Возможны случаи, когда расчет коэффициента эластичности не имеет смысла. Это происходит тогда, когда для рассматриваемых признаков бессмысленно определение изменения в процентах.

Уравнение нелинейной регрессии, так же, как и в случае линейной зависимости, дополняется показателем тесноты связи. В данном случае это индекс корреляции:

, (1.21)

где - общая дисперсия результативного признака , - остаточная дисперсия.

Величина данного показателя находится в пределах: . Чем ближе значение индекса корреляции к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно уравнение регрессии.

Квадрат индекса корреляции носит название индекса детерминации и характеризует долю дисперсии результативного признака , объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака:

, (1.22)

т.е. имеет тот же смысл, что и в линейной регрессии; .

Индекс детерминации можно сравнивать с коэффициентом детерминации для обоснования возможности применения линейной функции. Чем больше кривизна линии регрессии, тем величина меньше . А близость этих показателей указывает на то, что нет необходимости усложнять форму уравнения регрессии и можно использовать линейную функцию.

Индекс детерминации используется для проверки существенности в целом уравнения регрессии по -критерию Фишера:

, (1.23)

где - индекс детерминации, - число наблюдений, - число параметров при переменной . Фактическое значение -критерия (1.23) сравнивается с табличным при уровне значимости и числе степеней свободы (для остаточной суммы квадратов) и (для факторной суммы квадратов).

О качестве нелинейного уравнения регрессии можно также судить и по средней ошибке аппроксимации, которая, так же как и в линейном случае, вычисляется по формуле (1.8).

Рассмотрим пример из параграфа 1.1, предположив, что связь между признаками носит нелинейный характер, и найдем параметры следующих нелинейных уравнений: , и .

Для нахождения параметров регрессии делаем замену и составляем вспомогательную таблицу ().

Таблица 2.

Найдем уравнение регрессии:

,

.

Т.е. получаем следующее уравнение регрессии: . Теперь заполняем столбцы 8-11 нашей таблицы.

Индекс корреляции находим по формуле (1.21):

,

а индекс детерминации , который показывает, что 91,8% вариации результативного признака объясняется вариацией признака-фактора, а 8,2% приходится на долю прочих факторов.

Средняя ошибка аппроксимации: , что недопустимо велико.

-критерий Фишера:

,

значительно превышает табличное .

Изобразим на графике исходные данные и линию регрессии:

Рис. 1..

Для нахождения параметров регрессии делаем замену и составляем вспомогательную таблицу ().

Таблица 3.

Найдем уравнение регрессии:

,

.

Т.е. получаем следующее уравнение регрессии: . Теперь заполняем столбцы 8-11 нашей таблицы.

Индекс корреляции находим по формуле (1.21):

,

а индекс детерминации , который показывает, что 99,1% вариации результативного признака объясняется вариацией признака-фактора, а 0,9% приходится на долю прочих факторов.

Средняя ошибка аппроксимации: показывает, что линия регрессии хорошо приближает исходные данные.

-критерий Фишера:

,

значительно превышает табличное .

Изобразим на графике исходные данные и линию регрессии:

Рис. 2

Для нахождения параметров регрессии необходимо провести ее линеаризацию, как было показано выше:

,

где .

Составляем вспомогательную таблицу для преобразованных данных:

Таблица 4.

Найдем уравнение регрессии:

,

.

Т.е. получаем следующее уравнение регрессии: . После потенцирования находим искомое уравнение регрессии:

.

Теперь заполняем столбцы 7-10 нашей таблицы.

Индекс корреляции находим по формуле (1.21):

,

а индекс детерминации , который показывает, что 96,7% вариации результативного признака объясняется вариацией признака-фактора, а 3,3% приходится на долю прочих факторов.

Средняя ошибка аппроксимации: показывает, что линия регрессии хорошо приближает исходные данные.

-критерий Фишера:

,

значительно превышает табличное .

Изобразим на графике исходные данные и линию регрессии:

Рис. 5.

нелинейная модель парная регрессия

Сравним построенные модели по индексу детерминации и средней ошибке аппроксимации:

Таблица 5

Наиболее хорошо исходные данные аппроксимирует модель с квадратным корнем. Но в данном случае, так как индексы детерминации линейной модели и модели с квадратным корнем отличаются всего на 0,004, то вполне можно обойтись более простой линейной функцией.

Размещено на Allbest.ru