Застосування математичних методів у економіці

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольна робота

з дисципліни «Економетрія»

КИЇВ 2012



Зміст

Вступ

1. Теоретична частина. «Перевірка регресійної моделі на адекватність»

1.1 Перевірка простої лінійної регресійної моделі на адекватність

1.2 Перевірка багатофакторної регресійної моделі на адекватність

2. Практична частина

Задача 2.1

Задача 2.2

Задача 2.3

Висновки

Список використаної літератури



Вступ

Економетрія - це порівняно новий напрямок економічної науки, що утворився від поєднання теоретичної економіки, математики. Слово “економетрія” (у деяких джерелах “економетрика”) буквально означає “вимірювання в економіці", що дає підстави під цим терміном розуміти все, що пов'язано з вимірюваннями в економіці.

Економетрія - це самостійна наукова дисципліна, яка об'єднує сукупність теоретичних результатів, засобів, прийомів, методів і моделей, призначених для того, щоб на базі економічної теорії, економічної статистики та математико-статистичного інструментарію надавати конкретних кількісних значень загальним (якісним) закономірностям, обгрунтованим економічною теорією.

Економічна статистика акумулює всю інформацію про економічні процеси, що відбуваються в реальній економіці, та уособлює той практичний досвід, який має підтвердити чи спростувати відповідні економічні теорії.

Об'єктом економетрії є економічні системи та простори різного рівня складності: від окремого підприємства чи фірми до економіки галузей, регіонів, держави й світу загалом.

Предмет економетрії - це методи побудови та дослідження математико-статистичних моделей економіки, проведення кількісних досліджень економічних явищ, пояснення та прогнозування розвитку економічних процесів.

Метою економетричного дослідження є аналіз реальних економічних систем і процесів, що в них відбуваються, за допомогою економетричних методів і моделей, їх застосування при прийнятті науково обгрунтованих управлінських рішень.

Отже, економетрія - це прикладна економіко-математична дисципліна, яка вивчає методи кількісного вимірювання взаємозв'язків між економічними показниками та напрямки їх застосування в економічних дослідженнях і практичній економічній діяльності.



1. Теоретична частина. «Перевірка регресійної моделі на адекватність»

1.1 Перевірка на адекватність простої регресійної моделі

Кореляційний аналіз має на меті встановлення істотності (статистичної значимості) кореляційного зв'язку між фактором і результатом (показником).

Для простої лінійної регресійної моделі (Y=ax+b) коефіцієнт кореляції вираховується за формулою:

cov(x;y) = ;

var(x) = ;

var(y) = .

На відміну від коефіцієнта коваріації коефіцієнт кореляції є не абсолютною, а відносною мірою зв'язку між двома будь-якими факторами:

-1 ? К_ху ? 1.

Додатнє значення К_ху показує на прямий зв'язок між параметрами, від'ємне - на обернений.

Якщо К_ху , це вказує на тісний зв'язок між факторами і результативним показником,

якщо К_ху , це вказує на не тісний зв'язок між факторами і результативним показником,

якщо К_ху - зв'язку між факторами і результативним показником немає.

К_{ху =}

Частина дисперсії, яка пояснює регресію, називається коефіцієнтом детермінації, позначається

,

Де = = SSP - сума квадратів, що пояснює регресію;

= = SST - загальна сума квадратів;

== SSE - сума квадратів помилок.

SST = SSE + SSP - формула за якою розкладається дисперсія.

Враховуючи введені означення, можна записати:

.

Для обчислення коефіцієнта детермінації використовують такі формули:

= = .

Важливою властивістю коефіцієнтів кореляції і детермінації є їхня незалежність від зміни розмірності величин X і (чи) Y, а також від їхньої пропорційної зміни. Скажемо, ми вивчаємо залежність товарообігу Y торгового підприємства від торгової площі X [м²]. Коефіцієнт регресії b при цьому виміряється в ден. од./м², наприклад, грн./м² , чи євро/м². Перехід від однієї одиниці до іншої супроводжується пропорційною зміною коефіцієнта регресії b (а також і постійної складовий а, якщо змінюється показник Y). Разом з тим на коефіцієнти R² і R такі перерахування не впливають, вони є безрозмірними відносними показниками (коефіцієнт R² можна, наприклад, виразити в %).

Коефіцієнт завжди додатній, 0??1, він є мірою згоди регресії. Між коефіцієнтом кореляції і коефіцієнтом детермінації існує співвідношення = Якщо , то регресія добре погоджена, , то модель неадекватна, якщо то потрібен інший критерій. Таким критерієм є дослідження за критерієм Фішера.

F - критерій Фішера.

Теорія статистичної перевірки гіпотез у додатку до регресійного аналізу розроблена англійським математиком Фішером.

Перевірка моделі на адекватність за F - критерієм Фішера виконується за таким алгоритмом:

1. Обчислити F-відношення:

F_р = = ,

Де n - число спостережень;

- коефіцієнт детермінації;

середній квадрат, пов'язаний з регресійною моделлю;

- середній квадрат помилки;

1, n-2 - степінь свободи відповідно , -знаменника.

2. Задати рівень значимості або 100%.

Якщо = 0,05, то в 5% значень можлива помилка прогнозу, в інших 95% висновки повинні бути правильними.

3. Для оцінки знайденої економетричної моделі на адекватність порівнюють розрахункове значення критерію Фішера із табличним.

Із статистичної таблиці критичних значень F - розподіл Фішера з

(1, n-2) степенем свободи і рівнем 100% (1-обчислюється критичне значення F_кр.

Якщо F_розр.? F_кр, то Н₀ гіпотеза: побудована модель адекватна процесу, що розглядається.

Якщо F_розр.< F_кр, то Н₀ гіпотеза приймається, а модель вважається неадекватною.

1.2 Перевірка на адекватність багатофакторної регресійної моделі

Для багатофакторної регресійної моделі (Y=) коефіцієнт кореляції вираховується за формулою:

Коефіцієнт кореляції між залежною змінною у та незалежною змінною x_n:

rx_ny = ;

Коефіцієнти парної кореляції між факторами ,

r = ,

Аналіз коефіцієнта кореляції здійснюється аналогічно аналізу коефіцієнта кореляції для лінійної регресії.

На цьому ж етапі ми досліджуємо модель на наявність явища мультикоренальності. Мультикоренальність означає, що в багатофакторній регресії 2 або більше незалежних факторів мають високий степінь кореляції, тобто

r, якщо . Мультикоренальність виникає по різним причинам: глобальна тенденція економічних змін показників, на макрорівні на показники впливають однакова фактори, використання в економічних моделях планових значень однієї змінної. Як наслідок виникає переоцінена дисперсія та неточність оцінок ММК, збільшення довірчого інтервалу, незначимість Т статистики. В такому випадку один фактор потрібно залишити, а інші виключити. Для вибору залишеного фактору можна скористатись такими міркуваннями:

- Залишається той фактор, який найбільш впливовий на незалежну змінну з економічної точки зору;

- Метод коефіцієнтів кореляції: якщо r, то мультикоренальність має місце. Переходимо до порівняння коефіцієнтів кореляції факторів з результативним показником. Якщо, наприклад, r, то ми усуваємо той фактор, у якого менше коефіцієнт кореляції. В даному випадку це .

У багатофакторної лінійної регресії загальний коефіцієнт кореляції і детермінації визначають адекватність моделі процесу, який відбувається, і вираховується за формулою:

R= .

Квадрат коефіцієнту кореляції, як і у випадку лінійної регресії, визначає коефіцієнт детермінації :

=

Якщо , то регресія добре погоджена, , то модель неадекватна, якщо то потрібен інший критерій. Як і у випадку простої лнійної регресії для оцінки адекватності моделі використовується дослідження за критерієм Фішера, при цьому гіпотеза набуває вигляду:



, де

Визначаємо точність: б = 0,05 або 0,95; б=0,01 або 0,99.

Далі з F-таблиці Фішера знаходиться F_кр з р степенями свободи в чисельнику, (п-р-1) степенем свободи в знаменнику та рівнем помилки б*100%, або рівнем довіри (1-б)*100%.

Якщо F_розр.> F_кр, то модель вважається адекватною.



Задача 2.1

Оцінити параметри простої лінійної регресії. Знайти коефіцієнти кореляції та детермінації.

Вихідні дані для задачі:

Х	13	11	15	15	16	16	17	19	20	21
У	32	32	12	20	22	25	27	32	39	40

№	У	Х	Хі-	(Хі-)2	Уі-	(Уі-)2	(Хі-)2* (Уі-)2	Х*У	Х2
1	32	13	-3,3	10,89	3,9	15,21	-12,87	416	169
2	32	11	-5,3	28,09	3,9	15,21	-20,67	352	121
3	12	15	-1,3	1,69	-16,1	259,21	20,93	180	225
4	20	15	-1,3	1,69	-8,1	65,61	10,53	300	225
5	22	16	-0,3	0,09	-6,1	37,21	1,83	352	256
6	25	16	-0,3	0,09	-3,1	9,61	0,93	400	256
7	27	17	0,7	0,49	-1,1	1,21	-0,77	459	289
8	32	19	2,7	7,29	3,9	15,21	10,53	608	361
9	39	20	3,7	13,69	10,9	118,81	40,33	780	400
10	40	21	4,7	22,09	11,9	141,61	55,93	840	441
?	218	163	0	86,1	0	678,9	106,7	4687	2743
?/n	28,1	16,3	-	8,61	-	67,89	10,67	468,7	274,3

Визначимо параметри простої лінійної моделі І та ІІ способами.

І спосіб.

; -

Y=ax+b

а =10,67/8,61=1,24; в = 28,1-1,24*16,3=7,89

Y=1,24x+7,89.

Визначимо коефіцієнт кореляції за формулою:

=.

К кореляції має додатне значення - це вказує на прямий зв'язок між параметрами, , значить зв'язку немає.

ІІ спосіб.

;

а = = = = 1,24;

b = = = = = 7,89.

Зробимо аналіз на адекватність лінійної моделі за допомогою коефіцієнту детермінації:

= = = 0,2.

Коефіцієнт детермінації наближається до 0, це означає, що модель не адекватна економічному процесу.

Висновок: Оскільки це вказує на не тісний зв'язок між факторами.

За таблицею Фішера для певної точності, для певної степені свободи знаменника і чисельника визначаємо F_крит.= 11,3. Оскільки F_{розрахункове} = 2, то

F_крит F_{розрахункове}, а це означає, що модель не адекватна економічному процесу, що відбувається.



Задача 2.2

Оцінити параметри моделі лінійної багатофакторної регресії. Побудувати кореляційну матрицю. Зробити висновки про зв'язок між факторами і результативним показником. Оцінити адекватність моделі.

Вихідні дані для задачі:

У	9	10	14	15	12	19	13	11	14	15
Х1	11	12	12	12	15	15	19	20	19	22
Х2	5	5	4	5	6	3	7	5	7	9

Побудуємо кореляційну матрицю.

Х1	Х2	У	Х1 У	Х2 У	Х1 Х2
11	5	9	99	45,0	55	-4,7	22,09	-0,6	0,36	-4,2	17,64
12	5	10	120	50	60	-3,7	13,69	-0,6	0,36	-3,2	10,24
12	4	14	168	56	48	-3,7	13,69	-1,6	2,56	0,8	0,64
12	5	15	180	75	60	-3,7	13,69	-0,6	0,36	1,8	3,24
15	6	12	180	72	90	-0,7	0,49	0,4	0,16	-1,2	1,44
15	3	19	285	57	45	-0,7	0,49	-2,6	6,76	5,8	33,64
19	7	13	247	91	133	3,3	10,89	1,4	1,96	-0,2	0,04
20	5	11	220	55	100	4,3	18,49	-0,6	0,36	-2,2	4,84
19	7	14	266	98	133	3,3	10,89	1,4	1,96	0,8	0,64
22	9	15	330	135	198	6,3	39,69	3,4	11,56	1,8	3,24
157	56	132	2 095	734	922	0	144,1	0	26,4	0	75,6
15,7	5,6	13,2	209,5	73,4	92,2	-	14,41	-	2,64	-	7,56

= = 3,796; = = 1,625; = = 2,75.

Розрахуємо коефіцієнт кореляції:

економетрія регресійний детермінація кореляція

rx₁y = = = = 0,216 0, зв'язку між фактором і результативним показником не має.

rx₂y = = = = -0,116 0,

зв'язку між фактором і результативним показником не має.

rx₁х₂ = = = = 0,694 0,5, зв'язок між факторами не тісний.

Випишемо загальний коефіцієнт кореляції:

R = ,

де - стандартизовані коефіцієнти, які можна знайти із системи рівнянь:

= 0,216-0,694*

0,518*

R = = =

= = 0,428.

Загальний вигляд багатофакторної моделі: y = , а вигляд оціненої моделі такий: =-.

Коефіцієнти:

=== 0,415;

== - = - 0,87;

- = 13,2-0,415*15,7- (-0,87)*5,6 =

= 13,2-6,5155+4,872 = 11,5565.

Загальний вигляд оціненої моделі такий:

= 11,557 - 0,415

0, модель не адекватна.

Висновок: Оскільки r та 0, то модель неадекватна процесу, що відбувається. Оскільки rx₁y = 0,216 0, зв'язку між 1-м фактором і результативним показником не має; rx₂y = -0,116 0, зв'язку між 2-м фактором і результативним показником не має; rx₁х₂ = 0,694 0,5, зв'язок між 1-м і 2-м факторами не тісний.



Задача 2.3

Використовуючи показник ефективності роботи локомотивного депо, розрахувати параметри моделі степеневої залежності. Використовуючи метод екстраполяції, знайти прогнозні дані для наступного року динамічного ряду.

Вихідні дані для задачі:

показники	Роки
	1	2	3	4	5	6	7
Продуктивність локомотива у вантажному русі, тис. т-км	2319	2335	2355	2367	2350	2380	2386

Розрахуємо дані, результати занесемо в таблицю

№	х		у	lg x	lg у	lg x lg у	lg x2
1	1	1	2319	0,000	3,365301	0,000	0,000
2	2	4	2335	0,301030	3,368287	1,013955	0,602060
3	3	9	2355	0,477121	3,371991	1,608849	0,954243
4	4	16	2367	0,602060	3,374198	2,031470	1,204120
5	5	25	2350	0,698970	3,371068	2,356275	1,397940
6	6	36	2380	0,778151	3,376577	2,627488	1,556303
7	7	49	2386	0,845098	3,377670	2,854463	1,690196
?	-	-	-	3,702431	23,605092	12,492499	7,404861

Визначаємо коефіцієнт степеневої моделі:

b = = =

= = = 0,00134.

lg а = = = =

= = 3,371447.

a = = 2352,05623.

Загальний вигляд моделі: = 2352,05623*.

За допомогою методу екстраполяції, знаходимо прогнозні дані для наступного року:

= 2352,05623 * = 2352,05623*1,00279 = 2359 тис. т-км.

Висновок: Використовуючи показник ефективності роботи локомотивного депо, розраховано параметри моделі степеневої залежності (a=2352,05623; b=3,371447). Використовуючи метод екстраполяції, знайдені прогнозні дані для наступного року динамічного ряду. Продуктивність локомотива у вантажному русі наступного року за прогнозами має скласти 2359 тис. т-км, що вказує на зменшення цього показника проти попереднього року на 27 тис. т-км.

Висновки

Економетрія - це порівняно новий напрямок економічної науки, що утворився від поєднання теоретичної економіки, математики.

Відтоді як економіка стала серйозною самостійною наукою, дослідники намагаються спрогнозувати ту чи іншу ситуацію, передбачити майбутні значення економічних показників, запропонувати інструменти зміни ситуації в бажаному напрямку. Політики або керуючі виробництвом, обираючи одну з можливих стратегій, отримують певний результат. Поганий він чи гарний і чи можна було досягти кращого результату, перевірити дуже важко. Економічна ситуація практично ніколи не повторюється в точності, отже, неможливо застосувати дві стратегії за тих самих умов з метою порівняння кінцевого результату. Тому одним із основних завдань економічного аналізу є моделювання розвитку економічних явищ і процесів при створенні тих чи інших умов. Зрозумівши глибинні рушійні сили досліджуваного процесу, можна навчитися раціонально керувати ним.

Застосування математичних методів у економіці дає змогу виокремити та формально описати найважливіші, найсуттєвіші зв'язки економічних змінних і об'єктів, а також індуктивним шляхом отримати нові знання про об'єкт. Крім того, мовою математики можна точно та компактно відображати твердження економічної теорії, формулювати її поняття та висновки.

Опанування дисципліни „Економетрія” надає навички творчого мислення, формує здатність аналізувати економічні явища, знаходити взаємозв'язок між ними, ознайомитись з методами досліджень, тобто методами перевірки, обґрунтування, оцінювання кількісних закономірностей та якісних тверджень на основі аналізу статистичних даних.



Список використаної літератури

1. Джонстон ДЖ. Экономические методы. -М.: Статистика, 1980.- 444с.

2. Догурти В. Введение в эконометрику М.: ИНФРА-М, 1997. 402с.

3. Иванова В.М. Основы економетрики: Учебное пособие - М.: Моск. Эконом.-стат. Ин-т.- М., 1995. - 145с.

4. Назаренко А.М. Эконометрика: Учебное пособие. - Сумы: Изд-во

СумГу, 2000.- 404с.

5. Толбанов Ю.В. Економетрика: Учбовий посібник. - К.: Четверта хвиля, 1997. - 320с.

6. Фишер Ф. Проблема инденфикации в эконометрии. - М.: Статистика, 1978. - 223с.

7. Економетрія: Методичні вказівки/ В.І.Творонович, О.В.Пилипенко, О.А.Чигринець. - К.: Вид-во КУЕТТ, 2006. - 87с. (№389).

Размещено на Allbest.ru