Основы математического моделирования социально-экономических процессов и систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство сельского хозяйства Российской Федерации

ФГБОУ ВПО Воронежский государственный Аграрный университет имени императора Петра I

Кафедра «Прикладной математики и математических методов в экономике»

Контрольная работа

Основы математического моделирования социально-экономических процессов и систем

Выполнила:

Латынина Светлана Владимировна

Воронеж 2014

Задача №1 производство программирование рацион стоимость

Для откорма животных используют три вида комбикорма А, В, С. Каждому животному в сутки требуется не менее: 800 гр. жиров, 700 гр. белков, 900 гр. углеводов. Содержание в 1 кг. каждого вида комбикорма жиров, белков и углеводов в граммах приведено в таблице №1.

Таблица №1

Сколько килограмм каждого вида комбикорма нужно каждому животному, чтобы полученная смесь имела минимальную стоимость.

Решение задачи при помощи Microsoft Excel:

Ответ: Для того чтобы получить минимальную стоимость каждому животному нужно комбикорма: А - 1,318 кг, В - 0,700 кг, С - 1,565 кг.

Задача №2

В суточный рацион включают два продукта питания П₁ и П₂, причем продукта П₁ должно войти в дневной рацион не более 200 ед. Стоимость 1 ед. продукта П₁ составляет 7 р., продукта П₂ -- 4р. Содержание питательных веществ в 1 ед. продукта, минимальные нормы потребления указаны в таблице №2.

Определить оптимальный рацион питания, стоимость которого будет наименьшей.

Таблица №2

Решение:

Обозначим через х₁ и х₂ количество единиц продуктов П₁ и П₂ которое войдёт в дневной рацион.

Известно, что стоимость единицы продукта П₁ составляет 5 р. и количество этого продукта - х₁. Следовательно, стоимость продукта П₁ составит 5х1 р. Аналогично, стоимость продукта П₂ составит 10х2 р. Учитывая, стоимость продуктов должна быть минимальной, целевая функция задачи будет иметь вид:

Известно также, количество продукта П₁, которое должно войти в дневной рацион ограничено. Это обстоятельство в свою очередь необходимо отразить в модели. Имеем ещё одно ограничение:

Естественно, что потребление продуктов П1 и П2 не должно быть отрицательным. Следовательно, в модели должны присутствовать ограничения неотрицательности переменных:,.

Так же известны минимальные нормы потребления питательных веществ А и В содержащихся в продуктах П₁ и П_2.

Так как в единице продуктов П₁ и П₂ содержится питательного вещества А 0,2, то всего питательного вещества будет получено. По условию его количество должно быть больше или равно 120, то есть имеем ещё ограничение:.

Аналогичное используя минимальные нормы потребления вещества В получим ограничение.

Таким образом, построена математическая модель нашей задачи как задачи линейного программирования:

,

Построим область допустимых решений, т. е. решим графически систему неравенств.

В первую очередь отобразим в прямоугольной системе координат условия неотрицательности переменных. В двумерном пространстве уравнению соответствует прямая линия, а неравенству - полуплоскость, лежащая по одну сторону от прямой. Прямые х₁=0 и х₂=0 совпадают с осями координат. Полуплоскости ,лежат соответственно справа от оси Oх₂ и выше оси Oх₁. Множество точек, удовлетворяющих одновременно неравенствам, представляют собой пересечение построенных полуплоскостей вместе с граничными прямыми и совпадают с точками первой четверти.

Теперь рассмотрим ограничения задачи. Построим по порядку прямые:

x₁=200 (а)

0,2x₁+0,2x₂=120 (б)

0,4x₁+0,2x₂=160 (в)

И определяем, с какой стороны от этих прямых лежат полуплоскости, точки которых удовлетворяют неравенствам:

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.

Рассмотрим целевую функцию задачи

.

Построим прямую, отвечающую значению функции

:

Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует минимальное решение, поэтому двигаем прямую до первого касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Область допустимых решений представляет собой не замкнутый многоугольник.

Прямая Z(x) = const пересекает область в точке D. Так как точка D получена в результате пересечения прямых (а) и (б), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:

Решив систему уравнений, получим: x₁ = 200, x₂ = 400

Откуда найдем минимальное значение целевой функции:

р.

Ответ: Для получения минимальной стоимости рациона необходимо в суточный рацион включить 200 ед. продукта П1 и 400 ед. продукта П2, при этом стоимость будет наименьшей 5000р.

Список использованной литературы

1. Экономико-математические методы и модели: учебное пособие / кол. авторов; под ред. С.И. Макарова. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: КНОРУС, 2009. - 240 с.

2. Савиных В.Н. Математическое моделирование производственного и финансового менеджмента: учебное пособие / В.Н. Савиных. - М.: КНОРУС, 2009. - 192 с.

3. Маркин Ю.П. Математические методы и модели в экономике: учебное пособие / Ю.П. Маркин. - М.: Высшая школа, 2007. - 422 с.

Размещено на Allbest.ru