Основы эконометрики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (X, млн. руб.)

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

4. Осуществить проверку значимости уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (б = 0,05).

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (б = 0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости б = 0,1, если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения.

7. Представить графически фактические и модельные значения Y точки прогноза.

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

? Гиперболической;

? Степенной;

? Показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

Решение задачи

1. Уравнение линейной регрессии имеет вид: y = ax + b. Значения a и b линейной модели определим методом наименьших квадратов, используя данные таблицы 1.

.

.

С увеличением объема капиталовложений на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции увеличивается в среднем на 1,32 млн. руб., что свидетельствует о хорошей эффективности работы предприятия.

Таблица 1

2. Остатка e = y_i - y_p представлены в табл. 1 (столбец 8). Сумма квадратов остатков

.

Дисперсии остатков

.

Среднее квадратическое отклонение

.

????????? ????????? ?????????????

Дисперсию остатков используют в качестве меры точности расчетов. Полученные значения и говорят о достаточной точности модели. График остатков представлен на рис. 1.

Рис.1. График остаточной компоненты

3. Проверим предпосылки МНК.

а) гипотеза о математическом ожидании ряда остатков.

Расчетное значение критерия Стьюдента

, т.к. .

Табличное значение .

Т.к. t_p < t_табл, то математическое ожидание ряда остатков равно нулю. Первое условие выполнено.

б) случайность ряда остатков.

Число поворотных точек p = 4.

.

Так как p > q, то ряд остатков можно считать случайным.

в) наличие автокорреляции.

Применим критерий Дарбина - Уотсона.

.

Табличные значения d₁ = 1,08; d₂ = 1,36.

Так как d < d₁, то в ряду остатков автокорреляция имеется.

г) соответствие ряда остатков нормальному закону распределения.

Применим R/S - критерий.

.

Табличные значения: 2,67 - 3,57.

Расчетное значение попадает в интервал, образованный табличными значениями. Следовательно, ряд остатков имеет нормальный закон распределения.

Не все предпосылки МНК выполнены.

4. Найдем стандартные ошибки коэффициентов модели.

.

.

Расчетные значения критерия Стьюдента

.

.

Табличное значение .

Так как , следовательно, оба коэффициента регрессии значимы.

5. Коэффициент детерминации

.

Изменение фактора x на 91,7% объясняет изменение признака Y.

Оценка значимости уравнения регрессии проводится по F - критерию Фишера.

.

Табличное значение критерия F_табл(0,05; 1; 8) = 5,32.

F > F_табл, следовательно, уравнение статистически значимо.

Средняя относительная ошибка аппроксимации

.

В среднем расчетные значения для линейной модели отличаются от фактических на 3,65%. Качество модели можно считать удовлетворительным, т.к. 3,65% < 5%.

6. б = 0,1. X = 0,8 • x_max = 0,8 • 46 = 36,8.

Y_прогн = 1,32 • 36,8 + 12,57 = 61,15.

Оценим Y_прогн.

.

Y_прогн [61,15 - 5,91; 61,15 + 5,91] = [55,24; 67,06].

7. График линейной модели представлен на рис. 2.

Рис. 2. Линейная зависимость

8. Расчеты для определения коэффициентов гиперболической модели представлены в таблице 2.

Таблица 2

Гиперболическая модель

Графически гиперболическая аппроксимация представлена на рис.3.

Рис. 2. Гиперболическая модель

Расчеты для определения коэффициентов степенной модели представлены в таблице 3.

Таблица 3

Степенная модель имеет вид:

.

Графически степенная аппроксимация представлена на рис.4.

Расчеты для определения коэффициентов показательной модели представлены в таблице 4.

Показательная модель имеет вид:

Графически показательная аппроксимация представлена на рис. 5.

Рис. 4 Степенная модель

Таблица 4

Рис.4. Показательная модель

9. Составим сравнительную таблицу

Таблица 5

Все модели имеют примерно одинаковые показатели, однако гиперболическая модель лучше и точнее всего описывает рассматриваемых процесс.

Размещено на Allbest.ru