Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Індивідуальна робота з дисципліни

«Економетрія»

На тему: «Дослідження залежності виробництва продукції підприємств від чисельності робітників »

Львів - 2011

План

• 1. Побудова аналітичного групування
• 2. Побудова парної лінійної кореляційно-регресійної моделі
• 3. Економічна інтерпретація параметрів моделі
• 4. Обчислення випадкових відхилень та їх інтерпретація
• 5. Перевірка моделі на наявність автокореляції
• 6. Визначення тісноти зв'язку між змінними
• 7. Побудова спряженої кореляційно-регресійної моделі
• 8. Геометрична інтерпретація спряжених моделей
• 9. Перевірка формули декомпозиції загальної дисперсії результуючої змінної
• 10. Обчислення стандартної похибки моделі
• 11. Побудова довірчих інтервалів для оцінки фактичного значення результуючої змінної, його геометрична інтерпретація
• 12. Розрахунок теоретичного та емпіричного значення відношення детермінації, їх економічна інтерпретація. Обчислення кореляційного відношення
• 13. Обчислення вибіркових похибок параметрів регресії. Побудова довірчих інтервалів для істинних значень параметрів регресії, їх геометрична інтерпретація
• 14. Розрахунок вибіркової похибки моделі. Побудова довірчих інтервалів для середнього прогнозного значення результуючої змінної, його геометрична інтерпретація
• 15. Обчислення похибки індивідуального прогнозу. Побудова довірчих інтервалів для середнього прогнозного значення результуючої змінної, геометрична інтерпретація
• 16. Оцінка коефіцієнта кореляції
• 17. Перевірка статистичної значущості параметрів зв'язку між змінними
• 18. Експрес-діагностика моделі
• 19. Економічна інтерпретація результатів економетричного дослідження та їх використання
• регресійний декомпозиція дисперсія кореляція
• Таблиця 1. Вибіркова сукупність даних про чисельність робітників та виробництво продукції на 50 підприємтсвах.

№ пор. підприємтсва	Чисельність робітників, чол..	Виробництво продукції, млн. крб.
	X	Y
1	270	5
2	280	6
3	210	10
4	320	7,7
5	160	10,6
6	130	8,7
7	170	5,9
8	220	9,4
9	200	7,5
10	100	5,4
11	150	11,4
12	210	5,9
13	200	9,5
14	300	8,6
15	140	5
16	170	6,1
17	130	8,2
18	200	9,5
19	150	4,8
20	100	3,5
21	160	7,6
22	190	6,3
23	210	6,6
24	130	7,5
25	240	10,7
26	250	6,4
27	160	7,3
28	130	4,1
29	140	6
30	150	7,4
31	220	9,9
32	170	7,4
33	100	11
34	170	5,2
35	230	6,2
36	200	6,8
37	280	8,9
38	180	7,1
39	140	5,2
40	202	6,4
41	270	8,5
42	150	9,7
43	143	5,7
44	141	4,7
45	302	5,6
46	110	5,5
47	250	11,9
48	180	6,3
49	108	8,4
50	190	6,5

• Факторна ознака (x)- виробничі основні фонди у млн.крб.
• Результуюча змінна (у) - виробництво продукції у млн. крб.
• 1. Побудова аналітичного групування
• Аналітичне групування - це статистична таблиця в якій вказані інтервали значень факторної ознаки, згідно з якими згруповані одиниці сукупності, а також наведені групові середні значення результуючої змінної.
• Кількість груп аналітичного групування встановимо за формулою Стерджеса:
• k=1+3,322Lg507
• Розмір інтервалу:
• ,
• - розмір сукупності,
• ,- відповідно найменше і найбільше значення факторної ознаки.
• ;
• Побудуємо аналітичне групування:
• Таблиця 2 Аналітичне групування виробництва продукції у млн. крб. за чисельністю робітників, чол. по підприємтсвах.

Номер з/п	чисельність робітників, чол.	Кількість підприємтсв	Середнє значення виробництва продукції, млн. крб.
1	100-131,4	9	6,92
2	131,4-162,8	12	7,12
3	162,8-194,2	8	6,35
4	194,2-225,6	10	8,15
5	225,6-257,0	4	8,8
6	257,0-288,4	4	7,1
7	288,4-320	3	7,3
Разом	50
У середньому	7,31

• Результати аналітичного групування можна подати у графічному вигляді. Для цього у декартовій системі координат по осі абсцис відкладають середини інтервалів значень факторної ознаки, а по осі ординат групові середні значення результуючої змінної. Отримана ламана лінія називається емпіричною лінією регресії.
• Малюнок 1 Емпірична лінія регресії залежності виробництва продукції (млн. крб.) підприємств від чисельності робітників (чол.)
• Основним недоліком аналітичного групування є низька точність. У цьому легко переконатися, змінивши кількість груп.
• На основі отриманих даних не можна зробити чіткого висновку про те, що між виробництвом продукції підприємств та чисельністю робітників існує кореляційна залежність.

2. Побудова парної лінійної кореляційно-регресійної моделі

Будемо вважати, що кореляційна залежність результуючої змінної від факторної ознаки є лінійною і описується рівнянням регресії (узагальнена ПЛКРМ):

- коефіцієнт регресії,

- вільний член регресії.

- випадкова величина, яка містить різноманітні стохастичні збурення, помилки спостереження та вимірювання тощо. Вона не спостерігається

Оскільки ці параметри нам невідомі, то ми повинні здійснити їх оцінку. Щоб одержати оцінки параметрів на основі заданих статистичних даних необхідно побудувати рівняння регресії (вибіркову ПЛКРМ) :

- теоретичне, нормативне або прогнозне значення результуючої змінної.

Емпіричні дані, на підставі яких будують модель це вибірка значень двовимірного випадкового вектора (X;Y). Вважатимемо, що параметри моделі для кожного спостереження залишаються постійними, а змінна епсілон набуває різних значень, проте її неможливо спостерігати.

Щоб одержати оцінки застосуємо метод найменших квадратів, знайшовши мінімум функції:

Тобто знаходимо такі значення параметрів , при яких значення суми квадратів відхилень заданих значень результуючих змінних від відповідних їм нормативних значень найменше. Щоб знайти слід розв'язати систему:

Скористаємося формулами для практичного розрахунку :

Таблиця 3. Вихідні дані та допоміжні розрахунки для обчислення залежності виробництва продукції підприємств (млн.. крб.) від чисельністі робітників (чол.) цих підприємств

№ пор.	чисельність робітників (чол.)	Виробництво продукції, млн. крб.
1	270	5	1350	72900
2	280	6	1680	78400
3	210	10	2100	44100
4	320	7,7	2464	102400
5	160	10,6	1696	25600
6	130	8,7	1131	16900
7	170	5,9	1003	28900
8	220	9,4	2068	48400
9	200	7,5	1500	40000
10	100	5,4	540	10000
11	150	11,4	1710	22500
12	210	5,9	1239	44100
13	200	9,5	1900	40000
14	300	8,6	2580	90000
15	140	5	700	19600
16	170	6,1	1037	28900
17	130	8,2	1066	16900
18	200	9,5	1900	40000
19	150	4,8	720	22500
20	100	3,5	350	10000
21	160	7,6	1216	25600
22	190	6,3	1197	36100
23	210	6,6	1386	44100
24	130	7,5	975	16900
25	240	10,7	2568	57600
26	250	6,4	1600	62500
27	160	7,3	1168	25600
28	130	4,1	533	16900
29	140	6	840	19600
30	150	7,4	1110	22500
31	220	9,9	2178	48400
32	170	7,4	1258	28900
33	100	11	1100	10000
34	170	5,2	884	28900
35	230	6,2	1426	52900
36	200	6,8	1360	40000
37	280	8,9	2492	78400
38	180	7,1	1278	32400
39	140	5,2	728	19600
40	202	6,4	1292,8	40804
41	270	8,5	2295	72900
42	150	9,7	1455	22500
43	143	5,7	815,1	20449
44	141	4,7	662,7	19881
45	302	5,6	1691,2	91204
46	110	5,5	605	12100
47	250	11,9	2975	62500
48	180	6,3	1134	32400
49	108	8,4	907,2	11664
50	190	6,5	1235	36100
сума	9306	365,5	69099	1891502

За методом найменших квадратів маємо:

=6,0587 (млн.. крб.)

= 0,0067 (млн.. крб./робочого)

Рівняння регресії має вигляд:

6,0587+0,0067 х

Областю існування кореляційно-регресійної моделі є інтервал X [100; 320]

Таблиця 4. Теоретичні значення виробництва продукції підприємств (млн.. крб.) від величини чисельності робітників (чол.) цих підприємств.

X
270	7,87394
280	7,94117
210	7,47055
320	8,2101
160	7,13439
130	6,9327
170	7,20162
220	7,53778
200	7,40332
100	6,731
150	7,06716
210	7,47055
200	7,40332
300	8,07564
140	6,99993
170	7,20162
130	6,9327
200	7,40332
150	7,06716
100	6,731
160	7,13439
190	7,33609
210	7,47055
130	6,9327
240	7,67224
250	7,73948
160	7,13439
130	6,9327
140	6,99993
150	7,06716
220	7,53778
170	7,20162
100	6,731
170	7,20162
230	7,60501
200	7,40332
280	7,94117
180	7,26885
140	6,99993
202	7,41676
270	7,87394
150	7,06716
143	7,0201
141	7,00665
302	8,08908
110	6,79823
250	7,73948
180	7,26885
108	6,78479
190	7,33609

Пряма регресії матиме вигляд:

Малюнок 2 Пряма регресії, яка описує залежність виробництва продукції підприємств (млн.. крб.) від чисельність робітників (чол.) цих підприємств.

3. Економічна інтерпретація параметрів моделі

На основі аналізу коефіцієнта регресії = 0,0067 (млн.. крб./робочого) можна зробити висновки:

ь оскільки він відмінний від 0, то на підставі вибірки можна стверджувати, що між виробництвом продукції підприємств та чисельністю робітників (чол.) існує лінійна кореляційна залежність;

ь оскільки значення додатнє, то при збільшенні чисельністі робітників середнє значення виробництва продукції на підприємствах зростає;

ь при збільшенні чисельністі робітників на 1 середнє значення виробництва продукції на підприємствах зросте на 0,0067 млн. крб.;

Вільний член рівняння регресії =6,0587 (млн.. крб.) показує нам ,що при відсутності працівників виробництво продукції у середньому буде становити 6,0587 (млн.. крб.). Слід зауважити, що таке інтерпретування вільного члена є достатньо умовним, оскільки значення факторної ознаки х=0 не входить в область існування моделі. Ми всі добре розуміємо, що без виробничих фондів неможливий випуск продукції.

4. Обчислення випадкових відхилень та їх інтерпретація

Маючи рівняння регресії можна обчислити відхилення фактичних значень результуючої змінної від відповідних теоретичних (нормативних) значень .

Таблиця 5. Випадкові відхилення виробництва продукції (млн. крб.) підприємств

№ п/п	Виробництво продукції (млн. крб.) фактичне значення	Виробництво продукції (млн. крб.)теоретичне значення	Випадкові відхилення, (млн. крб.)
1	5	7,87394	-2,87394
2	6	7,94117	-1,94117
3	10	7,47055	2,52945
4	7,7	8,2101	-0,5101
5	10,6	7,13439	3,46561
6	8,7	6,9327	1,7673
7	5,9	7,20162	-1,30162
8	9,4	7,53778	1,86222
9	7,5	7,40332	0,09668
10	5,4	6,731	-1,331
11	11,4	7,06716	4,33284
12	5,9	7,47055	-1,57055
13	9,5	7,40332	2,09668
14	8,6	8,07564	0,52436
15	5	6,99993	-1,99993
16	6,1	7,20162	-1,10162
17	8,2	6,9327	1,2673
18	9,5	7,40332	2,09668
19	4,8	7,06716	-2,26716
20	3,5	6,731	-3,231
21	7,6	7,13439	0,46561
22	6,3	7,33609	-1,03609
23	6,6	7,47055	-0,87055
24	7,5	6,9327	0,5673
25	10,7	7,67224	3,02776
26	6,4	7,73948	-1,33948
27	7,3	7,13439	0,16561
28	4,1	6,9327	-2,8327
29	6	6,99993	-0,99993
30	7,4	7,06716	0,33284
31	9,9	7,53778	2,36222
32	7,4	7,20162	0,19838
33	11	6,731	4,269
34	5,2	7,20162	-2,00162
35	6,2	7,60501	-1,40501
36	6,8	7,40332	-0,60332
37	8,9	7,94117	0,95883
38	7,1	7,26885	-0,16885
39	5,2	6,99993	-1,79993
40	6,4	7,41676	-1,01676
41	8,5	7,87394	0,62606
42	9,7	7,06716	2,63284
43	5,7	7,0201	-1,3201
44	4,7	7,00665	-2,30665
45	5,6	8,08908	-2,48908
46	5,5	6,79823	-1,29823
47	11,9	7,73948	4,16052
48	6,3	7,26885	-0,96885
49	8,4	6,78479	1,61521
50	6,5	7,33609	-0,83609

На основі таблиці 5 можна стверджувати, що продуктивність праці робітників найгірша на 20 підприємстві (3,231 млн. крб.), а найкраща - на 11 підприємстві (4,33284 млн. крб.), ніж в середньому на підприємствах.

5. Перевірка моделі на наявність автокореляції

Одним з припущень класичного кореляційно-регресійного аналізу є припущення про незалежність випадкових величин .

Для перевірки моделі на наявність автокореляції використаємо коефіцієнт Дарбіна - Уотсона, який обчислимо за формулою:

Його ще називають d-статистика.

Автокореляція визначає зв'язок між значеннями результуючої змінної, які спостерігаються.

Таблиця 6.Допоміжні розрахунки для обчислення DW-критерію Дарбіна-Уотсона

№ п/п	Виробництво продукції (млн. крб.) фактичне значення	Виробництво продукції (млн. крб.) теоретичне значення	Випадкові відхилення, (млн. крб.)
1	5	7,87394	-2,87394			8,25953
2	6	7,94117	-1,94117	0,93277	0,87006	3,76815
3	10	7,47055	2,52945	4,47062	19,9865	6,39812
4	7,7	8,2101	-0,5101	-3,03955	9,23886	0,2602
5	10,6	7,13439	3,46561	3,97571	15,8063	12,0104
6	8,7	6,9327	1,7673	-1,6983	2,88424	3,12337
7	5,9	7,20162	-1,30162	-3,06893	9,41831	1,69422
8	9,4	7,53778	1,86222	3,16384	10,0099	3,46786
9	7,5	7,40332	0,09668	-1,76554	3,11712	0,00935
10	5,4	6,731	-1,331	-1,42768	2,03828	1,77156
11	11,4	7,06716	4,33284	5,66384	32,0791	18,7735
12	5,9	7,47055	-1,57055	-5,90339	34,85	2,46663
13	9,5	7,40332	2,09668	3,66723	13,4486	4,39608
14	8,6	8,07564	0,52436	-1,57232	2,47218	0,27496
15	5	6,99993	-1,99993	-2,52429	6,37205	3,99971
16	6,1	7,20162	-1,10162	0,8983	0,80695	1,21357
17	8,2	6,9327	1,2673	2,36893	5,61182	1,60606
18	9,5	7,40332	2,09668	0,82938	0,68787	4,39608
19	4,8	7,06716	-2,26716	-4,36384	19,0431	5,14001
20	3,5	6,731	-3,231	-0,96384	0,92899	10,4394
21	7,6	7,13439	0,46561	3,69661	13,6649	0,21679
22	6,3	7,33609	-1,03609	-1,5017	2,25509	1,07347
23	6,6	7,47055	-0,87055	0,16554	0,0274	0,75786
24	7,5	6,9327	0,5673	1,43785	2,06742	0,32183
25	10,7	7,67224	3,02776	2,46045	6,05382	9,1673
26	6,4	7,73948	-1,33948	-4,36723	19,0727	1,7942
27	7,3	7,13439	0,16561	1,50509	2,26528	0,02743
28	4,1	6,9327	-2,8327	-2,9983	8,98983	8,02416
29	6	6,99993	-0,99993	1,83277	3,35904	0,99985
30	7,4	7,06716	0,33284	1,33277	1,77627	0,11078
31	9,9	7,53778	2,36222	2,02938	4,11837	5,58008
32	7,4	7,20162	0,19838	-2,16384	4,68221	0,03935
33	11	6,731	4,269	4,07062	16,57	18,2244
34	5,2	7,20162	-2,00162	-6,27062	39,3207	4,00649
35	6,2	7,60501	-1,40501	0,59661	0,35594	1,97406
36	6,8	7,40332	-0,60332	0,8017	0,64272	0,36399
37	8,9	7,94117	0,95883	1,56215	2,4403	0,91935
38	7,1	7,26885	-0,16885	-1,12768	1,27167	0,02851
39	5,2	6,99993	-1,79993	-1,63107	2,6604	3,23974
40	6,4	7,41676	-1,01676	0,78316	0,61334	1,03381
41	8,5	7,87394	0,62606	1,64282	2,69887	0,39195
42	9,7	7,06716	2,63284	2,00678	4,02717	6,93185
43	5,7	7,0201	-1,3201	-3,95294	15,6257	1,74266
44	4,7	7,00665	-2,30665	-0,98655	0,97329	5,32064
45	5,6	8,08908	-2,48908	-0,18243	0,03328	6,19553
46	5,5	6,79823	-1,29823	1,19085	1,41812	1,68541
47	11,9	7,73948	4,16052	5,45876	29,798	17,31
48	6,3	7,26885	-0,96885	-5,12938	26,3105	0,93868
49	8,4	6,78479	1,61521	2,58407	6,67741	2,60892
50	6,5	7,33609	-0,83609	-2,4513	6,00887	0,69904
Всього					415,449	195,197

Отже:

Після обчислення d-статистики задамо рівень значущості =0,05 і за таблицями d-статистики Дарбіна-Уотсона при заданому рівні значущості, кількості факторів k (в нашому випадку k=1) та кількості спостережень n (n=50) знаходять критичні значення статистики.

· якщо емпіричне значення d-статистики попадає в інтервал ( ; 4-), то автокореляції відсутня;

· якщо емпіричне значення d-статистики потрапляє в інтервал (0 ; ), то це свідчить про наявність додатної автокореляції;

· якщо емпіричне значення d-статистики потрапляє в інтервал (4 - ; 4), то наявна відємна автокореляція;

· якщо емпіричне значення d-статистики потрапляє в інтервал [ ; ], [4 - ; 4 - ] то неможливо зробити висновок про наявність чи відсутність автокореляції.

Із таблиць Дарбіна-Уотсона =1,503, =1,585

додатня автокореляція автокореляція відсутня від'ємна автокореляція

01,5031,585 2 2,415 2.497 4

Оскільки емпіричне значення d-статистики потрапляє в інтервал, де автокореляція відсутня, то з довірчою ймовірністю 0,95 можна стверджувати, що у вибірковій сукупності автокореляція відсутня.

Оскільки маємо справу з малою вибіркою, можемо застосувати також критерій фон Неймана:

Критичне значення критерію фон Неймана при рівні значущості =0,05 та ступенях вільності 50 дорівнює =1,65. Оскільки критерій фон Неймана є більшим за критичне значення (2,1718>1,65), то з ймовірністю 0,95 можна стверджувати, що у вибірковій сукупності автокореляція відсутня. Тобто, для оцінювання невідомих параметрів парної кореляційно-регресійної моделі можна використовувати метод найменших квадратів.

6. Визначення тісноти зв'язку між змінними

Коефіцієнти різних рівнянь регресії при неоднакових одиницях вимірювання результуючої або факторної змінної не можна зіставляти чи порівнювати між собою. В той же час на практиці часто виникає необхідність зіставлення двох чи декількох рівнянь регресії й оцінки їх тісноти зв'язку. Таке зіставлення різних рівнянь регресії можливе лише на основі деяких безрозмірних одиниць виміру.

Для лінійної форми зв'язку між результуючою й факторною змінними найчастіше використовують коефіцієнт кореляції, який обчислюють за такою формулою:

.

1. -1 r 1

2. Якщо значення коефіцієнта кореляції дорівнює за модулем одиниці, то це означає, що між результуючою і фактичною змінними є функціональний зв'язок.

3. Якщо коефіцієнт кореляції близький до нуля, то зв'язок між змінними х та у відсутній.

4. Із зростанням абсолютної величини r лінійна залежність між факторами стає більш тісною.

5. При додатних значеннях r із зростанням факторної змінної середнє значення результуючої змінної збільшується, а при від'ємних зменшується.

6. Знак r співпадає із знаком коефіцієнта регресії b₁.

Таблиця 7.Допоміжні розрахунки для обчислення коефіцієнта кореляції r

№ п/п	Чисельність робітників (чол.)	Виробництво продукції, млн. крб.	Xi*Yi	Xi^2	Yi^2
1	270	5	1350	72900	25
2	280	6	1680	78400	36
3	210	10	2100	44100	100
4	320	7,7	2464	102400	59,29
5	160	10,6	1696	25600	112,36
6	130	8,7	1131	16900	75,69
7	170	5,9	1003	28900	34,81
8	220	9,4	2068	48400	88,36
9	200	7,5	1500	40000	56,25
10	100	5,4	540	10000	29,16
11	150	11,4	1710	22500	129,96
12	210	5,9	1239	44100	34,81
13	200	9,5	1900	40000	90,25
14	300	8,6	2580	90000	73,96
15	140	5	700	19600	25
16	170	6,1	1037	28900	37,21
17	130	8,2	1066	16900	67,24
18	200	9,5	1900	40000	90,25
19	150	4,8	720	22500	23,04
20	100	3,5	350	10000	12,25
21	160	7,6	1216	25600	57,76
22	190	6,3	1197	36100	39,69
23	210	6,6	1386	44100	43,56
24	130	7,5	975	16900	56,25
25	240	10,7	2568	57600	114,49
26	250	6,4	1600	62500	40,96
27	160	7,3	1168	25600	53,29
28	130	4,1	533	16900	16,81
29	140	6	840	19600	36
30	150	7,4	1110	22500	54,76
31	220	9,9	2178	48400	98,01
32	170	7,4	1258	28900	54,76
33	100	11	1100	10000	121
34	170	5,2	884	28900	27,04
35	230	6,2	1426	52900	38,44
36	200	6,8	1360	40000	46,24
37	280	8,9	2492	78400	79,21
38	180	7,1	1278	32400	50,41
39	140	5,2	728	19600	27,04
40	202	6,4	1292,8	40804	40,96
41	270	8,5	2295	72900	72,25
42	150	9,7	1455	22500	94,09
43	143	5,7	815,1	20449	32,49
44	141	4,7	662,7	19881	22,09
45	302	5,6	1691,2	91204	31,36
46	110	5,5	605	12100	30,25
47	250	11,9	2975	62500	141,61
48	180	6,3	1134	32400	39,69
49	108	8,4	907,2	11664	70,56
50	190	6,5	1235	36100	42,25
Сума	9306	365,5	69099	1891502	2874,21

У нашому прикладі коефіцієнт кореляції r = 0,1887. Це свідчить про те, що кореляційний зв'язок між виробництвом продукції (млн. крб.) підприємств та чисельністю робітників (чол.) є дуже слабкий.

7. Побудова спряженої кореляційно-регресійної моделі

Якщо за факторну ознаку взяти виробництво продукції підприємтсрв. А за результуючу - чисельність робітників, то можна побудувати рівняння прямої регресії x на y:

,

яке називають спряженим до рівняння регресії y на x.

Параметри і можна знайти декількома способами

· аналогічно параметрам та :

· за допомогою формули:

З цієї формули випливає, що:

Модуль розкриваємо зі знаком коефіцієнта регресії.

визначаємо з формули:

За обома способами отримуємо:

= 5,297 (робочих/ млн. крб.)

= 147,3989 (робочих)

Спряжену кореляційно-регресійну модель можна зобразити так:

=147,3989+5,297y

На основі аналізу коефіцієнта регресії = 5,297 (робочих/ млн. крб.) можна зробити наступні висновки:

· оскільки він відмінний від 0, то на підставі вибірки можна стверджувати,що між виробництвом продукції та чисельністю працівників на підприємтсвах існує лінійна кореляційна залежність;

· оскільки значення додатнє, то при збільшенні виробництва продукції середнє значення чисельністі працівників в середньому зростає;

· при збільшенні виробництва продукції на 1 млн. крб. середнє значення чисельністі працівників на підприємтсвах в середньому зросте на 5 працівників.

Вільний член рівняння регресії показує нам ,що при відсутності виробництва продукції - в середньому чисельність працівників на підприємтсвах буде становити 147 (робочих).

Розрахуємо теоретичні значення величини виробничих фондів на основі спряженої моделі:

Таблиця 8. Теоретичні значення величини виробничих фондів, млн.крб. на основі побудованого спряженого рівняння регресії

№ п/п	Чисельність робітників чол. (фактичні значення)	Чисельність робітників чол. (нормативні значення)
1	270	173,88392
2	280	179,18093
3	210	200,36894
4	320	188,18583
5	160	203,54714
6	130	193,48283
7	170	178,65123
8	220	197,19074
9	200	187,12643
10	100	176,00272
11	150	207,78474
12	210	178,65123
13	200	197,72044
14	300	192,95313
15	140	173,88392
16	170	179,71063
17	130	190,83433
18	200	197,72044
19	150	172,82452
20	100	165,93842
21	160	187,65613
22	190	180,77003
23	210	182,35913
24	130	187,12643
25	240	204,07684
26	250	181,29973
27	160	186,06703
28	130	169,11662
29	140	179,18093
30	150	186,59673
31	220	199,83924
32	170	186,59673
33	100	205,66594
34	170	174,94332
35	230	180,24033
36	200	183,41853
37	280	194,54224
38	180	185,00763
39	140	174,94332
40	202	181,29973
41	270	192,42343
42	150	198,77984
43	143	177,59182
44	141	172,29482
45	302	177,06212
46	110	176,53242
47	250	210,43325
48	180	180,77003
49	108	191,89373
50	190	181,82943

Малюнок 3 Спряжена пряма регресії, яка описує залежність чисельності працівників (чол..) від виробництва продукції (млн. крб.) на підприємтсвах.

8. Геометрична інтерпретація спряжених моделей

1. Якщо кореляційний взаємозв'язок відсутній між змінними х та у спряжені рівняння регресії зображуються двома перпендикулярними прямими, де ;

2. Якщо між змінними х та у існує функціональний зв'язок то спряжені лінії регресії зливаються в одну пряму;

3. Якщо взаємозв'язок між змінними х та у кореляційний то спряжені лінії регресії перетинаються утворюючи між собою гострий кут .

Побудуємо спряжені лінії регресії на одній координатній площині:

Пару взаємно спряжених моделей можна подати як

Або:

Маємо рівняння прямих, що проходять через 2 точки. Точкою їх перетину є точка ()

Малюнок 4. Спряжені лінії регресії

З графічного зображення спряжених ліній регресії можна зробити про те, що кореляційний зв'язок є дуже слабким. Розрахуємо тангенс кута між прямими:



Таке значення тангенса відповідає куту у 60 градусів.

9. Перевірка формули декомпозиції загальної дисперсії результуючої змінної

Рівність називають формулою декомпозиції загального відхилення;

Різницю називають загальним відхиленням результуючої змінної;

Різницю називають відхиленням, яке можна пояснити з огляду на кореляційно-регресійну модель (пояснене відхилення);

Різницю (випадкове відхилення) називають ще непоясненим відхиленням

Аналогічне співвідношення спостерігається для сум квадратів відхилень:

Якщо дану тотожність поділити на кількість елементів у вибірці, то отримаємо наступне відношення (формула декомпозиції дисперсії):

 або

В нашому випадку маємо:

№ п/п	Виробництво продукції (млн. крб.) фактичне значення	Виробництво продукції (млн. крб.)теоретичне значення
1	5	7,87394	5,3361	0,31803	8,25953
2	6	7,94117	1,7161	0,39838	3,76815
3	10	7,47055	7,2361	0,02578	6,39812
4	7,7	8,2101	0,1521	0,81018	0,2602
5	10,6	7,13439	10,8241	0,03084	12,0104
6	8,7	6,9327	1,9321	0,14236	3,12337
7	5,9	7,20162	1,9881	0,01175	1,69422
8	9,4	7,53778	4,3681	0,05188	3,46786
9	7,5	7,40332	0,0361	0,00871	0,00935
10	5,4	6,731	3,6481	0,33524	1,77156
11	11,4	7,06716	16,7281	0,05897	18,7735
12	5,9	7,47055	1,9881	0,02578	2,46663
13	9,5	7,40332	4,7961	0,00871	4,39608
14	8,6	8,07564	1,6641	0,5862	0,27496
15	5	6,99993	5,3361	0,09615	3,99971
16	6,1	7,20162	1,4641	0,01175	1,21357
17	8,2	6,9327	0,7921	0,14236	1,60606
18	9,5	7,40332	4,7961	0,00871	4,39608
19	4,8	7,06716	6,3001	0,05897	5,14001
20	3,5	6,731	14,5161	0,33524	10,4394
21	7,6	7,13439	0,0841	0,03084	0,21679
22	6,3	7,33609	1,0201	0,00068	1,07347
23	6,6	7,47055	0,5041	0,02578	0,75786
24	7,5	6,9327	0,0361	0,14236	0,32183
25	10,7	7,67224	11,4921	0,13122	9,1673
26	6,4	7,73948	0,8281	0,18445	1,7942
27	7,3	7,13439	1E-04	0,03084	0,02743
28	4,1	6,9327	10,3041	0,14236	8,02416
29	6	6,99993	1,7161	0,09615	0,99985
30	7,4	7,06716	0,0081	0,05897	0,11078
31	9,9	7,53778	6,7081	0,05188	5,58008
32	7,4	7,20162	0,0081	0,01175	0,03935
33	11	6,731	13,6161	0,33524	18,2244
34	5,2	7,20162	4,4521	0,01175	4,00649
35	6,2	7,60501	1,2321	0,08703	1,97406
36	6,8	7,40332	0,2601	0,00871	0,36399
37	8,9	7,94117	2,5281	0,39838	0,91935
38	7,1	7,26885	0,0441	0,00169	0,02851
39	5,2	6,99993	4,4521	0,09615	3,23974
40	6,4	7,41676	0,8281	0,0114	1,03381
41	8,5	7,87394	1,4161	0,31803	0,39195
42	9,7	7,06716	5,7121	0,05897	6,93185
43	5,7	7,0201	2,5921	0,08404	1,74266
44	4,7	7,00665	6,8121	0,09202	5,32064
45	5,6	8,08908	2,9241	0,60697	6,19553
46	5,5	6,79823	3,2761	0,26191	1,68541
47	11,9	7,73948	21,0681	0,18445	17,31
48	6,3	7,26885	1,0201	0,00169	0,93868
49	8,4	6,78479	1,1881	0,27585	2,60892
50	6,5	7,33609	0,6561	0,00068	0,69904
		Сума/50	4,0481	0,14416	3,90394

Як бачимо формула декомпозиції загальної дисперсії результуючої змінної справджується доволі точно.

Чим більша пояснена дисперсія і, відповідно, менша непояснена, тим точніше кореляційно-регресійна модель пояснює зв'язок між змінними, і навпаки. В нашому випадку можна зробити висновок, що дана модель не достатньо точно пояснює зв'язок між виробництвом продукції та чисельністю працівників підприємств. Пояснена дисперсія приблизно становить 3,56% від загальної дисперсії, а непояснена відповідно 96,44%

10. Обчислення стандартної похибки моделі

Стандартна похибка оцінки за рівнянням характеризує варіацію фактичних у_і навколо теоретичних , знайдених за допомогою рівняння регресії.

На практиці для обчислення стандартної похибки використовують формулу:

,

Або

.

Стандартна похибка моделі за рівнянням регресії має ті ж одиниці вимірювання, що і результуюча змінна .

Стандартна похибка моделі лежить в межах:

є зміщеною оцінкою дисперсії випадкових відхилень. Незміщеною оцінкою дисперсії випадкових відхилень є варіанса:

= 4,0666 (млн. крб.).

11. Побудова довірчих інтервалів для оцінки фактичного значення результуючої змінної, їх геометрична інтерпретація

Інтервал довір'я оцінки за рівнянням регресії можна побудувати маючи значення граничної похибки оцінки. Гранична похибка оцінки обчислюють так:

-- гранична похибка оцінки,

t_р - імовірнісний коефіцієнт, який при заданих значеннях ймовірностей знаходять за таблицями нормального закону розподілу, якщо обсяг вибірки великий, а якщо кількість спостережень невелика - за таблицями розподілу Стьюдента,

- стандартна похибка оцінки.

t_p =1,677 (користуємося таблицями розподілу Стьюдента), тоді:

Отже довірчий інтервал має вигляд:

Гранична похибка оцінки для окремої задачі є постійною величиною, тому межі довір'я оцінки за рівнянням регресії можна подати у виді лінійних рівнянь:

2,6769 +0,0067 х

9,4405+0,0067 х

Дві прямі на графіку зображуються як лінії, паралельні лінії регресії і віддалені від неї на відстань по вертикалі.

чисельність робітників (чол.)
270	4,49213	7,87394	11,25575
280	4,55936	7,941172	11,32298
210	4,08874	7,470549	10,85236
320	4,82829	8,210099	11,59191
160	3,75258	7,134391	10,5162
130	3,55089	6,932695	10,3145
170	3,81982	7,201622	10,58343
220	4,15597	7,537781	10,91959
200	4,02151	7,403318	10,78512
100	3,34919	6,731	10,11281
150	3,68535	7,067159	10,44897
210	4,08874	7,470549	10,85236
200	4,02151	7,403318	10,78512
300	4,69383	8,075635	11,45744
140	3,61812	6,999927	10,38173
170	3,81982	7,201622	10,58343
130	3,55089	6,932695	10,3145
200	4,02151	7,403318	10,78512
150	3,68535	7,067159	10,44897
100	3,34919	6,731	10,11281
160	3,75258	7,134391	10,5162
190	3,95428	7,336086	10,71789
210	4,08874	7,470549	10,85236
130	3,55089	6,932695	10,3145
240	4,29044	7,672245	11,05405
250	4,35767	7,739476	11,12128
160	3,75258	7,134391	10,5162
130	3,55089	6,932695	10,3145
140	3,61812	6,999927	10,38173
150	3,68535	7,067159	10,44897
220	4,15597	7,537781	10,91959
170	3,81982	7,201622	10,58343
100	3,34919	6,731	10,11281
170	3,81982	7,201622	10,58343
230	4,22321	7,605013	10,98682
200	4,02151	7,403318	10,78512
280	4,55936	7,941172	11,32298
180	3,88705	7,268854	10,65066
140	3,61812	6,999927	10,38173
202	4,03496	7,416764	10,79857
270	4,49213	7,87394	11,25575
150	3,68535	7,067159	10,44897
143	3,63829	7,020097	10,4019
141	3,62484	7,00665	10,38846
302	4,70727	8,089082	11,47089
110	3,41642	6,798232	10,18004
250	4,35767	7,739476	11,12128
180	3,88705	7,268854	10,65066
108	3,40298	6,784786	10,16659
190	3,95428	7,336086	10,71789

Малюнок 6. Геометрична інтерпретація довірчого інтервалу для оцінки за рівнянням регресії

Тобто, з ймовірністю 0,95 можна стверджувати, що фактичні значення результуючої змінної, зумовлене значенням факторної ознаки, має знаходитися між цими прямими.

12. Розрахунок теоретичного та емпіричного значення відношення детермінації, його економічна інтерпретація. Обчислення кореляційного відношення

Стандартна похибка моделі виражається в одиницях вимірювання результуючої змінної. Це робить неможливим порівняння 2-ох чи кількох КРМ на точність, якщо в них результуюча змінна вимірюється різними одиницями.

Для такого порівняння використовується безвимірна характеристика точності моделі і тісноти зв'язку - відношення детермінації.

Відношенням детермінації називають відношення поясненої дисперсії до всієї дисперсії результуючої змінної:

Із формули випливає, що відношення детермінації може приймати значення з інтервалу: .

Відношення детермінації є показником адекватності усіх кореляційно-регресійних моделей. А в нашому випадку (парна ЛКРМ) його називають коефіцієнтом детермінації

Для обчислення похибки моделі використовують пояснену дисперсію , то для обчислення відношення детермінації зручніше використовувати формулу:

Оскільки обсяг вибірки малий, то під час розрахунку використовуємо варіанси

R² =0,0356

Отже, в середньому по підприємствах 3,56% зміни випуску продукції пояснюється зміною чисельності робітників.

Кореляційним відношенням називають арифметичне значення кореня квадратного з відношення детермінації:

Є показником сили зв'язку та адекватності моделі для всіх КРМ. Якщо КРМ є парною лінійною, то кореляційне відношення рівне абсолютному значенню коефіцієнта кореляції.

Оскільки R= 0,1887, то зв'язок між факторною ознакою та результуючою змінною можна вважати дуже слабким.

Загальну дисперсію результуючої змінної можна розкласти на суму поясненої та непоясненої дисперсії, як на основі ПЛКРМ так і на основі аналітичного групування. Формула декомпозиції загальної дисперсії змінної у має вигляд:



- кількість груп аналітичного групування;

- число одиниць сукупності в j-ій групі;

- фактичне значення результуючої змінної для і-тої одиниці сукупності j-тої групи;

- середнє значення результуючої змінної в j-ій групі.

Емпіричним відношенням детермінації називають величину:

Порівняння теоретичного відношення детермінації з емпіричним відношенням детермінації, дає змогу робити висновки про адекватність моделі.

= 3,5423

=0,1599

У нашому випадку емпірична регресія пояснює 15,99% усієї дисперсії результуючої змінної, що на 12,43% більше ніж теоретична пряма регресії, побудована методом найменших квадратів. Це означає, що зв'язок між виробництвом продукції та чисельності робітників на підприємствах для заданої вибіркової сукупності краще описувати нелінійною залежністю (степеневою, показниковою тощо), позаяк форма емпіричної лінії регресії є нелінійною.

13. Обчислення вибіркових похибок параметрів регресії. Побудова довірчих інтервалів для істинних значень параметрів регресії, їх геометрична інтерпретація

Якщо при побудові ПЛКРМ методом найменших квадратів виконуються усі припущення класичного кореляційно-регресійного аналізу, то параметри є величинами, які розподілені за нормальним законом.

Параметри нормального закону розподілу випадкових величин невідомі. Якщо замість дисперсії випадкових величин вз'яти її оцінку , то формули для оцінки дисперсій b₀ i b₁:

Стандартною вибірковою похибкою b₀ ПЛКРМ називають величину:

На підставі стандартної похибки при заданому значенні довірчої ймовірності р можна знайти граничну похибку b₀ та побудувати довірчий інтервал для істинного значення параметра узагальненої ПЛКРМ:

Геометрично довірчий інтервал інтерпретується парою паралельних прямих, між початковими координатами яких з довірчою ймовірністю р знаходиться істинне значення параметра ПЛКРМ:

Стандартною вибірковою похибкою коефіцієнта регресії b₀ ПЛКРМ:

= 0,9822 (млн. крб.)

t_p =2,011 (користуємося таблицями розподілу Стьюдента), тоді:

= 2,011 * 0,9822= 1,9752(млн. крб.)

:

5,89876	7,87394	9,84912
5,96599	7,94117	9,91636
5,49536	7,47055	9,44573
6,23491	8,2101	10,1853
5,15921	7,13439	9,10958
4,95751	6,9327	8,90788
5,22644	7,20162	9,17681
5,5626	7,53778	9,51297
5,42813	7,40332	9,3785
4,75582	6,731	8,70618
5,09197	7,06716	9,04234
5,49536	7,47055	9,44573
5,42813	7,40332	9,3785
6,10045	8,07564	10,0508
5,02474	6,99993	8,97511
5,22644	7,20162	9,17681
4,95751	6,9327	8,90788
5,42813	7,40332	9,3785
5,09197	7,06716	9,04234
4,75582	6,731	8,70618
5,15921	7,13439	9,10958
5,3609	7,33609	9,31127
5,49536	7,47055	9,44573
4,95751	6,9327	8,90788
5,69706	7,67224	9,64743
5,76429	7,73948	9,71466
5,15921	7,13439	9,10958
4,95751	6,9327	8,90788
5,02474	6,99993	8,97511
5,09197	7,06716	9,04234
5,5626	7,53778	9,51297
5,22644	7,20162	9,17681
4,75582	6,731	8,70618
5,22644	7,20162	9,17681
5,62983	7,60501	9,5802
5,42813	7,40332	9,3785
5,96599	7,94117	9,91636
5,29367	7,26885	9,24404
5,02474	6,99993	8,97511
5,44158	7,41676	9,39195
5,89876	7,87394	9,84912
5,09197	7,06716	9,04234
5,04491	7,0201	8,99528
5,03147	7,00665	8,98183
6,1139	8,08908	10,0643
4,82305	6,79823	8,77342
5,76429	7,73948	9,71466
5,29367	7,26885	9,24404
4,8096	6,78479	8,75997
5,3609	7,33609	9,31127



Малюнок 7. Геометрична інтерпретація довірчого інтервалу для істинного значення

З ймовірністю 95% фактичне значення параметра є між початковим ординатами цих прямих

Стандартна похибка оцінки коефіцієнта регресії B₁ обчислюється за формулою:

Гранична похибка оцінки коефіцієнта регресії B₀ обчислюється за формулою:

Геометрично довірчий інтервал інтерпретується парою прямих, що перетинаються у точці :



t_p =2,011 (користуємося таблицями розподілу Стьюдента), тоді:

= 2,011 * 0,0007= 0,0014

З ймовірністю 95% фактичне значення параметра b1 належить цьому проміжку:

:

Малюнок 8. Геометрична інтерпретація довірчого інтервалу для істинного значення

14. Розрахунок вибіркової похибки моделі. Побудова довірчих інтервалів для середнього прогнозного значення результуючої змінної, геометрична інтерпретація

Знаючи вибіркові похибки параметрів моделі, можна знайти вибіркову похибку всієї моделі. Очевидно, що задача знаходження вибіркової похибки усієї регресії рівносильна задачі знаходження вибіркової похибки теоретичного значення результуючої змінної.

Для того, щоб представити це значення, запишемо ПЛКРМ у такому вигляді:

Згідно теореми про дисперсію двох незалежних випадкових величин маємо:

Дисперсія збігається з дисперсією при нульовому значення факторної ознаки, отже, шляхом математичних перетворень отримаємо таку формулу для обчислення стандартної вибіркової похибки моделі:

Стандартна вибіркова похибка моделі відображає похибку вибірки.

Стандартна вибіркова похибка моделі залежить від конкретного значення факторної ознаки і дає оцінку середнього значення результуючої змінної для цього значення факторної ознаки.

Гранична вибіркова похибка моделі

Геометрично, довірчий інтервал інтерпретується смугою між двома гіперболами:

Нехай x= 100 чол.

За даними обчислень:

За таблицями розподілу Стьюдента з рівнем значущості б=0,05 значення імовірнісного коефіцієнта tp=2,011.

Гранична вибіркова похибка моделі дорівнює:

(млн. крб.)

6,731 (млн . крб.)

Довірчий інтервал за заданого рівня імовірності:

6,1448? y ? 7,3172

Малюнок 9. Геометрична інтерпретація довірчого інтервалу для фактичних значень результуючої змінної

15. Обчислення похибки індивідуального прогнозу. Побудова довірчих інтервалів для середнього прогнозного значення результуючої змінної, геометрична інтерпретація

Похибка оцінки індивідуального прогнозу обчислюється за формулою:

На основі стандартної похибки оцінки індивідуального прогнозу при заданому значенні ймовірності р можна визначити граничну похибку індивідуального прогнозу та побудувати довірчий інтервал для індивідуального прогнозу.

Гранична похибка знаходиться як добуток стандартної похибки на заданий імовірнісний коефіцієнт .

Для х = 100 чол.:

За таблицями розподілу Стьюдента з рівнем значущості б=0,05 значення імовірнісного коефіцієнта tp=2,011.

(млн. крб.)

Малюнок 10. Геометрична інтерпретація довірчого інтервалу індивідуального прогнозу

16. Оцінка коефіцієнта кореляції

Всі випадкові величини ми оцінювали до цього часу (випадкові відхилення, параметри b₀ , b₁) мали нормальний закон розподілу (або близький до нього), тому для їхньої оцінки можна було будувати симетричний довірчий інтервал, використовуючи таблиці нормального закону розподілу або розподілу Стьюдента:



Коефіцієнт кореляції r не є нормально розподілена випадкова величина. Областю його допустимих значень є інтервал [-1;1], а нормального закону розподілу(-?;+?).

Особливо сильно розподіл r відрізняється від нормального при тісному зв'язку між змінними, тобто коли r за абсолютною величиною близький до одиниці.

Вибіркове значення коефіцієнта кореляції рівне r=-0.1396. Оскільки значення коефіцієнта кореляції r наближене до 0, тобто зв'язок між змінними слабкий, то його розподіл наближається до нормального. Утакому разі стандартну похибку коефіцієнта кореляції визначають за такою формулою:

Гранична вибіркова похибка Z при заданому значенні довірчої ймовірності p=0,95 становить:

Д_Z=1,677*0,1378= 0,231;

Припустимо, що ж - невідоме значення випадкової величини Z, яке відповідає істинному значення коефіцієнта кореляції с.

Тоді довірчий інтервал невідомого значення ж має вигляд

,

де z_p - значення випадкової величини z, яке згідно з відповідає вибірковому коефіцієнту кореляції r.

Введемо позначення:

z₁=z_r-Д_z z₂=z_r+Д_z

Тоді:

.

0,191-0,231? ж ?0,191+0,231

-0,04? ж ?0,422

Здійснивши обернене перетворення від змінної z до змінної r за формулою:

Отримаємо довірчий інтервал для істинного значення коефіцієнта кореляції с генеральної сукупності

,

-0,0399? с ?0,3976

Отже, з довірчою ймовірністю 0,95 можна стверджувати, що істинне значення коефіцієнта кореляції с генеральної сукупності повинно лежати в межах від -0,0399 до 0,3976.

17. Перевірка статистичної значущості параметрів зв'язку між змінними

Перевірка статистичної значущості параметрів зв'язку між змінними.

Гіпотези - судження про генеральну сукупність. Такі судження стосуються виду невідомого розподілу або параметрів відомого розподілу. Сформульовану гіпотезу будемо називати нульовою (основною) і позначимо . Протилежну називають конкуруючою (альтернативною) і позначають . Обґрунтувати або спростувати гіпотези про генеральну сукупність на основі даних вибірки з цієї сукупності називається статистичним доведенням. Висновки отримані статистичним доведенням здійснюється за такою схемою:

1. на основі даних вибірки формуємо нульову гіпотезу , яку хочемо обґрунтувати або спростувати;

2. відповідно до нульової гіпотези вибираємо критерій (статистику);

Критерій - спеціальна підібрана випадкова величина, точний або наближений розподіл, якої відомий і яка служить для перевірки нульової гіпотези.

Статистика часто має розподіл Гауса (нормальний) або близький до нього, а саме розподіл Стьюдента, розподіл Фішера- Стьюдента, Хі -квадрат.

3. вибираємо рівень значущості - ймовірність відкинути згідно вибраного критерію істинну гіпотезу (має бути малою);

4. знаходимо, як правило, з таблиць критичні значення статистики k_кр= k_б, які відповідають рівню значущості б;

5. на основі даних вибірки обчислюємо емпіричне значення статистики;

6. робимо висновок про правомірність нульової гіпотези

Для коефіцієнта кореляції формулюється нульова гіпотеза, що реальний коефіцієнт кореляції в генеральній сукупності рівний нулю (с =0).

Необхідно дослідити сумісність вибіркового коефіцієнта кореляції з цією гіпотезою.

Перевірка нульової гіпотези: реальний коефіцієнт кореляції в генеральній сукупності рівний нулю (с =0).

Обсяг вибірки є малий, але зв'язок між змінними не є тісним (r=0,3943), , тому перевіримо цю гіпотезу використаємо статистику:

Критичне значення t_а^кр цієї статистики при заданому рівні значущості б=0,01 знаходимо за таблицями розподілу Стьюдента з n-2 ступенями вільності, t_а^кр =2,682.

Оскільки t_ем<t_таб (1.3314<2.682), то нульову гіпотезу приймаємо і з довірчою ймовірністю р=0,99 вважаємо, що коефіцієнт кореляції с генеральної сукупності дорівнює нулю, тобто кореляційна залежність виробництва продукції від чисельності робітників на підприємтсвах є статистично незначущою.

Для коефіцієнта регресії формулюється така нульова гіпотеза: коефіцієнт регресії генеральної сукупності в₁=0.

Щоб перевірити гіпотезу про статистичну значущість коефіцієнта регресії b₁ використаємо t-статистику Стьюдента, емпіричне значення статистики:

Критичні значення t_кр= t_б цієї статистики призаданому рівні значущості б знаходять за таблицями розподілу Стьюдента з (n-2) ступенями вільності.

Якщо t_ем > t_кр, то нульову гіпотезу відхиляють і з довірчою ймовірністю р=1-б вважають, що коефіцієнт кореляції с генеральної сукупності відмінний від 0.

Якщо t_ем ? t_кр, то з ймовірністю р=1-б немає підстав відхиляти нульову гіпотезу.

t_таб=2,682; t_ем>t_таб (9,6083>2.682), отже нульову гіпотезу відхиляємо і з довірчою ймовірністю р=0,99 вважаємо, що в₁ генеральної сукупності не дорівнює нулю, тобто кореляційна залежність виробництва продукції від чисельності робітників на підприємтсвах є статистично значущою.

18. Експрес-діагностика моделі

В деяких випадках використання аналізу соціально-економічних об'єктів можна обмежитись лише простою перевіркою моделі на адекватність без обчислення стандартної похибки, побудови довірчих інтервалів для істинних значень параметрів моделі та прогнозних значень результуючої змінної. Таку просту і швидку перевірку моделі на адекватність називають експрес-діагностикою моделі.

Експрес-діагностику ПЛКРМ можна здійснити за допомогою критерію Фішера за такою схемою:

1. Формуємо нульову гіпотезу H₀: коефіцієнт регресії генеральної сукупності =0:

2. Розраховуємо емпіричне значення F-критерію за формулою:

3. З таблиці F-розподілу при заданому рівні значущості б=0,01 знаходимо критичне значення F_кр=7,077.

Оскільки F_e < F_кр, то H₀ приймаємо і з довірчою ймовірністю 0,99 стверджуємо, що ПЛКРМ не відповідає дійсності, тобто не описує адекватно кореляційну залежність виробництва продукції від чисельності робітників на підприємтсвах.

19. Економічна інтерпретація результатів економетричного дослідження та їх використання

Метою економетричного дослідження було визначити наявність і форму кореляційного зв'язку між виробництвом продукції та чисельністю робітників на підприємтсвах.

Методом найменших квадратів була побудована наступна парна лінійна кореляційно-регресійна модель, яка описує залежність виробництва продукції від чисельності робітників на підприємтсвах:

6,0587+0,0067 х

Її областю існування є інтервал : .

За критерієм Дарбіна-Уотсона з довірчою ймовірністю p=0,95 та за критерієм фон Неймана з тією ж самою довірчою ймовірністю стверджуємо що у вибірковій сукупності автокореляція відсутня, і для оцінки невідомих параметрів ПЛКРМ можна використовувати метод найменших квадратів, за допомогою якого отримано ефективні оцінки.

Про те що кореляційна залежність існує можна стверджувати, тому що:

1) коефіцієнт регресії b₁ (b₁=0,0067) відмінний від нуля;

2) відмінний від нуля коефіцієнт кореляції: r=0,1887;

3) кут між спряженими лініями регресії не рівний 90° (ц=60°);

4) пояснена дисперсія відмінна від нуля, але в нашому випадку є дуже малою і становить всого 3,56 % від загальної;

5) відношення детермінації R²=0,0356 показує, що в середньому по підприємствах 3,56% зміни випуску продукції пояснюється зміною чисельності робітників;

6) порівняння теоретичного відношення детермінації (3,56%) з емпіричним відношенням детермінації (15,99%) дало змогу зробити висновок, що зв'язок між виробництвом продукції та чисельності робітників на підприємствах для заданої вибіркової сукупності краще описувати нелінійною залежністю (степеневою, показниковою тощо), позаяк форма емпіричної лінії регресії є нелінійною;

7) оцінка істинного значення коефіцієнта кореляції показала, що з довірчою ймовірністю 0,95 можна стверджувати, що істинне значення коефіцієнта кореляції с генеральної сукупності повинно лежати в межах від -0,0399 до 0,3976, а оскільки воно відмінне від нуля то це свідчить про існування кореляційного зв'язку;

На основі аналізу коефіцієнта регресії = 0,0067 (млн.. крб./робочого) можна зробити висновки:

ь оскільки він відмінний від 0, то на підставі вибірки можна стверджувати, що між виробництвом продукції підприємств та чисельністю робітників (чол.) існує лінійна кореляційна залежність;

ь оскільки значення додатнє, то при збільшенні чисельністі робітників середнє значення виробництва продукції на підприємствах зростає;

ь при збільшенні чисельністі робітників на 1 середнє значення виробництва продукції на підприємствах зросте на 0,0067 млн. крб.;

Вільний член рівняння регресії =6,0587 (млн.. крб.) показує нам ,що при відсутності працівників виробництво продукції у середньому буде становити 6,0587 (млн.. крб.).

Про правильність проведених обчислень під час побудови моделі свідчить рівність коефіцієнта кореляції обчисленого на основі даних вибірки з коефіцієнтом обчисленим за формулою r= (корінь з добутку коефіцієнтів регресії спряжених моделей) та кореляційним відношенням.

Істинні значення параметрів моделі з довірчою ймовірністю р=0,95 лежать в таких межах:

Гранична вибіркова похибка моделі з довірчою ймовірністю р=0,95 становить 4,0666 (млн. крб.) тобто з ймовірністю 0,95 фактичне значення виробництва продукції за кожного значення чисельності робітників не повинно відхилятися більше як на цю величину.

Виходячи з побудованої моделі можна говорити, що зв'язок між виробництвом продукції (млн. крб.) підприємств та чисельністю робітників (чол.) існує, але він є слабким. Виробництво продукції може залежати від багатьох інших чинників. Тому для моделювання цієї ситуації варто було б скористатися багатофакторною кореляційно-регресійною моделлю.

Размещено на Allbest.ru