Экономико-математические модели управления запасами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

Глава 1. Теоретические основы экономико-математических моделей управления запасами

1.1 Стратегия управления запасами

1.2 Типы моделей управления запасами

Глава 2. Детерминированные модели

2.1 Модель Уилсона

2.2 Модель с конечной интенсивностью поступления заказа

2.3 Модель с учетом неудовлетворенных требований

2.4 Модель с определением точки заказа

2.5 Многономенклатурные модели

Глава 3. Вероятностные модели управления запасами

3.1 Модель с фиксированным размером заказа и уровень обслуживания

3.2 Модель с фиксированной периодичностью заказа и уровень обслуживания

Заключение

Приложение



Введение

Разница в ритме производства продукции у различных поставщиков, дискретность процесса поставок, возможность случайных колебаний в интенсивности потребления или длительности интервалов между поставками вынуждают создавать в системах снабжения запасы.

Вопросы, связанные с хранением запасов, столь же стары, как и сама история, только с начала 20 века были сделаны попытки использовать аналитические методы для их изучения. Первоначальным толчком к применению математических методов анализа систем управления запасами послужило, вероятно, одновременное развитие промышленности и технических наук, и особенно науки об организации производства. Реальную потребность в анализе впервые ощутили те отрасли промышленности, которым пришлось столкнуться с вопросами календарного планирования производства и хранения запасов, когда продукция производится серийно и поступает на заводской склад.

Впервые вывод формулы, которую часто называют простой формулой размера партии, был сделан Фордом Харрисом в 1915 году. С тех пор эта же самая формула была получена, вероятнее всего самостоятельно, многими исследователями. Часто ее называют формулой Уилсона, так как она была получена в качестве одного из результатов разработанной Уилсоном схемы управления запасами.

И лишь по окончании второй мировой войны, когда стали развиваться наука о методах управления и руководства и исследование операций, было обращено серьезное внимание на случайный характер процессов управления запасами. До этого системы рассматривались как детерминированные, за исключением тех немногих случаев, как, например, работа Уилсона, где были сделаны попытки как-то учесть вероятностный характер этих систем.

В настоящее время работы в этой области ведутся в различных аспектах. С одной стороны, значительная работа проводится непосредственно в области практического применения, хотя с другой стороны, исследуются и абстрактные математические свойства моделей управления запасами.

Возникает вопрос: зачем же обществу нужны запасы? Существует много причин, почему организации идут на их создание. Основной довод состоит в том, что обычно либо физически невозможно, либо экономически невыгодно, чтобы товары поступали именно тогда, когда на них возникает спрос. При отсутствии запасов потребителям приходилось бы ждать, пока их заказы будут выполнены. Однако обычно потребители не хотят или не могут долго ждать. Одно это говорит о необходимости хранения запасов почти каждой организацией, снабжающей товарами потребителей. Но существуют и другие причины для создания запасов. К ним относятся цены на сырье, которые могут подвергаться значительным сезонным колебаниям. Когда цена низка, выгодно создавать достаточные запасы сырья, которых хватило бы на весь сезон высоких цен, которые можно было бы по мере надобности использовать в производстве. Другой не менее важный довод, для предприятий розничной торговли, состоит в том, что объем продаж и прибыль могут быть увеличены, если имеется некоторый запас товаров, который можно предложить потребителю.

При управлении запасами любого товара следует ответить на два основных вопроса: когда пополнить запас, и каков должен быть размер заказа на пополнение?

Целью данной курсовой работы является изучение моделей управления запасами. Для достижения данной цели будут рассмотрены детерминированные и вероятностные модели управления запасами.

запас фиксированный управление заказ



Глава 1. Теоретические основы экономико-математических моделей управления запасами

Под запасами можно понимать выпускаемую некоторым предприятием продукцию (пополнение), которая поставляется потребителем определенными партиями (расход). При этом спрос на продукцию может быть детерминированным или случайным(вероятностным). Управление запасами здесь состоит в определении размеров необходимого выпуска продукции для удовлетворения данного спроса при условии минимизации суммарных затрат на хранение и пополнение запасов.

Под запасами можно понимать также запасы сырья или других материалов, поставляемые дискретными партиями (пополнение) и обеспечивающие непрерывное потребление в процессе производства (расход). Критерием оптимальности могут служить суммарные затраты на поставки и хранение запасов.

Существует несколько причин относительно необходимости создания запасов. Согласно одной из них наличие запасов позволяет быстро удовлетворять запросы потребителей. Согласно другой наличие запасов позволяет поставщику нейтрализовать колебания спроса в условиях неравномерного потребления.

Весьма важной причиной, особенно для нашей страны, является сезонность производства многих важнейших видов продовольствия - зерна, овощей, фруктов, и связанная с этим необходимость создания весьма больших запасов этих видов продовольствия. Весомой причиной является также удаленность многих мест потребления той или иной продукции от мест ее производства. Сравнительно большие транспортные издержки на доставку этой продукции вынуждает доставлять ее большими партиями, тем самым создавать запасы.

Создание запасов требует больших затрат:

запасы нужно где-то хранить, для этого нужно строить соответствующие складские помещения, а они довольно дороги и окупаются не очень быстро;

значительные запасы ведут к омертвлению вложенных в них средств;

как правило, хранение запасов ведет к ухудшению их характеристик, к их моральному старению.

Нельзя не согласиться с Ю. А. Беляевым в том, что «без запасов никто и ничто существовать не может: ни машина, ни человек, ни государство, ни вселенная. Без запаса прочности мост разрушиться, а парашют прорвется при малейшей перегрузке. Надежность технической системы создается запасом прочности конструкций, дублированием элементов, приданием запчастей. Портфель заказов редакции обеспечивает равномерную загрузку сотрудников и работу типографии. Запас мудрости руководителей позволяет им предвидеть будущие заботы и разглядеть пророков в своем отечестве; оценить неординарные идеи и справедливую критику; понять пользу плюрализма мнений и гражданских свобод. Запасы скудоумия, инерции, профессиональной неграмотности могут привести к не менее поразительным результатам».

Избыточные запасы были причиной многих неудач в бизнесе, оказывали дестабилизирующее влияние при кризисах. Излишние запасы являются тормозом на пути научно-технического прогресса. Все эти проблемы обострились в связи с ускорением научно-технического прогресса, сокращением сроков морального старения техники, возросла сложность решаемых задач, и цена ошибочных решений и т.д. Вся эта ложившаяся ситуация вызвала необходимость разработки разнообразных моделей управлений запасами.

Предметом теории управления запасами является отыскание такой организации поставок или производства, при которых суммарные затраты на функционирование системы были бы минимальными.

Важным фактором, учитывающийся при построении модели, является срок выполнения заказа, т. е. интервал времени между моментом размещения заказа и его поставкой. Если этот фактор учитывается, то модель называется моделью с запаздыванием поставок.

В модели может быть учтена интенсивность поставок. При пополнении запасов из внешнего источника обычно доставляется вся партия одновременно. Пополнение запаса с некоторой интенсивностью чаще осуществляется самим предприятием, когда продукция одного цеха используется другим.

В работе системы может допускаться дефицит или наоборот выдвигаться требование бездефицитной работы.

Системы управления запасами классифицировать по многим признакам:

вид запасов (сырье, полуфабрикаты, готовая продукция, инструменты, запчасти);

место хранения (производитель, потребитель, снабженческая база или другие элементы товаропроводящей сети;

структура системы (изолированный склад, последовательная система складов, иерархическая система, с ремонтными возможностями или без них);

свойства запасов (одно- или многономенклатурные запасы, их взаимозаменяемость, ограниченность срока годности, порча при хранении);

статистические характеристики процессов спроса и поставок (стационарность, коррелированность спроса, управляемость, случайность поставок);

цели системы (стоимостные вероятностные критерии, многокритериальность);

ограничения (на объем и номенклатуру запасов, размеры партий, надежность и экономические характеристики процесса снабжения);

информационные характеристики (периодичность сброса данных, наблюдаемость спроса, полнота знаний о коэффициентах потерь).



1.1 Стратегия управления запасами

Оптимальное управление запасами - выбор таких объемов и моментов поставок, когда суммарные издержки системы снабжения будут минимальными.

Простейшие стратегии:

периодические (со временем контроля Т);

по критическим уровням (H, h, yi - текущий уровень запаса q).

Стратегия с контролем за текущим уровнем.

Стратегия постоянного уровня.

В данном случае через каждый интервал контроля Т запас пополняется до верхнего уровня.

q1 q2 q3 const

q* опт = H - yтек

y1,2 - текущие уровни

2. Стратегия фиксированного объема поставок.

Q* = const

q1 = q2 = q3 = const



3. Стратегия с контролем за текущим уровнем.

если y h, то: - y h q* = const

- y h q* = 0 (не заказываем сырье)

если y h, то: - y h q* = H - yтек

- y h q* = 0

1.2 Типы моделей управления запасами

Несмотря на то, что любая модель управления запасами призвана отвечать на два основных вопроса (когда и сколько), имеется значительное число моделей, для построения которых используется разнообразный математический аппарат.

Такая ситуация объясняется различием исходных условий. Главным основанием для классификации моделей управления запасами является характер спроса на хранимую продукцию (напомним, что с точки зрения более общей градации сейчас мы рассматриваем лишь случаи с независимым спросом).

Итак, в зависимости от характера спроса модели управления запасами могут быть

детерминированными;

вероятностными.

В свою очередь детерминированный спрос может быть статическим, когда интенсивность потребления не изменяется во времени, или динамическим, когда достоверный спрос с течением времени может изменяться.

Вероятностный спрос может быть стационарным, когда плотность вероятности спроса не изменяется во времени, и нестационарным, где функция плотности вероятности меняется в зависимости от времени.

Рисунок 1 - Виды спроса (схема)

Наиболее простым является случай детерминированного статического спроса на продукцию. Однако такой вид потребления на практике встречается достаточно редко. Наиболее сложные модели - модели нестационарного типа.

Кроме характера спроса на продукцию при построении моделей управления запасами приходится учитывать множество других факторов, например:

сроки выполнения заказов. Продолжительность заготовительного периода может быть постоянной либо являться случайной величиной;

процесс пополнения запаса. Может быть мгновенным либо распределенным во времени;

наличие ограничений по оборотным средствам, складской площади т.п.



Глава 2. Детерминированные модели

Чрезвычайно трудно построить обобщенную модель управления запасами, которая учитывала бы все разновидности условий, наблюдаемых в реальных системах. Но если бы и удалось построить достаточно универсальную модель, она едва ли оказалась аналитически разрешимой. Представление в этом разделе модели соответствуют некоторым системам управления запасами. Маловероятно, что эти модели могут точно подойти для реальных условий, однако они приведены с целью различных подходов к решению некоторых конкретных задач управления запасами.

В этом разделе обсуждается пять моделей. Большинство из них однопродуктовые, и только в одной из них учитывается влияние нескольких «конкурирующих» видов продукции. Основное различие между моделями определяется допущением о характера спроса (статический или динамический). Важным фактором с точки зрения формулировки и решения задачи является также вид функции затрат. Используются различные методы решения. Эти примеры наглядно показывают, что при решении задач управления запасами следует применять различные методы оптимизации.

2.1 Модель Уилсона

Модель Уилсона, в определенном смысле классическая, основана на выборе такого фиксированного размера заказываемой партии, который минимизирует расходы на оформление заказа, доставку и хранение товара.

Экономическая партия товара вычисляется при следующих упрощениях реальной ситуации:

уровень запасов убывает с постоянной интенсивностью, и в тот момент, когда все запасы товара исчерпаны, подается заказ на поставку новой партии;

выполнение заказа осуществляется мгновенно, т. е. время доставки равно нулю и уровень запасов восстанавливается до значения равного q;

накладные расходы, связанные с размещением заказа и поставкой товара, не зависят от объема партии и равны постоянной величине;

ежедневная стоимость хранения единицы товара равна постоянной величине.

Данная политика проводимая складом характерна для тех случаев, когда интенсивность потребления запасов близка к постоянной величине, а поставки производятся регулярно.

Простейшая модель оптимальной партии поставки строится при следующих предложениях: спрос v в единицу времени является постоянным; заказанная партия доставляется одновременно; дефицит недопустим; затраты K на организацию поставки постоянны и не зависят от величины q партии; издержки содержания единицы продукции в течение единицы времени составляют s. На рис. 2 показана динамика изменения уровня I запасов.

Рисунок 2 - Динамика изменения уровня I запасов

Уровень запаса снижается равномерно от q до 0, после чего подается заказ на доставку новой партии величиной q. Заказ выполняется мгновенно и уровень запаса восстанавливается до величины q. Интервал времени длиной r между поставками называется циклом. Издержки в течение цикла Lц состоят из стоимости заказа K и затрат на содержание запаса, которые пропорциональны средней величине запаса I1 = q/2 и длине цикла r = q/v,

Разделив это выражение на длину цикла, получим издержки в единицу времени

Оптимальный размер партии определяется из уравнения

(необходимый признак экстремума). Отсюда находим оптимальный размер q* партии:

Так как d2L/dq2 >0 (достаточный признак экстремума), то для всех q>0 выражение (2.2) является минимумом функции затрат (2.1). Уравнение (2.2) известно под многими названиями. Его называют формулой наиболее экономной величины заказа, формулой Уилсона, формулой квадратного корня. Чтобы найти оптимальные параметры работы системы, поставляем значение q* в соответствующие выражение. Получаем, что оптимальная стратегия предусматривает заказ q* через каждые

единиц времени. Наименьшие суммарные затраты работы системы в единицу времени

2.2 Модель с конечной интенсивностью поступления заказа

Пусть заказанная партия поступает с интенсивностью u единиц в единицу времени. Очевидно система может работать без дефицита, если интенсивность поставок u превосходит интенсивность потребления v. Таким образом рассматривается система типа заводского склада, куда продукция, произведенная одним цехом, поступает с определенной интенсивностью и используется в производстве другого цеха. Изменение уровня запаса для рассматриваемого случая изображено на рис. 3. В течение времени r1 запас одновременно и поступает, и расходуется, это время накопления запаса. В течение r2 запас только расходуется. Длина цикла r = r1 + r2. Учитывая, что максимальный наличный запас Iм = q(1-v/u) издержки системы в единицу времени составят



Рисунок 3 - Изменение уровня запаса для продукции, которая производится одним цехом, а используется другим

Оптимальные параметры работы системы определяются обычным образом. Величины оптимальной партии

оптимальный период возобновления заказа

и его составляющие

минимальные издержки в единицу времени

В случае, когда интенсивность поставки значительно больше интенсивности потребления v/u 0, а (2.3), (2.4), (2.55) становятся параметрами обычной системы Уилсона.

2.3 Модель с учетом неудовлетворенных требований

В некоторых случаях, когда потери из-за дефицита сравнимы с издержками хранения, дефицит допускается. Пусть требования, поступающие в момент отсутствия запаса, берутся на учет. Обозначим через y максимальную величину задолженного спроса рис. 4. Максимальная величина наличного запаса Y = q-y расходуется за время r1 (время существования наличного запаса), а затем поступающие требования ставятся на учет в течение времени r2 (время дефицита). При поступлении очередной партии в первую очередь удовлетворяется задолженный спрос, а затем пополняется запас. Убытки, связанные с дефицитом единицы запаса в единицу времени, составляют d. Затраты на хранение продукции пропорциональны средней величине запаса (q-y)/2 и времени его существования (q-y)/v; аналогично убытки от дефицита пропорциональны средней величине дефицита y/2 и времени его существования y/v. Средние издержки работы системы в течение цикла, включающие затраты на размещение заказа, содержание запаса и потери от дефицита



Рисунок 4 - Максимальная величина задолженного спроса

Разделим издержки цикла на его величину r = q/v и получим издержки работы системы в единицу времени

Откуда обычным способом находим

Подставив значения q* и y* в соответствующие выражения, найдем другие оптимальные параметры системы



В более сложных моделях управления запасами сохраняется общий подход: строится функция затрат на приобретение запаса, строится функция потерь при хранении запаса и при его нехватке, находится уравнение запасами, при котором минимизируются затраты и потери.

Возможно также решение задач управления запасами, в которых на переменные величины накладываются определенные ограничения. В качестве примера рассмотрим задачу оптимизации режима производства и хранения, которая относится к комбинированным задачам: задачам составления календарных расписаний и задачам управления запасами.

Задача выравнивания графика производства при неравномерной потребности в производимой продукции возникает на многих предприятиях. Для расчета графика производства решается следующая задача. Известна потребность в деталях определенного вида - at, где t=1,2,…, T - планируемый отрезок времени. Выпуск деталей за этот отрезок времени xt является искомой величиной. Неизвестен и запас изготовленных деталей на конец отрезка времени t-st. Известен лишь начальный запас s0 . Очевидно, что запас на начало t-го периода st-1 вместе с производством за этот период xt должен быть равным потребности at, плюс запас на конец периода st, т. е. xt+ st-1- st= at.

Одним из условий задачи является равномерность составляемого графика производства. Поэтому чем меньше по абсолютной величине разница в выпуске деталей за каждые два последовательных периода (xt+1- xt), тем стабильнее график выпуска. Представим эту разность как разность двух других независимых: xt+1- xt = yt-zt. Неотрицательные переменные yt и zt показывают: yt - прирост, а zt - снижение производства при переходе от t-к (t+1)-й декаде. Целевая функция данной задачи имеет вид

где p - дополнительные затраты при изменении объема выпуска продукции; q - затраты, связанные с содержанием запасов.

В простейшем случае, когда неравномерность графика и увеличение запасов является одинаково нежелательными, задача заключается в минимизации при соблюдении условий:

xt + st-1 - st = at;

xt+1 - xt - yt + zt = 0;

Рассмотрим указанную задачу на конкретном примере. (Приложение1)

2.4 Модель с определением точки заказа

В реальных ситуациях следует учитывать время выполнения заказа Q. Для обеспечения бесперебойного снабжения заказ должен подаваться в момент, когда уровень запаса достаточен для удовлетворения потребности на время выполнения заказа. Этот уровень называется точкой возобновления заказа и обозначается j. Для систем, в которых дефицит не допускается, заказ должен размещаться в момент, когда величина наличного запаса равна

где [.] - целая часть числа (.).

Для обеспечения бездефицитной работы необходим минимальный начальный запас I0, величина которого I0 = Qv. Пусть I - фактический начальный запас. Для непрерывной работы необходимо, чтобы I >= Qv. Время потребления начального запаса равно I/v. Чтобы заказанная партия была доставлена не позже полного расхода начального запаса, ее нужно разместить в момент T0 = I/v - Q. В общем случае заказы нужно размещать в моменты

В системе с конечной интенсивностью поступления заказа при определении оптимальной точки рассматриваются два случая:

Для системы с учетом неудовлетворенных требований точка заказа определяется по формуле

и может быть отрицательной величиной. Это означает, что заявки на пополнение запаса должны посылаться, когда величина дефицита составляет [j].

Многономенклатурные модели

До сих пор мы считали, что каждый вид товара хранится на складе независимо от остальных. Это допущение будет справедливым, если не налагаются ограничений на размер капиталовложений в запасы, на емкость складских помещений и т. п. Однако для многих случаев на практике имеют место указанные ограничения, и необходимы изменения размеров заказов по сравнению с какой-либо индивидуальной политикой, чтобы имелось соответствие наличным ресурсам. Кроме того, могут быть наложены ограничения на пропускную способность путей доставки и отпуска товаров со склада.

Складские системы промышленных предприятий содержат от нескольких десятков до нескольких тысяч номенклатур. Следовательно, возникает необходимость рассмотрения задач управления многономенклатурными запасами. Многие специалисты придерживаются мнения, что оптимизация должна проводиться лишь по 5-10% номенклатур, суммарная потребность в которых в стоимостном выражении составляет 60-70%.

Раздельная оптимизация. При отсутствии взаимодействия между запасами различных видов продукции затраты L в единицу времени для системы, включающей N видов хранимой продукции вычисляются по формуле

Откуда, используя необходимый признак экстремума, находим

Минимальные издержки в единицу времени составляют



Пусть общая складская площадь ограничена величиной f. Ограничение на складские площади имеет вид:

где fi - площадь, необходимая для хранения единицы i-го вида продукции, qi - величина партии i -го вида продукции.

В выражении (2.7) обычно вводится нормировочный множитель h для учета того фактора, что запасы отдельных номенклатур могут поступать независимо друг от друга. Если запасы всех номенклатур пополняются одновременно, то в это время запас и занятая им площадь оказываются максимальными и h=1. Полагая h=1/2, допускаем, что запасы всех видов продукции пополняются в разное время, а уровень запасов и занятая ими площадь является средней. Маловероятно, что занятая площадь окажется много меньше половины имеющейся, поэтому

С учетом сказанного ограничение (2.7) запишется так:

Для определения экстремума функции (2.6) при наличии ограничения (2.8) применим метод множителей Лагранжа. Составим дополнительную функцию Лагранжа, которая состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое - это функция, экстремальное (максимальное или минимальное) значение которой необходимо определить. В нашей задаче - это суммарные издержки в единицу времени, которые надо минимизировать. Второе слагаемое - это разность между левой и правой частью ограничивающего условия. Умноженная на неопределенный множитель u, которому можно придать любое произвольное значение. Если ограничение является несущественным,



то о - отрицательная величина, а u = 0. возможны два случая

Это обеспечивает возможность составления функции Лагранжа.

Поскольку выражение в любом случае равно нулю, то функция

суммарных затрат в единицу времени будет иметь вид

Продифференцируем эту функцию по неизвестным параметрам qi и u и приравняем частные производные к нулю

Откуда выводим систему из N+1 уравнения с N+1 неизвестной q1,…qn, u



Неопределенный множитель Лагранжа в данном случае имеет конкретный экономический смысл. Он показывает, насколько можно сократить минимальные издержки функционирования системы в единицу времени, увеличив складские площади на единицу.

Аналогично решается задача, если ограничения накладываются на величину оборотных средств A, вложенных в запасы. Пусть ai - стоимость единицы материала i - го вида, тогда ограничение имеет вид:

Запишем систему для решения задачи

Неопределенный множитель Лагранжа в этой модели показывает, на сколько денежных единиц уменьшатся затраты в системе, если оборотные средства увеличатся на одну денежную единицу.

Полное совмещение заказов. При пополнении запасов из одного источника часто несколько заказов объединяются. Суммарные издержки размещения N заказов считаются равными где K0 -



фиксированные издержки, не зависящие от числа номенклатур, а

- доля издержек заказа, связанных с размещением его на каждой номенклатуре. Период размещения заказа по всем номенклатурам будет общим. Обозначим его через r . Издержки размещения заказов и содержание запасов в единицу времени

Отсюда

Часто необходимо бывает минимизировать суммарные издержки при различных ограничениях. Пусть, например площадь склада равна f , а единица i-го вида продукции требует для хранения квадратных

метров. С учетом того, что qi = rui , ограничение по складским площадям имеет вид

Ограничение по оборотным средствам



В случае одного ограничения задача решается по следующей схеме. Определяется r0 по формуле (2.9). Если r0 удовлетворяет ограничению, то r*= r0 . Если r0 не удовлетворяет ограничению, то r* должно превратить ограничение (2.10) или (2.11) в строгое равенство, тогда оптимальный период возобновления поставок для ограничения по площади

для ограничения по оборотным средствам

Оптимальный поставочный комплект



Глава 3. Вероятностные модели управления запасами

Резервный запас - это величина запаса, постоянно поддерживаемая дополнительно к ожидаемой потребности.

В случае нормального распределения колебаний спроса это будет среднее значение отклонений. Если, например, среднемесячная потребность составляет 100 изделий, и мы предполагаем, что в следующем месяце она останется такой же, а запас составляет 120 единиц, то 20 единиц и будут резервным запасом.

Известны несколько подходов к установлению величины запаса, обеспечивающего защиту от колебаний спроса. Один из них основывается на определении ожидаемого количества изделий, которых может не хватить. Например, можно поставить задачу так: установить такой уровень запаса, чтобы можно было удовлетворить не менее чем 95% заказов на данную продукцию, т.е. дефицит изделий будет существовать лишь в течение 5% всего времени. Таким образом, мы подошли к определению понятия "уровень обслуживания".

Уровень обслуживания - доля (процент) от общей величины спроса, которую можно реально получить из наличного запаса.

Если, например, годовая потребность в некотором изделии составляет 1000 шт., то 95%-ый уровень обслуживания означает, что 950 шт. можно получить из запаса, а 50 шт. не хватит.

Концепция уровня обслуживания основана на статистической характеристике, известной как "Ожидаемое z или E(z)". E(z) - это ожидаемое количество изделий, которых будет не хватать на протяжении каждого интервала времени выполнения заказа.

Концепция предполагает, что потребность в хранимой продукции является нормально распределенной случайной величиной.

Чтобы определить уровень обслуживания, необходимо знать, сколько изделий не хватит.

Предположим, что среднемесячная потребность в каком-либо изделии составляет 100 шт. ( = 100), а среднеквадратическое отклонение - 10 шт. ( = 10). Если в начале месяца в запасе имеется 110 ед., сколько изделий нам может не хватить?

Для ответа на этот вопрос придется вычислить сумму произведений:

E(z) = 1•P( =111) + 2•P( =112) + 3•P( =113) + ...,

где P(=111) - вероятность того, что потребуется 111 шт., т.е. не хватит одного изделия;

P(=112) - вероятность того, что потребуется 112 шт., т.е. не хватит двух изделий;

P(=113) - вероятность того, что потребуется 113 шт., т.е. не хватит трех изделий и т.д.

Такое суммирование даст нам количество изделий, которых может не хватить, если запас в начале месяца составляет 110 шт.

Решение такой задачи - дотаточно трудоемкий процесс. Однако в настоящее время значения E(z) табулированы. Соответствующая статистическая таблица (так называемая таблица Брауна) показывает зависимость ожидаемого дефицита изделий (E(z)) от резервного запаса, выраженного в стандартных отклонениях спроса (z). При этом табличные значения приведены к стандартному отклонению спроса, равному единице.

Далее продолжим рассмотрение обсуждаемого подхода применительно к каждой из двух основных стратегий управления запасами.

3.1 Модель с фиксированным размером заказа и уровень обслуживания

При использовании такой стратегии уровень запаса отслеживается непрерывно. Опасность исчерпания запаса возникает здесь только в течение времени выполнения заказа (в течение заготовительного периода).

В течение периода возможны колебания спроса. Этот диапазон вычисляется либо на основе анализа ретроспективных данных, либо на основе некоторой предположительной оценки (если данные за прошедшие периоды невозможно получить).

Величина резервного запаса зависит от требуемого уровня обслуживания. Объем партии заказа q вычисляется обычным способом. Затем устанавливается "точка заказа", которая учитывает ожидаемую потребность в течение заготовительного периода, плюс резервный запас, определяемый требуемым уровнем обслуживания.

Рисунок 5 - Диапазон отклонений потребности в модели с фиксированным размером заказа

Таким образом, важнейшее различие между моделью, в которой потребность известна, и моделью, где потребность является случайной величиной, заключается в определении "точки очередного заказа". Объем заказа в обоих случаях одинаков. При этом элемент неопределенности учитывается в резервном запасе.

"Точка заказа" вычисляется следующим образом:

S = • +

где - средняя интенсивность спроса;

- средняя продолжительность заготовительного периода;

z - число стандартных отклонений спроса в резервном запасе для заданного уровня обслуживания;

- стандартное отклонение спроса в течение заготовительного периода.

Слагаемое • определяет ожидаемый спрос в течение заготовительного периода, а слагаемое представляет собой величину резервного запаса.

Остановимся на определении величин z и .

Значение определяется в зависимости от условий задачи. Будем рассматривать три случая.

1. Если изменяется только спрос, а продолжительность заготовительного периода - величина постоянная, то:

где - стандартное отклонение спроса в единицу времени.

2. Если изменяется только заготовительный период, а спрос остается постоянным, то:

где - стандартное отклонение продолжительности заготовительного периода.

3. Наконец, если изменяются и спрос, и заготовительный период, то:

Перейдем к определению z. Для этого вычисляется E(z) - дефицит изделий, который удовлетворяет заданному уровню обслуживания, а затем по таблице Брауна находится соответствующее значение z.

Для вычисления E(z) используется формула:

где p - требуемый уровень обслуживания, в долях единицы; соответственно, (1 - p) - неудовлетворенная часть потребности;

q - экономичный размер заказа (вычисляется обычным образом);

E(z) - ожидаемый дефицит изделий в каждом цикле заказа, выраженный в стандартных отклонениях спроса.

3.2 Модель с фиксированной периодичностью заказа и уровень обслуживания

Модель с фиксированной периодичностью предполагает, что размеры заказов различны для разных циклов. Таким образом, размер запаса регулируется за счет изменения объема партии. Возобновление же заказа определяется временем. Следовательно, модель с фиксированной периодичностью должна иметь защиту от исчерпания запасов (резервный запас) не только на время исполнения заказа, но и на весь последующий цикла заказа.

Таким образом, модель с фиксированной периодичностью больше нуждается в резервном запасе, чем модель с фиксированным размером партии.



Рисунок 6 - Вероятностная модель с фиксированной периодичностью заказа

Рассмотрим ситуацию с переменным спросом и постоянной продолжительностью заготовительного периода. Ситуация наиболее частая с точки зрения практики, а также наиболее простая для изучения.

Объем заказа в такой модели будет определяться по следующей схеме:

Объем заказа = Ожидаемый спрос в течение цикла заказа и заготовительного периода + Резервный запас - Наличный запас в момент подачи заявки.

Соотношение, представленное на схеме, запишем в виде формулы:

q = (l + ) + - Z,

где q - размер очередного заказа;

- средняя интенсивность спроса;

l - промежуток времени между подачей заявок;

- продолжительность заготовительного периода;

z - число стандартных отклонений спроса в резервном запасе для заданного уровня обслуживания;

- стандартное отклонение спроса в течение цикла заказа и заготовительного периода;

Z - текущий уровень запаса.

При этом:

где - стандартное отклонение спроса в единицу времени.

Величину z можно получить из таблицы Брауна по E(z), которое для данного случая определяется по формуле:



Заключение

В любой задаче управления запасами решается вопросы выбора размеров и сроков размещения заказов на запасаемую продукцию. К сожалению, общее решение этой задачи нельзя получить на основе одной модели. Поэтому разработаны самые разнообразные модели, описывающие различные частные случаи. Одним из решающих факторов при разработке модели управления запасами является характер спроса. В наиболее простых моделях предполагается, что спрос является статическим (детерминированным).

В большинстве моделей управление запасами осуществляется оптимизацией функции затрат, включающей затраты на оформление заказов, закупку и хранение продукции, а также потери от дефицита. Потери от дефицита обычно наиболее сложно оценить т.к. они могут быть обусловлены такими нематериальными факторами, как, например, ухудшение репутации. С другой стороны, хотя оценку затрат на оформление заказа получить нетрудно, включение в модель этой статьи расходов существенно усложняет математическое описание задачи.

Известные модели управления запасами редко точно описывают реальную систему. Поэтому решение, получаемое на основе моделей этого класса, следует рассматривать скорее, как принципиальные выводы, а не конкретные рекомендации. В ряде сложных случаев приходится прибегать к методам имитационного моделирования системы, чтобы получить достаточно надежное решение.



Приложение

Таблица Брауна

Показывает зависимость ожидаемого дефицита изделий (E(z)) от резервного запаса, выраженного в стандартных отклонениях спроса (z). Значения приведены к стандартному отклонению спроса, равному единице.

z	E(z)	z	E(z)	z	E(z)	z	E(z)
-4,50 4,500 -4,40 4,400 -4,30 4,300 -4,20 4,200 -4,10 4,100 -4,00 4,000 -3,90 3,900 -3,80 3,800 -3,70 3,700 -3,60 3,600 -3,50 3,500 -3,40 3,400 -3,30 3,300 -3,20 3,200 -3,10 3,100	-1,56 1,586 -1,52 1,548 -1,48 1,511 -1,44 1,474 -1,40 1,437 -1,36 1,400 -1,32 1,364 -1,28 1,328 -1,24 1,292 -1,20 1,256 -1,16 1,221 -1,12 1,186 -1,08 1,151 -1,04 1,117 -1,00 1,083	0,12 0,342 0,16 0,324 0,20 0,307 0,24 0,290 0,28 0,275 0,32 0,256 0,36 0,237 0,40 0,230 0,44 0,217 0,48 0,204 0,52 0,192 0,56 0,180 0,60 0,169 0,64 0,158 0,68 0,148	1,80 0,014 1,84 0,013 1,88 0,012 1,92 0,010 1,96 0,009 2,00 0,008 2,04 0,008 2,08 0,007 2,12 0,006 2,16 0,005 2,20 0,005 2,24 0,004 2,28 0,004 2,32 0,003 2,36 0,003
-3,00 3,000 -2,90 2,901 -2,80 2,801 -2,70 2,701 -2,60 2,601 -2,50 2,502 -2,40 2,403 -2,36 2,363 -2,32 2,323	-0,96 1,049 -0,92 1,017 -0,88 0,984 -0,84 0,952 -0,80 0,920 -0,76 0,889 -0,72 0,858 -0,68 0,828 -0,64 0,798	0,72 0,138 0,76 0,129 0,80 0,120 0,84 0,112 0,88 0,104 0,92 0,097 0,96 0,089 1,00 0,083 1,04 0,077	2,40 0,003 2,44 0,002 2,48 0,002 2,52 0,002 2,56 0,002 2,60 0,001 2,64 0,001 2,68 0,001 2,72 0,001
-2,28 2,284 -2,24 2,244 -2,20 2,205 -2,16 2,165 -2,12 2,126 -2,08 2,087 -2,04 2,048 -2,00 2,008 -1,96 1,969 -1,92 1,930 -1,88 1,892 -1,84 1,853 -1,80 1,814 -1,76 1,776 -1,72 1,737 -1,68 1,699 -1,64 1,661 -1,60 1,623	-0,60 0,769 -0,56 0,740 -0,52 0,712 -0,48 0,684 -0,44 0,657 -0,40 0,630 -0,36 0,597 -0,32 0,576 -0,28 0,555 -0,24 0,530 -0,20 0,507 -0,16 0,484 -0,12 0,462 -0,08 0,440 -0,04 0,419 0,00 0,399 0,04 0,379 0,08 0,360	1,08 0,071 1,12 0,066 1,16 0,061 1,20 0,056 1,24 0,052 1,28 0,048 1,32 0,044 1,36 0,040 1,40 0,038 1,44 0,034 1,48 0,031 1,52 0,028 1,56 0,026 1,60 0,023 1,64 0,021 1,68 0,019 1,72 0,017 1,76 0,016	2,76 0,001 2,80 0,0008 2,84 0,0007 2,88 0,0006 2,92 0,0005 2,96 0,0004 3,00 0,0004 3,04 0,0003 3,08 0,0003 3,12 0,0002 3,16 0,0002 3,20 0,0002 3,24 0,0001 3,28 0,0001 3,32 0,0001 3,36 0,0001 3,40 0,0001

Размещено на Allbest.ru