Статистические показатели производства

Размещено на http://allbest.ru

Задача 1. Имеется следующая группировка деталей по количеству операций

статистический качество мода медиана

Определите среднее значение изучаемого признака, моду и медиану; постройте гистограмму и кумулянту; оцените характер асимметрии. Определить 10% нижний и верхний квантили. Какой процент и сколько деталей имеют количество операций от 9 до 15.

Среднее количество операций, затрачиваемых на обработку одной детали:

Мода (М_О) - варианта, встречающаяся в ряду распределения чаще всего, т.е. варианта, которой соответствует наибольшая частота.

В интервальном ряду наибольшая частота указывается не на модальную варианту, а на содержащий моду интервал. Вычисление моды производится по следующей формуле:

где - начало (нижняя граница) модального интервала; - величина интервала; - частота модального интервала; - частота интервала, предшествующего модальному; - частота интервала, следующего за модальным.

Наибольшая частота (44) соответствует интервалу 2-4,

Медиана (M_е) - варианта, находящаяся в середине ранжированного ряда распределения. Расчет медианы для интервального ряда производится по формуле

где - начало (нижняя граница) медианного интервала; - величина интервала; - сумма всех частот ряда; - сумма накопленных частот вариантов до медианного; - частота медианного интервала.

При вычислении медианы в интервальном ряду сначала находят медианный интервал, (т. е. содержащий медиану), для чего используют накопленные частоты или частости. Медианным является интервал, накопленная частота которого равна или превышает половину всего объема совокупности.

Объём совокупности равен: 44+40+12+4=100, половина объёма совокупности равна 50.

Таким образом, медианным является интервал с границами 5-7

Медиана равна:

Гистограмма

При построении кумуляты накопленная частота (частость) соответствующего интервала присваивается его верхней границе:

значит имеет место правосторонняя ассиметрия

10% нижний кантиль 100*0,1=10 деталей =>интервал 2-4 операции

10% деталей имеют количество операций меньше 3-х, 90% деталей имеют количество операций больше 3-х

10% верхний кантиль 100*0,9=90 деталей => интервал 11-13 операций

90% деталей имеют количество операций меньше 11-ти, 10% деталей имеют количество операций больше 11-ти

Считая, что величины размера реализованной продукции распределены равномерно внутри группы найдём количество деталей, которые имеют количество операция от 9 до 15, тогда по имеющимся интервалам имеем:

9-10 - 2 детали

11-13 - 8 деталей

14-15 - 2 детали

Итого: 12 деталей имеют количество операций от 9 до 15, что составляет 12/100*100=12% от общего количества деталей.

Задача 2. По данным таблицы произвести выравнивание ряда динамики объема продукции по прямой. Сделайте выводы о закономерности изменения данного ряда:

Построить график.

На основе этих данных определите: 1) индивидуальные индексы продукции по каждому виду: 2) общий индекс физического объема продукции по предприятию в целом; 3) цепные и базисные абсолютные прирост продукции в текущем периоде и среднемесячный прирост.

(не понятное условие, т.е. нету разбивки на виды продукции что бы посчитать индивидуальные индексы, нельзя посчитать прирост ибо не дано что будет базисным, а что текущим периодом, ниже таблица посчитана по условию что базисный первый месяц и всё посчитано относительно него, не факт что так и надо.)

Произведём аналитическое выравнивание ряда динамики по прямой

Параметры согласно методу наименьших квадратов находятся решением системы нормальных уравнений:

Решение этой системы относительно искомых параметров даёт следующие выражения

Произведём предварительные расчёты в таблице

Откуда

Тогда уравнение прямой будет иметь вид

Подставляя в данное уравнение последовательно значения t, равные 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 находим выровненные уровни

Полученные данные занесём в таблицу

Произведя выравнивание ряда динамики можно сделать вывод, что за год наблюдается увеличение объёма продукции.

За базисный прирост примем прирост за первый месяц текущего года, остальные приросты будут рассчитаны относительно него.

Таблица абсолютных приростов продукции.

Среднемесячный прирост составил: 1,2/12=0,1 млрд.р. в месяц.

Задача 3. Имеются следующие данные:

Определите: а) влияние динамики часовой выработки одного рабочего, продолжительности рабочего дня и рабочего месяца на динамику среднемесячной выработки; б) количество продукции в расчете на одного рабочего, которое было получено дополнительно (или недополучено) за счет каждого фактора. Производительность труда одного работника за месяц (W) равна его среднечасовой выработке (A), умноженной на среднее число отработанных часов (среднюю продолжительность дня (В) и на среднее число отработанных за месяц дней (среднюю продолжительность рабочего месяца (С), т.е. W= ABC.

При построении многофакторных экономико-статистических моделей большое значение имеет последовательность рассмотрения факторов:

а) первыми факторами-сомножителями в модели должны быть количественные (объемные) показатели;

б) факторы-сомножители должны быть расположены так, чтобы произведение предыдущих давало экономически осмысленную величину.

С учетом этих требований изучаемую связь представим в следующем виде:

W = CBA.

По методу цепных подстановок получим следующую систему многофакторных индексов:

Абсолютное изменение результативного показателя в целом определяется по формуле

Найдём количество единиц продукции, произведённых рабочим за месяц:

Динамика количества продукции за месяц:

За счёт изменения продолжительности рабочего месяца:

За счёт изменения продолжительности рабочего дня:

За счёт изменения часовой выработки:

Вывод: в отчётном периоде объём выпуска сократился на 23,7%, в том числе за счёт сокращения часовой выработки рабочего на 14,3%, сокращения продолжительности рабочего дня на 2,6%, сокращения продолжительности рабочего месяца на 8,7%

Абсолютное изменение количества продукции в отчётном периоде по сравнению с базисным:

В том числе за счёт изменения продолжительности рабочего месяца:

В том числе за счёт изменения продолжительности рабочего месяца:

В том числе за счёт изменения продолжительности рабочего месяца:

Вывод: в отчётном периоде объём выпуска сократился на 1491 ед., в том числе за счёт сокращения часовой выработки рабочего на 798 ед., сокращения продолжительности рабочего дня на 147 ед., сокращения продолжительности рабочего месяца на 546 ед.

Задача 4

Для определения качества продукции было проведено выборочное обследование партии. Отбор проводился механическим способом. Были получения следующие результаты.

Построить гистограмму и кумулянту.

Определить доверительный интервал среднего значения параметра в выборке с вероятностью 0,954, а также доверительный интервалы доли продукции с парметром не менее 85 с вероятностью = 0,9973 (t=3). Найти долю продукции в выборке, параметр которых 95 и более.

Гистограмма

При построении кумуляты накопленная частота (частость) соответствующего интервала присваивается его верхней границе:

Определить среднее значение параметра

Среднее значение контролируемого параметра:

Находим среднее значение контролируемого параметра из 410 обследованных единиц продукции

Находим выборочную дисперсию изучаемого признака

Находим предельную ошибку выборки

Отсюда пределы изменения во всей партии`

или от 87 до 89

Для альтернативного признака

Находим долю единиц продукции в выборке с параметром 85 и более (долю наличия признака у единиц выборочных совокупностей). Считая, что величины проверяемого параметра распределены равномерно внутри группы найдём количество единиц продукции которые имеют параметр не менее 85 по имеющимся интервалам:

85-90 - 55

90-100 - 150

100-110 - 50

Находим предельную ошибку доли признака

Определяем интервал для альтернативного признака

или от 55% до 69%

Находим долю единиц продукции в выборке с параметром 95 и более (долю наличия признака у единиц выборочных совокупностей). Считая, что величины проверяемого параметра распределены равномерно внутри группы найдём количество единиц продукции которые имеют параметр не менее 95 по имеющимся интервалам:

95-100 - 75

100-110 - 50

т.е. доля единиц продукции с параметром не менее 95 составляет 30,49%

Задача 5

По 10 предприятиям отрасли имеются следующие данные за месяц:

Найдите уравнение линейной регрессии фонда оплаты труда от валового дохода этих предприятий. Изобразите графически эмпирическую и теоретическую кривые зависимости

Так как необходимо найти уравнение линейной регрессии фонда оплаты труда от валового дохода, то x - это валовый доход предприятий, а y - фонд оплаты труда.

Совокупность точек результативного и факторного признаков называется полем корреляции.

На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит линейный характер.

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + a + е. Здесь е - случайная ошибка (отклонение, возмущение).

Так как отклонения е_i для каждого конкретного наблюдения i - случайны и их значения в выборке неизвестны, то:

1) по наблюдениям x_i и y_i можно получить только оценки параметров б и в

2) Оценками параметров б и в регрессионной модели являются соответственно величины а и b, которые носят случайный характер, т.к. соответствуют случайной выборке;

Тогда оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = bx + a + е, где e_i - наблюдаемые значения (оценки) ошибок е_i, а и b соответственно оценки параметров б и в регрессионной модели, которые следует найти.

Для оценки параметров б и в - используют МНК (метод наименьших квадратов). Метод наименьших квадратов дает наилучшие (состоятельные, эффективные и несмещенные) оценки параметров уравнения регрессии.

Но только в том случае, если выполняются определенные предпосылки относительно случайного члена (е) и независимой переменной (x).

Формально критерий МНК можно записать так:

S = ?(y_i - y^*_i)² > min

Система нормальных уравнений.

Для расчетов построим таблицу

Для наших данных система уравнений имеет вид:

Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение:

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.61, a = 4.62

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 0.61 x + 4.62

Тогда эмпирические значения будут равны

Построим графики

Размещено на Allbest.ru