Сравнение методов вычисления объемов насыпных складов и отвалов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Сравнение методов вычисления объемов насыпных складов и отвалов

Зенков Валерий Валентинович

Зенков Валерий Валентинович, Институт проблем управления РАН им. В.А.Трапезникова, г. Москва, ст.н.с., к.т.н.

Произведено сравнение методов расчета объемов насыпных складов и отвалов. Дана оценка предельных расхождений результатов расчета объемов методами усреднения высот, триангуляции и объемной палетки.

Ключевые слова: маркшейдерия, вычисление объемов, насыпные склады, отвалы, объемная палетка, усреднение высот, триангуляция.

В руководстве маркшейдера по вычислению объемов насыпных складов и отвалов указываются допустимые пределы разности двух независимых определений объема, привязанные к результату, пункт 3.6.4 [1]. Поскольку существуют различные методы вычисления объемов насыпных тел [2], и точность расчетов определяется довольно условно, то немаловажно определить, насколько могут разняться результаты вычисления объемов, полученных разными методами при одних и тех же исходных данных.

Ограничимся методами вычисления объёма насыпного склада, отвала и т.п., когда его представляют в виде суммы призм, имеющих в горизонтальном основании треугольники или многоугольники, площади основания которых умножают на средние высоты. Если основание не является горизонтальной плоскостью, то объем основания вычисляется аналогичным образом и в расчет объема вносится поправка. Ограничимся тремя методами расчета объема: методом простого усреднения высотных отметок, методом триангуляции и методом объемной палетки [2] .

Чтобы представить особенности сравниваемых методов, на простейших примерах, доступных для анализа, во-первых, сравним результаты расчетов объемов разными методами и, во-вторых, рассмотрим, как выглядят соответствующие аппроксимации поверхностей объемов.

Простой пример

Триангуляция аппроксимирует поверхность объема совокупностью плоскостей смежных треугольников - плоскостей, построенных по трем точкам. При большем числе точек одну плоскость построить нельзя за исключением вырожденных случаев. Объемы трехгранных призм, на которые разбивается объем фигуры при триангуляции, вычисляются по средним высотам, полученным по трем соответствующим высотным отметкам. В принципе, нет разницы между математическими методами вычисления объемов фигур, представляемыми суммами призм с треугольниками или многоугольниками в основании. Во всех случаях площади оснований призм умножаются на среднюю высоту для получения элементарных объемов, и при вычислении объема в любом случае можно считать, что поверхность объема представляется кусочно-горизонтальными плоскостями, расположенными на усредненных высотах соответствующих точек. В триангуляции это три точки, в объемной палетке - четыре.

Рассмотрим призму с параллелограммом в ее основании, рис. 1.

Предположим, что ошибки определения координат исходных точек в плоскости XY и высотных отметок приведены к ошибкам в определении высотных отметок, т.е. координаты точек в плоскости XY получены без ошибок, а высотные отметки - с ошибкой е, имеющей нулевое среднее и дисперсию у2.

Разность объемов, вычисленных методом триангуляции (по сумме двух трёхгранных призм), и методом простого усреднения четырех высотных отметок будет состоять из систематической Д и случайной о составляющих:

Д = ( z1 + z2 + z4 ) * s / 3 + ( z2 + z3 + z4 ) * s /3- ( z1 + z2 + z3 + z4 ) * 2 * s / 4 = (( z1 + z3) * 2 + (z2 + z4) * 4 - ( z1 + z3) * 3 - ( z2 + z4 ) * 3 )* s / 6

Д = (z2 + z4 - z1 - z3) * s / 6,

о = (е2 + е4 - е1 - е3) * s / 6.

Среднее значение случайной составляющей разности объемов о равно нулю, а дисперсия о

D = 4 * у2 * s2 / 36 = у2 * s2 / 9.

Расхождение результатов расчетов Д считается значимым, т.е. вызванным неслучайными причинами, если оно по абсолютной величине превышает интервал “два сигма”

2*D0.5 = 2*у*s/3.

Из (1) следует, что, если точки z1, z2, z3, z4 не лежат в одной плоскости, Д # 0, то метод триангуляции дает бОльшую величину объема, чем метод простого усреднения высот, если средняя высота диагонали (z2,z4), выбранной для разделения треугольников, больше средней высоты другой диагонали (z1,z3), не использованной для разделения треугольников. Вывод достаточно очевиден: выбор той или иной диагонали для разделения треугольников делает поверхность четырехгранной призмы либо выпуклой - объем больше, либо вогнутой - объем меньше.

С учетом погрешностей измерений, если величина Д по абсолютной величине укладывается в двухсигмовый интервал ошибки, т.е.

|Д| < 2*D0.5 ,

| z2 + z4 - z1 - z3| < 4* у,

то разбивать фигуру на две не имеет смысла, достаточно использовать метод простого усреднения высот призмы.

По принципу Делоне [3], рекомендующему объединять точки в треугольники, чтобы четвертая точка не попадала в окружность, описывающую первые три точки, необходимо строить треугольники на короткой диагонали параллелограмма.

Если фигура, объем которой надо вычислить, состоит из призм, в основании которых лежат параллелограммы, в частности, как в объемной палетке (в основании - одинаковые параллелограммы), то, исходя из (1), разность Д между объемом, вычисленным суммированием трехгранных призм, и объемом, вычисленным суммированием четырехгранных призм, не может по абсолютной величине отличаться на величину, большую, чем

|Д|max = max |D1i - D2i| * S / 3 ? max ( Zmax i - Zmin i ) * S / 3,

i i

где S -площадь основания всей фигуры,

D1i , D2i - высотные отметки центров двух диагоналей на поверхности призмы i, которые могут использоваться для построения треугольников,

Zmax i , Zmin i - максимальная и минимальная высотная отметка в призме i.

Правый член неравенства (3) является легче вычисляемым, но существенно более грубым пределом для возможного значения Д. Это будет показано далее на численном примере (9) к случаю, рис.1.

По отношению к объемной палетке следует иметь в виду, что в ней в качестве точек для вычисления объема берутся не исходные точки, а точки регулярной сетки, построенной по исходным точкам, расположенным произвольным образом. Предельные значения (3) в применении к объемной палетке не совсем корректны. Они справедливы для точек регулярной сетки, а не в отношении к исходным точкам.

Общий случай. Вычисление объемов по частям методом усреднения высот

Сравним два результата вычисления объема: один результат получим путем разделения объема на две смежные части и вычисления суммарного объема по усредненным высотным отметкам и площадям оснований обеих частей, второй - по средней высоте и площади основания всей фигуры, рис. 2.

Граница раздела в основании представлена на рис.2 ломаной линией, построенной по точкам с высотными отметками z1, z2, …zk. Слева от нее расположены точки одной части фигуры, справа - другой части. Помимо точек, расположенных на границах, полагаем наличие точек внутри границ областей. Точки, лежащие на границе, участвуют в вычислении всего объема, объема одной части и объема другой части.

На результат дальнейшего анализа не влияет конфигурация границы. Она не обязательно должна быть кусочно-линейной. Может быть также разомкнутой, как на рис.2, замкнутой и даже образовывать многосвязные области. Нужно лишь, чтобы в каждой из двух областей, кроме точек границы, имелась хотя бы одна точка, а основание фигуры разбивалось бы на две части в сумме равные площади всего основания.

Поверхность фигуры в итоге можно представить двумя горизонтальными плоскостями, расположенными на усредненных высотах, вычисленных по точкам в основании левой и правой частей фигуры, и одной горизонтальной плоскостью для всей фигуры в целом.

В случае многосвязных областей будем иметь две слагаемые группы областей. Одна группа имеет одну высоту, другая - другую. В абстрактном случае можно произвольно создавать три непустых набора точек: условно левые точки, условно правые точки и точки границы. Вид самой границы не имеет значения. Левая и правая площади основания в сумме должны давать всю площадь основания фигуры.

Точки левой части, кроме точек на границе, обозначены Z1k+1, Z1k+2, Z1k+3, … . Точки правой части - Z2k+1, Z2k+2, Z2k+3, … . Все точки на границе участвуют в расчетах высотных отметок и левой, и правой частей.

Разность объемов Д, вычисленных двумя способами, будет

Д = (Z0 + Z1 )*S1 / N1 + ( Z0 + Z2 )*S2 / N2 - (Z0 + Z1 + Z2 )*(S1 + S2 ) / (N1 + N2 - N0 ),

где Z0 - сумма высот точек, лежащих на границе раздела,

Z1 - сумма высот остальных точек левой части,

Z2 - сумма высот остальных точек правой части,

S1 , S2 - площади оснований левой и правой частей,

N1 , N2 , N0 - количества точек левой, правой частей и на границе,

N1 > N0, N2 > N0.

Из выражения (4) для случая, рис. 1, следует (1), т.к.

Z0 = z2 + z4, Z1 =z1, Z2 = z3, S1 = S2 = s, N1 =3, N2 =3, N0 =2.

Граница по хребту.

Рассмотрим случай, когда граница раздела проходит по хребту, т.е. высотные отметки точек на границе имеют максимальные значения среди всех остальных точек. Тогда будут справедливы неравенства

Z0 / N0 > (Z0 + Z1) / N1, Z0 / N0 > (Z0 + Z2) / N2,

Z0 / N0 > (Z0 + Z1+ Z2) / (N1 + N2 - N0),

Д < Z0 *S1 / N0 + Z0 *S2 / N0 - (Z0 + Z1 + Z2 )*(S1 + S2 ) / (N1 + N2 - N0 ).

Д < (Z0 / N0 - Z / N) * S,

где Z = Z0 + Z1 + Z2 - сумма высот всех точек,

N = N1 + N2 - N0 - количество всех точек,

S = S1 + S2 - площадь основания всей фигуры.

Граница по оврагу.

Рассмотрим случай, когда граница раздела проходит по оврагу, т.е. высотные отметки точек на границе имеют минимальные значения среди всех остальных точек. Тогда будут справедливы неравенства (6) с обратными знаками, и

Д > (Z0 / N0 - Z / N) * S

Общий случай границы.

Если необходимо оценить пределы различий в вычислении объема по двум частям и в целом, когда количество точек на границе раздела равно N0 , то достаточно взять N0 точек, образующих максимальную сумму Z0 при выполнении неравенства (5), и вычислить верхнее предельное значение (7), затем взять повторно N0 точек, но образующих минимальную сумму Z0 при выполнении неравенства (5), и получить нижнее предельное значение (8). Расхождение между результатами расчета объема двумя методами будет лежать среди этих пределов.

Вернемся к случаю, рис. 1 в соответствующих обозначениях. Предположим, что

z1 > z4 > z2 > z3, z1=z4+1, z4=z2+1, z2=z3+2, z3=50.

Для N0 = 2 при условии (5) возможны лишь два варианта: диагональ

z2+z4=z3+2+z3+3=2*z3+5 и диагональ z1+z3=z3+4+z3=2*z3+4

Верхняя граница для (1) будет (меньше, чем хребет, т.к. z1 выше границы )

((z2+z4)/2 -(z1+z2+z3+z4)/4 )*2*s= (z2+z4 - z1-z3)*s/2=(z3+2+z3+3-z3-4-z3)*s/2=s/2.

Нижняя граница для (1) будет (как овраг, здесь требуется уточнение-надо выбирать границу и остальные точки S1, S2 пло минимуму и максимуму средних)

((z1+z3)/2 -(z1+z2+z3+z4)/4 )*2*s= (z1+z3 - z2-z4)*s/2 =(z3+4 +z3-z3-2-x3-3)*s/2= -s/2.

Результат (1) для условий (9), т.е. Д = s/6, лежит в пределах от -s/2 до +s/2.

Процентное различие в результатах, если Д =s/6 пересчитать в отношении к объему призмы по средней высоте 209/4 = 50.2 будет составлять 100*s/6/50.2/2/s = 0.15%. Предельный диапазон возможных значений Д от -s/2 до s/2, пересчитанный в проценты, будет от -0.48% до 0.48%.

Боле грубые пределы (3) в нашем примере будут от -8% до 8%. Они более грубы в 16 раз.

Степень выпуклости

Отличие результата вычисления объема путем представления его в виде суммы призм, от результата вычисления объема путем простого усреднения всех высотных отметок можно интерпретировать как степень выпуклости поверхности фигуры.

Степень выпуклости предлагается оценивать с помощью безразмерного критерия

Щ = (Vt - V) / S /(Zmax - Zmin),

где Vt - объем, полученный в виде суммы призм, например, в методе триангуляции,

V - объем, вычисленный путем усреднения всех высотных отметок,

S - площадь всего основания,

Zmax, Zmin - максимальная и минимальная высотная отметка.

Если Zmax = Zmin, то Щ = 0. Поверхность - плоская.

Для “преимущественно выпуклой” фигуры Щ > 0, для “преимущественно вогнутой” фигуры Щ < 0.

В нашем примере, рис.1, степень выпуклости для Д=s/6, S=2*s, будет

Щ = Д/2/s/(z1-z3) = s/6/2/s/(54-50)=1/48 = 2 %.

Предельная степень выпуклости (s/2) в рассмотренном примере равна 6 %, а вогнутости - равна - 6 %.

Триангуляция и объемная палетка

Метод палетки используется для аппроксимации поверхности, когда по замерам высот ряда заданных точек рассчитываются высотные отметки регулярной сетки точек. Высотная отметка каждой точки палетки зависит от ее расстояния до заданных точек. Обычно устанавливается некий радиус захвата или прямоугольник захвата, и те из заданных точек, которые находятся от точки палетки в пределах этого радиуса или прямоугольника, используются для вычисления высотной отметки точки палетки. Высотная отметка точки палетки рассчитывается как взвешенная сумма высот заданных точек в радиусе или в прямоугольнике захвата. Чем ближе заданная точка к точке палетки, тем с большим весом ее высота учитывается в расчете. Если заданная точка совпадает с точкой палетки, то ее высота присваивается высоте точке палетки. Таким образом строится сглаженная поверхность с помощью палетки.

В методе триангуляции поверхность представляется состоящей из смежных треугольников, построенных по точкам с известными высотными отметками.

Рассмотрим простейшую ситуацию, когда высотные отметки z измеряются в трех точках T1, T2 и T3, рис. 3.

Возьмем единственную точку палетки и предположим, что радиус захвата бесконечен, а вес заданной точки обратно пропорционален расстоянию между точкой палетки и заданной точкой. Рассмотрим, как будет меняться рассчитанная высотная отметка точки палетки относительно средней высоты трех заданных точек при перемещении точки палетки относительно этих заданных точек по некоторой прямой.

Ограничимся случаем, рис.3, когда точка палетки перемещается по оси X, и будем вычислять разность между высотой точки палетки и средней высотой трехгранной призмы, построенной по точкам T1, T2 и T3 с высотными отметкам z1, z2 и z3.

Для точки палетки Т, расположенной на расстояниях r1, r2 и r3 от точек Т1 , Т2 , Т3 высотная отметка

H = ( z1 / r1 + z2 / r2 + z3 / r3 ) * u,

r1>0, r2>0, r3>0.

Если ri =0, то H = zi, i=1,2,3,

где u - нормирующий множитель, обеспечивающий равенство единице суммы весовых коэффициентов

u * ( 1 / r1 + 1 / r2 + 1 / r3) =1.

u = r1 * r2 * r3 / RR,

H = ( z1 * r2 * r3 + z2 * r1 * r3 + z3 * r1 * r2) / RR

Где

RR = ( r1 * r2 + r1 * r3 + r2 * r3 ).

Объем при его вычислении методом триангуляции представляется состоящим из призм, подобных рис.3. Для плоского горизонтального основания призмы объем находится как произведение площади основания на среднюю высоту. Расхождение в результатах вычисления объема призмы по одной точке палетки, рис.3, и по средней высоте призмы, следовательно, будет пропорционально разности высот:

Д = H - ( z1 + z2 + z3 ) / 3,

Разность высот Д зависит от положения точки палетки T относительно точек T1, T2 и T3, а также от соотношения между собой высотных отметок z1, z2 и z3. Рассмотрим некоторые частные случаи.

1. r1 = r2 = r3 = r. Точка Т расположена в центре описывающей треугольник окружности.

RR = 3 * r2

Д = 0.

Результат этого случая: высота H точки палетки совпадает со средней высотой призмы. аппроксимация объемный триангуляция выпуклость

2. Рассмотрим равнобедренный треугольник в основании призмы, рис.4. Предположим для упрощения выкладок, что z1 = z2 = z. Интуитивно можно полагать, что, если z1 # z2, то можно принять z = (z1 + z2 ) / 2.

По построению r1 = r2 = r, A - высота равнобедренного треугольника. Начало координат поместим в основание треугольника.

Обозначим

б = r3 / r , б ? 0, r3 ? 0, r > 0, поскольку T1 # T2.

H = (z * б * r2 + z * б * r2 + z3 * r2 ) / ( r2 + 2 * б * r2 ) = ( 2 * z * б * r2 + z3 * r2 ) / r2 * ( 1 + 2 * б ) = ( z3 + 2 * z * б ) / ( 1 + 2 * б )

Д = H - (2 * z + z3) /3

Если б = 0, т.е. точка палетки находится в точке T3 и в качестве высотной отметки H принимается точка z3, z3>z, то

Дмакс(x) = z3 - (2 * z + z3) /3 = 2 * ( z3 - z) / 3.

Если б = 1, т.е. точка палетки находится в центре окружности, описывающей треугольник, и для расчета высотной отметки точки палетки используются три точки, то

Д = ( z3 + 2 * z ) / 3 - (2 * z + z3) /3 = 0.

Если точка палетки находится на большом удалении от треугольника, то б >1 и получаем тот же результат (18). При этом поведение Д(x) при движении к удаленной точке влево и вправо разные, рис. 4. Рисунок изображен для случая z3 > z. Если z3 < z, то кривая Д(x) будет тождественна первоначальной с обратным знаком.

Результат (18) при б > 0 очевиден и в общем случае, когда имеется компактная группа точек, и задача состоит в том, чтобы определить среднюю высоту фигуры методом простого усреднения, то в методе палетки достаточно иметь лишь одну удаленную от группы точку, чтобы вычисленная методом палетки высота в ней мало отличалась от средней высоты исходной группы точек.

Найдем минимальное значение ? (х) в левой части, где x < 0, а также производную d? / dx в точке максимума, при x = A.

Слева от точки x = A

б = r3 / r = ( A - x ) / ( a2 + x2 )0.5

Минимум ? (x) слева от точки x = A найдем, решая уравнение [4]

d? / dx = (d? / dб ) * (dб / dx) = 0.

d? / dб = dH / dб = ( ( 1 + 2 * б ) * 2 * z - ( z3 + 2 * z * б ) * 2) / ( 1 + 2 * б )2 = (2 * z + 4* z * б - 2 * z3 - 4 * z * б) / ( 1 + 2 * б )2 = 2 * (z - z3 ) / ( 1 + 2 * б )2

dб / dx = ( - (a2 + x2 )0.5 - ( A - x ) * 0.5 * ( a2 + x2 )-0.5 * 2 * x ) / (a2 + x2 ) = - ( a2 + x2 + A * x - x2 ) / ((a2 + x2 ) * ( a2 + x2 )-0.5 ) = - (a2 + A * x ) / ((a2 + x2 ) * ( a2 + x2 )-0.5 ) (20)

Рассмотрим производную d? / dx в точке x = A.

Производная d? / dx при x = A имеет разрыв. При приближении точки x к A слева производная dб / dx < 0, как это видно по (20).

При приближении точки x к A справа

б = r3 / r = ( x - A ) / ( a2 + x2 )0.5 ,

dб / dx = ((a2 + x2 )0.5 - ( x - A ) * 0.5 * ( a2 + x2 )-0.5 * 2 * x ) / (a2 + x2 ) = ( a2 + x2 + A * x - x2 ) / ((a2 + x2 ) * ( a2 + x2 )-0.5 ) = (a2 + A * x ) / ((a2 + x2 ) * ( a2 + x2 )-0.5 ),

т.е. производная dб / dx > 0 при x > A.

Производная d? / dб в точке б = 0, где x = A, непрерывна и при z3 > z отрицательна, поэтому при z3 > z производная d? / dx слева от точки А положительна, а справа - отрицательна и по модулю в точке x = A обе производные равны между собой.

Возвращаемся к минимуму ? (x) при x < 0.

Поскольку знаменатели (19) и (20) больше нуля при x < 0, то минимум ? (х) в левой части будет при

2 * (z - z3 ) * (a2 + A * x ) = 0, т.е. при

x = - a2 / A,

б = ( A - x ) / ( a2 + x2 )0.5 = (A + a2 / A ) / (a2 + a4 / A2 )0.5 = (a2 + A2 ) / ( A * a * (A2 + a2 )0.5 / A) = (a2 + A2 ) 0.5 / a =( 1 + (A/a)2 )0,5

б = ( 1 + (A/a)2 )0,5

В этой точке

? = H - (2 * z + z3) /3,

H = ( z3 + 2 * z * б ) / ( 1 + 2 * б ).

Покажем, что в точке (23) ? < 0 :

? = (3* z3 +6 * z * б - 2 * z - 4 * z * б - z3 - 2 * z3 * б ) / (3 * ( 1 + 2 * б )) = 2 *( z3 - z ) * ( 1 - б ) / (3 * ( 1 + 2 * б ))

Знаменатель больше нуля. Числитель при z3 > z в точке (23), где б > 1, меньше нуля и

? < 0.

В случае равностороннего треугольника a = A / 30.5 и в точке 1

б = ( 1 + (A/a)2 )0,5 = ( 1 + 3 ) 0,5 = 2,

? = - 0.2 * 2/3 * (z3 - z).

В руководстве маркшейдера по вычислению объемов насыпных складов и отвалов указываются допустимые пределы разности двух независимых определений объема, привязанные к результату, пункт 3.6.4 [1].

В нашем случае, рис. 4, когда в палетке лишь одна точка, максимальное расхождение между двумя вычислениями высот будет равно разности расхождений ? в точке 3 и точке 1, т.е.

Дмакс - ?мин =2 * ( z3 - z) / 3 - 2*( z3 - z ) * ( 1 - б ) / (3 * ( 1 + 2 * б )),

б = ( 1 + (A/a)2 )0,5 .

Это максимальное расхождение будет достигнуто, когда сдвиг между точками будет

д = A + a2 /A

и при условии, что в первом варианте точка палетки попадет в точку 1, а во втором - в точку 3.

Для равностороннего треугольника, a = A / 30.5, наихудший сдвиг палеток будет

д = A + A / 3 = 4 * A / 3,

и наибольшая разность будет при

б = ( 1 + (A/a)2 )0,5 = 2,

Дмакс - ?мин =2 * ( z3 - z) / 3 + ( z3 + 4 * z ) / 5 - (2 * z + z3) /3 = 0.8 * ( z3 - z ).

Наибольшее расхождение в результатах расчета высот, полученных по одной точке палетки в точке x = A и в методе триангуляции несколько меньше,

Поверхность палетки

Метод палетки предназначен, главным образом, для построения модели поверхности, а не для расчета объемов. Для детального отображения поверхности нужна сетка палетки с большим количеством точек, в то время как для расчета высоты поверхности методом палетки, эквивалентном методу простого усреднения, достаточно, в принципе, одной удаленной точки палетки с большим радиусом захвата, чтобы охватить все точки с известными высотными отметками.

Но, чтобы представить себе, какой вид имеет сглаженная поверхность, построенная палеткой с большим количеством точек в решетке, обратимся к прежнему примеру, рис. 3 и рис. 4.

Сравним сечение H(x) (15) поверхности, построенной по точкам палетки, лежащим в плоскости XZ, с сечением f(x) той же плоскостью треугольника, натянутого на точки с высотными отметками z1, z2 и z3.

В плоскости XZ прямая f(x) будет проходить в точке x = 0 через точку с высотной отметкой z, а в точке x = A - через точку z3. Ее уравнение

f(x)= x * (z3 - z) / A + z.

Функция f(x) определена на отрезке 0 ? x ? A.

Для точек палетки, располагаемых на оси X, находим расхождение между кривой H(x) (15) и прямой (29).

На рис.5 представлен график H(x), построенный по Д(x) (14). H(x) отличается от Д(x) на постоянную величину - среднюю высотную отметку призмы.

При z3 > z кривая палетки H(x) совпадает с f(x) в точке x=A, в точке x=0 она проходит выше f(x). Производная dH/dx при приближении к точке x=A слева при условии a/A > v 3 больше df/dx, т.е. H(x) располагается ниже прямой f(x) в окрестности точки x=A. При x>0 справа H(x) пересечет f(x), т.к. H(0)> f(0). Если z3 < z, то H(x) при прочих равных условиях будет располагаться относительно f(x) противоположным образом.

H(x) имеет два экстремума: максимум в точке x = A и минимум в точке

x = -a2 / A , см.

Рассмотрим случаи, z3 > z:

1. x = 0.

б = ( A - x ) / ( a2 + x2 )0.5 = A / a ,

Д(0) = H(x) - z = ( z3 + 2 * z * A / a ) / ( 1 + 2 * A / a ) - z = ( z3 * a + 2 * z * A ) / ( a + 2 * A) - z = ( z3 * a + 2* z * A - z * a - 2 * z * A ) / ( a + 2 * A) = ( z3 - z ) / ( 1 + 2 * A / a )

Д(0) > 0

2. x = A.

б = ( A - x ) / ( a2 + x2 )0.5 = 0.

f(A) = z3

Д(A) = ( z3 + 2 * z * б ) / ( 1 + 2 * б ) - z3 = 0

3. б = 1 или x = ( A2 - a2 ) / 2 / A. Центр описывающей окружности.

A - x = (x2 + a2 )0.5 ,

A2 - 2 * A * x + x2 = x2 + a2 ,

x = ( A2 - a2 ) / 2 / A

H(x)= ( z3 + 2 * z * A / a ) / ( 1 + 2 * A / a )

f(x) = x * (z3 - z) / A + z = ( A2 - a2 ) / 2 / * (z3 - z)/ A/A + z = (z3 - z ) * (A2 - a2 )/A/A/2 + z

Д(x) = H(x) - f(x) = ( z3 + 2 * z * A / a ) / ( 1 + 2 * A / a ) - (z3 - z ) * (A2 - a2 )/2/A/A - z = (z3 - z) * ( a * ( A2 + a2 ) - 2 * A * ( A2 - a2 ) ) / 2 / A / A / ( a + 2 * A )

Знак Д(x) сложным образом зависит от A и a. При A = a

Д(x) = (z3 + 2* z) / 3 - z = ( z3 - z ) / 3.

Если a/A > v 3, то Д(x) > 0 в окрестности точки x=0 и Д(x) < 0 при приближении к точке x=A. Сравним рис.4 и рис.5. Поскольку H(x) отличается от Д(x) (14), (16) на постоянную величину, то и график H(x) на рис. 5 подобен графику Д(x) на рис. 4. Экстремумы этих кривых находятся в одинаковых точках x.

Выводы

Простые примеры применения трех методов расчета высотных отметок, доступные для анализа, не позволяют дать рекомендации для выбора лучшего метода расчета объема в конкретных условиях, когда имеется более трех точек с высотными отметками. Однако полученные количественные результаты и графики позволяют представить порядок различий в вычислениях высотных отметок, вид аппроксимации поверхностей и расхождения между ними.

Применение вычислительной техники и программ расчета позволяют без труда рассчитывать объемы разными способами и использовать тот или иной результат или их среднее значение, полученное разными методами. Единственное, что можно отметить - это то, что, если объем, вычисленный по методу объемной палетки или триангуляции, значимо больше, чем вычисленный методом простого усреднения, означает, что “выпуклость” поверхности склада или карьера преобладает над его “вогнутостью”. Кроме того, метод триангуляции и метод простого усреднения более чувствительны при вычислении объемов к выбросам высотных отметок, чем метод объемной палетки, который использует высотные отметки в сглаженном виде.

Литература

1. Инструкция по производству маркшейдерских работ. Серия “Охрана недр и геолого-маркшейдерский контроль”, выпуск 15, РД 07-603-03. М.: Госгортехнадзор России, 2004.

2. Зенков В.В., Поляков О.А., Юрченко В.Е. Методы и алгоритмы компьютерной обработки геологической и маркшейдерской информации. Практика обработки заводских данных. - М.: ЛЕНАНД, 2013. 268 с; цв. вкл.

3. Скворцов А.В. Триангуляция Делоне и ее применение. - Томск.: Изд-во Томского ун-та, 2002.

4. Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике (для научных работников и инженеров).- М.: Наука, 1973. 832 с.; илл.

Размещено на Allbest.ru