косвенных затрат выше второго порядка.

Для заполнения межотраслевого баланса необходимо найти величину валовой продукции:

Схема межотраслевого баланса

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли
	1	2	3	Конечная продукция	Валовая продукция
1 2 3	2574,67 1839,05 0	464,32 232,16 232,16	0 0 3328,64	640 250 600	3678,1 2321,6 4160,8
Условно чистая продукция	-735,62	1392,96	832,16	1490
Валовая продукция	3678,1	2321,6	4160,8		10160,5

Задание №5

5. Проверить ряд на наличие выбросов методом Ирвина, сгладить методом простой скользящеё средней с интервалом сглаживания 3, методом экспоненциального сглаживания (а=0,1), представить результаты графически, определить для ряда трендовую модель в виде полинома первой степени (линейную модель), дайте точечный и интервальный прогноз на три шага вперёд.

Решение:

a) Проверим ряд на наличие выбросов методом Ирвина. Метод Ирвина Служит для выявления аномальных уровней, т.е. - это отдельное значение временного ряда которое не отвечает потенциальным возможностям исследуемой экономической системы и которое, оставаясь в качестве значения уровня ряда, оказывает существенное влияние на значение основных характеристик временного ряда, и на трендовую модель.

Для выявления аномальных уровней воспользуемся формулой:



Расчётные значения:

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	-	1,06	0,53	1,06	0,53	0,53	0,53	0,53	1,06	0,53

Необходимо, расчётные значения сравнить с табличными критерия Ирвина , и если окажется, что расчётное больше табличного, то соответствующее значение уровня ряда считается аномальным.

Табличные значения для уровня значимости a=0,05, т.е. с 5% ошибкой:

n	2	3	10	20	30	50	100
	2,8	2,3	1,5	1,3	1,2	1,1	1

Таким образом, при сравнении значений, обнаруживаем, что аномальных уровней нет, т.е. .

b) Сгладим методом простой скользящей средней с интервалом сглаживания m=3:

t		Метод простой скользящей средней,
1	53	--
2	51	--
3	52	52
4	54	52,3
5	55	53,6
6	56	55
7	55	55,3
8	54	55
9	56	55
10	57	55,6

c) Сгладим экспоненциальным методом с а=0,1 - параметр сглаживания:

t		Экспоненциальный метод,
1	53	52,1
2	51	51,99
3	52	51,99
4	54	52,19
5	55	52,47
6	56	52,82
7	55	53,04
8	54	53,14
9	56	53,42
10	57	53,78

d) Представим результаты графически:

e) Определим для ряда трендовую модель в виде полинома первой степени (линейную модель):

Необходимо оценить адекватность и точность построения модели, т.е. необходимо выполнение следующих условий:

a) Проверка случайности колебаний уровней остаточной последовательности:

Проверку случайности уровней ряда проведем по критерию пиков, должно выполняться:

t	Фактическое	Расчётное	Отклонение	Точки пиков
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	53 51 52 54 55 56 55 54 56 57	51,97 52,49 53 53,52 54,03 54,55 55,06 55,58 56,09 56,61	1,03 -1,49 -1 0,48 0,97 1,45 -0,06 -1,58 -0,09 0,39	-- 1 0 0 0 1 0 1 0 --
55	543	542,9	0,1	3

b) Проверка соответствия распределения случайной компоненты нормальному закону распределения:



Необходимые условия:

Если эти условия выполняются одновременно, то гипотеза о характере распределения случайной компоненты принимается, если выполняется хотя бы одно из следующих неравенств:

то гипотеза о нормальном распределении отвергается, трендовая модель признаётся неадекватной.



1)

2)

Таким образом, одно из неравенств не выполняется, трендовая модель неадекватна, значит, дальнейшее исследование не имеет смысла.

Задание №6

6. Пункт по приёму квартир работает в режиме отказа и состоит из двух бригад. Интенсивность потока , производительность пункта . Определить вероятность того, что оба канала свободны, один канал занят, оба канала заняты, вероятность отказа, относительную и абсолютную пропускную способности, среднее число занятых бригад.

Решение:

Коэффициент использования (количество заявок, поступающих за время использования одной заявки)

a) Вероятность того, что оба канала свободны:

b) Вероятность того, что один канала занят:



c) Вероятность того, что оба канала заняты:

d) Вероятность отказа в заявке:

e) Относительная пропускная способность:

f) Абсолютная пропускная способность:

g) Среднее число занятых бригад:

Размещено на Allbest.ru