Сущность метода статистического моделирования

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Процесс создания модели на основе классического и системного подходов

Классический подход - изучение взаимосвязей между отдельными частями, и разработка модели системы рассматривается как суммирование отдельных компонент в общую модель. Целесообразен для реализации сравнительно простых моделей с разделением отдельных функций реального объекта и принятия решения о независимости этих функций.

Процесс синтеза модели М на основе классического (индуктивного) подхода представлен на рис. 1.1, а. Реальный объект, подлежащий моделированию, разбивается на отдельные подсистемы, т. е. выбираются исходные данные Д для моделирования и ставятся цели Ц, отображающие отдельные стороны процесса моделирования. По отдельной совокупности исходных данных Д ставится цель моделирования отдельной стороны функционирования системы, на базе этой цели формируется некоторая компонента К будущей модели. Совокупность компонент объединяется в модель М. Таким образом, разработка модели М на базе классического подхода означает суммирование отдельных компонент в единую модель, причем каждая из компонент решает свои собственные задачи и изолирована от других частей модели.

Системный подход -- это элемент учения об общих законах развития природы и одно из выражений диалектического учения. Можно привести разные определения системного подхода, но наиболее правильно то, которое позволяет оценить познавательную сущность этого подхода при таком методе исследования систем, как моделирование. Поэтому весьма важны выделение самой системы S и внешней среды Е из объективно существующей реальности и описание системы исходя из общесистемных позиций.

Системный подход позволяет решить проблему построения сложной системы с учетом всех факторов и возможностей, пропорциональных их значимости, на всех этапах исследования системы и построения модели.

Системный подход означает, что каждая система S является интегрированным целым даже тогда, когда она состоит из отдельных разобщенных подсистем. Таким образом, в основе системного подхода лежит рассмотрение системы как интегрированного целого, причем это рассмотрение при разработке начинается с главного -- формулировки цели функционирования. Процесс синтеза модели М на базе системного подхода условно представлен на рис. 1.1, б. На основе исходных данных Д, которые известны из анализа внешней системы, тех ограничений, которые накладываются на систему сверху либо исходя из возможностей ее реализации, и на основе цели функционирования формулируются исходные требования Т к модели системы. На базе этих требований формируются ориентировочно некоторые подсистемы П, элементы Э и осуществляется наиболее сложный этап синтеза -- выбор В составляющих системы, для чего используются специальные критерии выбора КВ.

2. Сравнительная характеристика наглядного, символического, математического, натурного и физического моделирования

Наглядное - на базе представлений человека о реальных объектах создаются различные наглядные модели, отображающие явления и процессы, протекающие в объекте.

Символическое - представляет собой искусственный процесс создания логического объекта, который замещает реальный и выражает основные свойства его отношений с помощью определенной системы знаков или символов.

Математическое - процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получать характеристики рассматриваемого реального объекта.

Натуральное - проведение исследования на реальном объекте с последующей обработкой результатов эксперимента на основе теории подобия. моделирование случайный математический вероятность

Физическое - проводится на установках, которые сохраняют природу явлений и обладают физическим подобием.

3. Понятие о математической схеме. Виды математических схем для представления модели биотехнической системы (D, F, Q, N)

Введение понятия «математическая схема» позволяет рассматривать математику не как метод расчета, а как метод мышления, как средство формулирования понятий, что является наиболее важным при переходе от словесного описания системы к формальному представлению процесса ее функционирования в виде некоторой математической модели (аналитической или имитационной).

Математическую схему можно определить как звено при пере ходе от содержательного к формальному описанию процесса функционирования системы с учетом воздействия внешней среды, т. е. имеет место цепочка «описательная модель -- математическая схема -- математическая [аналитическая или (и) имитационная] модель».

При пользовании математической схемой исследователя системы 5 в первую очередь должен интересовать вопрос об адекватности отображения в виде конкретных схем реальных процессов в исследуемой системе, а не возможность получения ответа (результата решения) на конкретный вопрос исследования.

4. Моделирование случайных событий и процессов. Области применения моделей

Для моделирования случайных событий и процессов используется метод статистического моделирования.

Сущность метода статистического моделирования. Таким образом, сущность метода статистического моделирования сводится к построению для процесса функционирования исследуемой системы S некоторого моделирующего алгоритма, имитирующего поведение и взаимодействие элементов системы с учетом случайных входных воздействий и воздействий внешней среды Е, и реализации этого алгоритма с использованием программно-технических средств ЭВМ

Х - случайные внешние возмущения

В - случайные внутренние возмущения

Различают две области применения метода статистического моделирования: 1) для изучения стохастических систем; 2) для решения детерминированных задач. Основной идеей, которая используется для решения детерминированных задач методом статистического моделирования, является замена детерминированной задачи эквивалентной схемой некоторой стохастической системы, выходные характеристики последней совпадают с результатом решения детерминированной задачи. Естественно, что при такой замене вместо точного решения задачи получается приближенное решение и погрешность уменьшается с увеличением числа испытаний (реализаций моделирующего алгоритма) N.

Каждое j(ое) испытание заключается в прогоне модели при заданных Х или В. Множество В и Х формируется на основе заданного закона распределения случайной величины.

Множество В и Х формируются на основе заданного закона распределения случайной величины.

Адекватность модели проверяется на основе сравнения распределения с помощью модели и эмпирическим распределением.

При статистическом моделирование принято различать: Опыт, Событие, Случайная величина, Случайный процесс.

Опыт - осуществление комплекса условий постановки эксперимента.

Событие - результат опыта (наблюдения)

Случайная величина - величина которая в результате опыта может принять одно из возможных значений

5. Метод Монте-Карло, основные направления его использования

Общее название группы численных методов, основанных на получении большого числа реализаций стохастического (случайного) процесса, который формируется таким образом, чтобы его вероятностные характеристики совпадали с аналогичными величинами решаемой.

Для построения программ реализации необходимы специальные блоки генератора случайных чисел.

Назначение генератора это формирование значений в соответствие с определенным законом распределения.

Схема БТС описывается:

Х = 1- е -л

В= 1 - е -ц

ц и л - случайные величины с известными законами распределения.

Найти оценку мат.ожидания y(my - ?) если

В1: Хi = 1 - е -лi

В2: Вi= 1 - е -ц

K1: hi1 = (1 - е -лi)2

K2: hi11 = (1 - е - цi)2

C: hi1+ hi11= hi

U: yi=

Псевдокод алгоритма реализующий метод Монте - Карло:

Начало цикла реализации:

1) i=

2) генерация

3) расчет В1

4) генерация

5) Расчет В2

6) Расчет U

7) Расчет суммы

8) i=N если нет i=i+1 то п.4, если да то конец

9) вывод my =

Используется:

Аппаратный - выработка специальных эл.приставок. Физический эффект - шум, распад радиоактивных элементов и т.п. Этот способ не гарантирует получение одинаковых последовательностей при повторных исследованиях.

Табличный - файл с таблицами значений случайной величины.

Алгоритмический - формирование псевдопоследовательностей.

6. Марковские процессы с непрерывным временем и дискретными состояниями

Случайный процесс - семейство случайных величин, индексированных некоторым параметром, чаще всего играющим роль времени или координат.

Множество всех реализаций с.п. образуют стохастический процесс.

Если для любого момента времени t(0) вероятностные характеристики случайного процесса в будущем зависят только от его состояния в t(0) и не зависят от того когда и как система перешла в это состояние, такой процесс называется Марковским случайным процессом.

Марковский случайный процесс - процесс с дискретными состояниями, если его состояние можно перечислить и переход системы из одного состояния в другое скачком происходит практически мгновенно.

Марковский процесс с дискретным временем удобно производить с помощью графа состояний и переходов.

Если узел выходит из строя, то он сразу ремонтируется. Длительность времени ремонта случайна .

7. Поток событий и его основные характеристики

Последовательность однотипных ситуаций следующих друг за другом в случайные моменты времени - Поток событий.

Такой поток можно изобразить как последовательность точек на числовой оси, соответствующих моментам появления событий.

Потоки событий, обладающие некоторыми особенно простыми свойствами:

1. Поток событий называется стационарным, если вероятность попадания того или иного числа событий на участок времени длиной (рис. 19.3.1) зависит только от длины участка и не зависит от того, где именно на оси расположен этот участок.

2. Поток событий называется потоком без последействия, если для любых неперекрывающихся участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие.

3. Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на элементарный участок двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события.

4. Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через строго определенные промежутки времени. Такой поток сравнительно редко встречается в реальных системах, но представляет интерес как предельный случай. Типичным для системы массового обслуживания является случайный поток заявок.

Если поток событий обладает тремя первыми свойствами (т. е. стационарен, ординарен и не имеет последействия), то он называется простейшим (или стационарным пуассоновским) потоком. Название «пуассоновский» связано с тем, что при соблюдении условий 1-3 число событий, попадающих на любой фиксированный интервал времени, будет распределено по закону Пуассона.

8. Уравнения Колмогорова. Финальные вероятности состояний. (Надоело писать формулы ответ в фото)

Уровнение Колмогорова - дифференциальное уравнения в которых искомыми функциями являются вероятности состояний.

- Вероятность i-го состояния системы.

В любой момент времени должно выполнятся нормировочное условие:

N - число состояний системы

Пусть N=4 и:

Переход из состояния i в j представляет поток интенсивностью лij

Pi(ti+) - вероятность того, что в момент времени ti + система будет в состояние S1

При ti система находится в S1 и не вышла из него Р1

При ti система была в S2 а за перешла из S2 в S1 (Р2)

Финальные вероятности - пределы вероятности состояний при , не зависящие от начального состояния системы. Можно рассмотреть как среднее относительное время пребывания системы в этом состояние.

Пример.

Р1=0,1 в предельном стационарном режиме система в среднем 0,1 часть времени проводит в состояние S2.

Р2=0,2 - 0,2 часть в S2

Р3=0,7 - 0,7 часть в S3

Для определения фин. Вероятностей отметим, что , тогда системы 5 получаем систему алгебраических уравнений. Причем 1 из уравнений можно заменить условием нормировки.

,

Решение

Финальные вероятности

Размещено на Allbest.ru