Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Економетрична модель парної регресії

1.1 Застосування парної лінійної регресії в економічних дослідженнях

Зв'язок між різними явищами в економіці складний і різноманітний. На рівень розвитку одного показника можуть впливати багато факторів, рівень впливу яких різний. Ці закономірності потрібно враховувати під час планування, прогнозування і проведення економічного аналізу. Для вивчення форми зв'язку між показником і факторами на основі статистичних даних використовується регресійний аналіз. Серед парних регресій найбільш поширеною, вивченою й простою в практиці моделювання є парна лінійна регресія. Парною лінійною регресією Y на Х називається одностороння стохастична лінійна залежність між випадковими величинами показника Yі фактора X,які знаходяться в причинно-наслідкових відношеннях, причому зміна фактора викликає зміну показника. Слід відрізняти стохастичну залежність від функціональної. При стохастичній залежності одному значенню фактора може відповідати декілька значень показника. При функціональній залежності одному значенню аргументу відповідає лише одне значення функції. Між аргументом і функцією існує взаємооднозначна відповідність. Розглянемо модель лінійної регресії. Припустимо, що маємо результати пар незалежних спостережень, зображених у вигляді множини точок у декартовій системі координат. Припустимо гіпотезу, що між показником Y і фактором Х існує стохастична лінійна залежність. Суть задачі полягає в тому, щоб у декартовій системі координат знайти згладжувальну лінію, яка “найкращим” чином проходить через задану множину точок. Зв'язок між показником (регресантом, відгуком) Y і фактором (регресором, факторною ознакою) Х з урахуванням можливих відхилень запишемо у вигляді

Y = бХ +в+l, (1.1)

де б і в - невідомі параметри регресії;

l - випадкова змінна, що характеризує відхилення паралельно осі OY спостережуваних точок від лінії регресії.

Таким чином, показник Y зображується у вигляді систематичної складової бХ +в і випадкової величини l. Залежність , яка характеризує середнє значення показника Y для даного значення фактора X, називається регресією. Можемо сказати інакше. Регресія характеризує тенденцію зміни показника, зумовлену впливом зміни фактора. Залежність Y=бХ+в+l характеризує індивідуальне значення показника Y з урахуванням можливих відхилень від середніх значень.

Справжні значення параметрів обчислити не можна, оскільки ми маємо обмежене число спостережень, тому здобуті розрахункові значення параметрів б і в є статистичними оцінками справжніх параметрів б і в. Позначимо оцінки параметрів відповідно через а і b. Тоді рівняння парної регресії (рис.) буде оцінкою моделі

Y = бХ +в+l.

Оцінки параметрів а і b лінії регресії Y=аХ+b мають бути підібрані методом найменших квадратів так, щоб функціонал Q(a,b)був мінімальним, тобто

. (1.2)

Коефіцієнти парної регресії визначаються

(1.3)

Кореляційний момент (коваріація)- це статистична характеристика системи випадкових величин, яка описує не лише зв'язок між випадковими величинами Х і Y, а й їх розсіяння.

. (1.4)

Для визначення лише зв'язку між величинами вводиться коефіцієнт кореляції

. (1.5)

Коефіцієнт кореляції характеризує ступінь щільності лінійної залежності між випадковими величинами (X,У) і змінюється в межах від -1 до 1, причому: якщо r(х, у)>0, то між випадковими величинамиХ і Yіснує пряма залежність, якщо r(х, у) < 0,то між цими випадковими величинам існує обернена залежність.

Параметр а має такий самий знак, що й коефіцієнт кореляції. З математики відомо, якщо а>0, то між величинами Х та У існує прямий зв'язок, тобто якщо зростає (спадає) чинник X ,то відповідно зростає (спадає) показник Y. Якщоa<0(r[X,Y]<0), то між і величинами Х та У існує зворотний зв'язок, тобто якщо зростає (спадає) чинник X,то спадає (зростає) показник Y.

1.2 Практичне завдання

У табл. наведені емпіричні данні щодо витрат на оплату праці Х та ціни продукції У. Оцінити параметри моделі ціноутворення, яка характеризує залежність між витратами на оплату праці (Х) та ціни товару.

Для обчислення параметрів регресії використовувались вбудовані можливості MS Excel - Регресія даних.

Дії виконувались в такому порядку:

1) вводимо данні на окремий лист.

2) Викликаємо діалогове вікно "Регресия" та встановлюємо потрібні параметри

Проаналізуємо отримані показники.

Отримана модель має рівняння

Y=-0.1332x+23.347

R-квадрат (коефіцієнт детермінації) дорівнює 0,034, тобто лінійна залежності між параметрами майже відсутня.

Стандартна помилка складає 0,8 (тис.грн).

На побудованому графіку можна побачити, що фактично не існує залежності між Х та У.

2. Прогнозування часового ряду економічного показника

2.1 Застосування парної лінійної регресії до прогнозування економічних показників

Прогноз - це ймовірностне, науково обґрунтоване судження щодо перспектив, можливих станів того чи іншого об'єкту у майбутньому та/або шляхів і термінів досягнення майбутніх станів.

При прогнозуванні за допомогою парної лінійної регресії потрібно побудувати довірчій інтервал для значень У.Для цього знаходять стандартну помилку прогнозу

,

Тоді

,

Наприклад:

Крапками позначені фактичні данні, середня лінія - графік парної регресії. За наведеною формулою обчислили верхню та нижню межи можливих значень. регресія економічний коваріація

2.2 Рішення в Excel

Для обчислення параметрів регресії використовувались вбудовані можливості MS Excel - Регресія даних.

Дії виконувались в такому порядку:

1) вводимо данні на окремий лист.

2) Викликаємо діалогове вікно "Регресия" та встановлюємо потрібні параметри

Проаналізуємо отримані показники.

Отримана модель має рівняння

Y= 0,30x+5,84

R-квадрат (коефіцієнт детермінації) дорівнює 0,85, тобто лінійна залежності між параметрами сильна.

Стандартна помилка складає 0,62.

На графіку помітно, що різниця між прогнозними значеннями та фактичними - незначна.

Для прогназування на наступний, 17 період, використовувалась функція "Предсказ" з такими параметрами: =ПРЕДСКАЗ(17;B5:B20;A5:A20)

3. Виявлення наявності автокореляції часового ряду за допомогою коефіцієнта Дарбіна-Уотсона

3.1 З'ясування впливу автокореляції даних на точність економічного прогнозу за допомогою коефіцієнта Дарбіна-Уотсона

Одним з основних припущень класичного лінійного регресійного аналізу є припущення щодо відсутності взаємозв'язку між значеннями стохастичної складової моделі е в різних спостереженнях.

Якщо це припущення порушується - виникає явище, яке носить назву автокореляції залишків.

Автокореляція залишків найчастіше спостерігається у наступних двох випадках :

1) коли економетричну модель будують на основі часових рядів (у цьому випадку, якщо існує кореляція між послідовними значеннями деякої незалежної змінної, то буде спостерігатися і кореляція між послідовними значеннями стохастичної складової е, особливо ,якщо використовуються лагові змінні ) ;

2) коли допущена помилка специфікації економетричної моделі - до моделі не включена істотна пояснююча змінна.

При наявності автокореляції залишків в принципі можна оцінити параметри узагальненої економетричної моделі звичайним однокроковим методом найменших квадратів (МНК). Але отримані при цьому оцінки параметрів будуть неефективними. Негативними наслідками цього, як і у випадку гетероскедастичності, будуть:

1) завищені значення дисперсії параметрів моделі ;

2) помилки при використанні t - тестів і F - тестів ;

3) неефективність прогнозів, тобто отримання прогнозів з дуже великою дисперсією.

Критерій Дарбіна-Уотсона (чи DW-критерій) -- статистичний критерій, що використовується для знаходження автокореляції залишків першого порядку регресійної моделі. Критерій названий на честь Джеймса Дарбіна і Джеффрі Уотсона.

У разі відсутності автокореляції помилок , при додатній автокореляції d прямує до нуля, а при від'ємній прагне до 4:

На практиці застосування критерію Дарбіна-Уотсона засноване на порівнянні величини з теоретичними значеннями і для заданого числа спостережень , числа незалежних змінних моделі і рівня значущості .

Якщо d < dL, то гіпотеза про незалежність випадкових відхилень відкидається (отже, є присутньою позитивна автокореляція);

Якщо d > dU, то гіпотеза не відкидається;

Якщо dL < d < dU, то немає достатніх підстав для ухвалення рішень.

Коли розрахункове значення перевищує 2, то з і порівнюється не сам коефіцієнт , а вираз .

Розрахунки в Excel

Формула розрахунків коефіцієнта Дарбіна-Уотсона

Для розрахунку коефіцієна Дарбіна-Уотсона використовується формула:

Розрахунок коефіцієнта Дарбина-Уотсона в Excel можна реалізувати таким чином:

=СУММКВРАЗН(J29:J43;J30:J44)/СУММКВ(J29:J44)

D_L=1.29, D_U =1.45, DW=1,8, отже приймається гіпотеза про наявність додатної автокореляції залишків.

Размещено на Allbest.ru