Применение узловых уравнений для расчета установившихся режимов электроэнергетических систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Российский государственный

профессионально-педагогический университет»

Институт электроэнергетики и информатики

Кафедра электрооборудования и автоматизации

промышленных предприятий

Дисциплина «Решение математических задач в

электроэнергетике и электротехнике»

РЕФЕРАТ-ЗАДАНИЕ

на тему «Применение узловых уравнений для расчета установившихся режимов электроэнергетических систем»

Выполнил: Гуцуляк А.И.

группа мЗАТК-111

Проверил: Тельманова Е. Д.

Екатеринбург 2015



СОДЕРЖАНИЕ

1. Узловые уравнения

1.1 Матричная запись узловых уравнений

1.2 Формирование узловых уравнений пассивных цепей

1.3 Учет управляемых источников при формировании узловых уравнений

1.4 Расширенные узловые уравнения

1.5 Формирование узловых уравнений для цепей с идеальными источниками ЭДС и идеальными усилителями напряжения

Задача № 1

Задача №2



1. УЗЛОВЫЕ УРАВНЕНИЯ

матричный узловой цепь

Недостатком метода расчета, основанного на непосредственном решении уравнений электрической цепи, является необходимость оперировать с большим числом уравнений. Число неизвестных в такой системе легко сократить, исключая с помощью компонентных уравнений либо токи, либо напряжения ветвей, т. е. выбирая в качестве базиса одну из переменных для каждой ветви. Однако и это приводит к необходимости решать систему уравнений, число которых равно числу ветвей.

Часто в виде подобного базиса используют узловые напряжения -- напряжения узлов цепи относительно одного узла, принятого в качестве опорного. Для связной цепи с q узлами число таких напряжений равно q - 1. Основой для формирования узловых уравнений являются уравнения первого закона Кирхгофа.

Для вывода узлового уравнения рассмотрим k-й узел цепи (рис. 1.1), соединенный с узлами 0, 1 - 3 ветвями, содержащими проводимости G = 1/R, источники ЭДС и тока.

Рис. 1.1

При выборе направлений токов, указанных на рис. 1.1, уравнение первого закона Кирхгофа для k-го узла имеет вид



Выразим токи в ветвях, присоединенных к узлу, через узловые напряжения u₁₀, u₂₀, u₃₀ и проводимости ветвей G:

Подстановка и группировка членов приводят уравнение первого закона к виду

(1.1)

В общем виде узловое уравнение для k-го узла можно записать, используя двойную индексацию проводимостей, принятую для линейных алгебраических систем:

G_k1u₁₀ + G_k2u₂₀ + ...+ G_kku_k0 + ... = J_kу.

Как следует из рассмотренного примера, коэффициент G_kk -- собственная проводимость k-го узла -- равен сумме проводимостей всех ветвей, присоединенных к данному узлу. Коэффициент G_km -- общая проводимость узлов k и m -- представляет взятую со знаком “минус” сумму проводимостей ветвей, соединяющих непосредственно узлы k и m. Правая часть узлового уравнения -- узловой ток J_kу -- равен алгебраической сумме источников тока, присоединенных к данному узлу. Источники ЭДС e в составных ветвях, включенные последовательно с проводимостями G, учитываются в узловых токах в виде произведения eG рассматриваемой составной ветви (пока предполагается отсутствие ветвей с идеальными источниками ЭДС, для которых G = ?). Слагаемые узлового тока берутся со знаком “плюс” для источников, направленных к данному узлу, и со знаком “минус” -- при противоположном направлении.

Таким образом, для цепи с q узлами имеем q - 1 узловое уравнение с q - 1 неизвестными -- линейную алгебраическую систему, общая матричная запись которой имеет вид

где G_у -- квадратная матрица узловых проводимостей; u₀ -- вектор узловых напряжений; J_у -- вектор узловых токов:

Матрица узловых проводимостей пассивной цепи является симметричной -- общие проводимости равны друг другу G_mk = G_km по смыслу их определения.

1.1 МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ УЗЛОВЫХ УРАВНЕНИЙ

Будем рассматривать цепь как совокупность составных ветвей, включающих проводимости, идеальные источники ЭДС и тока (см. рис. 1.2, а,б), компонентные уравнения которых могут быть записаны в общей форме

Рис. 1.2.

где i, u, e, J -- векторы токов, напряжений, источников ЭДС и тока составных ветвей; G = diag [G₁, G₂, ... , G_n] -- диагональная матрица проводимостей ветвей.

Как и выше, предполагаем отсутствие вырожденных ветвей с идеальными источниками ЭДС (G = ?). Ветви с идеальными источниками тока могут присутствовать в схеме, для них имеем G = 0.

Запишем первый закон Кирхгофа в матричной форме

Выразим далее вектор напряжений ветвей через вектор узловых напряжений следующим образом:

Действительно, строка транспонированной матрицы имеет не более двух ненулевых элементов (1 и - 1). Поэтому напряжение ветви с номером p, ориентированной от узла k к узлу m, выражается как разность u_p = u_k0 - u_m0, так как p-я строка имеет лишь два ненулевых элемента a_pk = 1 и a_pm = - 1.

Полученная связь позволяет записать компонентное уравнение в виде



Его подстановка в матричное уравнение первого закона Кирхгофа и преобразования приводят к матричному узловому уравнению

Таким образом, матрица узловых проводимостей выражается как двойное матричное произведение , а вектор узловых токов

.

1.2 ФОРМИРОВАНИЕ УЗЛОВЫХ УРАВНЕНИЙ ПАССИВНЫХ ЦЕПЕЙ

При формировании узловых уравнений следует пронумеровать узлы анализируемой цепи. В качестве опорного узла с индексом "0", относительно которого отсчитываются все остальные напряжения, целесообразно принять узел, к которому присоединяется наибольшее число ветвей или заземленный узел цепи.

Рис. 1.3

Принятая на рис. 1.3 нумерация узлов приводит к следующим выражениям собственных и общих проводимостей узлов:

Узловые токи равны: J_1у = e₁G₁; J_2у = J; J_3у = - J.

Полученные выражения подставляем в систему уравнений:

1.3 УЧЕТ УПРАВЛЯЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ ПРИ ФОРМИРОВАНИИ УЗЛОВЫХ УРАВНЕНИЙ

Процедура формирования узловых уравнений активных цепей сводится к следующему:

1) по правилам, изложенным в п.1.3, формируем систему для резистивной части цепи, учитывая управляемые источники как независимые;

2) выражаем управляющие токи и напряжения этих источников, входящие в правые части системы, через узловые напряжения; при этом используем законы Кирхгофа и компонентные уравнения;

3) члены в выражениях узловых токов, содержащие неизвестные узловые напряжения, переносим в левую часть уравнений и группируем с соответствующими элементами матрицы узловых проводимостей.

Покажем выполнение перечисленных этапов на примере фрагмента цепи, изображенного на рис. 1.4.

Рис. 1.4

Исходная запись узлового уравнения для k-го узла, учитывающая управляемые источники как независимые, выражается уравнением (1.1)

ЭДС и ток управляемых источников представляется через узловые напряжения следующим образом:

Подставляя эти величины в узловое уравнение и группируя члены, приведем последнее к виду

В итоге матрица узловых уравнений активной цепи становится несимметричной -- ее внедиагональные элементы с одинаковыми индексами не равны друг другу. Это свойство характерно для узловых уравнений активных цепей.

Пример применения метода узловых напряжений к схемам с управляемыми источниками рассмотрен в задаче №1

1.4 РАСШИРЕННЫЕ УЗЛОВЫЕ УРАВНЕНИЯ

Алгебраические преобразования узловых уравнений активных цепей, связанные с группировкой членов, учитывающих токи и ЭДС управляемых источников, можно не выполнять, вводя эти токи и ЭДС в качестве дополнительных неизвестных в систему совместно решаемых уравнений. Это позволяет включить в число величин, определяемых прямо на стадии решения системы узловых уравнений, и токи в некоторых ветвях цепи, представляющих непосредственный интерес. Вызванное же таким расширением увеличение числа неизвестных в системе несущественно при использовании современных вычислительных средств.

Пусть, например, в схеме, фрагмент которой изображен на рис.1.1 ток i₁ будет рассматриваться в качестве дополнительной неизвестной в расширенной системе узловых уравнений. Тогда при преобразовании исходного уравнения первого закона Кирхгофа (1.1) мы не исключаем этот ток. В результате оно примет вид

Связь этого тока с узловыми напряжениями

включим в расширенную систему как самостоятельное уравнение.

При рассмотрении активной цепи с управляемыми источниками e₁ и J₄ (см рис.1.3)будем формировать расширенную систему с дополнительными неизвестными e₁ и i₁. Исключение J₄ = i₁ и перенос его в левую часть узлового уравнения приводит последнее в виду

а в состав расширенной системы войдут дополнительные уравнения, связывающие введенные дополнительные неизвестные e₁ и i₁ с узловыми напряжениями:

При формировании расширенной системы узловых уравнений в коэффициенты и правые части не включаются слагаемые, содержащие проводимости ветвей, описываемых токами. В рассматриваемом примере это относится к ветви G₁. Токи этих ветвей входят в левые части уравнений тех узлов, к которым присоединена данная ветвь, со знаком “плюс” при направлении тока от узла и со знаком “минус”, если ток направлен к узлу. Дополнительные уравнения расширенной системы формируются на основе законов Кирхгофа с учетом связей между управляющими величинами и характеристиками управляемых источников. Их число должно быть равно числу дополнительных неизвестных, включаемых в расширенную систему



1.5 ФОРМИРОВАНИЕ УЗЛОВЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ЦЕПЕЙ С ИДЕАЛЬНЫМИ ИСТОЧНИКАМИ ЭДС И ИДЕАЛЬНЫМИ УСИЛИТЕЛЯМИ НАПРЯЖЕНИЯ

Если к узлу присоединены вырожденные ветви с идеальными источниками ЭДС, обладающими нулевым внутренним сопротивлением, узловое уравнение для такого узла теряет смысл, так как при нулевом сопротивлении проводимость ветви равна бесконечности.

Однако, если один из узлов, к которым подключен независимый идеальный источник ЭДС e (рис. 1.5, а) выбрать в качестве опорного (0), то значение узлового напряжения второго узла 1 будет известным, так как оно непосредственно определяется величиной источника: u₁₀ = e.

Рис. 1.5

Таким образом, потеря одного из узловых уравнений, составленных по обычным правилам, не препятствует решению, так как соответственно сокращается и число неизвестных узловых напряжений.

Аналогично поступаем и при действии в цепи нескольких идеальных источников, имеющих общие узлы (рис. 1.5, б). При выборе в качестве общего узла (0) напряжения узлов 1 - 3 определяют величинами ЭДС, подключенных к этим узлам: u₁₀ = - e₁; u₂₀ = e₂; u₃₀ = e₃. Очевидно, что в рассматриваемом случае в качестве опорного узла может быть выбран любой из узлов (1, 2 или 3). При этом напряжения остальных узлов определяют алгебраическим суммированием ЭДС идеальных источников. В результате для расчета цепи методом узловых напряжений получаем систему меньшей размерности.

Другой способ, применяемый при отсутствии общего узла у действующих в цепи идеальных источников ЭДС (рис. 3.6, а), состоит в переносе одного из идеальных источников (например, e₂) через узел 3 и включение его в резистивные ветви G₃ и G₄ (рис. 3.6, б).

Рис. 3.6

Действительно, обе цепи, изображенные на рис. рис. 3.5, а,б, эквивалентны друг другу, так как при переносе ЭДС через узел для преобразованной цепи сохраняются все соотношения, вытекающие из второго закона Кирхгофа. После выполненного преобразования для объединенного узла 2 и 3 составляют общее уравнение по обычному правилу формирования узловых уравнений.

Таким образом, наличие идеальных источников ЭДС не только не усложняет применение метода, но и приводит к сокращению числа искомых узловых уравнений.

Пример составления узловых уравнений для схемы с идеальным источником ЭДС приведен в задаче №2.

Такой же подход применяют и к расчету цепей с идеальными усилителями напряжения (рис. 1.7).

Рис. 1.7

При формировании уравнения для входного узла 1 влияние усилителя не учитывается, так как ток в его входной ветви равен нулю. Остальные ветви, подключенные к входному узлу, учитываются по общим правилам. Для выходного узла узловое уравнение не может быть составлено, так как при нулевом выходном сопротивлении идеального усилителя его выходная проводимость равна бесконечности. Однако вместо этого уравнения используют связь входного и выходного напряжений усилителя u₂₀ = ku₁₀.

Если для коэффициента усиления усилителя принято условие k = ?, конечное значение выходного напряжения u₂₀ приводит к требованию для входного напряжения u₁₀ = 0. В этом случае уравнение для выходного узла не составляют, а в остальных уравнениях входное напряжение усилителя полагают равным нулю.

Рис. 1.8

При составлении узловых уравнений для цепей с дифференциальным усилителем (рис. 1.8), обладающим нулевым выходным сопротивлением, уравнение для выходного узла также не составляют. Его заменяет связьu_вых = k(u_a0 - u_b0) (u_a0 и u_b0 -- узловые напряжения входных узлов).Уравнения для обоих входных узлов a и b составляют по обычным правилам, без учета входных ветвей усилителя, что отвечает условию бесконечно большого входного сопротивления идеального усилителя.

При анализе цепей с идеальными операционными усилителями с бесконечным коэффициентом усиления требование u_a0 - u_b0 = 0 реализуют, составляя по общей схеме метода отдельные уравнения для каждого из входных узлов и используя вместо недостающего условие равенства узловых напряжений входных узлов u_a0₀ = u_b0.



ЗАДАЧА № 1

На основе решения узловых уравнений (см.п.1)рассчитать распределение напряжений и токов в цепи (рис. П2.1) при следующих значениях параметров:

Pис. П1.1

Примем за опорный -- “ 0 ” один из узлов и пронумеруем все остальные узлы. Искомыми являются узловые напряжения -- их напряжения u₁₀, u₂₀, u₃₀ относительно опорного узла. Система трех узловых уравнений имеет следующий общий вид:



Для удобства будем оперировать проводимостями ветвей, которые равны обратным величинам их сопротивлений (G_k = 1/R_k). Имеем:

Собственные проводимости узлов G_kk -- диагональные элементы матрицы узловых проводимостей -- определяются как сумма проводимостей всех ветвей, подключенных к k-ому узлу:

Общие проводимости узлов G_kn равны взятой с обратным знаком сумме проводимостей ветвей, соединяющих эти узлы:

При определении узловых токов -- правых частей системы узловых уравнений -- будем считать сначала все источники независимыми. Узловой ток J_kу равен алгебраической сумме источников тока, действующих в ветвях, подключенных к k-му узлу. Источники ЭДС e, включенные последовательно с проводимостями G, учитываются произведениями eG. При этом источники, направленные к данному узлу, учитываются со знаком “плюс”, а противоположно направленные -- со знаком “минус”:



Записанные выражения содержат неизвестные управляющие ток i₂ и напряжение u₅, которые необходимо выразить через узловые напряжения. Используя уравнения Кирхгофа для контуров, соединяющих узлы 0 ? 3 ? 2 ? 0 и 0 ? 1 ? 2 ? 0, найдем:

Разрешая последнее уравнение относительно i₂ с использованием полученного выражения для u₅, имеем:

Подставив эти соотношения в систему, перенося в левые части члены, содержащие неизвестные узловые уравнения и группируя члены, приведем ее к виду:

Решение этой системы дает: u₁₀ = 0,828 В; u₂₀ = 0,824 В; u₃₀ = - 0,788 В.

По найденным узловым напряжениям токи в ветвях цепи найдем с помощью второго закона Кирхгофа:



Проверку полученного решения можно осуществить с помощью первого закона Кирхгофа.



ЗАДАЧА № 2

Рассчитать распределение напряжений в цепи (рис. П2.2) с идеальным источником ЭДС e₁ = 0,5 B (см.п.1.5).Параметры элементов схемы равны: R₁ = 50 кОм, R₂ = 20 кОм, R₃ =R₄ = R₅ = R₆ = 0,5 кОм, R₇ = 1 кОм.

Pис. П 2.2

Примем за опорный -- “ 0 ” один из узлов, к которому присоединен идеальный источник и пронумеруем все остальные узлы. При этом точку соединения последовательно включенных ветвей 4 целесообразно рассматривать как узел, поскольку в этом случае управляющее напряжение u источника e₂ непосредственно выражается через узловые напряжения u = u₁₀ - u₄₀.

Уравнение для узла 1, к которому подключен идеальный источник ЭДС, не составляется, поскольку его узловое напряжение u₁₀ задается этим источником u₁₀ = e₁ = 0,5 В. Используя правила формирования элементов матрицы узловых проводимостей, найдем:



Узловые токи выражаются как

Перенося член, содержащий известную величину u₁₀, в правую часть системы, а член с u₄₀ -- в левую, приведем систему к виду:

Решение системы имеет вид: u₂₀ = 0,0985 В; u₃₀ = 0,2796 В; u₄₀ = 0,7401В.

Токи в резистивных ветвях равны:

Ток в ветви 2, параллельной идеальному источнику, не зависит от токораспределения в остальной части схемы. Токи в последовательно включенных ветвях 4 и 5, очевидно, равны друг другу.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

http://eelib.narod.ru/toe/Novg_2.01/03/Ct03-1.htm

http://eelib.narod.ru/toe/Novg_2.01/P02/Bp2.htm

Размещено на Allbest.ru