Таблица 1. Исходные данные

Задача 1.

Вычислите показатели вариации по каждой из выборок X, Y, Z:

- среднее арифметическое;

- моду;

- медиану;

- размах вариации;

- дисперсию;

- стандартное отклонение;

- среднее линейное отклонение;

- коэффициенты осцилляции и вариации.

Решение

Таблица 2. Расчет среднего значения

1) Среднее арифметическое:

;

(X) ==0,83

(Y) ==-0,10

(Z) ==1,56

Таблица 3

Исходные данные в порядке возрастания

Мода

Mo = .

Mo (X) = 16

Mo (Y) = - (нет данных)

Mo (Z) = -16

Медиана:

Так как объем выборки равен 32, то берем среднее арифметическое двух центральных значений: № 16 и № 17

Mе (X) = =22

Mе (Y) = = -184,5

Mе (Z) = =13,5

Размах вариации.

R= x_max -x_min.

R(X) = 45-6=39

R(Y) =-58-(-421)=363

R(Z) = 57-(-16)=73

Дисперсия

Таблица 4. Расчет исходных данных дисперсии

D(X)==231,47

D(Y)= =22,15

D(Z)==4152,70

Стандартное отклонение

=

==15,21

==4,70.

==64,44.

Среднее линейное отклонение

Таблица 5. Расчет среднего линейного отклонения

(X)= 12,69

(Y)== 4

(Z)== 52,36

Относительные показатели вариации вычисляют как отношение абсолютного показателя к среднему значению, выраженное в процентах.

Коэффициент осцилляции:

V_R(X) ==146,65%

V_R(Y) == -10958,49%

V_R(Z) == -140,22%

Линейный коэффициент вариации:

V_d(X) ==47,73%

V_d (Y) == -120,75%

V_d (Z) == 114,71%

Коэффициент вариации:

V_d(X) ==47,75%

V_d (Y) == -53,49%

V_d (Z) == 139,84%

Выборка считается однородной, если V < 30 %.

Выборка в данном случае ни для одного из показателей X, Y, Z не является однородной.

Задача 2.

По каждой из выборок X, Y, Z:

- проведите группировку данных по интервалам равной длины;

- составьте вариационный ряд;

- вычислите относительные частоты и накопленные частости;

- постройте полигон, гистограмму и кумуляту;

- нанесите на график кумуляты график накопленных частот без группировки.

Решение

Сгруппируем данные. Расположив их в порядке возрастания, и подсчитав, сколько раз встречалось каждое значение признака, получим следующее статистическое распределение в табличном виде.

Таблица 6. Статистическое распределение данных

Признак X принимает любые значения от 6 до 45, признак Y принимает значения от -421 до -58, признак Z принимает значения от -16 до 57.

Ориентировочное число интервалов группирования определим по формуле Стерджесса:

k = 1 + 3,32?lg n,

где k - число групп;

n - объем выборки (число единиц совокупности).

k = 1 + 3,32?lg 32=1 +4,997=5,997.

Разобьем весь интервал на 6 интервалов одинаковой длиной:

для признака X интервал равен:

h = (45-6)/6 = 6,5

для признака Y интервал равен:

h = (-58-(-421))/6 = 60,5

для признака Z интервал равен:

h = (57-(-16))/6 = 12,7

и подсчитаем, сколько значений признака попадает в каждый частичный интервал (значения, совпадающие с граничными, будем относить к левому интервалу). Статистическое распределение частот оказывается следующим в табличном виде.

Частости - относительные частоты, выраженные в процентах:

ni (%) =*100%.

Накопленные (кумулятивные) частости:

Ki=.

Для значений X интервалы выглядят следующим образом: [6 .. 12,5], (12,5 .. 19], (19 .. 25,5], (25,5 .. 32], (32 .. 38,5] и (38,5 .. 45] (табл. 7, 8).

Таблица 7. Группировка данных

Таблица 8. Группировка данных X

Рисунок 1 - График кумуляты X

Для значений Y интервалы выглядят следующим образом:

[-421 .. -360,5], (-360,5 .. -300], (-300 .. -239,5], (-239,5 .. -179], (-179 .. -118,5] и (-118,5 .. -58] (табл. 9).

Таблица 9. Группировка данных Y

Рисунок 2 - График кумуляты Y

Для значений Z интервалы выглядят следующим образом: [-16 .. -3,83], (-3,83 .. 8,33], (8,33 .. 20,50], (20,50 .. 32,67], (32,67 .. 44,83] и (44,83 .. 57] (табл.).

Таблица 10. Группировка данных Z

Рисунок 3 - График кумуляты Z

Гистограмма - столбиковая диаграмма частот. Основание каждого прямоугольника соответствует интервалу группировки. Высота столбика - частость.

Рисунок 4 - Гистограмма группировки X

Рисунок 5 - Гистограмма группировки Y

Рисунок 6 - Гистограмма группировки Z

Полигон частот - изображение вариационного ряда с помощью ломаной линии. Для построения полигона достаточно соединить отрезками прямых линий верхние стороны прямоугольников (рис. 1, 2, 3).

Рисунок 9 - Полигон распределения группировки X

Рисунок 10 - Полигон распределения группировки Y

Рисунок 11 - Полигон распределения группировки Z

Таблица 11. Накопленные частоты

Кумулята - изображение накопленных частостей, обычно в виде ломаной линии. По существу, кумулята - это интеграл от гистограммы (рис.4, 5, 6).

Рисунок 12. Кумулята X

Рисунок 13. Кумулята Y

Рисунок 14. Кумулята Z

Задача 3.

По сгруппированным данным и графикам определите:

- среднее арифметическое;

- моду;

- медиану.

Сравните результаты с решением Задачи 1.

Решение

При расчетах по группированным данным учитывается относительная частота появления каждого варианта (табл.12). Среднее значение - средняя арифметическая взвешенная:

Таблица 12. Расчет среднего значения по группированным данным выборки X

=770,5/32=24,08

Таблица 13. Расчет среднего значения по группированным данным выборки Y

=-6756,5/32= -211,14

Таблица 14. Расчет среднего значения по группированным данным выборки Z

=449,167/32=14,04

В качестве среднего значения по интервалам ,, приближенно принят центр интервала группирования.

Мода - это координата основания самого высокого столбика гистограммы, т.е. модального интервала. Распределение может иметь несколько мод. В качестве оценки моды используют не середину модального интервала, а скорректированное значение.

Медиана определяется как 50 %-й квантиль (рис. 7, 8, 9). Это аргумент функции распределения, при котором вероятность равна 0,5 = 50 %:

Me: F(Me) = 0,5 = 50%;

Me = F^-1(0,5).

Медиана делит упорядоченную совокупность пополам.

Рисунок 15. Графическое определение медианы (x)

Рисунок 16. Графическое определение медианы (y)

Рисунок 17. Графическое определение медианы (z)

Из графиков найдем для группировки X:

=16,5, =22 (в задаче 1 получено Mo (X) = 16 Mе (X) =22), т.е. практически сходится с решением, полученным без группировки исходных данных.

для группировки Y:

=-(нет данных), =-247,2

(в задаче 1 получено Mo (X) = - (нет данных), Mе (Y) = -184,5). В данном случае имеется расхождение с данными (медиана), полученными при решении без группировки исходных данных по формулам. В данном случае группировка данных помогла выявить влияние отдельных единиц на средние итоговые показатели.

для группировки Z:

=-16, =24,5, = 14,4 (в задаче 1 получено Mo (Z) = -16, Mе (Z) = 13,5), т.е. практически сходится с решением, полученным без группировки исходных данных с учетом погрешности.

Задача 4.

Постройте корреляционное поле. Проведите группировку Y и Z , используя X как группировочный признак. Вычислите условные средние _x, _x. Нанесите линию эмпирической регрессии на корреляционное поле.

Решение

Корреляционное поле (поле корреляции, диаграмма рассеяния) - это графическое изображение исходных данных.

Рисунок 18 Корреляционное поле {x_i , y_i}

Рисунок 19 Корреляционное поле {x_i , z_i}

Условное среднее значение - это среднее значение одного признака при условии, что другой признак принимает заранее заданное фиксированное значение:

При вычислении условных средних значений подсчитывают средние _x и _x для каждой группы единиц в зависимости от значения группировочного признака х (табл.15).

Таблица 15. Условные средние

На поле корреляции наносят линию условного среднего (эмпирической регрессии). Для этого наносят точки с координатами {_i, _xi} и соединяют их отрезками прямых линий (рис.12).

Рисунок 20 Поле корреляции и эмпирическая регрессия

Рисунок 21 Поле корреляции и эмпирическая регрессия

По внешнему виду графика можно выявить возможный характер взаимосвязи между признаками и оценить погрешность построения уравнения регрессии.

Задача 5.

Найдите предельную ошибку выборки X, Y, Z; постройте доверительные интервалы для среднего, дисперсии и стандартного отклонения генеральной совокупности при доверительной вероятности р = 68 %; 95 %; 99,7 %.

Решение.

Выборочное среднее значение , вычисляемое по выборке ограниченного объема n, будет отличаться от идеального «точного» значения µ_x , которое можно было бы получить для бесконечно большой выборки. Разница между выборочным средним и математическим ожиданием (генеральным средним) называется ошибкой выборки:

=|-|.

Ошибка выборочного наблюдения пропорциональна стандартному отклонению и обратно пропорциональна квадратному корню из объема выборки:

=t•=t•.

Стандартное отклонение выборочного среднего составляет:

= .

=

=

=

Коэффициент доверия t находят по распределению Стьюдента (табл. 16) с учетом объема выборки и заданного значения доверительной вероятности:

t=t.

Таблица 16 Процентные точки распределения Стьюдента t(n, p) и нормального распределения

Для симметричного распределения достаточно определить одно значение квантиля, например, для верхней границы доверительного интервала. Противоположная граница симметрична относительно точки {0; 0,5}:

t=-t.

t= t1+ (t2-t1) / (p2-p1) * (p-p1)

Найдем предельные ошибки выборки используя таблицу распределения Стьюдента.

Коэффициенты доверия по распределению Стьюдента:

При р=68%

При р=95%

При р=0,997

Предельные ошибки выборки:

Доверительный интервал для генерального среднего:

-t•+ t•.

Значение t определяет, «сколько сигм» нужно взять для построения доверительного интервала.

При р=68%

x

y

z

При р=95%

x

y

z

При р=99,7%

x

y

z

При использовании табулированного распределения приходится проводить интерполяцию, т.е. находить приближенное значение функции между известными точками.

Исходные данные для интерполяции:

t₁( p₁) и t₂( p₂).

Требуется найти значение t между точками p₁ и p₂ :

t(p): p₁ < p< p₂.

Искомое значение t для заданного p находим по формуле:

t= t₁+•(p-p₁).

Интерполяция может проводиться дважды - по p, затем по n.

Доверительный интервал для генеральной дисперсии:

где - выборочная дисперсия;

Квантили распределения Пирсона:

Доверительный интервал для генеральной дисперсии:

При р=68%

При р=95%

При р=99,7%

Доверительный интервал для среднеквадратичного отклонения:

При р=68%

При р=95%

При р=99,7%

Задача 6.

Постройте доверительные интервалы для генерального среднего µ_x , µ_y и µ_z при доверительной вероятности р = 68 %; 95 %; 99,7 % упрощенным способом: «одна/две/три сигмы».

Решение

=

=

=

Величину коэффициента t выбираем для «стандартных» значений вероятности (табл. 17).

Таблица 17. Процентные точки распределения ²_n

Подставляем в доверительный интервал, получаем приближенные границы доверительных интервалов:

р=68%

р=95%

р=99,7%

Форма распределения Стьюдента приближается к нормальному распределению при большом объеме выборки, начиная с нескольких десятков единиц. При этом погрешность от замены распределения Стьюдента нормальным не превышает единиц процентов.

Таблица 18. Стандартные квантили нормального распределения

Таким образом, получаем приближенные границы доверительных интервалов:

p = 68%: µ = ±у; -у?µ?+у

p = 95%: µ = ±2у; -2у?µ ? +2у

p = 99,7%: µ = ±3у; -3у?µ?+3у

Таблица 19. Доверительные интервалы для генерального среднего м_Y

Задача 7