Построение регрессионных моделей

Размещено на http://www.allbest.ru/

МНИИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра теории рынка

Расчетно-графическая работа

по дисциплине «Эконометрика»

Вариант 6

Выполнил

Студент Цыганков А.А

Факультет бизнеса

Группа ВиЗО 101

Преподаватель Щеколдин В.Ю

Новосибирск 2013



Контрольная работа по эконометрике

Робинзон Крузо живет на необитаемом острове. Каждый раз, идя на охоту на уток, Робинзон берет с собой связку бумерангов и флягу с пивом собственного приготовления, поскольку в жарких условиях тропиков ему необходимо утолять жажду. При этом он отмечает, какое количество уток он убил (в штуках, y), какая была средняя температура (в градусах Цельсия, x₁) в день охоты и сколько при этом выпил пива(в процентах от объема фляги, x₂)

Цель: Построение анализа и моделей регрессии

Исходные данные нанести на координатную плоскость и сделать предварительное заключение о наличии (отсутствии) связи между факторами X_1, Х₂ и Y

ВАРИАНТ 5
	X2	Y	X1
дни	пиво	утки	темп
1	43	6	31
2	0	11	27
3	31	9	30
4	4	8	29
5	78	5	36
6	45	6	31
7	41	5	31
8	20	7	27
9	70	3	37
10	33	6	28
11	96	3	36
12	38	6	31
13	94	4	35
14	73	4	37
15	41	6	32
16	69	5	36
17	38	7	29
18	24	9	29
19	89	3	36
20	70	5	34
21	84	3	34
22	20	8	30
23	65	3	33
24	62	6	34
25	48	7	33

X₁ - температура в градусах Цельсия Y - количество убитых уток в штуках

X_1ср=32,24Y_ср=5,8

Согласно графическому представлению данных можно предположить, что корреляционная связь существует. Эта связь близка к линейной, прямая (отрицательная). То есть, при увеличении температуры в среднем, количество убитых уток в среднем уменьшается.

корреляция регрессионный уравнение



Х₂ - выпито пива в процентах от объёма фляги Y- количество убитых уток в штуках

Х_2ср= 51,04 Y_ср=5,8

Согласно графическому представлению данных можно предположить, что корреляционная связь существует. Эта связь близка к линейной, прямая (отрицательная). То есть, при увеличении потребляемого пива в среднем, число подбитых уток, в среднем, уменьшается.

X₁ - температура в градусах Цельсия Х₂ - выпито пива в процентах от объёма фляги

X_1ср=32,24Х_2ср= 51,04

Согласно графическому представлению данных можно предположить, что корреляционная связь существует. Эта связь близка к линейной, прямая (положительная). То есть, при увеличении температуры в среднем, количество потребляемого пива в среднем увеличивается.

Рассчитать парный коэффициент корреляции между всеми парами факторов и проверить их на значимость. Сделать выводы о тесноте связи между факторами.

, где.

, это означает, что зависимость между Х₁и X₂ - прямая, близка к линейной.

Используя t-критерий Стьюдента, проверим значимость полученного коэффициента корреляции.

Для этого проверим выполнение гипотезы:

H₀: с_xy= 0,

H₁: с_xy? 0.

t = =9,95

t_кр= 2,069 (при б = 0,05-вероятность ошибки) и N-2=23 (степенях свободы) - из таблицы распределения Стъюдента.

По t-критерию Стьюдента, так как ,то гипотеза H₀ отвергается, значит полученный нами коэффициент корреляции значимый, т.е. с вероятностью 1- б =0,95 можно утверждать о наличии линейной связи между потребляемым пивом Х₂ и увеличением температуры в общем Х₁.

, где.

, это означает, что зависимость между Х₁и Y - прямая, близка к линейной.

Используя t-критерий Стьюдента, проверим значимость полученного коэффициента корреляции.

Для этого проверим выполнение гипотезы:

H₀: с_xy= 0,

H₁: с_xy? 0.

t = = -6,21

t_кр= 2,069 (при б = 0,05-вероятность ошибки) и N-2=23 (степенях свободы) - из таблицы распределения Стъюдента.

По t-критерию Стьюдента, так как ,то гипотеза H₀ отвергается, значит полученный нами коэффициент корреляции значимый, т.е. с вероятностью 1- б =0,95 можно утверждать о наличии линейной связи между убитыми утками Y и уменьшением температуры в общем Х₁.

, где.

, это означает, что зависимость между Х₂и Y - прямая, близка к линейной.

Используя t-критерий Стьюдента, проверим значимость полученного коэффициента корреляции.

Для этого проверим выполнение гипотезы:

H₀: с_xy= 0,

H₁: с_xy? 0.

t = = -8,82

t_кр= 2,069 (при б = 0,05-вероятность ошибки) и N-2=23 (степенях свободы) - из таблицы распределения Стъюдента.

По t-критерию Стьюдента, так как ,то гипотеза H₀ отвергается, значит полученный нами коэффициент корреляции значимый, т.е. с вероятностью 1- б =0,95 можно утверждать о наличии линейной связи между потребляемого пива Х₂ и уменьшением количества убитых уток Y.

Построить три регрессионных модели.

y=и₀₁+и₁₁x₁+е ; y=и₀₂+и₁₂x₂+е; y=и₀+и₁x₁+и₂x₂+е;

1. Найдем оценки неизвестных параметров для: y= и₀₁+и₁₁x₁+е

В результате:

= -05,3542

23,06186

Следовательно:

Т.к. параметр >0, положительный знак параметра означает, что относительное количество убитых уток увеличивается при относительном уменьшении температуры. Параметр и₀₁ не несет никакого экономического содержания.

Величина параметра показывает среднее изменение количества убитых уток изменением регрессора на единицу. Т.к. - отрицательное значение говорит о том, что с увеличением регрессора x₁ отклик уменьшается. При увеличении температуры на 1,8 градус количество убитых уток уменьшится в среднем на 1 штуку.

2. Найдем оценки неизвестных параметров для:

y = и₀₂+и₁₂x₂+е

В результате:

= -0,06903

9,3233

y = 9,3233 -0,06903₂+ е

Т.к. параметр >0, положительный знак параметра означает, что относительное количество убитых уток увеличится при уменьшении выпитого пива.

Т.к. - отрицательно значение говорит о том, что с увеличением регрессора х₂ отклик уменьшается. При увеличении, в среднем, выпитого пива на 14% количество убитых уток уменьшится на 1.

3. Найдем оценки неизвестных параметров для:y = и₀+и₁x₁+и₂x₂+е

Для удобства вычислений введем матричные обозначения:

- вектор значений отклика;

- вектор неизвестных параметров модели;

- вектор случайных ошибок.

,

Вектор оценок неизвестных параметров может быть найден следующим образом: .

Уравнение множественной регрессии имеет следующий вид:

y = 8,1104 + 0,032219х₁ -0,07385₂+ е

. Так как .

Проверит значимость параметров уравнений по критерию Стьюдента. Сформулировать выводы

SQ1^=	0,587803409	t1=	14,27839952	гипотеза отвергается
SQ2^=	0,007961651	t2=	-0,4027568	гипотеза не отвергается
S^2=	0,043478261

Вычислить коэффициенты детерминации, проверить регрессионные уравнения на значимость по критерию Фишера. Уравнение множественной регрессии проанализировать на предмет наличия мультиколлинеарности. Сделать выводы, выбрать наилучшее уравнение регрессии.

Для y=и₀₁+и₁₁x₁+е =

Разложим полную сумму квадратов отклонений значений отклика от его среднего на две части: объясненную и остаточную.

TSS = RSS + ESS, где

- полная сумма квадратов,

- объясненная сумма квадратов,

- остаточная сумма квадратов.

После необходимых расчетов получены следующие результаты:

TSS=ESS+RSS

130,24=41,03824+79,20176

Чтобы дать более полную оценку полученному результату, найдем коэффициент детерминации, показывающий долю объясненной дисперсии в общей дисперсии зависимой переменной.

Полученное значение коэффициента детерминации говорит о том, что уравнение регрессии объясняет 65,9% вариации результативного признака. Однако по одному значению коэффициента нельзя точно утверждать, что такое значение означает достаточную пригодность уравнения регрессии, поэтому проверим его на значимость по критерию Фишера на 5%-ном уровне значимости.

Вычислим F-статистику по формуле:

= 44,39

, F_кр= (б ,1, N-2)

Поскольку статистика превышает критическое значение, то гипотеза отвергается, что говорит о значимости регрессионного уравнения.

Таким образом, проведенный анализ свидетельствует об адекватности составленной модели и возможности ее дальнейшего использования.

После необходимых расчетов получены следующие результаты:

Поскольку остаточная сумма квадратов значительно меньше объясненной, то линия регрессии достаточно хорошо аппроксимирует исходные данные, уравнение регрессии следует рекомендовать для дальнейшего использования.

Чтобы дать более полную оценку полученному результату, найдем коэффициент детерминации, показывающий долю объясненной дисперсии в общей дисперсии зависимой переменной.

Полученное значение коэффициента детерминации говорит о том, что уравнение регрессии объясняет 79,1% вариации результативного признака. Однако по одному значению коэффициента нельзя точно утверждать, что такое значение означает достаточную пригодность уравнения регрессии, поэтому проверим его на значимость по критерию Фишера на 5%-ном уровне значимости.

Вычислим F-статистику по формуле:

= 87,160

, F_кр= (б ,1, N-2)

Поскольку статистика превышает критическое значение, то гипотеза отвергается, что говорит о значимости регрессионного уравнения.

Таким образом, проведенный анализ свидетельствует об адекватности составленной модели и возможности ее дальнейшего использования.

Для y=и₀+и₁x₁+и₂x₂+е = y = 8,1104 + 0,032219х₁ -0,07385₂+ е

Коэффициент детерминации, показывающий долю объясненной дисперсии в общей дисперсии зависимой переменной, находится по формуле:

R²=1 - -

Разложим полную сумму квадратов отклонений значений отклика от его среднего на две части: объясненную и остаточную.

TSS = RSS + ESS.

= - полная сумма квадратов,

= Y^TY-2И^TX^TY+И^TX^TXИ - остаточная сумма квадратов.

Полученное значение коэффициента детерминации говорит о том, что уравнение регрессии объясняет 74,6% вариации результативного признака. В данном случае нельзя точно утверждать, что такое значение коэффициента детерминации означает достаточную пригодность уравнения регрессии, поэтому проверим его на значимость по критерию Фишера на 5%-ном уровне значимости.

Вычислим F-статистику по формуле:

F=32,38

Найдем критическое значение из таблицы распределения Фишера.

Статистика превышает критическое значение, значит, гипотеза отвергается, что говорит о значимости регрессионного уравнения. Таким образом, проведенный анализ свидетельствует об адекватности составленной модели и возможности ее дальнейшего использования.

По результатам проведенного анализа мы получили, что рассматриваемое уравнение

y = 8,1104 + 0,032219х₁ -0,07385₂+ е

является сильно значимым (R²=74,6%), но не все оценки параметровданного уравненияявляются значимыми, что является одним из характерных признаков мультиколлениарности, то в данном случае можно предположить,что в данном уравнении присутствуетмультиколлениарность.

При наличии мультиколлениарности дать рекомендации по способам ее устранения.

Рассмотрим уравнение

y = 8,1104 + 0,032219х₁ -0,07385₂+ е

Выявим тот фактор, который в большей степени оказывает влияние на общее время уборки камней с участка (отклик).

Построим матрицу межфакторных корреляций.

Для этого найдем парные коэффициенты корреляции: , , .

Парный коэффициент корреляции вычисляется по следующей формуле:

,

где; ; ; ;

.

Итак, матрица межфакторных корреляций будет иметь вид:

	у	х1	х2
у	1	0,791786	0,87851
х1	0,791786	1	0,99493
х2	0,87851	0,90078	1

|R|=0,02372

По величине определителя матрицы межфакторных корреляций можно судить о степени мультиколлинеарности. Чем ближе к 1, тем слабее мультиколлинерность. Степень близости к 1 можно проверить помощью критерия .

H₀:=1

Считаем статистику:

m=3, N=25

S>, H₀с вероятностью 0,95 отвергается, что свидетельствует о наличии мультиколлинеарности в этом уравнении.

Избавимся от мультиколлинеарности.

Сравним

=0,791786

= 0,87851

Таким образом, так как ||>||, следовательно, из модели следует исключить фактор х₁, так как он в меньшей степени (по сравнению с фактором х₂) связан с откликом. Значит его исключение из рассматриваемой регрессионной модели приведет к ослаблению эффекта мультиколлениарности.

Выберем наилучшее регрессионное уравнение.

Для этого проанализируем коэффициенты детерминации, показывающие долю объясненной дисперсии в общей дисперсии зависимой переменой.

Наибольший коэффициент детерминации мы можем наблюдать в уравнении 2, коэффициент детерминации близок к единице. Кроме того само уравнение, и оценки его неизвестных параметров являются значимыми. Следовательно, это уравнение является наилучшим для дальнейшего анализа.

С помощью метода построения модели в стандартизованных переменных проранжировать факторы по степени влияния на отклик, сделать выводы.

(y-yсре)/СКО	(x1-x1сре)/СКО	(x2-x2сре)/СКО
0	-0,251142318	-0,17984987
2,626424642	-1,506853907	-1,875802595
1,575854785	-0,565070215	-0,653139003
1,050569857	-0,878998112	-1,71803955
-0,525284928	1,318497168	1,200576766
0	-0,251142318	-0,100968348
-0,525284928	-0,251142318	-0,258731392
0,525284928	-1,506853907	-1,086987374
-1,575854785	1,632425065	0,885050677
0	-1,192926009	-0,574257481
-1,575854785	1,318497168	1,910510464
0	-0,251142318	-0,377053675
-1,050569857	1,004569271	1,831628942
-1,050569857	1,632425065	1,003372961
0	0,062785579	-0,258731392
-0,525284928	1,318497168	0,845609916
0,525284928	-0,878998112	-0,377053675
1,575854785	-0,878998112	-0,92922433
-1,575854785	1,318497168	1,634425137
-0,525284928	0,690641374	0,885050677
-1,575854785	0,690641374	1,437221332
1,050569857	-0,565070215	-1,086987374
-1,575854785	0,376713477	0,687846872
0	0,690641374	0,569524589
0,525284928	0,376713477	0,017353935

Q = 0,0001 На -0,0001 один фактор больше, чем другой

Изобразить в одной системе координат исходные данные, наилучшую линию регрессии, 95% доверительный интервал для значений отклика, проанализировать полученный график.

где - критическое значение, найденное по таблицам квантилей распределения Стъюдента.

Для оценки точности прогноза необходимо вычислить стандартную ошибку прогноза

2,069

Данные расчетов представим в виде следующей таблицы

Ymin	Ymax
6,305995165	6,480990892
9,801574605	10,151839
7,287996379	7,490565454
9,420783733	9,748980554
3,284019927	3,544465049
6,14685974	6,320176093
6,46467474	6,642261541
8,253495114	8,500416248
3,905895699	4,130515739
7,203101754	7,39925872
1,796874683	2,152058277
6,701883569	6,884978048
1,998361014	2,342396603
3,659547475	3,896938628
6,428737523	6,606324324
4,023844869	4,244416114
6,773758001	6,95685248
7,870489753	8,099772295
2,376019847	2,979
4,013707348	2,979
2,861006091	3,136
8,145683465	3,136
4,459102197	3,212
-0,09789612	3,212
-0,08628050	3,392

Сделать общие выводы по результатам проделанной работы

Вычислив оценки неизвестных параметров по методу наименьших квадратов мы получили следующие результаты:

Для уравнения

Т.к. параметр >0, положительный знак параметра означает, что относительное количество убитых уток увеличивается при относительном уменьшении температуры. Параметр и₀₁ не несет никакого экономического содержания.

Величина параметра показывает среднее изменение количества убитых уток изменением регрессора на единицу. Т.к. - отрицательное значение говорит о том, что с увеличением регрессора x₁ отклик уменьшается. При увеличении температуры на 1,8 градус количество убитых уток уменьшится в среднем на 1 штуку.

Для уравнения

y = 9,3233 -0,06903₂+ е

Т.к. параметр >0, положительный знак параметра означает, что относительное количество убитых уток увеличится при уменьшении выпитого пива.

Т.к. - отрицательно значение говорит о том, что с увеличением регрессора х₂ отклик уменьшается. При увеличении, в среднем, выпитого пива на 14% количество убитых уток уменьшится на 1.

Для уравнения

y = 8,1104 + 0,032219х₁ -0,07385₂+ е

. Так как .

Если в среднем он выпит 8л пива и при увеличении в среднем температуры на 1 градус, он будет убивать в среднем на 1 утку меньше.

Мы вычисляли коэффициенты детерминации, проверяли регрессионные уравнения на значимость по критерию Фишера.Также мы проанализировали уравнение множественной регрессии на предмет наличия мультиколлинеарности.

1)

Гипотеза отвергается, что говорит о значимости регрессионного уравнения. Таким образом, проведенный анализ свидетельствует об адекватности составленной модели и возможности ее дальнейшего использования.

2) y = 9,3233 -0,06903₂+ е

Гипотеза отвергается, что говорит о значимости регрессионного уравнения. Таким образом, проведенный анализ свидетельствует об адекватности составленной модели и возможности ее дальнейшего использования.

3)y = 8,1104 + 0,032219х₁ -0,07385₂+ е

Гипотеза не отвергается, что говорит о незначимости регрессионного уравнения. По результатам проведенного анализа мы получили, что рассматриваемое уравнение является незначимым (R²=74,6%), что является одним из характерных признаков мультиколлениарности, в данном случае можно предположить, что в данном уравнении присутствует мультиколлениарность.

- Для устранения мультиколлинеарности рекомендуется из модели следует исключить фактор х₁, так как он в меньшей степени (по сравнению с фактором х₂) связан с откликом. Значит его исключение из рассматриваемой регрессионной модели приведет к ослаблению эффекта мультиколлениарности.

В результате наилучшим уравнением признаем второе уравнение:

y = 9,3233 -0,06903₂+ е

Исходя из графика, построенного для данного уравнения, который отображает исходные данные, линию регрессионного уравнения и 95%-ный доверительный интервал для данного уравнения, построенного на всем диапазоне исходных данных, можно сделать вывод о том, что построенная нами модель зависимости убитых уток от выпитого пива достаточно точно описывает исходные данные.

Размещено на Аllbest.ru