Математичне моделювання

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вступ

математичний модель проекція матриця

Курсова робота з дисципліни “Графічне і геометричне моделювання та інтерактивні системи” присвячена математичному моделюванню, тобто процесу встановлення відповідності деякої математичної моделі реальному об'єкту. Моделювання являє собою потужний метод наукового пізнання, при використанні якого досліджуваний об'єкт заміняється більш простим об'єктом, названим моделлю [1]. У модель входить безліч величин, що підлягають визначенню, а самі ці величини залежать від великої кількості змінних і постійних параметрів. Метою моделювання є прогнозування поводження досліджуваного об'єкта в процесі його функціонування. Моделювання дозволяє з меншими витратами відтворити процеси в системі і визначити чи перевірити значення критеріїв оптимізації.

Геометричне моделювання традиційно використовується в багатьох областях машинобудування. На практиці не один з реалізованих проектів в авіаційно-космічній техніці не обходиться без його геометричного моделювання. Геометричне моделювання використовується як на етапах функціонального аспекту проектування, так і при розробці конструкторської документації [2-5].

У зв'язку з цим, майбутнім фахівцям важливо опанувати сучасними методами геометричного моделювання, навчитися виконувати інженерні розробки за фахом.

Освоєння студентами методів комп'ютерної графіки дозволить розширити свій кругозір і підвищити якість виконуваних робіт. Зокрема, опанувати метод французького математика і інженера Пьєра Безьє, який створив простий і в той же час гнучкий метод описання складних контурів для металорізальних машин, що використовувалися в автомобілебудуванні.

У процесі виконання курсової роботи студент зможе не тільки провести геометричне моделювання об'єкта, але і розрахувати процес його функціонування. Крім того, студент зможе оцінити можливість експериментальної перевірки функціонування об'єкта, що розробляється, за допомогою відеокамери.

Під час випробувань авіаційної техніки часто використовується кіноапаратура, зараз застосовується термін «відеокамера» [7-9], причому для визначення параметрів руху літального апарата (ЛА) кіноапаратура використовується вже більше півстоліття [10].

Сучасні досягнення в області комп'ютерних технологій обробці цифрових зображень дозволяють розширити можливості застосування відеокамери (ВК). За допомогою спеціального програмного забезпечення можна досліджувати кожен кадр відеозйомки [6, 11].

1. Характеристика проектованої підсистеми літального апарата

Відомо, що проектування технічного об'єкта пов'язано зі створенням, перетворюванням і представленням у прийнятній формі образу цього об'єкта. Образ об'єкта чи його складових частин може створюватися в уяві людини в результаті творчого процесу чи генеруватися в процесі взаємодії людини і ПЕОМ за створеними заздалегідь алгоритмами.

Основними принципами проектування є декомпозиція і ієрархічність описів об'єктів. Описи технічних об'єктів повинні бути за складністю погоджені з можливостями сприйняття людиною і можливостями оперування описами в процесі їхнього перетворення за допомогою засобів проектування, які є у розпорядженні проектувальника. Однак виконати ці вимоги в рамках деякого єдиного опису вдається лише для простих технічних об`єктів. Необхідно розбити процес проектування на деякі складові частини, що відповідають вузлам чи блокам об`єкта, що проектується. Це дозволяє розподіляти роботи з проектування складних об'єктів між підрозділами проектної організації та окремими проектувальниками, що сприяє підвищенню ефективності і продуктивності праці проектувальників. Виходячи з цього, як приклад, в рамках курсового проекту ставиться задача проектування авіаційного пускового блока (АПБ), що є підсистемою ЛА.

АПБ широко використовується при експлуатації авіаційної техніки, і може бути використаний для пожежогасіння, скидання касет з радіоелектронними перешкодами і т. ін. Наприклад, у Харківському конструкторському бюро імені А.А. Морозова розроблена самохідна установка порошкового пожежогасіння імпульсної дії УПГ-92 (рис. 1). Авіаційних пускових блоків, що створені та виробляються на Україні, в даний час, на жаль, немає.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1

АПБ, як правило, розміщується зовні ЛА: на пілонах у гелікоптера, під крилами у літака, і тому він повинен мати необхідний запас міцності, прийнятні аеродинамічні характеристики, мати мінімальну вагу.

Площа поперечного перерізу АПБ також повинна бути оптимальною для мінімізації аеродинамічних сил опору.

Під прийнятними аеродинамічними характеристиками розуміються два фактори:

- інтерференція між планером ЛА і корпусом АПБ не повинна приводити до негативних наслідків;

- при аварійному скиданні АПБ не повинно виникати погрози для безпеки ЛА.

Основний режим застосування АПБ не передбачає його скидання під час польоту, проте, при виникненні позаштатної ситуації під час польоту ЛА, для того, щоб зберегти сам ЛА, необхідно передбачити аварійне скидання АПБ. Тому при виконанні студентами розрахунків і проектування конструкції АПБ необхідно врахувати фактор його аварійного скидання .

2. Загальна характеристика курсової роботи

Курсова робота складається з трьох зв'язаних між собою частин. У першій частині завдання необхідно розрахувати масогабаритні характеристики і побудувати зовнішній вигляд авіаційного пускового блока, що має мінімальну вагу та задовольняє заданим обмеженням. Визначення мінімальної ваги блока виконується шляхом перебору можливих варіантів побудови його конструкції. При виконанні курсової роботи необхідно володіти елементарними навичками роботи в AutoCAD чи Open Draw чи 3D-max. Зокрема, при побудові зовнішнього вигляду АПБ у першій частині завдання зручно скористатися графічними примітивами. Графічними примітивами є мінімальні графічні об'єкти, що складають векторний рисунок. До графічних примітивів відносяться лінії і стрілки, прямокутники, кола, еліпси, дуги, сегменти і сектори, а також тривимірні об'єкти (куб, куля, циліндр і т. ін.).

При побудові обтічника АПБ зручно скористатися кривими П.Безьє чи апроксимуючим степеневим поліномом.

У другій частині - потрібно розрахувати за відомими формулами рух центра мас (ЦМ) і рух навколо ЦМ АПБ при його аварійному скиданні. При скиданні АПБ застосовують, в основному, примусове відокремлювання [12]. Суть примусового відокремлювання полягає в тому, що АПБ відстрілюється від носія в обох точках його підвіски за допомогою двох піропатронів. При цьому піропатрон, розташований у передній точці підвіски (у носовій частині АПБ) має більший заряд, чим піропатрон, розміщений у задній точці підвіски. У такий спосіб створюється не тільки імпульс сили, що відокремлює АПБ від носія, але й обертаючий момент, що розвертає його від носія з кутовою швидкістю . Припустимо, що в момент відокремлювання АПБ, носій виконує горизонтальний політ і початкова ділянка траєкторії блока буде лежати у вертикальній площині (рис. 2).

Рух АПБ, у першому наближенні, можна зобразити у вигляді двох складових, кожна з яких розраховується ізольовано від іншої: рух ЦМ блока і рух навколо його ЦМ.



Рис. 2

На АПБ після його відокремлення від носія діють дві сили:

аеродинамічна і сила ваги. Якщо не враховувати аеродинамічної сили, то траєкторія руху ЦМ блока в нерухомій земній системі координат (НЗСК) описується системою рівнянь:

(1)

де g = 9,81 м/с² - прискорення вільного падіння.

У цій системі координат горизонтальна вісь OX прямує в напрямку руху, а вертикальну вісь - OY_g прямує вгору.

Швидкість і координати ЦМ блока можуть бути визначені шляхом інтегрування системи рівнянь (1). З урахуванням аеродинамічної сили система рівнянь ускладнюється і приймає вигляд:

(2)

де R_x,R_y - проекції вектора аеродинамічної сили на осі НЗСК OX_g і OY_g відповідно, m - маса АПБ.

Рішення системи рівнянь (2) залежить від аеродинамічних характеристик АПБ, а не тільки від початкових умов польоту, як рішення системи рівнянь (1).

У курсовій роботі необхідно оцінити вплив аеродинамічних характеристик блока на траєкторію руху її ЦМ [12-14]. У відповідності до методики, що наведена у роботи [15], при постійній швидкості руху блока після його скидання з носія і при лінеаризації основних аеродинамічних коефіцієнтів, залежність кута тангажа АПБ від часу можна записати у вигляді:

(3)

де C_1, C₂, C₀ - постійні коефіцієнти,

, , , ,

У нашому випадку може бути прийнята умова, що C₁, = 0, тоді з вищенаведеного залишиться лише

При цьому залежність кута тангажа АПБ від часу (3) спрощується:

(4)

Після диференціювання рівняння (4) за часом , одержимо:

 (5)

Початкова кутова швидкість щ_z, що задається різними імпульсами сил від піропатронів, буде визначати значення постійного коефіцієнта C₂ в рівнянні (5). Коефіцієнт C₂, також залежить від режиму польоту носія. Його значення визначається студентами при виконанні курсової роботи. Аеродинамічні характеристики задаються графіками.

C_y=C_y(б), C_x=C_x(б), m_z=m_z(б)

У третій частини курсової роботи необхідно оцінити можливість експериментальної перевірки траєкторії руху АПБ при його аварійному скиданні за допомогою відеокамери (ВК).

Завдання полягає в одержанні максимально достовірної інформації про кутові переміщення ЛА на траєкторії його руху за допомогою ВК без далекоміра з постійною частотою н кадрів у заданому часі відновлення CDD матриці t_з з нерухомої точки спостереження. Фокусна відстань об'єктива fґ під час зйомки може змінюватися.

Під час розв`язання задачі виникають дві основні проблеми, а саме:

1) як застосувати ВК, тобто де установити її, які в неї мають бути характеристики (швидкодія, фокусна відстань fґ і т. ін.), куди направити її оптичну вісь у тривимірному просторі;

2) які потрібні допоміжні засоби для вимірювання лінійних і кутових переміщень ЛА на траєкторії.

Для дослідження руху ЛА навколо ЦМ доцільно ВК розташувати збоку від опорної траєкторії на заданій відстані r від неї і на відстані R від точки скидання, як це показано на рис. 3.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Далі треба повертати ВК із заданою кутовою швидкістю щ_ВК для фіксації всієї траєкторії ЛА, причому величина щ_ВК пов'язана з відстанями r, R і величиною швидкості V_0х. При нерухомій ВК при її встановленні збоку від траєкторії, можлива фіксація тільки частини траєкторії ЛА.

Необхідну величину щ_ВК можна оцінити таким чином. За інтервал часу Дt ЛА пройде відстань порядку S ? V_0xДt , але за цей же час вісь об'єктива ВК повинна буде повернутися на кут

.

Таким чином, величину кутової швидкості обертання ВК можна оцінити за формулою:

, (6)

причому величина буде досягати максимуму, якщо R = r.

3. Завдання на курсову роботу

ЧАСТИНА 1. Побудувати форму обтічника авіаційного пускового блока мінімальної ваги з оптимальним розташуванням заданої кількості труб (N) і розрахувати його масогабаритні характеристики. Максимальний поперечний розмір АПБ не повинен перевищувати 0,8 м. Довжина АПБ - L_б=2 м, внутрішній діаметр пускових труб 80 мм, обтічник і всі труби блока виконані із сталі (_ст = 7,8 г/см³). Товщина стінок усіх труб і товщина зовнішнього обтічника (обведення) корпусу однакові і її значення д задається кожному студентові індивідуально, залежно від номера варіанта. Вагою поперечних перегородок, що скріплюють пускові труби, будемо зневажати.

ЧАСТИНА 2. Розрахувати і показати в 3D-max рух пускового блока протягом однієї секунди. Аеродинамічні характеристики АПБ задані графіками наведеними в дод. 1.

Величина = мінус 0,021с. Момент інерції АПБ можна приблизно розрахувати за формулою I_z=ml²/12 (ця формула справедлива для розрахунку поперечного моменту інерції прямолінійного тонкого стрижня довжиною l). Будемо також вважати, що рух ЛА з АПБ відбувається біля земної поверхні (щільність повітря біля поверхні землі с_H=0 = 1,225кг/м³).

ЧАСТИНА 3. Визначити відстань від точки скидання АПБ до центра об'єктива ВК, на якій можна забезпечити відеозйомку процесу руху АПБ протягом однієї секунди. Варіанти завдань до курсової роботи наведені в дод. 2.

4. Теоретичні і технічні відомості

Для розрахунку аеродинамічних сил і моменту М_z використовуємо формули [14]:

; ; ,

де C_x - коефіцієнт сили опору повітря, C_y - коефіцієнт піднімальної сили, , - похідні коефіцієнта моменту тангажа по куту атаки і по кутовій швидкості тангажа, відповідно, q - швидкісний напір.

Рівняння руху АПБ навколо поперечної вісі ОZ_св має вигляд:

(7)

де J_z, щ_z - момент інерції і кутове прискорення блока,

M_z - момент сил відносно осі ОZ_св.

Як випливає з рівняння (7) кутове прискорення dщ_z/dt=M_z/J_z, тобто

. (8)

Інтегруючи обидві частини рівняння (8) від ф = 0 до ф = t, якщо M_z/J_z=const (без урахування моменту аеродинамічних сил на початковій ділянці руху АПБ), одержимо

(9)

Залежності C_y(б) і C_x(б) можна зобразити у вигляді однієї кривої, яка називається полярою літака і має вигляд:

(10)

де - коефіцієнт сили лобового опору при нульовій піднімальній силі, а коефіцієнт A - стала величина для даного АПБ.

5. Приклад виконання курсової роботи

ЧАСТИНА 1. Розрахувати мінімальну вагу АПБ при таких вихідних даних:

N=19, L_б = 200 см, д = 0,1 см, R_вн = 8 см - внутрішній радіус труби.

Необхідно дати порівняльний аналіз для двох-трьох варіантів розташування пускових труб.

а) Спочатку виберемо обтічник АПБ у вигляді кола. Поперечний переріз АПБ буде мати вигляд, що показаний на рис. 4. При цьому D_вн=2R_вн - внутрішній діаметр пускової труби (рис. 5), а D_зовн=D_вн+2д - зовнішній діаметр труби: D_вн=16 см, D_зовн=16,2 см. Площа поперечного перерізу однієї труби дорівнює

_СМ².

Площа поперечного перерізу обтічника обчислюється аналогічно S_бc ? 64,37 см². Об'єм однієї труби см³, а об'єм 19-ти труб буде складати V₁₉=19228 cм³. Внутрішній радіус блока R_бл=40,5 см, а з урахуванням товщини обтічника R_бл0=41,5 см.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

При цьому об'єм одного обтічника АПБ V_бл=12874 см³, а об'єм АПБ з урахуванням усіх труб V_c=V_бл+V₁₉ = 32102 см³.

Маса АПБ m=V=250395,6 г ? 250,4 кг, вага блока складає

G=mg ? 2456,42 Н.

Зовнішній вигляд АПБ збоку показано на рис. 6.

Рис. 6

Площа поперечного перерізу АПБ дорівнює

S_м =(5D_зовн+2д)² ? 0,52 м².

б) Обтічник АПБ також може бути виконаний у вигляді багатокутника, як приклад, у вигляді восьмикутника (14 труб). На рис. 7а показано поперечний переріз АПБ, а на рис. 7б - перспективне зображення зв'язування труб.

Размещено на http://www.allbest.ru/

а) б)

Рис. 7

Для дев'ятнадцяти труб обтічник може бути представлений у вигляді шестикутника зі зрізаними кутами, як зображено пунктиром на рис. 4. Внутрішній периметр перетину обведення шестикутника зобразимо у вигляді двох складових

P_б=12D_зовн+6(рD_зовн /12)=D_зовн(12+р/2) ? 2,20 м,

що значно менше, ніж периметр P_а=5рD_зовн ? 2,54 м у варіанті (а). При цьому об'єм і маса обтічника зменшаться на 13,4%, а величина S_м - на 17,4%.

Таким чином, варіант (б) краще, ніж варіант (а), при цьому у варіанті (б): S_м ? 0,43 м², m ? 236,94 кг.

ЧАСТИНА 2. Розрахувати рух АПБ після його відокремлення від літака-носія, який рухається зі швидкістю V=200 м/с. Необхідно розглянути рух у цілому, тобто з урахуванням руху центра мас. У першому наближенні його рух можна оцінити як вільний рух падаючого тіла. Припустимо, що імпульс сил від піропатронів розганяє АПБ по вісі Y протягом t=0,01с до швидкості, що дорівнює 10 м/с. Якщо по вісі X не діє жодна сила, то швидкість руху по цій осі - постійна. По осі Y діє сила ваги p=mg і по цій осі рух рівноприскорений, тобто:

V_у = - 9,9 - gt, S_y = - 9,9t - (gt²)/2, S_x =Vt.

Підставимо числові дані в рівняння (1) і отримаємо траєкторію руху АПБ (рис. 8).

Рис. 8

При цьому V_х=V=200 м/с, V_у(0,01) = - 10 м/с, S_у(1)14,9 м, S_х(1)200 м.

Перейдемо до розрахунку обертального руху АПК навколо центра мас. Припустимо, що піропатрони створили початковий момент сил М_z=1000 Нм, що діє на АПБ якийсь час Дt=0,01c. Момент інерції блока дорівнює J _z ? 78,98 кгм².

Відповідно до рівняння (9) початкова кутова швидкість АПБ (0,01) ? 0,13 рад/с ? 7,45 град/с.

Обчислимо коефіцієнти A, А₁, A₂, A₃. З цією метою з графіків визначимо:

;

Коефіцієнти А, A₁, A₂,A₃ мають розмірність:

;

;;

.

Обчислимо числові значення цих коефіцієнтів:

2,03

;



Знайдемо значення

або

Із умови (9) та виразу (5) отримуємо:

,

тобто C_2х= 0,17 рад. З формули (4), приймаючи, що =0, отримуємо C₀= 0,17 рад.

Таким чином закон зміни кута тангажа від часу має вигляд:

(11)

Вважаючи, що протягом однієї секунди кут ? 0 знайдемо із формули (11) діапазон зміни кута атаки б, тобто звідси , рад.

Отже б(1) =0,008 рад і б лежить в межах (0;0,08) рад, або (0;4,58) град. Кут б, який зростає від 0 до 4,58 град, змінює C_y від 0 до 0,16, що згідно з формулою (10), визначає зміну C_x.від 0,11 до 0,13.

Далі визначимо вплив аеродинамічних сил R_x і R_y на траєкторію руху ЦМ АПБ. Визначимо середні значення аеродинамічних сил, що діють на АПБ протягом однієї секунди, як напівсуму мінімальних (R_x=R_y=0) та максимальних значень R_x R_y, отримаємо R_xcp=1264,2 н, R_ycp=842,8 н. При цьому швидкість АПБ за Дt=1с зменшиться на 5,34%, а зміщення по осі ОУ_g збільшиться на 36%. На рис. 9 поведено траєкторії руху ЦМ АПБ: крива 1 - без урахування аеродинамічних сил, крива 2 -з урахуванням аеродинамічних сил згідно з рівнянням (2).

Рис. 9

ЧАСТИНА 3. Знайти відстань r₀ для фіксації на камеру процесу відокремлення АПБ від літака при таких вихідних даних:

частота відновлення матриці камери - 100 Гц (Дt=0,01с);

кількість пікселей у матриці камери N_п=3*10⁶ пкс;

площа матриці камери - S_к=1 см²;

фокусна відстань - f=4 см;

величина мінімального відхилення від траєкторії руху блока, що гарантує безпеку відеозйомки r_м=100 м.

Нерухому ВК доцільно встановити в середині відрізка шляху, що буде пройдений АПБ за одну секунду, тобто на відстані 100 м від точки його скидання.

Максимальне віддалення r_д визначається за умовою забезпечення розміру проекції АПБ на CDD матриці, наприклад, у 100 пікселей. Розрахунок відстані r_р доцільно проводити за таким алгоритмом:

визначається середнє значення r_сер1 між величинами r_м і r_д та перевіряється чіткість фіксації процесу руху АПБ;

якщо немає чіткості фіксації, то визначається середнє значення r_сер2 між величинами r_м і r_сер1 і т.д.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Розрахуємо розмір пікселя для даної камери. При заданій кількості пікселей у матриці можливо записати 2000 пкс *1500 пкс (рис. 10).

Виходячи з обраної роздільної здатності камери, можемо знайти розмір пікселя, при цьому припустимо, що його ширина дорівнює його довжині. Нехай розмір пікселя х см. Тоді площа матриці камери буде дорівнювати (2000пкс^.1500пкс) , що за умовою дорівнює 1см². Таким чином 2000^.х^.1500^.х = 1 см²; або 3^.10^6.х² = 1 см², тобто х²=0,33^.10^-6 см²; х ? 0,58^.10^-3 см - розмір пікселя в CDD матриці. Рухомий об'єкт, що знімається камерою, буде мати чітке зображення, якщо його зображення у матриці не зміщується. Наприклад, зміщення буде не більше, ніж на 10^-2 пкс за 0,01 с, тобто на 0,58^.10^-5 см.

Із відомої формули [10] розрахуємо r_д, при якому розмір зображення предмета (проекції предмета) у камері буде не менше, ніж 100 пкс

r_д = (Y^.f) /,

де - розмір зображення предмета, f - фокусна відстань об'єктива, Y - розмір об'єкта, r_д - відстань від об'єкта до об'єктива.

Після обчислення отримаємо

Отже, r_ср1=118,95 м. Максимальна відстань до об'єкта дорівнює гіпотенузі прямокутного трикутника R=155,4 м.

Максимальна кутова швидкість переміщення об'єкта відносно ВК розраховується за формулою (6)

щ_вк ? 1,68 рад/с = 96,34 град.

Зробимо розрахунок розміру зображення АПБ на матриці камери у момент його проходження найближчої точки. При цьому максимальна довжина проекції =6,73^.10^-4 м, що складає не менше 115 пікселей на CDD матриці.

У момент скидання блока довжина його проекції на картинну площину при ? 0 та (див. рис. 3) дорівнює

Y =L_бcos(д),

де кут д може бути розраховано за формулою

д=.

Після розрахунків додамо д0,7 рад40,05 град, величина 1,53 м, а =3,94^.10^-4 м, що складає не менше 71 пікселя.

Далі знайдемо зміщення зображення АПБ при його розвороті навколо ЦМ. За інтервал часу, що дорівнює 0,01с, блок розвернеться на кут, що дорівнює рад = 0,072 град, тобто його кінець зміститься на відстань, що дорівнює

м.

На матриці відеокамери зміщення кінця зображення АПБ складе 4,37^.10^-6 м, що значно менше, ніж розмір одного пкс приблизно у 100 разів.

На основі проведених обчислень можна зробити висновок про те, що на відстані r_р=118,95 м від траєкторії руху літака і відстані R=155,4 м від точки його скидання (без врахування висоти польоту літака) виходить чітке зображення траєкторії руху АПБ у відеокамері.

Список літератури

1. Гилой В. Интерактивная машинная графика. - М.: Мир, 1981.

2. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. - М.: Мир, 1982.

3. Норенков И.П. САПР. Кн. 1. Принципы построения и структура. - Минск: Вышейшая школа, 1987.

4. Петренко А.И., Семенков О.И. Основы построения систем автоматизированного проектирования. - К.: Вища шк., 1985.

5. Роджерс Д., Адаме Дж. Математические основы машинной графики. - М.: Машиностроение, 1980.

6. Пономаренко С. Пиксел и вектор. Принципы цифровой графики. - СПб.: Издательство?, 2002.

7. Снешко Ю.И. Исследования в полете устойчивости и управляемости самолета. - М.: Машиностроение, 1971.

8. Фремке А.В. Телеизмерения. - М.: Высш. шк., 1975.

9. Onoe M., Hamanoand N., Ohba K. Computer Analysis of Traffic Flow Observed by Subtractive Television, Journal of Computer Graphics and Image Processing, 1973, P. 377-392.

10. Бабушкин С.Г. Оптико-механические приборы. - М.: Машиностроение, 1965.

11. Alan J. Lipton, Craig H. Heartweell, Nieles Haering, Donald Madden «Automated video Protection, Monitoring & Detection», Aerospace and electronic systems magazine. 2003, v.18.5.- P. 3-18.

12. Низамиев Р.М., Сафронов М.В., Тупицин Н.Ф. Расчет и анализ аэродинамических характеристик тел сложной переменной конфигурации. Деп рук. ВИМИ. №ДД1548, 1991.

13. Мартынов А.К. Прикладная аэродинамика. - М.: Машиностроение, 1972.

14. Горбатенко А.С. Механика полета (Общие сведения. Уравнения движения).- М.: Машиностроение, 1968.

15. Тупицин Н.Ф., Кан Чжен, Чжао Нань. Метод оперативного анализа продольного движения груза, сброшенного с самолета, Науковий журнал “Електроніка та системи управління”, № 2(8), 2006.-С. 192-195.

16. Кузьмичев В.Е. Законы и формулы физики. - К.: Наукова думка, 1989.

Размещено на Allbest.ru