Зависимость объема выпуска продукции от объема капиталовложений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное государственное образовательное бюджетное

учреждение высшего образования

"Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации"

(Финуниверситет)

Калужский филиал Финуниверситета

Факультет "Финансово-учетный"

Кафедра "Высшая математика и статистика"

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

по дисциплине: "Эконометрика"

Вариант № 2

Зависимость объема выпуска продукции от объема капиталовложений

Выполнил

Тихонов С.О.

Проверил

к. п. н., Зайчикова И.В.

Калуга

2015



По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн.руб.) от объема капиталовложений (X, млн.руб.)

Требуется:

1) Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи.

2) Найти параметры уравнения линейной регрессии и дать ему экономическую интерпретацию.

3) Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

4) Проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (б=0,05) и с помощью средней относительной ошибки аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

5) Проверить выполнимость предпосылок МНК.

6) Рассчитать параметры уравнений степенной и гиперболической регрессий. Дать интерпретацию уравнению степенной регрессии

7) Рассчитать индексы корреляции и детерминации.

8) Оценить значимость построенных моделей регрессий с помощью F-критерия Фишера и средней относительной ошибки аппроксимации. Сделать выводы.

9) С помощью сравнения основных характеристик выбрать лучшее уравнение регрессии и сделать вывод.

10) Осуществите прогнозирование среднего показателя Y при уровне значимости б=0,05, если прогнозное значение фактора Х составит 80% от его максимального значения. Определите доверительный интервал прогноза.

Вариант 2.

x	65	21	21	65	44	87	22	75	25	75
y	35	13	21	23	18	26	16	30	13	32



Решение

1) Построим поле корреляции.

По виду поля корреляции можно предположить наличие линейной корреляционной зависимости Y по х между двумя рассматриваемыми переменными. Но возможно и построение степенной модели, показательной или гиперболической регрессий.

2) Построим линейную модель парной регрессии.

Рабочая таблица. (При составлении этой таблицы можно воспользоваться математическими функциями ППП Excel)

N	х	Y	x2	Xy	y2
1	65	35	4225	2275	1225	26,399	8,601	73,977	24,574
2	21	13	441	273	169	15,619	-2,619	6,859	0,201
3	21	21	441	441	441	15,619	5,381	28,955	0,256
4	65	23	4225	1495	529	26,399	-3,399	11,553	0,148
5	44	18	1936	792	324	21,254	-3,254	10,589	0,181
6	87	26	7569	2262	676	31,789	-5,789	33,513	0,223
7	22	16	484	352	256	15,864	0,136	0,018	0,008
8	75	30	5625	2250	900	28,849	1,151	1,325	0,038
9	25	13	625	325	169	16,599	-3,599	12,953	0,277
10	75	32	5625	2400	1024	28,849	3,151	9,929	0,098
Сумма	500	227	31196	12865	5713	227,24	-0,24	189,671	26,005

Значения параметров а и b линейной модели определим, используя данные таблицы

Уравнение линейной регрессии имеет вид:

С увеличением объема капиталовложений на 1 млн.руб.объем выпуска увеличивается на 0,245млн.руб.

3) Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции по следующей формуле:

Можно сказать, что связь между объемом капиталовложений Х и ее объемом выпускаУпрямая и сильная.

Рассчитаем коэффициент детерминации:

R_yx=r²_yx=0,661

Вариация результата У (объем выпуска) на 66.1% объясняется вариацией фактора Х (объемом капиталовложений). На остальные факторы, неучтенные в модели, приходится 33.9%.

4) Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерий Фишера:

F_факт = 15.63>F_табл = 5.32 для б=0,05; k₁=m=1, k₂=n-m-1=8, где m-число объясняющих факторов в модели. Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистическизначимое, так как F_факт>F_табл

Определим среднюю относительную ошибку аппроксимации:

В среднем расчетные значения для линейной модели отличаются от фактических значений на 2.6%, что не находится в пределах нормы, то есть качество модели хорошее.

5) Проверим предпосылки МНК.

а) Проверка равенства математического ожидания остаточной последовательности нулю.

Вычислим среднее значение ряда остатков.

.

Так как , то модель не содержит постоянной систематической ошибки и адекватна по критерию нулевого среднего.

б) Проверка свойства гомоскедастичности

Расположим значения факторного признака в порядке возрастания.

21	65
21	65
22	75
25	75
44	87

Разделим совокупность наблюдений на две группы и для каждой группы с помощью программы

Анализ данных в EXCEL,

инструмент Регрессия определим параметры уравнений регрессий и остаточные суммы квадратов.

Таблица 2.4 Расчётные значения

	Уравнение регрессии	Остаток
1 группа
2 группа

Расчетный критерий равен:

.

Табличное значение F-критерия c

И

степенями свободы и при доверительной вероятности 0,95 равно 6,39.

Величина

не превышает табличное значение F-критерия, следовательно, свойство гомоскедастичности выполняется.

в)Проверку независимости последовательности остатков(отсутствие автокорреляции) осуществим с помощью d-критерия Дарбина-Уотсона.

.

Расчетное значение критерия сравнивается с нижним и верхним критическими значениями статистики Дарбина-Уотсона. При n=10 и уровне значимости 5%, , .

Поскольку , то гипотеза о независимости остатков принимается и модель признается адекватной по данному критерию.

г) Случайные отклонения должны быть независимы от объясняющих переменных.

Так как , то

д) Проверку соответствия распределения остаточной последовательности нормальному закону распределения осуществим с помощью R/S-критерия. формуле:

.

Расчетное значение R/S-критерия сравнивается с табличными значениями (нижней и верхней границами данного отношения).

Нижняя и верхняя границы отношения при уровне значимости равны соответственно 2,67 и 3,57.

Расчетное значение отношения попадает в интервал между критическими границами, следовательно, с заданным уровнем значимости гипотеза о нормальности распределения принимается.

Выполним пункты 6)-8) для степенной модели

6) Построение степенной модели парной регрессии.

Уравнение степенной модели имеет вид:

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

.

Обозначим

Тогда уравнение примет вид: , то есть получили линейное уравнение регрессии. Рассчитаем его параметры, используя МНК.

Составим рабочую таблицу.

N		X	у	Y	X2	XY				*100
1	65	1,8129	35	1,5441	3,2867	2,7993	1,4205	0,1236	0,0153	8,0056	0,0471
2	21	1,3222	13	1,1139	1,7483	1,4729	1,1751	-0,0612	0,0037	5,4910	0,0454
3	21	1,3222	21	1,3222	1,7483	1,7483	1,1751	0,1471	0,0216	11,1260	0,0000
4	65	1,8129	23	1,3617	3,2867	2,4687	1,4205	-0,0587	0,0034	4,3128	0,0012
5	44	1,6435	18	1,2553	2,7009	2,0630	1,3357	-0,0805	0,0065	6,4093	0,0051
6	87	1,9395	26	1,4150	3,7617	2,7444	1,4838	-0,0688	0,0047	4,8613	0,0077
7	22	1,3424	16	1,2041	1,8021	1,6164	1,1852	0,0189	0,0004	1,5703	0,0151
8	75	1,8751	30	1,4771	3,5159	2,7697	1,4515	0,0256	0,0007	1,7325	0,0225
9	25	1,3979	13	1,1139	1,9542	1,5572	1,2130	-0,0990	0,0098	8,8897	0,0454
10	75	1,8751	32	1,5051	3,5159	2,8222	1,4515	0,0536	0,0029	3,5624	0,0317
?	500	16,344	227	13,312	27,3206	22,0621	13,312		0,0690	55,96	0,2214

Уравнение регрессии имеет вид:

Перейдем к исходным переменным х и у, выполнив потенцирование данного уравнения.

Получим уравнение степенной модели регрессии

Так как в уравнении степенной регрессии параметр b совпадает с коэффициентом эластичности, то уравнение регрессии можно проинтерпретировать следующим образом: с увеличением объема капиталовложений на 1% объем выпуска увеличивается в среднем на 0,5%.

7) Определим индекс корреляции

8)

Связь между показателем у и фактором х можно считать сильной, так как R>0,7. Коэффициент детерминации

Вариация результата У (объем выпуска) на 68,8% объясняется вариацией фактора Х (объемом капиталовложений). На остальные факторы, неучтенные в модели, приходится 31,2%

9) Рассчитаем F-критерий Фишера:

для б=0,05; k₁=m=1, k₂=n-m-1=8.

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, так как

Определим среднюю относительную ошибку аппроксимации:

В среднем расчетные значения для степенной модели отличаются от фактических значений на 5,6%, что находится в пределах нормы, то есть качество модели хорошее.

Выполним пункты 6)-8) для гиперболической модели.

6) Построение гиперболической модели парной регрессии.

Уравнение гиперболической регрессии:

.

Произведем линеаризацию модели путем замены

.

В результате получим линейное уравнение

Рассчитаем его параметры по данным следующей рабочей таблицы.

№	Х	у	Z	yz
1	65	35	0,0154	0,5385	0,0002	1225	27,3592	7,6408	58,3816	21,8308	118,81
2	21	13	0,0476	0,6190	0,0023	169	14,6856	-1,6856	2,8412	12,9659	123,21
3	21	21	0,0476	1,0000	0,0023	441	14,6856	6,3144	39,8720	30,0687	9,61
4	65	23	0,0154	0,3538	0,0002	529	27,3592	-4,3592	19,0028	18,9531	1,21
5	44	18	0,0227	0,4091	0,0005	324	24,4723	-6,4723	41,8906	35,9572	37,21
6	87	26	0,0115	0,2989	0,0001	676	28,8888	-2,8888	8,3451	11,1107	3,61
7	22	16	0,0455	0,7273	0,0021	256	15,5366	0,4634	0,2147	2,8963	65,61
8	75	30	0,0133	0,4000	0,0002	900	28,1657	1,8343	3,3646	6,1143	34,81
9	25	13	0,0400	0,5200	0,0016	169	17,6812	-4,6812	21,9133	36,0089	123,21
10	75	32	0,0133	0,4267	0,0002	1024	28,1657	3,8343	14,7017	11,9821	62,41
?	500	227	0,2724	5,2932	0,0097	5713	226,9999	0,0001	210,5275	187,8881	579,70

Уравнение регрессии имеет вид:

7) Определим индекс корреляции

Связь между показателем у и фактором х можно считать сильной, так как R>0,7

Индекс детерминации: детерминации

Вариация результата У (объем выпуска) на 62,4% объясняется вариацией фактора Х (объемом капиталовложений). На остальные факторы, неучтенные в модели, приходится 37,6%.

8) Рассчитаем F-критерий Фишера:

для б=0,05; k₁=m=1, k₂=n-m-1=8.

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистическизначимое, так как

Средняя относительная ошибка:

В среднем расчетные значения для гиперболической модели отличаются от фактических значений у на 28,8%, что выходит за пределы нормы. корреляция регрессия гиперболический детерминация

9) Выбор лучшей модели.

Для выбора лучшей модели построим сводную таблицу результатов.

	Коэффициент детерминации R	F-критерий Фишера	Коэффициент (индекс) корреляции	Относительная ошибка
Линейная	0,661	15,63	0,813	2,6
Степенная	0,688	17,64	0,829	5,6
Гиперболическая	0,624	13,28	0,79	18,8

Линейная и степенная модели имеют примерно равные характеристики, но большее значение F-критерия Фишера и большее значение коэффициента детерминации имеет степеннаямодель. Ее можно взять в качестве лучшей для построения прогноза.

10) X_max=87, следовательно, x_p=87•0,8=69,6

Рассчитаем доверительный интервал прогноза

Выполненный прогноз оказался надежным (р=1-б=1-0,05=0,95), достаточно точным, так как диапазон границ не выходит за пределы.

Размещено на Allbest.ru