Використання економіко-математичного моделювання у процесі планування економічної діяльності в умовах обмеженості ресурсів

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти та науки України

НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ХАРКІВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ

ФАКУЛЬТЕТ ЕКОНОМІЧНОЇ ІНФОРМАТИКИ ТА МЕНЕДЖМЕНТУ

КАФЕДРА ЕКОНОМІЧНОЇ КІБЕРНЕТИКИ ТА МАРКЕТИНГОВОГО

МЕНЕДЖМЕНТУ

КУРСОВА РОБОТА

з дисципліни «Економіко-математичні методи та моделі»

Виконала:студентка групи ЕІМ-13

Якименко А.І.

Керівник: доцент кафедри ЭКММ

Харченко А.О.

Харків, НТУ ХПІ 2015

РЕФЕРАТ

Курсова робота розглядає питання використання економіко-математичного моделювання у процесі планування економічної діяльності в умовах обмеженості ресурсів.

У вступі йдеться про зміст роботи, її актуальність, формується мета курсової роботи.

Зміст основної частини курсової роботи визначається індивідуальним варіантом та складається з трьох завдань. Курсова робота виконується за варіантом №13.

Висновок включає аналіз отриманих результатів.

ВСТУП

Іноді конкретний результат дуже складно спрогнозувати і достовірно його можна отримати лише експериментальним способом. Подібний досвід є досить складним і дорогим заходом, можливі втрати грошових коштів і часу зовсім неприпустимі, тому в цій області велике значення має економіко-математичне моделювання, що є альтернативним виходом при вирішенні даних питань.

Актуальність даної роботи полягає в тому, що використання економіко-математичного моделювання дозволяє не тільки знайти оптимальне рішення, але також дає змогу досягти більш повного вивчення впливу окремих факторів на економічні показники діяльності організацій, зменшити терміни здійснення аналізу та підвищити точність здійснення економічних розрахунків.

Метою курсової роботи є застосування теоретичних знань з моделювання економічних процесів для розв'язання задач, пов'язаних з оптимізацією в умовах обмеження ресурсів.

Оптимальне рішення знаходиться за рахунок моделювання і дослідження необхідної ситуації, вивчення факторів, що впливають на економічні процеси, кількісної оцінки наслідків змін умов розвитку економічних об'єктів.

Дана курсова робота розглядає 3 завдання.

У першому завданні представлено графічний метод розв'язання задач лінійного програмування.

Друге завдання полягає у формалізації та пошуку оптимального плану використання ресурсів на виробництві за допомогою пакета MS EXCEL та у проведенні аналізу стійкості отриманого результату.

Третє завдання належить до задач нелінійного програмування до класу задач безумовної оптимізації.

1 РОЗВ'ЯЗАННЯ ГРАФІЧНИМ МЕТОДОМ ЗАВДАННЯ З N ЗМІННИМИ

1.1 Умову задачі представлено у вигляді математичної моделі

1.2 Для зображення системи обмежень в двовимірній системі координат необхідно провести вираження змінних через будь-які дві з них

1.3 Функція мети матиме вигляд

1.4 Нова система обмежень

1.5 Представлення обмежень та цільової функції у вигляді рівностей та відображення їх на графіку (Рис 1.5, Рис 1.6)

- обмеження (1).

- обмеження (2).

- обмеження (3).

Обмеження (1), (2) і (3) складають ОДЗ та представленні на Рис. 1.5 заштрихованою областю АВСD.

Будується вектор-градієнт який починається в точці (0; 0) і закінчується в точці (c1; c2).

c1 = 0, c2 = 3,5;

Лінія рівня має вигляд:

економічний об'єкт рішення стійкість

Виконаємо паралельне перенесення прямої, що графічно відображає цільову функцію, у напрямку градієнта у крайню вершину області допустимих рішень для визначення точки, в якій функція приймає найбільше значення.

Рис. 1.5 - Графічне представлення обмежень ОДЗ

1.6 Знаходження оптимуму (Рис 1.6)

Згідно з графіком заштрихована фігура, чотирикутник ABCD - це область допустимих рішень (ОДЗ).

Паралельне перенесення прямої у напрямку градієнта знайшло оптимальне рішення задачі, яким є точка А.

Отже у результаті підстановки точки А у цільову функцію вона прийме максимальне значення.

Відповідь: у точці А(3; 0; 0; 14) цільова функція приймає максимальне значення, що дорівнює 45

2. РОЗВ'ЯЗАННЯ ЗАДАЧІ ЛІНІЙНОГО ПРОГРАМУВАННЯ ЗА ДОПОМОГОЮ ПАКЕТА MS EXCEL

2.1 Умова задачі

Бройлерне господарство птахівницької ферми налічує 20000 курчат, які вирощуються до 8-тижневого віку і після відповідної обробки надходять у продаж. Тижневий витрата корму в середньому (за 8 тижнів) становить0,5кг. Для того щоб курчата досягли до 8-го тижня необхідної ваги, кормовий раціон повинен задовольняти певним вимогам щодо поживності. Цим вимогам можуть відповідати суміші різних видів кормів, або інгредієнтів. В таблиці наведено дані, що характеризують вміст (за вагою) поживних речовин у кожному з інгредієнтів і питому вартість кожного інгредієнта.

Таблиця 2.1 - Умова задачі

Суміш повинна містити (від загальної ваги суміші): не менше 0, 8% кальцію; не менше 22% білка; не більш як 5% клітковини.

Потрібно визначити кількість (кг) кожного з трьох інгредієнтів, утворюючих суміш мінімальної вартості, при дотриманні вимог до спільного витрати кормової суміші та її поживності.

2.2 Формалізація задачі

· Z - мінімізація вартості кожного з трьох інгредієнтів; - кг і-го інгредієнта.

· Цільова функція:

· Система обмежень:

· Необхідно знайти такі значення які призведуть до мінімізації загальної вартості придбаної продукції та будуть задовольняти обмеженням по кількості ресурсів.

2.3 За допомогою пакета MS EXCEL «Пошук рішення» знайдемо оптимальний план розподілу ресурсів (Рис 2.3)

З розрахунку видно, що для мінімізації загальної вартості всієї придбаної продукції необхідно придбати 177,63 кг вапняку та 6250 кг соєві боби, тоді загальна вартість дорівнює 2571,05.

Рис. 2.3 - Розрахунки в MS EXCEL

2.4 Аналіз стійкості отриманого рішення

Таблиця 2.5 наочно демонструє, що перший та третій інгредієнти є дефіцитними, тобто придбаний об`єм інгредієнтів дорівнює поставленим обмеженням.

Таблиця 2.5 - Використання інгрдієнтів

Також можна побачити, що придбано вище обмеження другого інгредієнта, що свідчить про те, що другий інгредієнт є надлишковим.

2.5 Введемо поняття «цінність додаткової одиниці», яке визначається як відношення приросту функції цілі до зміни об'єму сировини, і визначимо цінність сировини 1 та 3

· Придбання меншої кількості інгредієнту 1:

· Придбання меншої кількості інгредієнту 3:

2.7 Інгредієнт 3 є більш цінним, ніж інгредієнт 1. Інгредієнт 2 - надлишковий

Таблиця 2.7 - Цінність сировини

Тобто, в процесі скорочення першому та третьому інгредієнту слід надавати перевагу, бо зменшення саме цих інгредієнтів призводить до більш суттєвого зменшення витрат.

3 РОЗВ`ЯЗАННЯ ЗАДАЧІ НЕЛІНІЙНОГО ПРОГРАМУВАННЯ ЧИСЛОВИМИ МЕТОДАМИ

Знаходження мінімуму функції градієнтним методом з дробленням кроку та методом Коші (методом найшвидшого спуску).

Умова задачі: Функція має вид

Оптимізацію проводити з точністю:

Процес розрахунків вважати закінченним, якщо виконується наступна умова:

Початкова точка

Градієнтний метод з дробленням кроку та метод Коші відносяться до методів безумовної оптимізації першого порядку. Сутність цих методів полягає у тому, що для пошуку оптимуму цільової функції використовується вектор-градієнт, який дозволяє визначити напрямок руху до оптимуму.

Спочатку розберемося з градієнтним методом з дробленням кроку.

Побудуємо алгоритм даного методу для знаходження мінімуму функції:

Рис. 3.1 - Алгоритм градієнтного методу з дробленням кроку для знаходження мінімуму функції

Реалізуємо даний метод в програмі MathCad:

Рис. 3.2 - Програмна реалізація градієнтного методу з дробленням кроку для знаходження мінімуму функції

Знайдемо мінімум функції (3.1) за допомогою програмної реалізації градієнтного методу з дробленням кроку:

Рис. 3.3 - Мінімум функції (3.1) знайдений градієнтним методом з дробленням кроку

Аналізуючи отриманні дані, можна сказати, що мінімум функції знайдений на 29 кроці (). Функція (3.1) досягає свого мінімуму в точці (). Мінімум функції знайдений з точністю дорівнює .

З градієнтним методом з дробленням кроку завершено. Тепер перейдемо до методу Коші.

Алгоритм методу для знаходження мінімуму функції:

Рис. 3.4 - Алгоритм методу Коші для знаходження мінімуму функції

Тепер реалізуємо даний метод в програмі MathCad:

Рис. 3.5 - Програмна реалізація методу Коші для знаходження мінімуму функції

Знайдемо мінімум функції (3.1) за допомогою програмної реалізації методу Коші:

Рис. 3.6 - Мінімум функції (3.1) знайдений методом Коші

Проаналізував отриманні дані, можна сказати, що на 9 кроці знайдений мінімум функції (3.1).

Цей мінімум функція досягає у точці .

Мінімум функції знайдений з точністю дорівнює .

ВИСНОВОК

В даній курсовій роботі було розглянуто 3 завдання.

Розв'язавши задачу з n змінними графічним методом з ОДЗ було вибрано оптимум функції шляхом пересування лінії рівня у напрямку градієнту. Оптимумом функції є ребро ВС області ОДЗ.

В другій задачі, формалізувавши її та скориставшись пакетом MS EXCEL, було отримано оптимальний план. Дослідивши його на стійкість, було визначено, що з трьох наявних сировин на виробництві одна є дефіцитною, дві інші ? надлишковими. Визначено як можна зменшити надлишкові ресурси та зроблено висновок, що в процесі інвестування першій сировині слід надавати перевагу, бо збільшення саме цієї сировини призводить до більш суттєвого збільшення прибутку.

В третій задачі за допомогою методу Нелдера-Міда знайдено оптимум нелінійної функції цілі.

Виконання даної курсової роботи покращило навики моделювання економічних процесів для розв'язання задач, пов'язаних з оптимізацією в умовах обмеження ресурсів, а саме: формалізація моделі, побудова математичних моделей оптимізаційних задач, використання у розв'язку сучасних інформаційних підходів, аналіз отриманих результатів. Тобто, мета курсової роботи була досягнута.

ДЖЕРЕЛА ІНФОРМАЦІЇ

1. Зайченко Ю.П. Дослідження операцій: Підручник. - 6-е вид. - К .: ВД «Слово», 2013. - 688 с.

2. Дослідження операцій в економіці: Учеб. Посібник для вузів / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, І.М. Тришин, М.Н. Фрідман; Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. - М .: ЮНИТИ, 2004. - 407 с.

3. Косоруков О.А., Міщенко А.В. Дослідження операцій: Підручник. - М .: Изд-во «Іспит», 2013. - 448 с.

4. Ларіонов Ю.І., Марченко Л.С., Хажмурадов М.А. Дослідження операцій. Навчальний посібник в 2-х частин. - Х .: ВД «ІНЖЕК», 2005. - 288 с.

5. Раскін Л.Г. Математичне програмування: Навчально-методичний посібник для студентів економічних спеціальностей. - Х.: ХДПУ, 2000

6. Тюрін Ю. М., Макаров А. А. Аналіз даних на комп'ютері. - М .: Инфра-М, 2003.

7. Харченко А.А. Методичні вказівки до лабораторних робіт з курсу «Дослідження операцій» для студентів усіх спеціальностей. - Харків: НТУ «ХПІ», 2004. - 84.

Размещено на Allbest.ur