Прогнозные значения факторов капиталовложения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание 1

Имеются данные, характеризующие выручку ( у, млн. руб.) предприятия "АВС" в зависимости от капиталовложений( х, млн. руб.) за последние 10 лет.

1. Построим поле корреляции.

2. Найти параметры уравнений линейной регрессии ; дать экономическую интерпретацию параметров a и b.

3. Составить уравнения нелинейных регрессий:

· Гиперболической

· Степенной

· Показательной

4. Для каждой из моделей :

- найти коэффициент парной корреляции ( для нелинейных регрессий - индекс корреляции);

- найти коэффициент детерминации;

- проверить значимость уравнения регрессии в целом с помощью F- критерия Фишера;

- найти среднюю относительную ошибку аппроксимации.

5. Составить сводную таблицу вычислений; выбрать лучшую модель; дать интерпретацию рассчитанных характеристик.

6. По лучшей модели регрессии сделать прогноз на следующие два года показателя y (выручка), х ( объем капиталовложений) увеличивается на 10 % по сравнению с последним годом.

Построить графики уравнений регрессии, отметить точки прогноза.

время,t	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007
выручка,y	10,8	11,2	11,6	11,2	11,6	12	10,8	11,5	12,4	12,6
объем капиталовлож. Х	1,1	1,1	1	1,2	1,4	1,7	1	1,3	2,0	2,1



2. Построим различные модели регрессии и рассчитаем для каждой из них коэффициент корреляции, F- критерия Фишера, среднюю относительную ошибку аппроксимации.

· Линейная модель = a + bx

Параметры модели найдем с помощью МНК. Для этого составим систему нормальных уравнений.

,

,

,

193,21b - 208,10b = 1608,23-1628,9

-14,89b = - 20,67

b = 1,388

a = 9,641

Таким образом, получили линейную модель зависимости выручки предприятия «АВС» от капиталовложений:

yх = 9,641 + 1,388х

Коэффициент регрессии b= 1,388 говорит о том, что если капиталовложения увеличить на 1 млн. руб., то выручка предприятия в среднем увеличиться на 1,388 млн. руб.

Рассчитаем коэффициент корреляции:

ryx = = = = 0,919



- связь между объемом капиталовложений и выручкой предприятия очень сильная, прямая.

Рассчитаем коэффициент детерминации:

= = 0,844

- 84,4% изменения выручки предприятия обусловлено изменением капиталовложений, на 15,6 % - влиянием факторов не, не включенных в модель.

Проверим значимость уравнения регрессии в целом с помощью F- критерия Фишера.

= = 43,282

Табличное значение F- критерия при уровне значимости б = 0,05 и числе степеней свободы 1=1,числе степеней свободы 2=8 составит 5,318.

Так как , то уравнение регрессии в целом можно считать статистически значимым.

Найдем среднюю относительную ошибку аппроксимации:

100%= = 1,27%

- В среднем расчетные значения отличаются от фактических на 4,05%

10%,следовательно, модель можно считать точной.

Вспомогательные вычисления приведены в таблице приложения 1.

· Гиперболическая модель y = a +

Для нахождения параметров a и b воспользуемся МНК. Составим систему нормальных уравнений:



,

,

59,275b - 62,72b= 890,774 - 881,24

-3,445b = 9,534

b = - 2,767

a = 13,7

Построена гиперболическая модель зависимости выручки предприятия «АВС» от капиталовложений:

Рассчитаем индекс корреляции :

ryx = = = 0,886

- связь между объемом капиталовложений и выручкой предприятия очень сильная, прямая.

Рассчитаем коэффициент детерминации:

= = 0,785

- 78,5% изменения выручки предприятия обусловлено изменением капиталовложений, на 21,5 % - влиянием факторов , не включенных в модель.

Проверим значимость уравнения регрессии в целом с помощью F- критерия Фишера.



= = 29,209

Табличное значение F- критерия при уровне значимости б = 0,05 и числе степеней свободы 1=1,числе степеней свободы 2=8 составит 5,318.

Так как , то уравнение регрессии в целом можно считать статистически значимым.

Найдем среднюю относительную ошибку аппроксимации:

100%= = 1,71%

- В среднем расчетные значения отличаются от фактических на 1,71 %

10%,следовательно, модель можно считать точной.

Вспомогательные вычисления приведены в таблице приложения 2.

· Степенная модель

Для построения данной модели прологарифмируем обе части равенства lg y = lg a + blg x. Сделаем замену Y = lg y, A = lg a, X = lg x. Тогда Y = A +bX - линейная модель парной регрессии. Можно применить МНК.

,

,

1,628b - 2,92b= 13,561 - 13,78,

- 1,292b = -0,219

b = 0,169

A = 1,041,тогда а = = 10,990

Построена степенная модель зависимости выручки предприятия «АВС» от капиталовложений:

,

Рассчитаем индекс корреляции :

ryx = = = 0,910

- связь между объемом капиталовложений и выручкой предприятия очень сильная, прямая.

Рассчитаем коэффициент детерминации:

= = 0,828

- 82,8% изменения выручки предприятия обусловлено изменением капиталовложений, на 17,2 % - влиянием факторов , не включенных в модель.

Проверим значимость уравнения регрессии в целом с помощью F- критерия Фишера.

= = 38,511

Табличное значение F- критерия при уровне значимости б = 0,05 и числе степеней свободы 1=1,числе степеней свободы 2=8 составит 5,318.

Так как , то уравнение регрессии в целом можно считать статистически значимым.

Найдем среднюю относительную ошибку аппроксимации:

100%= = 1,396%



- В среднем расчетные значения отличаются от фактических на 1,396%

10%,следовательно, модель можно считать точной.

Вспомогательные вычисления приведены в таблице приложения 3 /

· Показательная модель = a

Для построения данной модели прологарифмируем обе части равенства

Lg y = lg a + lgb * x. Сделаем замену Y = lgy, A = lg a, B = lgb. Тогда Y = A + B * x

- линейная модель парной регрессии. Можно применить МНК.

,

,

193,21B - 208,1B= 147,729 - 148,490,

- 14,89B = -0,761

B = 0,051 b= = 1,125

A=1,134 a= = 9,817

Построена степенная модель зависимости выручки предприятия «АВС» от капиталовложений:

,

Рассчитаем индекс корреляции:

ryx = = = 0,805

- связь между объемом капиталовложений и выручкой предприятия очень сильная, прямая.

Рассчитаем коэффициент детерминации:

= = 0,648

- 64,8% изменения выручки предприятия обусловлено изменением капиталовложений, на 35,2 % - влиянием факторов , не включенных в модель.

Проверим значимость уравнения регрессии в целом с помощью F- критерия Фишера.

= = 14,727

Табличное значение F- критерия при уровне значимости б = 0,05 и числе степеней свободы 1=1,числе степеней свободы 2=8 составит 5,318.

Так как , то уравнение регрессии в целом можно считать статистически значимым.

Найдем среднюю относительную ошибку аппроксимации:

100%= = 2,159%

- В среднем расчетные значения отличаются от фактических на 2,159%

10%,следовательно, модель можно считать точной.

Вспомогательные вычисления приведены в таблице приложения 4 .

1. Составим сводную таблицу вычислений.

Все модели имеют примерно одинаковые характеристики. Но большее значение индекса корреляции, коэффициента детерминации, критерия Фишера и меньшее значение средней относительной ошибки аппроксимации имеет линейная модель. Ее можно взять в качестве лучшей для построения прогноза.



Параметры	модель
	Линейная yх = 9,641+1,388х	Гиперболическая	Степенная	Показательная
Коэф- фициент (индекс) корреляции	0,919	0,886	0,910	0,805
Коэффициент детерминации	0,844	0,785	0,828	0,648
F- критерий Фишера	43,282	29,209	38,511	14,727
Средняя относительная ошибка аппроксимации	1,270	1,71	1,396	2,159

· Сделаем прогноз на следующие два года показателя y (выручка), если х (объем капиталовложений) увеличиться на 10% по сравнению с последним годом. Лучшей является модель вида = a + bx

Для начала найдем прогнозные значения показателя х. В 2007 году объем капиталовложений составил 2,1 млн. руб. Следовательно, в 2008 году он составит 2,1*1,1 = 2,31 млн. руб., а в 2009 году 2,31 * 1,1 = 2,54 млн. руб. Подставим прогнозное значение х в уравнение регрессии . Это будут точечные прогнозы результата выручки предприятия.

В 2008 году выручка предприятия составит : 12,847млн. руб.

В 2009 году выручка предприятия составит : = 13,167 млн. руб.

Задание 2

Имеются данные, характеризующие выручку ( млн.руб. ) предприятия « АВС» в зависимости от капиталовложений ( х, млн.руб.) за последние 10 лет. линейный регрессия интерпретация корреляция

1. Построить матрицу коэффициентов парной корреляции. Сделать соответствующие выводы о тесноте связи результата y и факторов. Установить проявляется ли в модели мультиколлениарность.

2. Построить линейную модель множественной регрессии , дать экономическую интерпретацию параметров и

3. Построить степенную модель множественной регрессии ; дать экономическую интерпретацию параметров и

4. Для каждой из моделей :

- найти коэффициент множественной корреляции;

- найти коэффициент детерминации;

- проверить значимость уравнения регрессии в целом с помощью F- критерия Фишера;

- найти среднюю относительную ошибку аппроксимации.

5. Составить сводную таблицу вычислений; выбрать лучшую модели.

6. Найти частные коэффициенты эластичности и - коэффициенты.

7. Пояснить экономический смысл всех рассчитанных харктеристик.

8. По линейной модели регрессии сделать прогноз на следующие два года показателя y (выручка), ( объем капиталовложений) и ( основных производственных фондов).

время,t	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007
выручка,y	10,8	11,2	11,6	11,2	11,6	12	10,8	11,5	12,4	12,6
объем капиталовлож.	1,1	1,1	1	1,2	1,4	1,7	1	1,3	2,0	2,1
Основные произ. Фонды.	2,9	2,6	2,4	2,7	2,5	2,6	2,9	2,2	2,9	2,8

1.Построим матрицу коэффициентов парной корреляции. Для этого рассчитаем коэффициенты парной корреляции по формуле:

ryx =

= = = 0,92 - связь между выручкой предприятия и капиталовложениями очень сильная, прямая.

= = -0,02

связь между выручкой предприятия и основными производственными фондами слабая, обратная.

= = 0,25

связь между выручкой предприятия и основными производственными фондами умеренная, прямая.

Матрица коэффициентов парной корреляции имеет вид:

Матрица коэффициентов парной корреляции показывает, что наиболее тесную связь с результатом y (выручка предприятия) имеет фактор .

Мультиколлениарности нет. Вспомогательные вычисления приведены в таблице приложения 5.

2. Построим линейную и степенную модели множественной регрессии. Рассчитаем для каждой из них множественный коэффициент корреляции, F- критерия Фишера, среднюю относительную ошибку аппроксимации.

· линейная модель

Параметры а,найдем с помощью МНК. Для этого составим систему нормальных уравнений.

= 7,057

a = = = 11,125

=

,

Линейная модель множественной регрессии имеет вид:

,

Если капиталовложения увеличились на 1 млн. руб., то выручка предприятия увеличиться в среднем на 2,202 млн. руб. при неизменных основных производственных фондах. Если основные производственные фонды увеличились на 1 млн. руб., то выручка предприятия уменьшиться на 0,987 млн. руб. при неизменных капиталовложениях.



= = ,913,

связь между выручкой предприятия, капиталовложениями, основными производственными фондами очень тесная.

Рассчитаем коэффициент детерминации:

=

- 83,3 % изменение выручки предприятия обусловлено изменением объема капиталовложений и основных производственных фондов, на 16,7 - влиянием факторов, не включенных в модель.

Проверим значимость уравнения регрессии в целом с помощью F - критерия Фишера.

Табличное значение F- критерия при уровне значимости б = 0,05 и числе степеней свободы 1=1,числе степеней свободы 2=8 составит 5,318.

Так как , то уравнение регрессии в целом можно считать статистически значимым.

Найдем среднюю относительную ошибку аппроксимации:

100%= = 2,44%

- В среднем расчетные значения отличаются от фактических на 2,44%

10%,следовательно, модель можно считать точной.

Вспомогательные вычисления приведены в таблице приложения 6 .

· Для построения данной модели прологарифмируем обе части равенства lgy = lga + lg + lg . Сделаем замену Y = lgy, A = lga, lg, lg. Тогда Y=A + - линейная двухфакторная модель регрессии . Можно применить МНК.

= 0,0179

lga = = = 1,0559 a =

=

Степенная модель множественной регрессии имеет вид:



Если капиталовложения увеличились на 1 %, то выручка предприятия увеличиться в среднем на 0,1732 % при неизменных основных производственных фондах. Если основные производственные фонды увеличились на 1%, то выручка предприятия уменьшиться на -0,0335% при неизменных капиталовложениях.

Рассчитаем коэффициент множественной корреляции:

= = ,914

связь между выручкой предприятия, капиталовложениями, основными производственными фондами очень тесная.

Рассчитаем коэффициент детерминации:

=

- 83,5 % изменение выручки предприятия обусловлено изменением объема капиталовложений и основных производственных фондов, на 16,5 - влиянием факторов, не включенных в модель.

Проверим значимость уравнения регрессии в целом с помощью F - критерия Фишера.

,

Табличное значение F- критерия при уровне значимости б = 0,05 и числе степеней свободы 1=1,числе степеней свободы 2=8 составит 5,318.

Так как , то уравнение регрессии в целом можно считать статистически значимым.

Найдем среднюю относительную ошибку аппроксимации:

100%= = 2,16%

- В среднем расчетные значения отличаются от фактических на 2,16%

10%,следовательно, модель можно считать точной.

Вспомогательные вычисления приведены в таблице приложения 8.

3.Составим сводную таблицу вычислений.

Параметры	модели
	Линейная ,	Степенная ,
Коэф- фициент множественной корреляции	0,913	0,914
Коэффициент детерминации	0,833	0,835
F- критерий Фишера	17,5	17,7
Средняя относительная ошибка аппроксимации	2,44	2,16

Наибольшее значение индекса корреляции, коэффициента детерминации, критерия Фишера и меньшее значение средней относительной ошибки аппроксимации имеет степенная модель множественной регрессии. Ее и будем считать лучшей.

4. Найдем частные коэффициенты эластичности и - коэффициенты.

Для нахождения частных коэффициентов эластичности составим частные уравнения регрессии, т.е. уравнения регрессии, которые связывают результативный признак с соответствующим фактором х при закреплении других учитываемых во множественной регрессии факторов на среднем уровне. 

,

где - коэффициент регрессии для фактора в уравнении множественной регрессии; - частное уравнение регрессии.

Например:

= 0,017% и.т.д.

=- 0,008% и.т.д.

1,1	2,9	10,8	0,017	- 0,008
1,1	2,6	11,2	0,017	- 0,007
1	2,4	11,6	0,016	- 0,007
1,2	2,7	11,2	0,018	- 0,008
1,4	2,5	11,6	0,021	- 0,007
1,7	2,6	12	0,024	- 0,007
1	2,9	10,8	0,016	- 0,008
1,3	2,2	11,5	0.019	- 0,006
2	2,9	12,4	0,028	- 0,008
2,1	2,8	12,6	0,029	- 0,008

; где = , .

= = 0,386 = = 0,225

= 0,583

,

Если капиталовложения увеличить на 0,386 млн.руб., то выручка предприятия увеличиться на 4,250 ( 0,583*7,290) млн.руб.

,

Если основные производственные фонды увеличить на 0,225 млн.руб., то выручка предприятия увеличиться на 2,710 ( 0,583*4,648) млн.руб.

5. По степенной модели регрессии сделаем прогноз на следующие два года показателя (выручка), в зависимости ( объема капиталовложений) и ( основных производственных фондов).

Прогнозные значения факторов можно получить, используя метод прогнозирования с помощью среднего абсолютного прироста:

,

где - средний абсолютный прирост, рассчитываемый по формуле:

;

k- период упреждения

n-количество наблюдений

, тогда

= 2,1 + 1 * 0,11 = 2,21

= 2,1 + 2 * 0,11 = 2,32

, тогда 

= 2,8 + 1 * (- 0,011) = 2,789

= 2,8 + 2 * (- 0,011) = 2,778

Составляем вектор - прогноз значений факторов:

,

Вычислим точечные прогнозы поведения выручки предприятия на моменты времени t = 11 и t = 12. Для этого подставим прогнозное значение факторов в уравнение регрессии.

= 12,602

= 12,712

Размещено на Allbest.ru