Математичне моделювання дисипативного розігріву і визначення температурних полів тіл при циклічному навантаженні

Размещено на http://www.allbest.ru/

[Введите текст]

НАЦІОНАЛЬНА МЕТАЛУРГІЙНА АКАДЕМІЯ УКРАЇНИ

На правах рукопису

КЛИМ ВІКТОРІЯ ЮРІЇВНА

УДК 536.2:621.078

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ДИСИПАТИВНОГО РОЗІГРІВУ І ВИЗНАЧЕННЯ ТЕМПЕРАТУРНИХ ПОЛІВ ТІЛ ПРИ ЦИКЛІЧНОМУ НАВАНТАЖЕННІ

01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Дніпропетровськ - 2010



Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Дніпропетровському національному університеті імені Олеся Гончара Міністерства освіти і науки України, м. Дніпропетровськ.

Науковий керівник: кандидат фізико-математичних наук, доцент Веселовський Володимир Борисович, Дніпропетровський національний університет імені Олеся Гончара, доцент кафедри прикладної газової динаміки і тепломасообміну.

Офіційні опоненти:

доктор технічних наук, професор, Попович Василь Степанович, Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, заступник директора з наукової роботи, провідний науковий співробітник відділу термомеханіки;

кандидат фізико-математичних наук, доцент Яковенко Вадим Олександрович, Академія митної служби України, доцент кафедри інформаційних систем та технологій.

Захист відбудеться “30” червня 2010 року о 12-30 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 08.084.01 при Національній металургійній академії України за адресою: 49635, м. Дніпропетровськ, пр. Гагаріна, 4.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Національної металургійної академії України за адресою: 49635, м. Дніпропетровськ, пр. Гагаріна, 4.

Відгук на автореферат просимо надсилати за адресою:

49635, м. Дніпропетровськ, пр. Гагаріна, 4, Національна металургійна академія України, вченому секретареві спеціалізованої вченої ради Д 08.084.01.

Автореферат розісланий “22” травня 2010 року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради, О.І. Дерев'янко кандидат технічних наук, доцент



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Розвиток сучасних промислових технологій часто визначає екстремальні експлуатаційні режими роботи пристроїв та конструктивних елементів обладнання - це висока інтенсивність механічного навантаження водночас з нестаціонарним теплообміном із навколишнім середовищем. При цьому підвищуються вимоги до забезпечення надійної роботи деталей машин і елементів конструкцій із збільшенням терміну їх експлуатації, а також адаптації механічних систем до прояву фізичних явищ і ефектів, що протікають в конструкційних матеріалах, які раніше не враховувалися.

Циклічне навантаження (від малоциклового до гігациклового) елементів конструкцій супроводжується розсіянням (дисипацією) енергії деформації, частина якої переходить в тепло. Для поширених конструкційних матеріалів - металів - при деяких величинах і комбінаціях параметрів циклічного навантаження: частоти, амплітуди, виду і т.д. - розсіяння енергії викликає значне підвищення температури тобто дисипативний розігрів тіла. Нестаціонарність теплового процесу ускладнюється залежністю теплофізичних і механічних характеристик матеріалу від температури.

Відомі нечисленні роботи, в яких досліджується дисипативний розігрів елементів конструкцій при гармонічному навантаженні, показують складність математичного моделювання впливу основних параметрів періодичного деформування на зміну температурного поля з одночасним врахуванням залежності від температури теплофізичних і механічних властивостей матеріалу. Це створює суттєві труднощі при використанні існуючих математичних моделей процесу дисипативного розігріву в інженерній розрахунковій практиці.

Врахування температури дисипативного розігріву конструкційних матеріалів при циклічному навантаженні відноситься до розв'язання складних задач термопружності, де на першому етапі потрібно знайти розв'язок задачі про визначення температурного поля в елементах конструкцій із внутрішнім джерелом тепла. Для більшості задач такого типу використовують чисельні методи, які, проте, не можуть повною мірою уніфікувати граничні і початкові умови для крайової задачі. Тому якісний аналіз теплових режимів роботи елементів конструкцій для розв'язання інженерних задач нестаціонарної теплопровідності на практиці можливий при використанні наближених аналітичних методів.

Таким чином, завдання побудови математичної моделі процесу дисипативного розігріву тіл при циклічному навантаженні з урахуванням нестаціонарних умов теплообміну із зовнішнім середовищем і на границі стику елементів конструкцій, а також залежності від температури теплофізичних і механічних характеристик матеріалу є актуальним.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалася в рамках тем Міністерства освіти і науки України: «Розробка методів розрахунку ростучих тіл з урахуванням фазових переходів» № державної реєстрації 0100U005230 (2000 - 2002 рр.), «Дослідження процесів нарощування з урахуванням фазових переходів та полів різної фізичної природи» № державної реєстрації 0103U000536 (2003 - 2005 рр.), «Моделі і методи оптимального проектування неоднорідних конструкцій в умовах контактної взаємодії та агресивних середовищ» № державної реєстрації 0106U000780 (2006 - 2008 рр.).

Мета і задачі дослідження. Мета роботи полягає в побудові математичної моделі нестаціонарних теплових процесів із внутрішнім джерелом тепла в однорідних і кусково-однорідних тілах (стрижнях) при циклічному навантаженні із нестаціонарними умовами теплообміну з навколишнім середовищем і залежністю від температури теплофізичних, механічних характеристик матеріалу і джерел тепла.

Задачі, які необхідно вирішити для досягнення поставленої мети:

побудова математичної моделі процесу дисипативного розігріву елементів конструкцій (однорідних і кусково-однорідних стрижнів) при циклічному навантаженні;

розробка алгоритму розрахунку температурних полів дисипативного розігріву елементів конструкцій простої геометрії при циклічному навантаженні;

проведення аналізу результатів обчислювального експерименту для визначення впливу на теплові режими елементів конструкцій параметрів циклічного навантаження : амплітуди напружень, частоти, числа циклів і т. д. - для прогнозування раціональних експлуатаційних і технологічних параметрів.

Об'єкт дослідження - процес дисипативного розігріву елементів конструкцій (однорідних і кусково-однорідних стрижнів) при циклічному навантаженні із нестаціонарними умовами теплообміну з навколишнім середовищем.

Предмет дослідження - математична модель процесу дисипативного розігріву ізотропних тіл простої геометрії (однорідних і кусково-однорідних стрижнів) при циклічному навантаженні із нестаціонарними умовами теплообміну з навколишнім середовищем і залежністю від температури теплофізичних, механічних характеристик матеріалу і джерел тепла.

Методи дослідження. При побудові математичної моделі дисипативного розігріву стержнів при дії циклічного навантаження використано відомі моделі теорії теплопровідності, теорії коливань, теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними. При розв'язуванні лінійних задач використано метод інтегрального перетворення Лапласа по часовій змінній, нелінійних - метод послідовних інтервалів.

Наукова новизна роботи:

Побудована математична модель процесу дисипативного розігріву елементів конструкцій (однорідних і кусково-однорідних стрижнів) при циклічному навантаженні із нестаціонарними умовами теплообміну з навколишнім середовищем, яка враховує залежність теплофізичних, механічних характеристик матеріалу і джерел тепла від температури.

Розширена область застосування методу послідовних інтервалів для розв'язання нелінійної задачі нестаціонарної теплопровідності з урахуванням залежності від температури теплофізичних, механічних характеристик матеріалу і джерел тепла. Вперше пропонується розбиття на інтервали за часом та координатою для процесів дисипативного розігріву.

Обчислювальний алгоритм розв'язання поставленої задачі враховує як уніфіковані зовнішні граничні умови так і умови неідеального контакту на стиках тіл.

Достовірність отриманих у дисертаційній роботі результатів. Достовірність отриманих у дисертаційній роботі результатів основана на коректності постановки задачі і використанні математичних методів для знаходження її розв'язку. Сформульовані і викладені в роботі припущення при розробці математичної моделі адекватні їх фізичному змісту і оцінкам меж застосування. В окремих випадках результати роботи були порівняні із розрахунковими та експериментальними результатами робіт інших авторів. Основні результати дисертаційної роботи підтверджуються при їх впровадженні і опублікуванні.

Наукове значення роботи. Розроблена методика використання методу послідовних інтервалів для визначення температурних полів елементів конструкцій при циклічному навантаженні з урахуванням залежності від температури теплофізичних, механічних характеристик матеріалу і джерел тепла; отримано наближений аналітичний розв'язок нелінійної задачі нестаціонарної теплопровідності для малих значень безрозмірного часу.

Практичне значення отриманих результатів. Розроблена математична модель дає можливість прогнозувати вплив характеристик циклічного навантаження на розподіл температурного поля елементів конструкцій, вибирати раціональні експлуатаційні і технологічні параметри режимів роботи при створенні адаптивної моделі механічної коливальної системи для формування оптимальних дій автоматизованих систем керування в гірничовидобувній, металургійній промисловостях, машинобудуванні, приладобудуванні та інших галузях. Запропонований підхід для визначення температурних полів стрижнів, які є складовою з'єднань динамічно навантажених елементів конструкцій, використаний при розробці проектів знаходження і підвищення ресурсу втоми конструкцій (ТОВ НВП «Альянс»), а також у навчальному процесі Дніпропетровського національного університету імені Олеся Гончара.

Публікації і особистий внесок здобувача. За темою дисертації здобувачем опубліковано 22 роботи, з них: дев'ять в наукових журналах, які входять до Переліку фахових видань ВАК України [1 - 7, 9,10], дванадцять тез доповідей на Міжнародних, Всеукраїнських і регіональних конференціях [11 - 22].

Дисертанту належить розробка математичної моделі, отримання асимптотичного розв'язку нелінійної задачі нестаціонарної теплопровідності для малих значень безрозмірного часу, розв'язання конкретних задач та аналіз результатів. При використанні експериментальних, теоретичних і числових результатів інших авторів зроблені посилання на відповідні джерела інформації.

Особистий внесок здобувача в опублікованих у співавторстві роботах: в роботах [2,4,7, 9, 18 - 20, 22] - отримання розв'язку задач нестаціонарної теплопровідності для складених стрижнів з уніфікованими зовнішніми граничними умовами і умовами неідеального теплового контакту та нерівномірним початковим розподілом температури; в роботі [3] - отримання асимптотичного розв'язку нелінійної задачі нестаціонарної теплопровідності для малих значень безрозмірного часу; в роботах [1,3,5,8,11- 17] - побудова математичної моделі процесу дисипативного розігріву стрижнів із використанням метода послідовних інтервалів; в роботі [6] - досліджено вплив дисипативного розігріву елементів конструкцій внаслідок циклічного навантаження на довговічність.

Апробація результатів дисертації. Окремі результати роботи доповідались на: Науково-технічній конференції «Інформаційні технології в металургії та машинобудуванні» (Дніпропетровськ, Національна металургійна академія України, 30 травня - 01 квітня 2010р.); Міжнародній науковій конференції «Математичні проблеми технічної механіки» (Дніпродзержинськ,2002р.,2009р.); Міжнародній науково-технічній конференції «Динаміка та міцність машин, будівель, споруд» (Полтава, 16 -19 червня 2009р.); Міждержавній науково-методичній конференції «Проблеми математичного моделювання» (Дніпродзержинськ, Дніпродзержинський державний технічний університет, 2002 р.); Конференції молодих вчених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я. С. Підстригача (Львів, 25-27 травня 2009р.); Міжнародній науково-технічній конференції пам'яті академіка НАН України В. І. Моссаковського «Актуальні проблеми механіки суцільного середовища і міцності конструкцій» (Дніпропетровськ,ДНУ,17-19жовтня 2007р.); ІІ Міжнародній науковій конференції «Сучасні проблеми механіки та математики» (Львів, 25-28 травня 2008р.); І Міжнародній науково-технічній конференції «Теорія та практика раціонального проектування, виготовлення і експлуатації машинобудівних конструкцій» (Львів, 22-24 жовтня 2008р.); Міжнародній науково-технічній конференції “Проблемы механики горно-металлургического комплекса” (Дніпропетровськ, Національна гірнича академія України, 2002р.); VI Всеукраїнській науково-технічній конференції «Проблемы энергосбережения Украины и пути их решения» (Харків, Національний технічний університет «Харківський політехнічний інститут», 22 - 23 квітня 2010р.); ІІ Міжнародній науковій конференції «Прикладні проблеми аерогідромеханіки та тепломасопереносу» (Дніпропетровськ, ДНУ, 13-15 листопада 2008р.); ХІІІ Міжнародній конференції «Теплотехніка і енергетика в металургії» (Дніпропетровськ, Національна металургійна академія України, 2002р.); Регіональній науковій конференції «Прикладные проблемы аэрогидромеханики и тепломассопереноса»(Дніпропетровськ,ДНУ,16-17 листопада 2006р.); IV Міжнародній молодіжній конференції “Людина і космос” (Дніпропетровськ, 5-7 червня 2002р.); International Symposium of Croatian metallurgical society “Materials and Metallurgy” (Croatia, 2002, 2004); підсумкових наукових конференціях Дніпропетровського національного університету ім. О. Гончара (Дніпропетровськ, ДНУ, 2000 - 2010 р.), на наукових семінарах кафедри обчислювальної механіки і міцності конструкцій Дніпропетровського національного університету ім. О. Гончара.

У повному обсязі робота доповідалась на розширеному науковому семінарі кафедри обчислювальної механіки і міцності конструкцій Дніпропетровського національного університету ім. О.Гончара під керівництвом д.т.н., професора А. П. Дзюби, на науковій секції (регіональному науковому семінарі) Придніпровського Наукового Центру НАН України “Сучасні проблеми управління і моделювання складних систем” під керівництвом д.т.н., професора О. І. Михальова та на науковому семінарі відділу термомеханіки Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України (м. Львів) «Математичне моделювання та методи дослідження термомеханічних процесів» під керівництвом члена-кореспондента НАН України, д.ф.-м.н., професора Р. М. Кушніра та д.т.н., професора В. С. Поповича.

Структура дисертації. Робота складається зі вступу, 5 розділів, висновків, списку використаної літератури, 3 додатків. Повний обсяг дисертації становить 147 сторінок, список використаної літератури містить 165 найменувань. Дисертація містить 28 рисунків і 6 таблиць.

Робота виконана на кафедрі обчислювальної механіки і міцності конструкцій Дніпропетровського національного університету імені Олеся Гончара.

дисипативний розігрів конструкція навантаження

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі міститься обґрунтування актуальності роботи, сформульовані мета і основні задачі дослідження, визначені наукова новизна та практична цінність результатів роботи.

У першому розділі проведено огляд вітчизняної та зарубіжної літератури, присвяченої дослідженню розсіяння енергії в матеріалах при циклічному навантаженні.

Вагомі результати по широкому класу задач механіки для різних моделей поведінки матеріалу, зумовлених неідеальною пружністю, отримані в роботах М. Є. Бабешко, В.Т. Грінченка, В. С. Гудрамовича, О. М. Гузя, В. А.Лазаряна, В. В. Москвитіна, Я. Г. Пановка, Г. С. Писаренка, Е. І. Старовойтова, А. Ф. Улітка, В. П. Шевченка, Ю. М. Шевченка та ін.

Теоретичні дослідження по визначенню та впливу характеристик розсіяння енергії конструкційних матеріалів в коливальних системах відображені в роботах М. М. Давиденкова, В. Г. Дубенця, В. В. Матвєєва, Є. С.Сорокіна, В. Т. Трощенка, В. В. Хильчевського, Б. С. Шульгінова та ін.

Врахування процесу дисипативного розігріву матеріалу в розробці експериментальних і розрахункових методів дослідження на втому при тривалому впливі малих періодичних навантажень відображено в роботах Р. А. Арутюняна, Л. Р. Ботвиної, І. М. Васинюка, В. О.Кузьменка, Л. Є. Матохнюка, C. Bathias, Minh-Phong Luong, H. Q. Xue та ін.

Питанням дослідження і розв'язання задач нестаціонарної теплопровідності із врахуванням залежності характеристик матеріалу від температури та побудові термомеханічних моделей із врахуванням дисипації енергії присвячені роботи Я. Й. Бурака, О. Р. Гачкевича, В. І. Дирди, В. Г. Карнаухова, А. Д. Коваленка, Ю. М. Коляна, Р. М. Кушніра, В. В. Мелешка, В.В. Панасюка, Я. С. Підстригача, В. С. Поповича, І. К. Сенченкова, П.О. Стеблянка, Р. М. Швеця, Y. Rabin, D. Rittel, Q. Y. Wang та ін.

Основні чисельні, чисельно-аналітичні методи розв'язання задач нестаціонарної теплопровідності відображено в роботах М. М. Бєляєва, В. Б. Веселовського, В. С.Зарубіна, Е. М. Карташова, Л. О. Коздоби, Ю. М. Коляна, Ю. М. Мацевитого, І. Г. Меєровича, Я. С. Підстригача, В. С. Поповича, О. А. Рядно, П.О. Стеблянка та ін.

Визначено невирішені питання та зазначено необхідність проведення подальших досліджень з розвитку аналітичних методів розв'язання задач теплопровідності для процесу дисипативного розігріву тіл при циклічному навантаженні.

Другий розділ присвячений основним положенням побудови математичної моделі процесу дисипативного розігріву елементів конструкцій при циклічному навантаженні, виходячи із сучасних уявлень механізму процесу розсіяння енергії в металах при циклічному навантаженні, характеристик непружньої поведінки металів, відомих постановок і розв'язків задач про вимушені коливання, залежності від температури механічних і теплофізичних властивостей конструкційних матеріалів. Теплоутворення в процесі циклічного навантаження враховано введенням розподілених джерел тепла, наявність яких є результат перетворення частини енергії деформування в тепло. Вираз для джерел тепла, визначений через їх інтенсивність, при циклічному навантаженні за час ф з частотою для одновимірного випадку (по координаті x) має вид:

дe Т - температура; та - відносне розсіяння енергії та декремент коливань відповідно, які визначаються із експерименту; E(T) - модуль пружності при температурі Т; - амплітуда напружень, що отримана із розв'язку задачі про вимушені моногармонічні коливання системи в першому наближенні, в резонансній зоні, із припущенням, що сили непружнього опору не скривлюють форму коливань.

Сформульована загальна постановка нелінійної задачі нестаціонарної теплопровідності для тіл довільної форми, що зумовлена залежністю основних теплофізичних, механічних характеристик матеріалу і внутрішніх джерел тепла від температури. Обгрунтовано вибір методу розв'язання задач нестаціонарної теплопровідності із загальною нелінійністю. В основу обчислювальних алгоритмів покладені методи: послідовних інтервалів (Тайц Н. Ю.), просторово-часових квадрантів (Меєрович І. Г.).

В третьому розділі викладено структурне розв'язання лінійних задач нестаціонарної теплопровідності. Розглянута задача визначення температурного поля однорідного стрижня обмеженої довжини при циклічному навантаженні.

Математичне формулювання задачі нестаціонарної теплопровідності після деяких перетворень наведено в безрозмірній формі:

із початковими і граничними умовами у вигляді:

де - температура стрижня;- безрозмірна координата;- довжина стрижня;- безрозмірний час (критерій Фур'є);- час;- коефіцієнт температуропровідності; и - критерії Біо; - коефіцієнти тепловіддачи із бокової поверхні і з торців стрижня в навколишнє середовище;- відношення площі перетину стрижня до периметра перетину;- коефіцієнт теплопровідності;; - початковий розподіл температури; - коефіцієнти, що приймають значення 1 або 0.

В залежності від сполучень значень на торці стрижня задаються граничні умови 1, 2 і 3 роду, а функція при цьому приймає значення температури поверхні торця стрижня, теплового потоку або температури навколишнього середовища. Для розв'язання лінійних задач теплопровідності використано операційний метод, який базується на інтегральному перетворенні Лапласа.

Розв'язок задачі в полі зображень представлено в такому вигляді:

де - частковий розв'язок неоднорідного рівняння (1), записаного в полі зображень.

Розв'язок задачі теплопровідності в оригіналах має вигляд:

де ,

-- біноміальні коефіцієнти.

До розв'язку (4) входять похідні функції (p) при значеннях, де - полюси трансцендентної функції

а - корені характеристичного рівняння:

Введені в структуру розв'язку компоненти впливу на граничних поверхнях залежать від граничних функцій теплообміну та від часткових розв'язків задачі. Для найбільш характерних змін компонент впливу gi(Fo) і функцій (z), отримані аналітичні вирази.

У випадку кусково-однорідного стрижня (набір однорідних стрижнів, з'єднаних послідовно) аналогічно математичному формулюванню попередньої задачі, в рівнянні теплопровідності із відповідними уніфікованими граничними і початковими умовами тепловий ефект дисипативного розігріву враховано у виді джерела тепла :

де m - кількість стрижнів;, - довжина -го стрижня;; - контактний термічний опір в місцях стику стрижнів; a0, с0, л0, R0 - деякі характерні параметри: коефіцієнти температуропровідності, теплоємності, теплопровідності та лінійний розмір; коефіцієнти, , , , , приймають значення 0 або 1 в залежності від виду граничних умов; коефіцієнти К0, К1, К2 для різних типів з'єднань в місцях стику стрижнів приймають значення відповідно:

а) у випадку ідеального контакту в місцях стику К0=0, К2=0;

б) у випадку неідеального контакту в місцях стику К0=1, К1=1, К2=, де - джерела тепла в місцях стику;

в) у випадку, коли в місцях стику складених елементів конструкцій є тонка прокладка або клей К0=0, , , де - відповідно теплоємність, щільність, товщина термічно тонкого шару.

Розв'язок задачі (5) - (8) для кусково-однорідного стрижня має вид:

Отриманий розв'язок (9) дозволяє визначити температурне поле кусково-однорідних стрижнів в залежності від умов нестаціонарного теплообміну з навколишнім середовищем, на границях стику стрижнів і нерівномірного початкового розподілу температури стрижня по довжині.

Обчислювальний алгоритм, оснований на структурному розв'язку лінійних задач нестаціонарної теплопровідності, на відміну від відомих розв'язків, одержаних операційним методом, має наступні переваги:

розв'язок задач одержано в структурному вигляді (для кусково-однорідного стрижня з m частин - це 2m розв'язки);

введені компоненти дії на граничних поверхнях, які залежать від граничних нестаціонарних функцій теплообміну, умов неідеального теплового контакту та від часткових розв'язків задачі ;

для кусково-однорідного стрижня компоненти дії доповнюються функціями неідеального теплового контакту в різній фізичній реалізації;

компоненти дії є функціями часу і квазістаціонарна частина розв'язку представлена у виді ряду, що дозволяє уникнути застосування інтегралу Дюамеля.

В четвертому розділі отримано структурний розв'язок нелінійних задач нестаціонарної теплопровідності.

Нелінійна задача нестаціонарної теплопровідності для однорідного стрижня обмеженої довжини в фізичних змінних має вигляд:

де c(T), (T) и (T) - коефіцієнти питомої теплоємкості, теплопровідності та щільності матеріалу стрижня;- температура стрижня, що залежить від координати x та часу ф;- температура навколишнього середовища; ,- коефіцієнти тепловіддачі із бокової поверхні і з торців стрижня в навколишнє середовище; функції, коефіцієнти, граничні функції f (ф) та h мають такі самі значення та вміст як для умов (2) - (3).

Нелінійна задача із використанням методів послідовних інтервалів та просторово-часових квадрантів зводиться до послідовності розв'язків лінійних задач:

весь час циклічного навантаження розбивається на M інтервалів часу , ;

на кожному інтервалі за часом зовнішні граничні умови (13) виражаються інтервально безперервними функціями;

за координатою стрижень по довжині l розбивається на N інтервалів , ;

за координатою теплофізичні, механічні характеристики та джерела тепла приймаються кусково-постійними функціями.

Таким чином, розв'язується M x N лінійних задач теплопровідності з відповідними початковими і граничними умовами: між інтервалами за координатою виконуються умови ідеального теплового контакту (безперервність функцій температури і теплових потоків), між інтервалами за часом виконуються умови:

Перехід до лінійних задач теплопровідності, враховуючи (5) - (10), здійснюється із використанням безрозмірних змінних.

Розв'язок лінійної задачі теплопровідності набуває наступного вигляду:

Для зменшення обсягу обчислень операційний метод дозволяє отримати асимптотичний розв'язок, зручний для малих значень безрозмірного часу. При визначенні температурного поля стрижня асимптотичний розв'язок для j -го інтервалу має вид:

Для прикладу розглянуто розігрів однорідного стрижня із сталі 45 круглого поперечного перетину із розмірами 2l=0,13м и h=R/2=0.00375м, що знаходиться під дією циклічного чистого згину за різними амплітудами напруженьта частотах навантаження .

Проведено аналіз результатів розрахунків за виразами (14) і (15) температурних полів стрижня, що знаходиться під дією циклічного чистого згину із різними частотами. Результати розрахунків при Fo, що змінюється від 0 до 1, в перетині стрижня із координатою (початку координат в центрі стрижня) приведені в табл.1 і показують відхилення в отриманих значеннях температури до 2%.

На рис.1 представлено залежності температури Т в центральному перетині стрижня із координатою від безрозмірного часу. Залежності T(0,Fo), отримані за розв'язком нелінійної (суцільні лінії) та лінійної задач (штрихові лінії) наближеним аналітичним методом. Штрих-пунктирними лініями показано розв'язок, отриманий чисельним методом.

Порівняння значень температури по суцільним і штриховим кривим показує, що запропоноване розв'язання нелінійної задачі теплопровідності, прогнозує більш швидкий розігрів стрижня.

Аналіз проведених досліджень вказує, що при циклічному навантаженні із низькими частотами (до 1000 Гц) має місце задовільне узгодження результатів розрахунку температурного поля стрижня, отриманих за розв'язком нелінійної та лінійної задач нестаціонарної теплопровідності. При більш високих частотах навантаження відбувається стрімке підвищення температури, що стає причиною розбіжності результатів, отриманих за розв'язком нелінійної та лінійної задач нестаціонарної теплопровідності.

Порівняння результатів розрахунку температурного поля стрижня, отриманих методом послідовних інтервалів та чисельним методом скінчених різниць, при високих частотах навантаження ( > 1000 Гц ) відрізняються не більше ніж на 12%.

Дані на рис.2 відображають розподіл температури Т (z,Fo) по довжині стрижня за різними значеннями частоти циклічного деформування для Fo = 1,5 (суцільні лінії) та Fo = 0,5 (штрихові лінії).

Частота циклічного навантаження суттєво впливає на величину і розподіл температури, при цьому із зростанням частоти відбувається збільшення температури стрижня.

Таким чином, методом послідовних інтервалів за часом (і координатою) отримані розв'язки нелінійних задач нестаціонарної теплопровідності, які мають однакову структуру із розв'язком лінійних задач та враховують залежність від температури теплофізичних і механічних параметрів.

Нелінійна задача нестаціонарної теплопровідності для кусково-однорідного стрижня з m частин ускладнюється узагальненими зовнішніми граничними умовами на торцях і для кожного -го стрижня () температурою навколишнього середовища (); відношенням площі поперечного перетину стержня до його периметру (); коефіцієнтами тепловіддачі з вільних торців в місцях стику (); заданням умов неідеального теплового контакту в місцях стику.

Розв'язок задачі зведено до розв'язку m x N x M лінійних задач теплопровідності. При цьому для кожного -го стрижня виконується розбиття по координаті на частин, в яких теплофізичні, механічні характеристики і джерела тепла приймаються постійними. Розбиття на інтервали за часом виконується аналогічно задачі для однорідного стрижня.

Розв'язок задачі отримано у виді (14). Компоненти впливу для стиків кусково-однорідного стрижня доповнюються функціями теплового контакту.

Одержані розв'язки носять алгоритмічний характер, неперервно залежать від параметрів та даних задачі й можуть бути використані як в теоретичних дослідженнях, так і в інженерних розрахунках.

В п'ятому розділі сформульований обчислювальний розрахунковий алгоритм дисипативного розігріву стрижневих елементів конструкцій при циклічному навантаженні.

Температура дисипативного розігріву стрижня при циклічному деформуванні визначається за наступним алгоритмом.

Весь час навантаження розбивається на M скінчених часових інтервалів,.

За координатою стрижень довжиною розбивається на N скінчених інтервалів.

Для інтервалу часу на кожному інтервалі за координатою виконується послідовність дій:

Теплофізичні (,- теплоємкість, теплопровідність та температуропровідність відповідно) та механічні (,- щільність, модуль пружності та границя текучості відповідно) характеристики матеріалу приймають значення згідно виразу:

Розв'язується задача про вимушені коливання. При цьому розглядаються коливання в резонансній зоні, передбачається виконання правила Відлера, тобто вважається, що розсіяння механічної енергії не впливає на форму коливань системи. Визначаються форми коливань, деформації і напруження по довжині стрижня для будь-якого моменту часу.

Перевіряється умова для амплітудних напружень в небезпечному перетині, тобто максимальне значення амплітудних напружень по довжині стрижня порівнюється із заданим значенням границі текучості.

Визначається кількість циклів навантаження.

Визначається розподіл інтенсивності внутрішніх джерел тепла по довжині стрижня.

Розв'язується лінійна задача теплопровідності для визначення температурного поля.

Розподіл температури по координаті є початковим для наступного інтервалу по часу.

Для наступного інтервалу часу на кожному інтервалі за координатою повторюються попередні кроки алгоритму.

Розбиття на інтервали за часом та по координаті може бути нерівномірним. Для кусково-однорідного стрижня з m частин на кожній частині довжиною R визначається функція.

Для проведення обчислювального експерименту за розрахункову модель було взято однорідний суцільний стрижень круглого поперечного перетину із аустенітної сталі XI8Н10Т, що знаходиться під дією циклічного розтягу-стиску. В розрахунках використовуються залежності теплофізичних і механічних властивостей матеріала від температури, прийняті з відомих робіт. Для якісного аналізу результатів розрахунку було використано дані експериментальних випробувань на втому зразків із аустенітної хромонікелевої сталі.

На рис.3 зображені залежності температури в перетині, від числа циклів N* за різними амплітудами коливань : крива 1 - = 2,25 мкм; крива 2 - = 3,75 мкм; крива 3 - = 5,25мкм; крива 4 - = 6,45 мкм; o - експериментальні дані (Писаренко Г. С., Матвєєв В.В.).

При = 3,75мкм зміна температури за розрахунком змінюється стримкіше в порівнянні з експериментом. Із рис. 3 видно, що в залежності від режиму навантаження, температура в перетині зразка може встановлюватись або підвищуватись із зростаючою швидкістю. Використання запропонованого підходу до визначення температури дисипативного розігріву стрижнів при циклічному навантаженні підтверджується задовільним узгодженням із експериментальними даними.

На рис.4, 5 приведено температурне поле стрижня при змінних параметрах циклічного навантаження: числа циклів N* і амплітуди коливань .

На рис.4 зображено розподіл температури по робочій довжині зразка в залежності від числа циклів N* (при величині амплітуди напружень 160 МПа): крива 1 - N*=750; крива 2 - N*=6*103; крива 3 - N*=8*103;крива 4 - N*=9*103; крива 5 - N*=2*104; крива 6 - N*=2*106; o - експериментальні дані (Писаренко Г. С., Матвєєв В. В.).

Точками на рис.4 показані результати вимірювань температури в зразку з експериментальних данних, що відповідають N*=750 циклам навантаження. По рис.4 можна оцінити характер зміни температури за часом (для центрального перетину): на початку навантаження (приблизно до 103 циклів) відбувається незначна зміна температури, потім швидкість температури зростає і після 104 циклів навантаження швидкість температури знижується.

На рис.5 у вигляді поверхні приведені результати розрахункових досліджень зміни температури за часом по робочій довжині зразка x в залежності від числа циклів N* (крива 1- N*=104; крива 2 - N*=105; крива 3- N*=106; крива 4 - N*=107) при = 5,25 мкм (амплітуда коливань в місці стику зразка і концентратора). Початок координат взято в місці стику зразка і концентратора. Як видно з рис. 5 в кожному реєстрованому перетині робочої частини зразка має місце підвищення температури із зростанням числа циклів навантаження. Розподіл температури по довжині зразка біля його центру має максимум.

Таким чином, аналіз результатів обчислювального експерименту на прикладі однорідних стрижнів показує суттєвий вплив процесу дисипативного розігріву при визначенні температурного поля елементів конструкцій, що знаходяться під дією циклічного навантаження.



ВИСНОВКИ

Побудована математична модель процесу дисипативного розігріву елементів конструкцій (однорідних і кусково-однорідних стрижнів) при циклічному навантаженні із нестаціонарними умовами теплообміну з навколишнім середовищем, яка враховує залежність теплофізичних, механічних характеристик матеріалу і джерел тепла від температури.

Отримані розв'язки нелінійних задач нестаціонарної теплопровідності методом послідовних інтервалів, які мають однакову структуру із розв'язком лінійних задач; враховують зміни значень теплофізичних, механічних параметрів і джерел тепла за температурою та уніфіковані зовнішні граничні умови і умови неідеального контакту між частинами кусково-однорідних стрижнів. Вперше пропонується розбиття на інтервали за часом та координатою для процесів дисипативного розігріву.

Одержано наближений аналітичний розв'язок нелінійної задачі нестаціонарної теплопровідності для малих значень безрозмірного часу, що призводить до менших обсягів обчислень.

Встановлено оцінки меж застосовності запропонованого підходу до визначення температури дисипативного розігріву стрижня при циклічному навантаженні.

Запропонований підхід до визначення температури дисипативного розігріву стрижнів при циклічному навантаженні враховує вплив параметрів циклічного навантаження, вібропоглинаючих властивостей конструкційного матеріалу, умов теплообміну з навколишнім середовищем і між частинами кусково-однорідних стрижнів на температурні поля конкретних елементів конструкцій, зокрема при виборі раціональних експлуатаційних і технологічних параметрів режимів роботи стрижневих елементів конструкцій (кріплень) у вузлах шахтного обладнання, які знаходяться під дією тривалого (гігациклового) вібронавантаження.



СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Клим В. Ю. Математическая модель диссипативного разогрева стержней при циклическом деформировании/ В. Ю. Клим // Системні технології. Регіональний міжвузівський зб. наук.праць. - Д.,2010. - Вип.2 (67). - С. 100-106.

2. Веселовский В. Б. Температурные поля элементов конструкций, разогревающихся вследствие высокочастотного нагружения/ В. Б. Веселовский, В. Ю. Клим // Вісник Донецького університету, Сер. А: Природничі науки, 2003. - Вип. 1.- С. 127-130.

3. Веселовский В. Б. Разогрев ограниченного стержня при высокочастотном нагружении/ В. Б. Веселовский, В. Ю. Клим// Вісник Дніпропетровського національного університету. Механіка. - Вып. 6.- Т. 2.- 2002. - С. 27-34.

4. Веселовский В. Б. Моделирование влияния полей различной физической природы / В. Б. Веселовский, В. Ю. Клим, Н. И. Белый// Вісник Дніпропетровського національного університету. Механіка. - Вип. 6.-Т. 1.- 2002. - С. 111-119.

5. Клим В. Ю. Математическая модель разогрева элементов конструкций при циклическом деформировании / В. Ю. Клим// Зб. наук. праць (галузеве машинобудування, будівництво). Полтавський національний технічний університет імені Юрія Кондратюка. - Полтава: ПолтНТУ, 2009. - Вип. 3 (25). - Т.2. - С. 99-102.

6. Веселовский В. Б. Оценка усталостной долговечности элементов конструкций, разогревающихся вследствие циклического нагружения / В. Б. Веселовский, И. А. Колесник, В. Ю.Клим// Вісті Академії інженерних наук України. Машинобудування.- Д., 2002. - № 4 (17). - C. 34-43.

7. Веселовский В. Б. Разогрев составного стержня при высокочастотном нагружении / В. Б. Веселовский, А. В. Сясев, В. Ю. Клим // Сб. науч. трудов Национальной горной академии Украины. - Д., 2002. - №13 - Т.2. - C. 53-59.

8. Веселовский В. Б. Решение задачи о колебаниях при диссипативном разогреве элементов конструкций / В. Б. Веселовский, В. Ю. Клим // Диференціальні рівняння та їх застосування. Зб. наук. праць. - Д., РВВ ДНУ, 2008. - С. 56-65.

9. Веселовский В. Б. Исследование теплообмена при интенсификации процессов нагрева твердых тел/ В. Б. Веселовский, В.Ю. Клим, И.В Трусков, Н.И. Белый, В. И. Ляшенко// Металлургическая теплотехника. Сб. науч. трудов. - Д., 2002. -Т.8. - С. 167-177.

10. Сясев А. В. Математическое моделирование и решение нелинейных задач термомеханики для двуфазных тел/ А. В. Сясев, В. Ю. Клим // Вестник ХГТУ. - Херсон, ХГТУ. - 2002. - № 2 (15). - C. 448-451.

11. Клим В. Ю. Моделирование разогрева элементов конструкций при циклическом деформировании / В. Ю. Клим// Матеріали міжнародної наукової конференції «Математичні проблеми технічної механіки - 2009». - Дніпродзержинськ, Дніпропетровськ, 2009. - С. 99.

12. Клим В. Ю. Математична модель розігріву елементів конструкцій при циклічному деформуванні/ В. Ю. Клим, В. Б. Веселовський// Тези доповідей конференції молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я. С. Підстригача - Львів. - 2009. - С. 21-23.

13. Клим В. Ю. Математичне моделювання температурних полів елементів конструкцій внаслідок їх дисипативного розігріву при циклічному деформуванні/ В. Ю. Клим// Теорія та практика раціонального проектування, виготовлення і експлуатації машинобудівних конструкцій: Праці конференції. - Львів: КІНПАТРІ ЛТД. - 2008. - С. 51-53.

14. Клим В. Ю. Математическое моделирование температурных полей элементов конструкций при циклическом деформировании/ В. Ю. Клим //Сучасні проблеми механіки та математики: В 3-х т.- Львів, 2008. - Т.1. - С. 84-86.

15. Клим В. Ю. Решение задач о саморазогреве тел при высокочастотном циклическом деформировании / В. Ю. Клим //Тези доповідей міжнародної науково-технічної конференції «Актуальні проблеми механіки суцільного середовища і міцності конструкцій». - Д., 2007. - С. 329-330.

16. Клим В. Ю. Математическое моделирование и исследование температурных полей элементов конструкций при циклическом деформировании/ В. Ю. Клим // Материалы региональной научной конференции «Прикладные проблемы аэрогидромеханики и тепломассопереноса». - Д., 2006. - С. 163-164.

17. Клим В. Ю. Исследование влияния диссипативного разогрева элементов конструкций при циклическом деформировании / В. Ю. Клим// Матеріали ІІ міжнародної наукової конференції “Прикладні проблеми аерогідромеханіки та тепломасопереносу”. - Д.: ДНУ, 2008. - С. 108-110.

18. Веселовский В. Б. Моделирование влияния полей различной физической природы на тепловые режимы составных элементов конструкций/В. Б. Веселовский, В. Ю. Клим//Тези доповідей міжнародної науково-методичної конференції «Проблеми математичного моделювання». - Дніпродзержинськ, ДГТУ 2002. - С. 61-62.

19. Веселовский В. Б. Разогрев составного стержня при высокочастотном нагружении/ В.Б. Веселовский, А.В. Сясев, В.Ю. Клим //Материалы Международной научно-технической конференции “Проблемы механики горно-металлургического комплекса”. - Д.: Навч. книга, 2002. - С. 33-34.

20. Клим В. Ю. Температурные поля ограниченного стержня при высокочастотном нагружении/ В. Ю. Клим // IV Міжнародна молодіжна конференція “Людина і космос”. - Д.: НЦАОМУ, 2002. - С.132.

21. Veselovskiy V. Thermoviscoelasticity of Deforming Restricted Rod with Allowance for Nonlinearity of the Thermal Characteristics/ V. Veselovskiy, A. Syasev, V. Klim// “Symposium of Croatian metallurgical society”. SHMD'2002. METALURGIJA 41(2002). - V.3. - P. 224.



АНОТАЦІЯ

Клим В. Ю. Математичне моделювання дисипативного розігріву і визначення температурних полів тіл при циклічному навантаженні. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи. - Національна металургійна академія України, Дніпропетровськ, 2010р. Дисертаційна робота присвячена побудові математичної моделі процесу дисипативного розігріву елементів конструкцій (однорідних і кусково-однорідних стрижнів) при циклічному навантаженні із нестаціонарними умовами теплообміну з навколишнім середовищем із врахуванням залежності теплофізичних, механічних характеристик матеріалу і джерел тепла від температури. Методом послідовних інтервалів розв'язана нелінійна задача нестаціонарної теплопровідності з урахуванням залежності від температури теплофізичних, механічних характеристик матеріалу і джерел тепла. Вперше пропонується розбиття на інтервали за часом та координатою для процесів дисипативного розігріву. Запропонований підхід до визначення температури дисипативного розігріву стрижнів при циклічному навантаженні враховує вплив характеристик циклічного навантаження на розподіл температурного поля стрижневих елементів конструкцій, зокрема при виборі раціональних експлуатаційних і технологічних параметрів режимів роботи і може бути використана при створенні адаптивних моделей механічних коливальних систем для формування оптимальних управляючих дій автоматизованих систем управління в гірничовидобувній, металургійній промисловостях, машинобудуванні та інших галузях.

Ключові слова: дисипативний розігрів, нестаціонарні умови теплообміну, температурне поле, джерело тепла, метод послідовних інтервалів.

АННОТАЦИЯ

Клим В. Ю. Математическое моделирование диссипативного разогрева и определение температурных полей тел при циклическом нагружении. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и вычислительные методы. - Национальная металлургическая академия Украины, Днепропетровск, 2010 г.

Диссертационная работа посвящена построению математической модели процесса диссипативного разогрева элементов конструкций (однородных и кусочно-однородных стержней) при циклическом нагружении с нестационарными условиями теплообмена с окружающей средой с учетом зависимости теплофизических и механических характеристик материала и источников тепла от температуры.

Получены решения нелинейных задач нестационарной теплопроводности методом последовательных интервалов, имеющие одинаковую структуру с решением линейных задач; учитывающие зависимость от температуры теплофизических, механических характеристик материала и источников тепла, а также унифицированные внешние граничные условия и условия неидеального контакта в местах стыка для кусочно-однородных стержней. Впервые предложено разбиение на интервалы по времени и по координате для процессов диссипативного разогрева.

Для малых значений безразмерного времени получено приближенное аналитическое решение нелинейной задачи нестационарной теплопроводности, которое сокращает объем вычислений.

Показано, что полученные решения носят алгоритмический характер, непрерывно зависят от параметров и данных задачи и могут использоваться как в теоретических исследованиях, так и в инженерных расчетах.

Предложенный подход для определения температуры дисcипативного разогрева стержней при циклическом нагружении учитывает влияние параметров циклического нагружения, демпфирующих свойств материала, условий теплообмена с окружающей средой и между частями кусочно-однородных стержней на температурные поля элементов конструкций, в частности при выборе рациональных эксплуатационных и технологических параметров режимов работы, при создании адаптивных моделей механических колебательных систем для формирования оптимальных управляющих воздействий автоматизированных систем управления в горнодобывающей, металлургической промышленностях, машиностроении, приборостроении и других областях.

Ключевые слова: диссипативный разогрев, нестационарные условия теплообмена, температурное поле, источник тепла, метод последовательных интервалов.



SUMMARY

Klym V.J. The mathematical simulation of dissipative heating and the determination of temperature fields in solids due to cyclic loading. - Manuscript.

The dissertation on competition of a scientific degree of the candidate of technical science on a speciality 01.05.02 - mathematical simulation and computational methods. - National metallurgical academy of Ukraine, Dnepropetrovsk, 2010.

The dissertation work is devoted to development of mathematical model of dissipative heating process in elements of construction (homogeneous and sectionally homogeneous rods) due to cyclic loading with different nonstationary conditions of heat exchange with an environment which allows to taking into account the temperature dependences for thermomechanical properties of material and internal heat generation.

The nonlinear nonstationary problem of heat conduction with taking into account the temperature dependences for thermomechanical properties of material and internal heat generation has been solved due to method of successive intervals. It permitted to divide the time and coordinate for dissipative heating process. Due to the methods of successive intervals the nonlinear nonstationary problem of heat conduction has been reduced to the sequence of linear nonstationary problems. The analytical solution of the nonlinear nonstationary problem of heat conduction for short time is obtained.

The analyzes of numerical results appears importance in taking into account the dissipative heating process in determination of temperature fields for elements of construction due to cyclic loading are given.

The technique of definition the temperature of dissipative heating process in rods due to cyclic loading permits to taking into account the influence of cyclic loading parameters, dissipative characteristics of materials, nonstationary conditions of heat exchange with an environment on temperature fields in elements of construction, to take a rational technological and working parameters for building of adaptive model of mechanic oscillating systems at the forming of optimal automated control systems in the mining, metallurgical, machine building and other industries.

Keywords: dissipative heating, nonstationary conditions of heat exchange, temperature field, internal heat generation, method of successive intervals.

Размещено на Allbest.ru