Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Вступ

Моделювання в наукових дослідженнях, яке почали застосовувати ще в глибоку давнину, охоплює нині все нові й нові сфери наукових знань. Однак методологія моделювання впродовж тривалого часу розвивалась незалежно від інших наук. Була відсутня єдина система понять, єдина термінологія. Лише згодом почали усвідомлювати роль моделювання як універсального методу наукового пізнання.

Термін «модель» широко використовується в різних сферах діяльності людини і має безліч семантичних значень. Розглядатимемо тільки такі моделі, котрі є інструментами для одержання нових знань.

Термін «модель» походить від латинського слова «modulus» -- зразок, норма, міра. Модель -- це об'єкт, що заміщує оригінал і відбиває найважливіші риси і властивості оригіналу для даного дослідження, даної мети дослідження за обраної системи гіпотез.

Математична модель -- це абстракція реальної дійсності (світу) виробництва, в якій відношення між реальними елементами, а саме ті, що цікавлять дослідника, замінені відношеннями між математичними категоріями. Ці відношення зазвичай подаються у формі рівнянь і/чи нерівностей, відношеннями формальної логіки між показниками (змінними), які характеризують функціонування реальної системи, що моделюється.

Неможливо уявити собі сучасну науку, зокрема економіку, без широкого застосування математичного моделювання.

Сутність цієї методології полягає в заміні вихідного об'єкта його «образом» -- математичною моделлю -- і подальшим вивченням (дослідженням) моделі на підставі аналітичних методів та обчислювально-логічних алгоритмів, які реалізуються за допомогою комп'ютерних програм. Робота не із самим об'єктом (явищем, процесом), а з його моделлю дає можливість відносно швидко і безболісно досліджувати його основні (суттєві) властивості та поводження за будь-яких імовірних ситуацій (це переваги теорії). Водночас обчислювальні (комп'ютерні, симулятивні, імітаційні) експерименти з моделями об'єктів дозволяють, спираючись на потужність сучасних математичних та обчислювальних методів і технічного інструментарію інформатики, ретельно та досить глибоко вивчати об'єкт у достатньо детальному вигляді, що недоступно суто теоретичним підходам (це перевага експерименту). Не дивно, що методологія математичного моделювання бурхливо розвивається, охоплюючи аналіз надзвичайно складних економічних і соціальних процесів.

У наш час математичне моделювання входить у третій принципово важливий етап свого розвитку, «вбудовуючись» у структури так званого інформаційного суспільства. Бурхливий прогрес засобів аналізу, опрацювання, передачі та зберігання інформації відповідає сучасним тенденціям соціального буття. Без володіння інформаційними «ресурсами» не варто й думати про розв'язання дедалі більш складних та різноманітних проблем, які постають перед світовою спільнотою. Однак інформація сама по собі здебільшого мало що дає для аналізу та прогнозування, для прийняття рішень і контролю за їх виконанням. Необхідні надійні способи опрацювання інформаційної «сировини» в готовий «продукт», тобто в точні знання. Історія методології математичного моделювання переконує: вона може й повинна бути інтелектуальним ядром інформаційних технологій, усього процесу інформатизації суспільства.

Технічні, технологічні, економічні, політичні та інші системи, що їх вивчає сучасна наука, все меншою мірою піддаються дослідженню (в необхідній комплексності та точності) звичайними теоретичними методами, хоча останні є надзвичайно важливими. Безпосередній натурний експеримент над ними є надто тривалим, дорогим, часто навіть небезпечним чи просто неможливим, особливо це стосується економічних систем і процесів. Тому математичне моделювання є неминучою складовою науково-технічного прогресу.

1. Математичні моделі фінансово-економічних процесів

1.1 Організація рекламної компанії

Нехай деяка фірма (підприємство, установа) починає рекламувати новий товар чи послугу. Ясно, що прибуток від майбутнього продажу повинен перекривати витрати на цю кампанію. Ясно також, що спочатку витрати можуть перевищувати прибуток, бо лише невелика частка потенційних покупців буде інформована щодо новинки. Згодом, у міру збільшення обсягів продажу, можна вже розраховувати на помітний прибуток, і, врешті, настане момент, коли ринок насититься, і надалі рекламувати товар не буде сенсу.

Модель рекламної кампанії ґрунтується на таких основних гіпотезах. Розглядається величина dN/dt -- швидкість зміни в часі кількості споживачів, котрі дізналися про товар і мають намір і кошти купити його (t -- час, що минув з початку рекламної кампанії), N(t) -- кількість уже поінформованих клієнтів. Вважається, що dN/dt пропорційна кількості покупців, які ще не знають про цей товар (послуги), тобто величині 1(t) (N0 - N(t)), де N0 -- загальна кількість потенційних платоспроможних покупців, 1(t) 0 характеризує інтенсивність рекламної кампанії (що фактично визначається витратами на рекламу в даний момент часу).

Припускається також, що ті, хто дізнався про товар, так чи інакше поширюють отриману інформацію серед необізнаних, виступаючи в ролі додаткових рекламних «агентів» фірми. Їхній внесок дорівнює величині 2(t)(N(t)(N0 - N(t))).

Він буде тим більшим, чим більша кількість агентів. Величина 2(t) 0 характеризує ступінь спілкування покупців між собою (вона може бути встановлена опитуванням).

У результаті отримаємо рівняння:

 (1.1)

Якщо 1(t) 2(t) N(t), то з (1.1) отримаємо модель типу моделі Мальтуса , якщо ж 1(t) 2(t) N(t), -- рівняння логістичної.

Модель (1.1) не має розв'язків, що дорівнюють нулеві в кінцевий момент часу. Якщо розглянути модель (1.1) в околі точки N(t = 0) = N(0) = 0 (t = 0 -- момент початку рекламної кампанії), вважаючи, що N N0, 2(t)N 1(t), то рівняння (1.1) набере вигляду: а його розв'язок:

(1.2)

що задовольняє, природно, початкову умову, якщо t = 0.

З (1.2) відносно легко вивести співвідношення між рекламними витратами та прибутком з початку рекламної кампанії.

Позначимо через р величину прибутку від одиничного продажу, якою б вона була без витрат на рекламу. Припустимо для спрощення, що кожен покупець купує лише одну одиницю товару. Коефіцієнт 1(t) за своїм змістом означає кількість рівнозначних рекламних дій в одиницю часу (наприклад, розміщення однакових афіш). Через s позначимо вартість (ціну) елементарного акту реклами. Тоді сумарний прибуток дорівнюватиме:

(1.3)

а витрати:

Прибуток перевищує витрати на рекламу за умови pN0 > s, і коли реклама є дієвою й недорогою, а ринок досить місткий, то виграш досягається з перших же кроків кампанії (в дійсності між оплатою реклами, рекламною дією й наступною купівлею має місце лаг -- затримка в часі, котра може бути врахована лише в більш деталізованих моделях). У випадку не дуже ефективної чи дорогої реклами фірма із самого початку несе збитки. Але це не привід, щоб відмовитися від реклами. Справді, вираз (1.3) та отримана на його підставі умова pN0 > s справедливі лише за малих значень N(t), коли функції P та S зростають у часі за однаковими законами. Зі збільшенням N(t) відкинуті в (1.1) складові стають помітними, зокрема, посилюється дія опосередкованої реклами. Тому функція N(t) може стати «швидшою» функцією часу, ніж у формулі (1.3). Цей нелінійний ефект у зміні величини N(t) за незмінного темпу зростання витрат дає можливість відшкодувати фінансову невдачу початкової стадії рекламної кампанії.

Пояснимо це твердження на частковому випадку рівняння (1.1) з постійними коефіцієнтами 1, 2.

Виконаємо заміну змінних:

Тоді (1.1) зводиться до логістичного рівняння:

(1.4)

яке має розв'язок:

(1.5)

Тут, отже, N(0) = 0, і початкова умова виконується.

З (1.4) видно, що похідна функції і, отже, функція N(t) за умови t > 0 може бути більшою, ніж її початкове значення (за умови, що чи ). Максимум похідної по досягається, коли :

У цей період поточного, тобто отримуваного в одиницю часу прибутку, маємо:

Віднімаючи від початковий поточний прибуток:

,

отримаємо:

тобто різниця між початковим і максимальним поточним прибутками може бути досить значною. Сумарний (інтегральний) економічний ефект від кампанії (його необхідною умовою є, очевидно, виконання нерівності ), визначається всім її перебігом, характеристики котрого обчислюються з (1.4), (1.5) за допомогою квадратури (інтегрування).

Як випливає з (1.4), починаючи з деякого моменту рекламування стає невигідним. Дійсно, коли наближається до , рівняння (1.4) можна записати у вигляді:

(1.6)

Його розв'язок прямує до граничного значення за умови t 0 (а функція N(t)N0) згідно з повільним експоненційним законом. В одиницю часу з'являється надто мала кількість нових покупців, і одержуваний прибуток за будь-яких умов не може перекрити додаткових витрат.

Аналогічні характеристики обчислюються для рівняння (1.1) та різних його узагальнень, що широко використовуються також для опису впровадження технологічних та інших новацій. Наведений вище аналіз стосується низки актуальних задач мікроекономічного рівня.

1.2 Взаємозалік боргів підприємств

Будь-яка досить значна за своїми масштабами економічна система містить у собі десятки тисяч підприємств (фірм, корпорацій тощо), які обмінюються між собою товарами та послугами.

Між постачанням товару та оплатою за нього завжди існує затримка в часі. Її мінімальне значення визначається суто технічними причинами, бо потрібен певний час на транспортування та розфасування товару, здійснення банківських операцій тощо.

Однак можливі ситуації, коли з якихось економічних, фінансових, соціальних, психологічних, політичних та інших причин час затримки сплати (постачання) стає порівнянним з часом обігу фінансів, а абсолютне значення (обсяг) невиконаних сплат чи поставок -- порівнянним з обсягом вільних обігових коштів підприємства. У цьому разі виникає так звана криза несплат, котра може спричинити кризу всієї економічної системи.

Підприємство, що не отримало гроші за поставлену продукцію (чи заплатило за товар, але не отримало його), не в змозі розрахуватися зі своїми постачальниками (оскільки обсяг його боргів рівний чи перевищує обсяги його вільних коштів). У свою чергу постачальники не розраховуються зі своїми клієнтами, ті -- зі своїми і так далі. Виникають довгі ланцюжки несплат, що пронизують усю систему. Вони, очевидно, можуть складатися з N ланок, а загальна кількість їх досягає числа близько N! (N -- кількість підприємств).

Нехай економічна система складається з N підприємств, які можуть мати взаємні борги. Позначимо борги n-го підприємства m-му підприємству через xnm, де 1 n, m N (xnп 0, якщо перше підприємство (n) винне другому (m), i xnm > 0 -- у протилежному випадку). Ясно, що xnm = - xnm, xnп = 0, тобто сукупність боргів описується кососиметричною матрицею розмірності N N з нульовою діагоналлю (xnп = 0, бо підприємство не може бути винне само собі). Сума всіх взаємних боргів обчислюється за формулою:

(1.7)

Величина Х (4.7) є однією з інтегральних кількісних характеристик фінансового стану системи, якщо вона має порядок, однаковий із сумою всіх вільних коштів підприємства (Х0), тобто:

(1.8)

Ситуація, що описується нерівністю (1.8), власне, означає кризу несплат (тут xn 0 -- індивідуальні власні засоби підприємств).

Ще однією важливою характеристикою є баланс кредитів і боргів (сальдо) кожного підприємства:

(1.9)

Зазначимо, що, як видно з (1.9), можливими є варіанти Sn > 0; Sn < 0; Sn = 0. Якщо Sn > 0, то підприємство в певному розумінні є кредитором підприємств-боржників, тобто тих, у кого Sn < 0 (якщо Sn = 0, то таке підприємство вважається «нейтральним» щодо боргів). Якщо, то індивідуальний фінансовий стан підприємства є, по суті, нормальним, оскільки його реальні сумарні борги (чи кредити) менші, ніж його вільні засоби (кошти). Аналогічно сумарне абсолютне сальдо системи:

(1.10)

є макропоказником її можливого фінансового «здоров'я». Якщо S < X0, то вільних коштів у системі більше, ніж дійсних боргів, і потенційно вона може успішно функціонувати. Між величинами X та S завжди існує певне співвідношення. Для будь-якої довільної матриці боргів виконується нерівність:

X S, (1.11)

тобто сумарний борг не може бути меншим за сумарне сальдо.

Завдання щодо погашення взаємних боргів полягає в тому, щоб, знаючи матрицю Х, відшукати матрицю «нових» боргів Х', для котрої б виконувалася умова X' < X. Очевидно, що ідеальним її розв'язком був би такий, щоб X' = S, тобто щоб нерівність (1.10) стала рівнянням. Зазначимо, що тоді для такої, що є безпечною по суті, системи з S X0 виконувалось би співвідношення X' = S X0, і після взаємозаліку вона могла б нормально функціонувати (хоча зменшення обсягів Х у будь-якому випадку є сприятливим).

Будуючи математичну модель процедури взаємозаліків, використовуватимемо низку операцій. Перша -- це відмова, на певному етапі, від детального розгляду множини індивідуальних боргів і відповідних зв'язків між підприємствами. Перехід з без ризику на макрорівень.

Зазначимо, що процедура моніторингу ланцюжків для N підприємств має принциповий недолік. Розгляньмо спочатку ланцюжок, у якому кожне підприємство з першого до М-го (M N) винне іншому однакову суму, і таку ж суму винне М-те підприємство першому (рис. 1.1).

Ланцюжок є замкненим, і розв'язок є очевидним -- усі борги в ланцюжку погашаються. Нехай тепер М-те підприємство не винне нічого 1-му (рис. 1.2).

Рис. 1.1

Рис. 1.2

Ланцюжок розімкнений, і цей метод є непридатним. У той же час просте рішення полягає в тім, що борги підприємств з другого до (М - 1)-го не анулюються, а борг першого переадресовується М-му (рис. 1.3).

Рис. 1.3

Економічний сенс без ризикової відповідає суті вексельного обігу, коли боргове зобов'язання змінює своїх хазяїв, і в результаті у боржника (перше підприємство) з'являється новий кредитор (М-не підприємство).

На відміну від ситуації з боргами в ланцюжках повна система боргів по всіх ланцюжках є замкненою, бо розглядаються взаємні борги. Справді, з властивості xnm = - xmn маємо, що

для будь-якої сукупності несплат. Враховуючи, що ,
з останнього рівняння дістаємо:

(1.12)

або сума додатних сальдо підприємств дорівнює за абсолютною величиною сумі від'ємних сальдо, тобто:

(1.13)

Отже, якщо розглядати на макроекономічному рівні систему взаємних боргів, то вона має властивість «симетричної консервативності».

Рівняння (1.13) пояснює структуру для побудови математичної моделі ідеального взаємозаліку, який відбувається за таких умов:

1) усі борги xnm відомі й визнаються підприємствами;

2) після проведення взаємозаліку сальдо підприємств Sn залишаються незмінними: , тобто індивідуальний фінансовий стан кожного з них не змінюється;

3) частина боргів xnm списується, а частина переадресовується, тобто у підприємств можуть як з'явитися нові боржники та кредитори, так і частково зникнути старі.

Зміст макропроцедури взаємозаліку полягає в тому, що замість величин xnm розглядаються величини Sn. Підприємства з Sn < 0 оголошуються боржниками (в обсязі свого сальдо), а підприємства з Sn > 0 -- кредиторами (в тих самих обсягах). Після цього борги підприємств з Sn < 0 певним чином розподіляються між кредиторами, тобто будується нова система боргів xnm. У цьому разі виконується друга умова і досягається рівність X' = S, тому розв'язок задачі якоюсь мірою є раціональним. Таких розв'язків, взагалі кажучи, може бути багато, бо розподіляти борги між кредиторами можна різними способами. Наведемо два найпростіших.

Перший можна подати за допомогою формули, згідно з якою нові борги обчислюються через старі:

(1.14)

Згідно з (1.14) борг будь-якого підприємства (обсяг якого Sn, якщо Sn < 0) між підприємствами-кредиторами розподіляється у частках, пропорційних обсягам їхнього сальдо (що дорівнюють Sm, якщо Sm > 0). Підприємству, що має більше за обсягом позитивне сальдо, нараховується від кожного з боржників більша частка його боргів, у сумі вони дають величину Sm. Для підприємств із нульовим сальдо взаємозалік зводиться до погашення всіх їхніх боргів і всіх боргів їм. Зазначимо, що в (1.14) для нових боргів маємо , коли Sn < 0, Sm < 0 чи коли Sn > 0, Sm > 0 (після взаємозаліку боржники не винні боржникам, а кредитори -- кредиторам). Це означає, що кількість отриманих фінансових зв'язків між підприємствами значно менша за максимально можливу, коли кожне підприємство є одночасно і боржником, і кредитором будь-якого іншого, а матриця боргів не має нульових елементів (окрім, звичайно, діагональних).

Другий спосіб ґрунтується на тому, що кількість зв'язків може бути значно зменшена, якщо провести попереднє впорядкування підприємств згідно з абсолютними значеннями їхніх сальдо та встановити безпосередні зв'язки між боржниками й кредиторами одного масштабу (великі з великими, малі з малими). Ця процедура допускає просту геометричну інтерпретацію. На рис. 1.4 на верхній прямій лінії описано розподіл сальдо кредиторів (у спадній послідовності). Довжина відрізків цієї прямої дорівнює обсягові сальдо кожного підприємства Sp > 0, 1 < p < N, а її загальна довжина, очевидно -- S/2.

Рис. 1.4

На нижній прямій описано розподіл сальдо боржників Sq < 0, 1 < q < N, p + q N (сальдо взяті з оберненим знаком) також у спадній послідовності. Її довжина згідно з (1.13) також дорівнює S/2. Штрихові лінії, що проведені з вузлів нижньої прямої, поділяють «пряму кредиторів» на q відрізків, що дорівнюють обсягам боргу кожного підприємства. Цей борг або дістається одному кредиторові, або ділиться між кількома відповідно до розташування вузлів верхньої прямої відносно даного відрізка.

Описаний алгоритм є раціональним за критерієм X' = S і, очевидно, оптимальним за кількістю зв'язків, що залишилися після взаємозаліку.

1.3 Модель оцінювання ринкової вартості підприємства

Приймаючи рішення про купівлю об'єкта (підприємства) та його пристосування для ведення тієї чи іншої діяльності, підприємець (покупець, інвестор) оцінює майбутні доходи від функціонування об'єкта, загальний (інтегральний) без ризикової дохід і порівнює його зі своїми інтегральними без ризикової капітальними вкладеннями.

Важливим етапом у таких розрахунках є визначення норми дисконту R, за допомогою якої порівнюються різночасові витрати та доходи. Під нормою дисконту мають на увазі очікувану норму віддачі на альтернативні та доступні на ринку інвестиційні можливості з урахуванням ризику. Часто знаходять величину R додаванням норми без ризикової віддачі (наприклад, норми річного доходу за державними цінними паперами) і так званої премії за ризик.

Фінансисти постійно розв'язують завдання визначення теперішньої вартості грошових засобів (Present Value -- PV) та їхньої майбутньої вартості (Future Value -- FV), тобто вартості грошей з урахуванням доданих відсоткових виплат. Зміст фінансових розрахунків зводиться до того, щоб за відомою теперішньою вартістю грошових ресурсів визначити майбутні розміри виплат, і навпаки -- за відомими майбутніми доходами обчислити теперішню вартість ресурсів.

У першому випадку на теперішню вартість нараховується відсоткова ставка, у другому -- з майбутньої вартості відраховується (віднімається) дисконтна (облікова) ставка.

Для підрахунку майбутньої вартості існує проста формула:

FV =K(1 + R)n, (1.15)

де K -- початкова сума; R -- річна ставка відсотка; n -- кількість років.

У свою чергу, теперішню вартість грошей визначають за формулою:

(1.16)

де F -- майбутній дохід, що надійде через п років; R -- річна ставка дисконту; n -- кількість років.

Обчислити PV та FV нескладно.

Рекомендуємо визначити, наприклад, ту суму грошей, яку фірми має покласти до банку, коли ставка складного відсотка є 12 % річних, щоб через 15 років зняти з рахунка 100 тис. без , потрібних, скажімо, для купівлі нового обладнання.

Відповідь: 18 270 грн.

Проте набагато частіше фінансовому менеджерові доводиться вирішувати складніші проблеми. Є випадки, коли він змушений визначити теперішню вартість ануїтету (Annuit) -- послідовності виплат за певні регулярні проміжки часу. Ануїтетом можуть бути виплати (або інвестиції) щорічні, без ризиків, щоквартальні, щомісячні. Кожну окрему виплату, що входить до складу ануїтету, називають його членом. Теперішню вартість річного ануїтету можна обчислити за формулою:

(1.17)

де n -- кількість років; Fi -- суми, що виплачуються за і-й проміжок часу; R -- ставка дисконту.

З'ясуємо, наприклад, що вигідніше: одержати 50 тис. без відразу чи протягом п'яти років, щороку по 12 тис. без за умови, що річна ставка становить 10 %.

Насамперед потрібно визначити теперішню вартість ануїтету за формулою (1.17):

Виконавши обчислення, побачимо, що оскільки 50 000 > 45 492, то вигідніше одержати відразу 50 тис. без готівкою, аніж протягом п'яти років щороку -- по 12 тис. без.

Для полегшення фінансових розрахунків широко використовують таблиці, де містяться значення відсоткового чинника теперішньої вартості ануїтету (PVIFA). Для того щоб підрахувати теперішню вартість ануїтету, достатньо лише перемножити величину виплат (якщо Fi однакові для всіх i = 1, …, n) на значення обраного відсоткового чинника:

PFA = a PVIFA,

де а -- величина відсоткового чинника ануїтету. Так, у щойно розглянутому прикладі замість процедури підсумовування теперішньої вартості всіх п'яти членів ануїтету досить виконати таку операцію:

12 000 3,791 = 45 492,

де 3,791 -- відсотковий чинник теперішньої вартості ануїтету.

У розрахунках лімітних цін на майно підприємств важливу роль відіграє встановлення науково обґрунтованої норми (ставки) дисконту R, під якою розуміють норму доходу на альтернативні та доступні на ринку інвестиційні можливості з приблизно таким самим рівнем ризику. Це норма віддачі на вкладений капітал, яка може стимулювати інвесторів до відповідних внесків.

Існує просте правило: високий ризик означає високу ставку дисконту (капіталізації), малий ризик -- низьку відповідну ставку.

Загалом для оцінювання дисконтних ставок використовують такі принципи:

1) з двох майбутніх надходжень вищу дисконтну ставку має те, що надійде пізніше;

2) чим нижчий сподіваний рівень ризику, тим нижчою має бути ставка дисконту;

3) якщо загальні відсоткові ставки на ринку зростають, зростатимуть і дисконтні ставки.

Інвестори нерідко визначають ставку дисконту R, додаючи до ставки (норми) без ризикової віддачі Rj (наприклад, норми річного доходу за державними цінними паперами) так звану премію за ризик.

2. Побудова економіко - математичних моделей та розв'язок задач

2.1 Транспортна задача

Постановка задачі.

Із 4 складів в 4 крамниці потрібно перевезти борошно. Відомі запаси борошна на кожному складі, потреби крамниць і вартість перевезення 1т борошна з кожного складу в кожну крамницю.

Визначити такий план перевезень, щоб сумарна вартість перевезень була мінімальною, борошно все вивезене, а потреби крамниць задоволені.

Розв'язання.

Економіко-математична модель задачі.

Відомі параметри.

m - кількість постачальників,

n - кількість споживачів,

і - індекс постачальника.

j - індекс споживача,

ai - запаси вантажів і-го постачальника,

bi - потреби j-го споживача,

aij - вартість перевезення одиниці вантажу від і-го постачальника до j-го споживача.

Керований параметр.

xij - кількість перевезених вантажів від і-го постачальника до j-го споживача.

Обмеження

1) Всі вантажі повинні бути вивезені:

2) Потреби споживачів потрібно задовольнити повністю:

3) Кількість перевезених вантажів є невід'ємним числом:

4) Кількість перевезених вантажів - ціле число:

xij - целое

Критерій.

Сумарна вартість перевезень прямує до мінімуму:

Реалізація моделі в ТП Excel

Спочатку створюємо таблицю початкових даних, що зображена на рис. 2.1.

Рис. 2.1 - Таблиця початкових даних

Далі створюємо таблиці, де знаходимо кількість перевезених вантажів від і-го постачальника до j-го споживача (керований параметр) та вартість перевезення по кожному споживачу та постачальнику (знаходиться добутком керованих параметрів на вартість перевезення 1т борошна). Знайдемо загальну вартість перевезення.

Виконаємо команду «Пошук рішенця» (рис. 2.2).

Керовані параметри: кількість перевезених вантажів від постачальників до споживачів.

Обмеження:

1) Потреби споживачів повинні бути рівними кількості перевезеної сировини;

2) Запаси постачальників повинні бути рівними кількості сировини вивезеної від постачальників;

3) Кількість перевезених вантажів - більше рівне нуля;

4) Кількість перевезених вантажів - ціле число(борошно може бути і не цілим число потрібно дивитися на умову задачі).

Цільова клітинка - загальна вартість перевезення (повинна прямувати до мінімуму).

Рис. 2.2 - Вікно «Пошук рішення»

Отримані результати зображені на рис. 2.3.

Рис. 2.3 - Результати розв'язку задачі

Висновок

Отже, внаслідок наведених розрахунків був отриманий оптимальний план по перевезенню вантажів від постачальників до споживачів.

Потреби споживачів були повністю задоволені, так, 1 споживач отримує продукцію в кількості 34 т від 1 постачальника та 4 т від 2 постачальника, 2 споживач отримав борошно від 1 постачальника - 14 т та від 2 - 6 т, 3 споживач отримав продукцію від 3 постачальника - 30 т та від 4 - 15 т, 4 споживач - від 2 постачальника отримав - 2 тонни борошна.

У жодного постачальника не залишалась сировина.

Внаслідок виконання такого плану ми отримуємо загальну вартість перевезення у 470 гр. од.

2.2 Задача оптимізації перевезень та переробки сировини та напівфабрикатів

Постачальники мають певні запаси сировини, що доставляється на пункти переробки, де з неї виготовляють напівфабрикати, які потім потрібно перевезти до споживачів; потрібно так організувати перевезення і перероблення сировини в нaпiвфaбpикати, щоб загальна вартість перевезення та перероблення була мінімальною.

Розв'язання.

Економіко-математична модель задачі.

Відомі параметри.

m - кількість споживачів,

n - кількість постачальників,

l - кількість пунктів переробки,

i - індекс постачальника,

j - індекс споживача,

k - індекс пункту переробки,

ai - запаси сировини в і-го постачальника,

bi - потреби в напівфабрикатах j-го споживача,

dik - вартість перевезення одиниці сировини від і-го постачальника до к-го пункту переробки,

lik - вартість перевезення одиниці напівфабрикатів від к-го пункту переробки до j-го споживача,

вk - вартість переробки одиниці сировини на к-му пукті переробки.

Керовані параметри.

xij - кількість сировини, що перевозиться від і-го постачальника до к-го пункту переробки,

zkj - кількість напівфабрикатів, що перевозиться від к-го пункту переробки до j-го споживача.

Обмеження.

1) Вся сировина повинна бути вивезена від постачальників:

2) Потреби кожного споживача повинні бути задоволені:

3) Вся сировина поставлена на пункт переробки переробляється на напівфабрикати:

4) Кількість перевезених вантажів є невід'ємним числом:

5) Кількість перевезених вантажів - ціле число:

Критерій.

Сумарна вартість перевезень прямує до мінімуму:



Реалізація моделі в ТП Excel.

Створюємо таблицю з початковими даними «Перевезення сировини» (рис. 2.4).

Рис. 2.4 - Початкові дані «Перевезення сировини»

Наступним кроком створюємо таблицю, де будемо визначати кількість перевезеної сировини (керований параметр - xij) та суми по кожному пункті переробки та постачальнику (рис. 2.5).

Рис. 2.5 - Визначення кількості перевезеної сировини до пунктів переробки

Таблиця №3 містить розрахунки вартості перевезень сировини від і-го постачальника до к-го пункту переробки , які розраховуються за допомогою добутків відповідних значень 1 та 2 таблиць(рис. 2.6), а також їхні загальні вартості.

Рис. 2.6 - Визначення вартості перевезеної сировини до пунктів переробки

Створюємо таблицю з початковими даними «Перевезення напівфабрикатів» (рис. 2.7).

Рис. 2.7 - Початкові дані «Перевезення напівфабрикатів»

Наступним кроком створюємо таблицю, де будемо визначати кількість перевезених напівфабрикатів (керований параметр - zkj) та відповідні суми по споживачам і пунктам переробки (рис.2.8).



Рис. 2.8 - Визначення кількості перевезених напівфабрикатів доспоживачів

Таблиця №6 містить розрахунки вартості перевезень напівфабрикатів, що перевозиться від к-го пункту переробки до j-го споживача, які розраховуються за допомогою добутків відповідних значень 4 та 5 таблиць (рис. 2.9), а також їхні загальні вартості.

Рис. 2.9 - Визначення вартості перевезення напівфабрикатів до споживачів

Вводимо дані про ціни для кожного пункту переробки та підраховуємо кількість та вартість переробки по кожному пункті переробки, а також знаходимо суму по вартості переробки (=СУММ(B78:G78)) та загальну вартість перевезення сировини та напівфабрикатів , що рівна сумі загальної вартості перевезення сировини, загальної вартості перевезення напівфабрикатів та загальній вартості переробки (рис. 2.10).



Рис. 2.10 - Підсумок результатів

Після введення всіх даних і формул виконуємо команду «Пошук рішення» (рис. 2.11).

Рис. 2.11 - Вікно «Пошук рішення»

Висновок.

Отже, за підрахунками мінімальна вартість перевезення сировини становить 2400 гр.од., а мінімальна вартість перевезення напівфабрикатів 1925 гр.од. Враховуючи вартість переробки (10200 гр.од.), мінімальні витрати становлять14525 гр.од.

Загальна кількість сировини перероблена на 1 пункті переробки становить 325 одиниць, на 2 пункті переробки - 200 одиниць, на 3 пункті - 125 одиниць, на 4 пункті переробки - 100 одиниць, на 5 - 150 та на 6 - 100 одиниць сировини.Такий розподіл кількості обробленої сировини можна пояснити тим, що ціна за перевезення від обраного постачальника майже в кожному випадку мінімальна і рівна 2 гр.од.

Та сама ситуація простежується і у виборі напівфабрикатів.

Таким чином, внаслідок виконання цього плану вся сировина була вивезена від постачальників, перероблена та доставлена до споживачів, а всі потреби споживачів були задоволені.

Висновок

математичний економічний сальдо макропоказник

Особливістю нинішнього етапу розвитку вітчизняної економіки в ринкових умовах є збільшення інтересу фахівців до наукового вирішення проблем з використанням економіко математичних методів і побудованих на їх основі моделей. Проявляється це наперед за все в тому, що математичні методи і моделі в економіці вимагають ретельного врахування всіх можливих ситуацій, що робить управлінські рішення науково обґрунтованими, динамічними для забезпечення збалансованого та стійкого господарського механізму. Використання сучасних методів дослідження економічних процесів і явищ дозволяє повніше і глибше обґрунтовувати темпи і пропорції розвитку на макро- і макрорівні, домагатися оптимальності серед альтернативних рішень.

Під час вивчення цієї дисципліни я сформувала систему знань з методології та інструментарію побудови і використання різних типів економіко-математичних моделей.

Вивчила основні принципи та інструментарії постановки завдань, побудови економіко-математичних моделей, методи їх розв'язування і аналізу з метою використання в економіці.

Отримала можливість заволодіти сучасними інструментами й підходами для формування фінансової й економічної політики, зміцнення потенціалу підприємства й виробничої бази.

Отже, для прийняття правильних економічних рішень необхідно аналізувати весь минулий досвід, результати, що отримані на підставі застосування концептуальних і математичних моделей, що є найбільш адекватними для даної економічної ситуації.

Список використаної літератури

1. Вітлінський В.В. Моделювання економіки: навч. посібник / В.В. Вітлінський. - К:.КНЕУ, 2010. - 408с.

2. Богатов О.И., Лысенко Ю.Г., Петренко В.Л., Скобелев В.Г. Рейтинговое управление экономическими системами. -- Донецк: Юго-Восток, 2009. -- 110с.

3. Брігхем Е. Основи фінансового менеджменту / Пер. з англ. -- К.: Молодь, 1997. -- 1000с.

4. Бурда М., Виплош Ч. Макроекономіка: Європейський контекст / Пер. з англ. -- К.: Основи, 2012. -- 682с.

5. Варфоломеев В.И. Алгоритмическое моделирование элементов экономических систем: Практикум. -- М.: Финансы и статистика, 2000. -- 208с.

6. Занг В.Б. Синергетическая экономика: Время и перемены в нелинейной економической теории / Пер. с англ. -- М.: Мир, 1999. -- 335с.

7. Колемаев В.А. Математическая экономика: Учебник для вузов. -- М.: ЮНИТИ, 2011. -- 240с.

8. Костіна Н.І., Алексєєв А.А., Василик О.Д. Фінанси: системи моделей і прогнозів: Навч. посібник. -- К.: Четверта хвиля, 2008. -- 304с.

9. Малыхин В.И. Математическое моделирование экономики: Учеб.-практ. пособие. -- М.: УРАО, 2009. -- 160с.

10. Курс лекцій з дисципліни «Моделювання економіки».

Размещено на Allbest.ru