Экономико-математическое моделирование

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

1. По предписанию врача пациенту необходимо перейти на диету и за сезон употребить питательные вещества, содержащиеся во фруктах и ягодах, в количествах, указанных в таблице. Цена 1 кг фруктов - 30 руб., ягод - 40 руб.

Табл. 1

Определить, какое количество фруктов и ягод необходимо купить за сезон, чтобы выполнить предприятие врача с минимальными затратами

Решение.

Построение модели.

1 этап построения модели заключается в определении переменных. В данной задаче искомыми неизвестными величинами являются фрукты и ягоды:

- количество фруктов, которые необходимо купить за сезон;

- количество ягод, которые необходимо купить за сезон.

2 этап построения модели заключается в построении целевой функции, представляющей цель решения задачи. В данном случае цель - это минимальные затраты для покупки фруктов и ягод. Чтобы рассчитать величину затрат, необходимо знать количество фруктов и ягод, т.е. и , а также цены их реализации соответственно 30 и 40 руб.

Таким образом, затраты на покупку составляют: для фруктов - руб. и для ягод руб.

.

3 этап построения модели заключается в задании ограничений, моделирующих условия задачи. Возможные закупки фруктов и ягод и ограничиваются следующими условиями:

· количество веществ, входящие в состав фруктов и ягод должны быть не менее нормы их потребления;

· количество фруктов и ягод не может быть отрицательными значениями.

Ограничения по составу любого вещества в ягодах и фруктах:

Не отрицательность количества фруктов и ягод задаётся так:

.

Таким образом, запишем математическую модель задачу:

Решение задачи графическим методом.

Шаг 1. На плоскости построим прямые:

Шаг 2. Неравенства означают, что область допустимых решений задачи расположена в первой координатной четверти.

Шаг 3. Находим полуплоскости определённые каждым из ограничений задачи. Затем находим их пересечение - это и будет область допустимых решений (ОДР) задачи.

Шаг 4. Строим вектор .

Рис. 1 - Графический метод решения задачи

Шаг 5. Перпендикулярно вектору строим линию уровня (опорное решение).

Шаг 6. Линию уровня перемещаем вдоль вектора для нахождения наименьшего значения до самой удалённой точки ОДР. В нашей задаче это точка А, которая получена первыми двумя прямыми.

Шаг 7. Определим координаты найденной точки А. Для этого запишем систему уравнений:

В результате получаем оптимальное решение . Подставим найденный результат в ЦФ. Найдём оптимально решение:

руб.

Итак, для того, чтобы выполнить предприятие врача с минимальными затратами необходимо за сезон фруктов купить 3,2 кг и ягод 8,4 кг. При этом затраты на их покупку минимальны и составляют 432 руб.

2. Согласно номеру своего варианта выбрать условие задачи и построить математическую модель, включая транспортную таблицу. Найти оптимальное решение задачи в EXCEL. Построить математическую модель и найти оптимальное решение методом потенциалов

Решение.

На складах хранится мука, которую необходимо завести в хлебопекарни.

Необходимо организовать поставки наилучшим образом, учитывая, что мука хранится и транспортируется в мешках весом по 50 кг.

Табл. 2. Транспортные расходы по доставке муки (руб./т)

Запрет перевозки: 5х1, 3х5.

Гарантированная поставка: 5х2=30 т/мес.

Обозначим через [меш.] с мукой, которые будут перевезены с го склада в ю хлебопекарню.

Проверка сбалансированности задачи.

Прежде чем проверять сбалансированность задачи, надо исключить объём гарантированной поставки из дальнейшего рассмотрения. Для этого вычтем 30 т из следующих величин:

1) из запаса пятого склада С5= 65-30=35 т/мес.

2) из потребности второй хлебопекарни Х2=56,78-30=26,78 т/мес.

Согласно условию задачи мука хранится и перевозится в мешках по 50 кг, то есть единицами измерения переменных являются мешки муки. Но запасы муки на складах и потребности в ней магазинов заданы в тоннах. Поэтому для проверки баланса и дальнейшего решения задачи приведём эти величины к одной единице измерения - мешкам. Например, запас муки на втором складе равен 70 т/мес., или меш./мес., а потребность первой хлебопекарни составляет 77,86 т/мес., или меш./мес. Округление при расчёте потребностей надо проводить в большую сторону, иначе потребность в муке не будет удовлетворяться полностью.

,

.

Для данной ТЗ имеет место соотношение:

Склады: 1400+1200+700=3300 меш./мес.

Хлебопекарни: 1558+536+1178+1479=4751 меш./мес.

Суммарный запас на складе меньше суммарной потребности хлебопекарен на 4751-3300=1451 мешков муки, откуда следует вывод: ТЗ не сбалансирована.

Построение сбалансированной транспортной матрицы.

Сбалансированная транспортная матрица представлена в новой таблице. Стоимость перевозки муки должна быть отнесена к единице продукции, то есть к 1 мешку муки. Так, например, тариф перевозки из второго склада в первую хлебопекарню равен 300 руб./т * 0,05 т/меш.=15 руб./меш.

Для установления баланса необходим дополнительный фиктивный склад, то есть дополнительная строка С6. Фиктивные тарифы должны быть больше остальных тарифов, например, 50 руб./меш.

Невозможность доставки груза с пятого склада в первую хлебопекарню, а также с третьего склада в пятую хлебопекарню задаётся в модели с помощью запрещающего тарифа, который должен превышать величину фиктивного тарифа, например руб./меш.

Табл. 3

Задание ЦФ.

Формальная ЦФ, то есть суммарные затраты на все возможные перевозки муки, учитываемые в модели, задаётся следующим выражением:

При этом следует учитывать, что вследствие использования фиктивных тарифов реальная ЦФ будет меньше формальной ЦФ на стоимость найденных в процессе решения фиктивных перевозок.

Задание ограничений.

Решим полученную транспортную задачу средствами EXCEL.

Решение.

На рабочем листе вводим исходные данные.

Рис. 2

математический транспортный суммарный

Вычисляемые ячейки добавим примечанием, в которых запишем формулу.

В окне «Поиск решения» устанавливаем целевую ячейку, а также выбираем опцию, которая будет соответствовать минимальному значению. Указываем, какие ячейки будут изменяться, а также вводим сами ограничения.

Рис. 3

В окне «Параметры поиска решения» указываем, что это линейная модель, а также, что модель не может принимать отрицательных значений.

Рис. 4

После этого, нажимаем кнопку «Выполнить» и в результате в ячейках В3:Е6 отразиться результат решения задачи.

Рис. 5

Размещено на Allbest.ru