Основы статистики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1

Для построения интервального ряда распределения с равными интервалами необходимо определить величину интервала. Величина интервала определяется по формуле:

,

где d - величина интервала, х max и x min= максимальное и минимальное значение признака.

Согласно заданию, имеются следующие данные о норме выработки рабочего, в %, 50 рабочих.

95 100 102 98 96 103 104 105 110 105

99 112 95 115 115 120 117 118 99 110

112 115 120 95 120 100 108 100 98 120

115 118 95 98 112 120 95 105 104 100

98 120 110 118 112 120 100 95 98 115

Построение ряда распределения с равными интервалами начинается с установления величины интервала. Для этого находим минимальное и максимальное значение признака: x max=120 мин, х min= 95 мин.

d = = 5 (%), где d - величина интервала.

Чтобы составить интервальный ряд распределения (после определения величины интервала), необходимо:

1) определить начало отсчета интервалов;

2) подсчитать частоты, т.е. количество рабочих попавших в каждую группу.

Обозначим нижнюю границу первого интервала через a₁, а верхнюю границу через b₁. Тогда нижняя граница первого интервала a₁ =95, верхняя граница b₁ = a₁ + d = 95+5 = 100 (%).

Для расчета величин интервалов берем целые числа.

Группировка рабочих предприятия по норме выработки и расчет данных для вычисления основных статистических характеристик.

Группы рабочих ai-bi	Число рабочих (частоты) mi	Центр интервалов xi	Накопленные частоты mнак	Расчетные графы
				xi mi
1	2	3	4	5	6	7
95-100 101-105 106-110 111-115 116-120	19 7 4 9 11	97,5 103 108 113 118	19 26 30 39 50	1852,5 721 432 1017 1298	-169,29 -23,87 6,36 59,31 127,49	1505 81,4 10 390 1477,6
	50	106,41	-	5320,5	0	3464

Интервалы с соответствующими им частотами и образуют интервальный вариационный ряд (ряд распределения).

1. Заменяем вариационный ряд дискретным, для чего все значения признака в пределах интервала приравниваем его среднему значению и определяем как полусумму нижней и верхней границ интервалов:

,

где , .

Вычисленные значения заносим в графу 3 расчетной табл..

2. Вычисляем среднюю арифметическую по формуле:

3. Производим проверку правильности вычислений средней, определив сумму взвешенных отклонений вариантов (в нашем случае центров интервалов) от средней, которая должна быть равна нулю из свойства средней арифметической:

) (гр. 6 табл.)

Среднее квадратическое отклонение () определяется путем извлечения квадратного корня из дисперсии , которая представляет собой средний квадрат отклонений вариантов от средней:

.

Дисперсия () исчисляется по данным гр.7 табл.

Тогда

Коэффициент вариации:

Модой (М₀) называется вариант, наиболее часто встречающееся, значение признака у единиц совокупности.

Для определения в рядах с равными интервалами пользуются формулой следующего вида: выработка статистический дисперсия

,

где - нижняя граница модального интервала;

d - величина интервала;

- частоты соответственного предмодального, модального и послемодального интервала.

Медиана - такое значение признака, которое расположено в середине вариационного ряда, т.е. делит совокупность пополам.

В интервальном вариационном ряду медиана вычисляется по следующей формуле:

,

где - нижняя граница медианного интервала (в качестве медианного интервала выбирается интервал, стоящий посередине упорядоченной группы интервалов).

d - величина медианного интервала;

- сумма частот (весов) ряда;

- сумма накопленных частот интервалов, предшествующих медианному интервалу;

- частота медианного интервала.

Определим, прежде всего, медианный интервал.

Сумма накопленных частот, превышающая половину всех значений (25),соответствует интервалу 101-105. Это и есть медианный интервал, в котором находится медиана, определим значение по приведенной выше формуле:

Эта величина изготовления одной детали определяет структуру данной совокупности рабочих, а именно: что 50% рабочих затратили на изготовление одной детали меньше времени, чем на 15,325 мин, а 50% - больше, чем на 15,325 мин.

Задача 2

Ряд динамики состоит из двух элементов: числовых значений определенного статистического показателя (у) и периодов времени (n);

Основные формулы для расчета выше названных показателей:

,

где - абсолютный прирост;

y(i+1) - текущий уровень ряда динамики;

y (i) - предыдущий уровень ряда;

где i = 1 и постоянно.

Темп роста - относительный показатель, выражается в коэффициентах (долях единицы) и в процентах (если коэффициент умножим на 100).

- цепные темпы роста;

- базисный темп роста;

- темп роста за весь период;

- показывает, на какую долю (или процент) уровень данного ряда больше (или меньше) базисного уровня;

; .

Показатель абсолютного значения одного процента прироста (млн. руб.) (А%) определяется путем отношения (в каждом периоде) абсолютного прироста () к темпу прироста ().

Расчет этого показателя имеет экономический смысл только на цепной основе:

.

При анализе погодовых уровней ряда динамики расчет абсолютного значения одного процента прироста можно произвести по схеме:

.

Средний уровень ряда за определенный период времени определяется по формуле простой средней арифметической:

,

где - итог суммирования уровней ряда за весь период.

Для определения среднего темпа роста используется средняя геометрическая:

,

где ПТ - произведение цепных темпов роста (в коэффициентах);

n - число темпов.

.

Проведем анализ выручки от реализации продукции за 2007 - 2013г.г.

Показатели	Годы
	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2013
Выручка от реализации продукции	3980	4050	4230	4650	4849	5260	5600
Абсолютный прирост, тыс руб.:
Цепной	-	70	180	420	190	420	340
базисный	-	70	250	670	860	1280	1620
Темп роста, %
Цепной	-	101,7	104,4	109,9	104	108,6	106,4
базисный	-	101,7	106,3	116,8	121,6	132,1	140,7
Темп прироста, %
Цепной		1,76	4,4	9,9	4,1	8,7	6,%
базисный		1,76	6,3	16,9	21,6	32,2	40,7
Абсолютное значение 1% прироста		39,8	40,9	42,4	46,3	48,3	52,3

Определяем средний уровень ряда:

Таким образом, среднее значение выручки от реализации продукции за 7 лет составило

Определение среднего абсолютного прироста определяется по цепным абсолютным приростам (), по формуле:

.

По выше приведенной формуле рассчитаем средней темп роста:

или 105,8%, т.е. среднегодовой темп роста выпуска продукции, составил на предприятии за указанный период 105,8%, а среднегодовой темп прироста составил: .

Задача 3

Наиболее эффективным методом выявления основной тенденции изучаемого показателя во времени является математическое выравнивание.

При этом способе уровни ряда (у) динамики рассматриваются как функция времени f(t).

Задача отыскания функции f(t) осуществляется методом наименьших квадратов из условия:

Рассмотрим аналитическое выравнивание ряда, используя линейное уравнение вида:

.

Параметры и для искомой прямой находятся по методу наименьших квадратов. Система нормальных уравнений в данном случае имеет вид:

.

где у - уровни эмпирического ряда;

n - количество уровней ряда;

t - порядковый номер периода, или момента времени.

Система уровней упрощается, если значение t подобрать так, чтобы их сумма равнялась нулю (= 0). При этом различают два случая:

1. когда число членов динамического ряда нечетное, то следует отсчитывать t от середины ряда. При таком отсчете значения середины даты (или периода) динамического ряда принимается равным 0; тогда предшествующие периоды обозначаются соответственно через -1, -2, -3, и.т.д., а следующие за 0 периодом - соответственно через +1, +2, +3, и т.д.;

2. когда число членов ряда четное, то в этом случае для соблюдения требований о равных интервалах между всеми значениями t и о том, чтобы сумма всех значений t равнялось нулю, подбор t производится так: два серединных момента времени принимаются за -1 и +1, и все остальные соответственно обозначаются через два интервала, а именно: -3, -5 и т. д. и +3, +5 и т.д.

При этих условиях, , и система нормальных уравнений упрощается и принимает следующий вид:

,

, .

На основе данных представленных в задаче 2 проведем аналитическое выравнивание.

Объем продукции промышленного предприятия

Годы	Выручка от реализации продукции тыс. руб.	Условия обозначения			Выровненные уровни ряда
2007	3980	-3	9	-11940	3813,23	-678,57	460457,24
2008	4050	-2	4	-8100	4095,01	-608,57	370357,44
2009	4230	-1	1	-4230	4376,79	-428,57	183672,24
2010	4650	0	0	0	4658,57	-8,57	73,44
2011	4840	+1	1	4840	4940,35	181,43	32916,84
2012	5260	+2	4	10520	5222,13	601,43	361718,04
2013	5600	+3	9	16800	5503,91	941,43	886290,44
итого	32610	0	28	7890	32609,99		2295485,64

Определяем параметры уравнения:

; .

По рассчитанным параметрам записываем уравнение прямой ряда динамики, характеризующее выручку от реализации продукции предприятия:

.

Используя приведенное уравнение, рассчитаем для каждого года теоретические значения:

для 2007 г. ;

для 2008 г. ;

для 2009 г. ;

для 2011 г. ;

для 2012 г. ;

для 2013 г. ;

Для оценки статистической модели рассчитываются: дисперсия, среднее квадратическое отклонение и относительный показатель вариации.

Для их расчета определяется средний уровень выровненного ряда:

; ;

.

Относительной мерой колебаемости признака является коэффициент вариации:

, 12,3%

Используя построенную модель можно прогнозировать объем выпуска продукции на следующие периоды времени.

Задача 4

Из 50 рабочих в порядке случайного 30%-ного отбора отобрано 15 рабочих по показателям нормы выработки рабочего, %.

В результате выборки получены следующие данные:

Количество рабочих	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Норма выработки рабочего, %	102	103	110	112	115	118	112	95	108	120	95	120	104	120	112

По этим данным рассчитаем:

1) выборочную среднюю;

2) среднюю ошибку выборки;

3) с вероятностью 0,997 определить ошибку выборки.

Для решения задачи необходимо определить среднюю ошибку выборки, которая показывает расхождение выборочной и генеральной средней.

При бесповторном случайном отборе она рассчитывается по формуле:

,

где - средняя ошибка выборочной средней;

n - численность выборки;

N - численность генеральной совокупности;

- дисперсия выборочной совокупности;

Предельная ошибка выборки (?) рассчитывается по формуле , где t - коэффициент доверия зависит от значения вероятности (Р). При Р=0,997, t=3.

Генеральная средняя находится по формуле:

,

где - генеральная средняя; - выборочная средняя;

? - предельная ошибка выборки.

Решение:

Для нахождения выборочной средней и дисперсии составляем расчётную таблицу.

Порядковый номер рабочего	Норма выработки рабочего, %
1	102	10404
2	103	10609
3	110	12100
4	112	12544
5	115	13225
6	118	13924
7	112	12544
8	95	9025
9	108	11664
10	120	14400
11	95	9025
12	120	14400
13	104	10816
14	120	14400
15	112	12544
Итого	?= 1646,0	?=181624

1. Определяем выборочную среднюю

2. Исчисляем дисперсию по формуле:

.

3. Средняя ошибка выборки составит:

.

С вероятностью 0,997 рассчитаем предельную ошибку выборочной средней:

Определяем пределы, в которых находится средняя:

; .

Генеральная средняя находится в пределах:

.

С вероятностью 0,997 можно утверждать, что средняя норма выработки рабочего колеблется от 104,15 до 115,25 %.

Задача 5

Агрегатный индекс стоимости объема продукции в текущих ценах исчисляется по формуле:

,

где - количество продукции соответственно в отчетном и базисном периодах;

- цена единицы продукции соответственно в отчетном и базисном периодах.

В формуле агрегатного индекса стоимости объема имеются две величины, а именно: индексируемая величина g и коэффициент соизмерения - р.

Как видно из формулы, он показывает изменение общей стоимости объема продукции вследствие изменения двух факторов: изменения объема реализованной продукции и изменения цен.

Стало быть, этот индекс не отражает общего изменения цен и не дает количественной оценки реализованной продукции.

Абсолютное изменение всей стоимости продукции за счет изменения реализованной продукции и цен:

.

Влияние на прирост общей стоимости реализованной продукции цен исчисляются по формуле:

.

Абсолютное изменение всей стоимости реализованной продукции за счет изменения цен в текущем периоде по сравнению с базисным периодом:

.

Влияние на прирост общей стоимости реализованной продукции за счет количества проданных товаров:

.

Абсолютное изменение стоимости реализованной продукции за счет ее количества.

.

В форме индексной модели динамика реализованной продукции предприятия выразится соотношениями:

.

Применение индексного метода в анализе изменения общей стоимости продукции за два периода за счет двух факторов: цен и количества проданных товаров.

Вид продукции	Единицы измерения	Выработано продукции	Цена, руб.	Стоимость продукции, руб.
А	штук	59	62	450	580	26550	35960	27900	34220
Б	штук	35	42	230	390	8050	16380	9660	13650
		-	-	-		34600	52340	37560	47870

1. Определяем агрегатный индекс стоимости продукции в текущих ценах:

, или 151,3%,

т.е. общая стоимость продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным увеличилась в 1,513 раза, или на 51,3(151,3-100%). Вычитая из числителя индекса знаменатель, получим абсолютный прирост стоимости продукции за счет изменения количества продукции и цен:

,

т.е. стоимость реализованной продукции возросла на 17740 руб.

2. На основе агрегатного индекса физического объема продукции определяем абсолютный прирост стоимости продукции за счет изменения количества продукции:

, или 108,55%,

т.е. общая стоимость продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным увеличилась на 8,55% (108,55-100).

3. Используя агрегатный индекс цен определим изменение общей стоимости продукции за счет изменения цен:

,или на 138,35%,

т.е. общая стоимость реализованной продукции увеличилась на 38,35% (138,35%-100%) за счет изменения цен:

Таким образом, стоимость реализованной продукции текущего периода по сравнению с базисным периодом увеличилась на 51,3%. За счет изменения количества реализованной продукции на 8,55% и увеличения ее цен на 38,35%.

Поскольку величина стоимости объема продукции равна произведению количества товаров на цены, то индекс физического объема , умноженный на индекс цен , дает индекс стоимости объема продукции .

;

Задача 6

В задаче требуется исследовать связь между производительностью труда и фактором (xi).

Связь предполагается линейной и выражается уравнением прямой

,

где у - производительность труда;

x - среднемесячная производительность труда одного работника;

- параметры уравнения регрессии.

Параметры уравнения прямой определяются путём решения системы нормальных уравнений, полученных по методу наименьших квадратов:

.

Для определения параметров уравнения регрессии строим расчётную таблицу.

Номер предприятия		у
1	53,4	9,18	2851,56	490,212	84,27
2	46,9	10,23	2199,61	479,787	104,65
3	53,9	10,52	2905,21	567,03	110,67
4	47,2	9,74	2227,84	459,73	94,87
5	44,3	10,52	1962,49	466,04	110,67
6	53,6	9,47	2872,96	507,6	89,68
7	54,3	9,22	2948,49	500,65	85
8	41,6	9,35	1730,56	388,96	87,42
9	48,9	10,35	2391,21	506,12	107,12
10	57,7	8,52	3329,29	491,6	72,6
Итого	501,8	97,1	25419,22	4863,129	946,95

Подставляя в систему нормальных уравнений фактические данные из таблицы:

Решаем систему нормальных уравнений в следующей последовательности: делим каждый член обоих уравнений на коэффициент при :

Вычитаем из второго уравнения первое и получаем:

,

.

Подставляем значение , в первое уравнение и получаем:

Уравнение имеет вид:

,

Рассчитаем величину линейного коэффициента корреляции по формуле:

Произведём расчёт дисперсии того и другого признака по формуле:

Так как коэффициент корреляции принимает значение связь слабая.

Список литературы

1. Галузо Л.А., Методические указания к решению задач контрольной работы по дисциплине «Статистика»

Размещено на Allbest.ru