Проектирование оптимальных систем управления динамическим объектом

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание

траектория оптимальный управляющий каноничный

С помощью принципа максимума для дискретных систем рассчитать фазовые траектории и оптимальное управление системы описываемой дифференциальным уравнением второго порядка с учётом критерия оптимальности.

В процессе выполнения работы необходимо решить следующие задачи:

Сформировать входные данные задачи оптимизации.

Уравнение динамики: .

Критерий оптимальности: .

Граничные условия: .

Ограничение на управляющее воздействие: |u|?7.

Определить критерий управляемости динамической системы.

Определить гамильтониан.

Получить систему канонично - сопряженных уравнений как необходимые условия существования минимального значения критерия оптимизации.

Найти производные, которые входят в систему канонично - сопряженных уравнений.

Вычислить оптимальное управление.

Используя граничные условия, с помощью ЭВМ рассчитать оптимальное управляющие воздействие, оптимальную траекторию движения объекта управления, численное значение критерия оптимальности.

1. Теоретические сведения

Оптимальное управление - управляющее воздействие, которое переводит объект из начального состояния в конечное - заданное состояние (с заданными значениями фазовых координат), с минимальным или максимальным значением заданного критерия оптимальности и с учётом ограничений на управляющее воздействие.

Основные исходные данные для задачи оптимального управления:

Математическое описание в виде дифференциальных уравнений.

Граничные условия.

Критерий оптимальности - функционал качества.

Ограничение на управляющее воздействие, которое действует в соответствии с физической реализуемостью управляющего устройства.

Математическое описание объекта управления, для задачи оптимизации, может быть сделано в непрерывной и дискретной формах.

- непрерывная форма записи.

- вектор состояния;

Х - вектор координат;

А,В - матрицы коэффициентов;

Х[n+1]=AX[n]+BU[n] - дискретная форма.

Постановка задачи оптимального управления.

Состояние объекта управления характеризуется n -мерной вектор функцией, например, функцией времени .

От управляющего органа к объекту управления поступает вектор-функция . Векторы x' и u', обычно связаны между собой каким-то соотношением. Движение управляемого объекта описывается системой дифференциальных уравнений

. (1.1)

где - вектор координат объекта или фазовых координат, - заданная вектор-функция, - вектор управлений или просто управление.

В уравнении (1.1) векторы являются функциями переменной t, обозначающей время, причем, где - отрезок времени, на котором происходит управление системой. На управление обычно накладывается условие

, (1.2)

где U(t) - заданное множество в при каждом t[t₀, T].

Будем называть далее управлением кусочно-непрерывную на отрезке [t₀, T] (т. е. имеющую конечное число разрывов первого рода) r - мерную вектор-функцию непрерывную справа в точках разрыва и непрерывную в точке Т. Управление называется допустимым, если оно удовлетворяет ограничению (1.2).

Заметим, что ограничиться рассмотрением непрерывных управлений оказывается невозможным, так как с их помощью трудно моделировать моменты переключения управления такие, как, например, включение и отключение двигателей, поворот рулей и т. д.

Иногда рассматривают и более широкие классы допустимых управлений, например, класс всех ограниченных измеримых управлений, удовлетворяющих условию (1.2).

Покажем, как при произвольном начальном положении и допустимом управлении определяется траектория управляемого объекта. Рассмотрим задачу Коши:

(1.3)

Поскольку при разрывных правых частях классическое понятие решения системы дифференциальных уравнений неприменимо, поясним, что понимается в данном случае под решением задачи (1.3). Для этого поступим следующим образом.

Пусть функция и имеет скачки в точках , причем . Предположим, что задача (1.3) имеет решение х, определенное на всем отрезке [to,r₁], причем .

Далее рассмотрим задачу Коши

.

Предполагая, что она имеет решение на отрезке [r₁,r₂] и x(r₂)=x₂, приходим к задаче

и т. д.

Если функцию х удалось определить указанным способом на всем отрезке [t_o, Т], то будем называть ее решением задачи (1.3) или фазовой траекторией (иногда просто траекторией), соответствующей управлению u. Отметим, что x - непрерывная по построению функция, удовлетворяющая на отрезке [t₁,T₂] равенству



При выполнении определенных условий на f решение задачи (1.3), соответствующее управлению u, существует и единственно при произвольном начальном положении x₀ и произвольном допустимом управлении u.

Помимо ограничения на управление могут существовать ограничения и на фазовые координаты:

(1.4)

Ограничения на концах траектории целесообразно рассматривать отдельно:

(1.5)

здесь S₀(t₀), S(Т) - заданные множества из R";

-заданные множества из R, причем inf(и₀) < sup и, t_o<T.

Таким образом, начальный и конечный моменты времени не обязательно фиксированы. Случаю фиксированных t_o, Т соответствуют множества и₀, и, состоящие из одной точки; при этом говорят, что рассматривается задача с закрепленным временем.

Если S_o(t_o) = {x_o} при любом t₀и₀, то левый конец траектории называют закрепленным. Если же So(to) = R" при всех t₀и₀, то левый конец траектории называют свободным. Во всех остальных случаях левый конец называют подвижным. В аналогичных ситуациях говорят о закрепленном, свободном или подвижном правом конце траектории.

Цель управления в задаче оптимального управления состоит в минимизации некоторого функционала на множестве допустимых наборов.

Если каждой функции y=f(x) определенного класса ставится в соответствии по некоторому закону определенное числовое значение переменной I, то эту переменную называют функционалом от одной функциональной переменной I=I[y]=I[y(x)]=I[f(x)].

Наиболее часто под задачами управления понимаются задачи, в которых роль функционала выполняет интегральный функционал

,

(1.6)

(1.6) - целевым функционалом, представляющий собой сумму интегрального функционала

и терминального функционала Ф(х(Т), Т). Эта задача называется задачей Больца. Ее частными случаями являются задача с интегральным функционалом, называемая задачей Лагранжа, и задача с терминальным функционалом, называемая задачей Майера. Задача с интегральным функционалом при  называется задачей оптимального быстродействия.

Набор (t_o, Т, х, u, х), минимизирующий функционал (1.6), называется решением задачи оптимального управления, управление u - оптимальным управлением, а траектория х - оптимальной траекторией. Часто решением задачи оптимального управления называют пару (u, х).

Принцип максимума Понтрягина.

Эффективным средством исследования задач оптимального управления является принцип максимума Понтрягина, представляющий собой необходимое условие оптимальности в таких задачах.

Формулировка принципа максимума.

Рассмотрим задачу оптимального управления, являющуюся частным случаем задачи, сформулированной выше

(2.1)

, где

(2.2)

При этом предполагается, что моменты t_o, Т фиксированы, т. е. рассматривается задача с закрепленным временем; множество U не зависит от времени, фазовые ограничения отсутствуют. Положим:

,

где ш₀-константа,

Функция Н называется функцией Гамильтона.

Система линейных дифференциальных уравнений  относительно переменных называется сопряженной системой, соответствующей управлению u и траектории х. Здесь

.

В более подробной покоординатной записи сопряженная система принимает вид:

, (2.3)

Система (2.3) имеет при любых начальных условиях единственное решение ш, определенное и непрерывное на всем отрезке [t₀,T].

Следующая теорема выражает необходимые условия оптимальности в задаче (2.1).

Теорема (принцип максимума Понтрягина).

Пусть функции f₀,f₁,…f_n и, Ф, g₁, ..., g_m имеют частные производные по переменным х₁, ..., x_n и непрерывны вместе с этими производными по совокупности аргументов , u U, t [t_o. Т]. Предположим, что (u, х) - решение задачи (2.1). Тогда существует решение Ш сопряженной системы (2.3), соответствующей управлению u и траектории х, и константа Ш₀?0 такие, что

| Ш₀ | + || Ш₀(t) || при t [t_o, Т], и выполняются следующие условия:

а) Условие максимума.

При каждом t [to, Т] функция Гамильтона H(x,u,t,ш₀,ш), достигает максимума по при v = u(t), т. е.

H(x(t),u(t),t,ш,ш₀) =max H(x(t), v(t), t,ш, ш₀) (2.4)

б) Условие трансверсальности на левом конце траектории - существуют числа, такие, что

(2.5)

в) Условие трансверсальности на правом конце траектории - существуют числа  такие, что

(2.6)

Центральным в теореме является условие максимума (2.4).

Если отказаться от предположения о том, что конечный момент времени Т фиксирован, то теорема останется справедливой за исключением условия трансверсальности на правом конце траектории. Условие (2.6) заменим условием

и добавить еще одно условие трансверсальности на правом конце траектории:

Следует отметить, что очень часто на практике приходится иметь дело с принципом максимума для дискретных систем.

Порядок синтеза оптимальных управляющих воздействий с помощью принципа максимума для дискретных систем:

Записываем дифференциальные уравнения системы в разностной форме, применяя одну из конечных разностей.

Записываем в разностной форме критерий оптимальности, заменяя, интеграл операцией суммирования.

Записываем краевые условия для момента времени к=0,1,2,3,…n, в зависимости от порядка уравнения, а также x[n], x[n-1], x[n-2], и т.д.

Формируем дискретную (разностную) функцию Гамильтона.

Записываем разностную систему сопряженных уравнений, находим частные производные и записываем уравнения относительно л_i[k+1] и U[k+1].

Используя граничные условия, решаем полученную систему как краевую задачу и находим оптимальные фазовые траектории и оптимальное управление.

2. Расчёт фазовых траекторий и оптимального управления

1. Для заданного дифференциального уравнения второго порядка составляем систему с использованием переменных состояния.

Граничные условия в таком случае будут выглядеть следующим образом:

Запишем систему дифференциальных уравнений, граничные условия и критерий оптимальности в разностной форме:

1. Граничные условия:

2. Критерий оптимальности:

3. Система дифференциальных уравнений:

(1)

Сформируем дискретную (разностную) функцию Гамильтона:

Продифференцировав функцию Гамильтона по координатам и по управлению u[k+1], составим каноническую сопряженную систему уравнений:

 (2)

Используя полученные системы уравнений (1) и (2) получим разностную систему уравнений для расчёта фазовых траекторий и оптимального управления при помощи ЭВМ.

(3)

После преобразования система (3) примет вид:

(4)

Решим систему уравнений (4) при помощи среды разработки Matlab 6.5:

clear all; clc;

%===============================

tk=17;

dt=0.01; t=[0:dt:tk];

%===============================

ALFA1=zeros(1,length(t));

ALFA1(1,1)=1;

ALFA2=zeros(1,length(t));

ALFA2(1,1)=1;

%===============================

U=zeros(1,length(t)+1);

p1=zeros(1,length(t)+1);

p2=zeros(1,length(t)+1);

U(1,1)=0;

p2(1,1)=-9*U(1,1)/(dt);

%===============================

I=zeros(1,length(t));

A=1/(1+4*dt+dt^2)

%===============================

for k=1:length(t)

p2(k+1)=(9*ALFA1(k)*dt^2*A-9*ALFA2(k)*dt*A-p1(k)*dt^2+p2(k))/(1-4*dt^2-A*dt^3+dt^4);

ALFA2(k+1)=(-ALFA1(k)*dt-(1/9)*p2(k+1)*dt^2+ALFA2(k))/(1+4*dt+dt^2);

p1(k+1)=p2(k+1)*dt^2+p1(k);

ALFA1(k+1)=ALFA2(k+1)*dt+ALFA1(k);

U(k+1)=-p2(k+1)*dt/9;

I(k+1)=I(k)+(0.5*(9*(ALFA2(k+1))^2+9*(U(k+1))^2));

end

%===============================

figure;plot(t(1:k),I(1:k));title('t,I');xlabel('t');ylabel('I');grid on;

figure;plot(ALFA1,ALFA2,'b');title('Traektorii');xlabel('ALFA1');ylabel('ALFA2');grid on;

figure;plot(t,U(1:length(t)));title('Upravlenie');xlabel('t');ylabel('U');grid on;

% figure;plot(t,ALFA1(1:length(t)));title('ALFA1(t)');xlabel('t');ylabel('ALFA1');grid on;

% figure;plot(t,ALFA2(1:length(t)));title('ALFA2(t)');xlabel('t');ylabel('ALFA2');grid on;

Результатом работы программы являются графики фазовых траекторий и оптимального управления:

Рис.1. Функция оптимального управления



Рис.2. Фазовая траектория б₂ и б₁

Рис.3. Критерий оптимальности.

Вывод

При проектировании оптимальных систем управления динамическим объектом использовался принцип максимума, при решении которого был составлен гамильтониан и система канонично-сопряженных уравнений, в результате чего было получено оптимальное управление. В ходе выполнения данной курсовой работы была решена краевая задача оптимизации, в результате чего были получены графики оптимального управления, фазовой траектории и критерия оптимальности. По графику фазовой траектории мы видим что объект пришел в заданную точку.

Литература

Тимченко В. Л. «Проектирование оптимальных систем управления динамическими объектами»

Зайцев Г. Ф. «Теория автоматического управления и регулирования»

Михайлов В. С. «Теория управления»

Размещено на Allbest.ru