Об’єктно-орієнтоване моделювання контактних задач механіки у пружно-пластичній постановці

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ЗАПОРІЗЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата математичних наук

ОБ'ЄКТНО-ОРІЄНТОВАНЕ МОДЕЛЮВАННЯ КОНТАКТНИХ ЗАДАЧ МЕХАНІКИ У ПРУЖНО-ПЛАСТИЧНІЙ ПОСТАНОВЦІ

Спеціальність: Математичне моделювання та обчислювальні методи

Поліщук Ірина Борисівна

Запоріжжя, 2007 рік

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Для вирішення багатьох задач у машинобудуванні, будівництві, енергетиці, геомеханіці вирішального значення набуває моделювання механічного контакту і деформацій з урахуванням пластичності тіл, що контактують. Дослідження в цьому напрямку створюють теоретичну базу для вивчення контактних явищ, які зумовлені наявністю різних класів фізико-механічних особливостей. Це дозволяє виділити параметри, які мають значний вплив на контактну поведінку тіл, створюють перспективи для прогнозування міцності й жорсткості конструкцій. Необхідність урахування фізичної нелінійності матеріалу часто виникає при проектуванні інженерно-технічних об'єктів, що експлуатуються в умовах великих навантажень, які призводять до пластичної деформації окремих елементів конструкції.

Метод скінченних елементів досить широко застосовується для розв'язання контактних задач, але не всі механічні аспекти цих задач є достатньо дослідженими. Особливість застосування методу скінченних елементів при розв'язанні контактних задач пов'язана з дослідженням можливих ускладнень, що виникають у процесі розв'язання задачі. Це такі проблеми як урахування граничних умов, наявності тертя, перевірка умов непроникнення і незчеплення тощо.

Теоретичним підґрунтям для дослідження цієї проблеми є теорія контактних задач механіки деформівного твердого тіла. Суттєвий внесок у розвиток методів розв'язання контактних задач внесли роботи В.М. Александрова, Є.В. Бінкевича, Л.О. Галіна, Г. Герца, В.С. Гудрамовича, В.І. Кузьменко, О.І. Лур'є, В.І. Мосаковського, В.Л. Рвачова, А.М. Підгорного, І.Я. Штаєрмана та інших. Ґрунтовно досліджувалися проблеми чисельного розв'язання контактних та інших задач теорії пружності такими вченими, як Д.В. Вайнберг, О.С. Кравчук, В.В. Киричевський, В.І. Пожуєв, А.К. Приварников, Л.О. Розін, В.О. Толок та інші. Теоретичні та практичні аспекти розв'язання задач теорії пластичності описані в роботах Н.П. Малініна, О.А. Ільюшина, В.І. Кузьменка, М.С. Можаровського та інших.

Об'єктно-орієнтована методологія моделювання дозволяє найбільш ефективно і якісно здійснити декомпозицію механічної системи великої кількості контактно взаємодіючих тіл та представити її у вигляді деякої сукупності взаємодіючих між собою об'єктів.

Саме об'єктно-орієнтований підхід до моделювання і програмування дозволяє створити високопродуктивну систему автоматизації розв'язання контактних задач механіки у пружно-пластичній постановці. Різні аспекти автоматизації проектування задач механіки за допомогою комп'ютерної техніки представлені в роботах О.С. Городецького, В.О. Толока, В.В. Киричевського, С.І. Гоменюка та інших.

Очевидно, що успішне вирішення складних контактних задач з урахуванням пластичності вимагає розробки спеціальних моделей і методів. Таким чином, розробка ефективних засобів розв'язання контактних задач з урахуванням пластичності є актуальною проблемою механіки деформівного твердого тіла.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Тема дисертаційної роботи та отримані результати відповідають основним напрямам наукових досліджень, що виконуються у Запорізькому національному університеті.

Дисертаційну роботу виконано в рамках держбюджетної теми №0103U000721 “Розробка чисельних методів і інструментальних засобів для математичного моделювання статичних і динамічних процесів у складних механічних системах”.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є розробка математичної моделі і відповідного програмного забезпечення, що дозволяє автоматизувати математичне моделювання і аналіз контактних задач механіки деформівного твердого тіла у пружно-пластичній постановці.

Для досягнення окресленої мети необхідно розв'язати такі задачі:

- розробити об'єктно-орієнтовану модель і методологію її застосування, що дозволить автоматизувати розв'язання контактних задач з урахуванням фізичної не лінійності;

- програмно реалізувати систему автоматизації розв'язання контактних задач з урахуванням фізичної не лінійності;

- розв'язати низку тестових і прикладних задач із визначення напружено-деформованого стану конструкцій.

Об'єктом дослідження є плоскі і просторові контактні задачі механіки у пружно-пластичній постановці.

Предмет дослідження складає процес автоматизації аналізу контактних задач механіки у пружно-пластичній постановці, який включає моделювання і чисельне розв'язання задач механіки деформівного твердого тіла, а також аналіз напружено-деформованого стану контактно взаємодіючих інженерних конструкцій і споруд з урахуванням фізичної нелінійності.

Методи дослідження. У процесі розв'язання поставлених задач використовувалися методи й принципи системного і об'єктно-орієнтованого аналізу, які дозволили виконати декомпозицію абстрактної механічної системи контактно взаємодіючих тіл на об'єкти, що її складають, та зв'язки між ними, а також запропонувати їх формальний опис, методи дослідження напружено-деформованого стану твердого тіла, методи математичного моделювання і обчислювальної математики, що дозволили побудувати розрахункову схему абстрактної механічної контактної взаємодії, методи прикладного й системного програмування, які дозволили програмно реалізувати систему автоматизації розв'язання контактних задач у фізично нелінійній постановці, методи експериментальних досліджень.

Наукова новизна одержаних результатів.

Результат дослідження полягає у вирішенні важливої науково-технічної проблеми автоматизації моделювання контактних задач у пружно-пластичній постановці.

У результаті досліджень одержані такі нові наукові результати:

1. Вперше запропонована, досліджена і програмно реалізована об'єктно-орієнтована модель, яка дозволяє автоматизувати математичне моделювання й чисельний аналіз контактної задачі у пружно-пластичній постановці, що дає можливість формально описувати рівняння відповідно до різних теорій пластичності й виконувати на їх основі чисельний розрахунок;

2. Дістали подальший розвиток математична модель і методика аналізу контактних задач у пружно-пластичній постановці на основі об'єктно-орієнтованого підходу і варіаційних принципів, що дозволило виконувати розрахунок пружно-пластичних контактних задач у різних постановках за методом скінченних елементів;

3. Дістала подальший розвиток універсальна система автоматизації проектувальних робіт в машинобудуванні і будівництві FORTU-FEM, що дозволило застосовувати її для аналізу пружно-пластичних контактних задач;

4. Вперше за допомогою системи FORTU-FEM отримані чисельні результати розв'язання деяких типів контактних задач у пружно-пластичній постановці.

Практичне значення отриманих результатів. Розроблена методика, алгоритми і об'єктно-орієнтовані моделі даних дозволили вдосконалити інструментальну систему автоматизації проектування складних інженерних конструкцій і споруд FORTU-FEM, що забезпечило ефективне чисельне розв'язання пружно-пластичних контактних задач.

Система впроваджена в навчальний процес у Запорізькому національному університеті й Запорізькій державній інженерній академії. Акти про виконання всіх робіт наведені в додатках.

Практична цінність розробленої об'єктно-орієнтованої моделі виявляється в підвищенні ефективності розв'язання контактних задач механіки в пружно-пластичній постановці.

Особистий внесок здобувача. Усі основні результати, які виносяться на захист, отримані автором самостійно. У роботах, виконаних у співавторстві здобувачу належать:

- розробка методів формалізації опису задач механіки;

- розробка алгоритмів застосування методу скінченних елементів для розв'язання контактних задач у пружно-пластичній постановці;

- узагальнення задачі Герца на пружно-пластичний випадок;

- розробка методів формалізації опису контактних задач у пружно-пластичній постановці;

- адаптація САПР FORTU-FEM для розв'язання пружно-пластичних контактних задач;

- розробка об'єктно-орієнтованої моделі контактної задачі в пружно-пластичній постановці.

Апробація результатів дисертації.

Основні положення написаної дисертаційної роботи доповідалися також й дістали схвалення на таких науково-технічних конференціях і семінарах:

- на міжнародній науково-технічній конференції “Інтегровані комп'ютерні технології в машинобудуванні ІКТМ'2005” (Харківський національний аерокосмічний університет “Харківський авіаційний інститут”, м. Харків, 2005 р.);

- на міжнародній конференції “XXXIV Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics"” (Росія, м. Санкт-Петербург, 2006 р.);

- на міжнародній конференції “Актуальні проблеми прикладної математики і механіки” (Інститут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України, м. Харків, 2006 р.);

- на щорічних підсумкових наукових конференціях викладачів і студентів Запорізького національного університету (2003-2006 рр.);

- на науково-практичних конференціях і наукових семінарах кафедр математичного моделювання, інформаційних технологій і прикладної математики Запорізького національного університету (2003-2006 рр.);

- на міжвузівському науковому семінарі “Актуальні проблеми математики і механіки” (ЗНУ, м. Запоріжжя, 2006 р.);

- на регіональній конференції молодих дослідників “Актуальні проблеми математики і інформатики” (ЗНУ, м. Запоріжжя, 2006 р.);

- на науковому семінарі кафедри програмного забезпечення автоматизованих систем (Запорізька державна інженерна академія, м. Запоріжжя, 2006 р.).

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи та етапи її підготовки опубліковано у 8 друкованих виданнях, у тому числі 4 статті у виданнях, включених до переліків ВАК України (3 переліку для фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи), а також 4 публікації у збірниках матеріалів міжнародних та регіональних конференцій.

Структура й обсяг дисертації.

Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів з висновками, загального висновку, списку використаних джерел із 164 найменувань (16 сторінок), а також 3 додатків (11 сторінок). Загальний обсяг роботи складає 157 сторінок, у тому числі 130 сторінок основного тексту ілюстрованого 73 рисунками й 3 таблицями.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі стисло розглянуто стан досліджень в області моделювання контактних задач механіки у пружній і пружно-пластичній постановках, обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовано мету й задачі дослідження, узагальнено сукупність наукових результатів, які виносяться на захист, їх наукова новизна, практична цінність.

Наведено кількісну характеристику публікацій та особистий внесок в них здобувача, а також відомості про апробацію результатів дисертації.

Перший розділ “Аналіз стану проблеми” присвячений аналізу предметної області, постановці мети і задач дослідження. У ньому наведені основні етапи розвитку теоретичних і практичних основ обраної теми, а також проведено огляд існуючих методів розв'язання контактних задач механіки. У результаті виконаного аналізу визначено недоліки та принципові труднощі існуючих методів, пропонуються шляхи їх удосконалення. Обґрунтовується необхідність розробки нових моделей для розв'язання контактних задач механіки у пружно-пластичній постановці.

У другому розділі “Постановка і формалізація опису контактної задачі механіки” подано можливі варіанти постановки контактної задачі, розглянуто методи формалізації опису постановок контактних задач теорії пластичності з використанням варіаційних принципів. Наведено схему виведення диференціальних рівнянь теорії пружності та пластичності з варіаційних принципів. Описано проблемно-орієнтовану мову FORTU-3, за допомогою якої користувач має можливість формально описувати математичну модель і чисельну схему розрахунку контактної задачі у пружно-пластичній постановці. У контактних задачах теорії пружності розглядається напружений стан, що виникає в притиснутих одне до одного пружних тілах. Методи, що застосовуються для розв'язання контактних задач, можна розділити на дві групи:

1) методи, засновані на апараті лінійних інтегральних рівнянь, коли шуканим є розподіл тиску під штампом, а визначення напруження й переміщень у деформованій області зводиться до обчислення відповідних інтегралів;

2) варіаційні методи, коли розв'язання зводиться до визначення переміщень, що доставляють мінімум відповідного функціонала.

Ефективним засобом для опису і подальшого розв'язання контактних задач для систем пружних тіл є використання варіаційних принципів. Застосування варіаційних принципів вдало узгоджується з вибором чисельного методу розв'язання контактних задач, а саме методу скінченних елементів. Метод скінченних елементів за своєю суттю також є варіаційним. Розв'язання задачі контактної взаємодії системи пружних тіл (у випадку малих в порівнянні з розмірами тіл переміщень) за методом скінченних елементів також зводиться до мінімізації відповідного енергетичного функціонала, який утворюється як сума функціоналів усіх контактуючих тіл. Згідно з варіаційним принципом Лагранжа функціонал повної потенційної енергії набуває стаціонарного значення при виконанні рівності:

Крім того, на поверхні контакту повинні виконуватися умови непроникнення, які можна записати у вигляді:

Співвідношення Кулона між нормальними і тангенціальними компонентами напружень має вигляд, де коефіцієнт тертя, який залежить від властивостей і стану контактуючих поверхонь, швидкості їх взаємного переміщення. При виконанні цієї нерівності в зоні контакту забезпечується сумісність дотичних переміщень контактуючих тіл, при перетворенні на рівність - можливе взаємне проковзування.

В роботі наведено схему виведення диференціальних рівнянь теорії пружності та пластичності із варіаційного принципу Лагранжа (1).

Схему виведення диференціальних рівнянь теорії пружності з варіаційного принципу Лагранжа можна описати таким чином. Враховуючи, що в теорії пружності існують такі співвідношення:

Де:

V - об'єм, який займає механічна система.

Формулу (4) можна прийняти як вихідну.

Тоді для подальшої побудови диференціальних рівнянь потрібна інформація про такі залежності:

Тут (5) - закон Гука, (6) - співвідношення Коші, (7) - співвідношення для переміщень, що звичайно є математичним вираженням гіпотези (залежить від типу конкретної конструкції).

Якщо за (7) прийняти співвідношення:

Для подальшого розв'язання задачі необхідно мінімізувати співвідношення (11) одним із відомих варіаційних способів. Наприклад, якщо використовувати для мінімізації співвідношення (11) варіаційний метод Релея-Рітца, отримуємо систему алгебраїчних лінійних рівняння:

- розв'язуючи яку, можна отримати наближений розв'язок вихідної задачі.

Аналогічно, за допомогою всього трьох операцій підстановки, диференціювання і інтегрування можна автоматично за допомогою комп'ютера виводити різні рівняння для довільних функціоналів. Наведений метод виведення абсолютно не залежить від розмірності задачі й дозволяє одним і тим же способом виводити різні рівняння механіки. Суттєвою трудністю, яка виникає при виводі із варіаційних принципів рівнянь, необхідних для розв'язання фізично нелінійних задач, є обчислення нелінійних співвідношень. Зокрема, при використанні теорії малих пружно-пластичних деформацій О.А. Ільюшина варіаційний принцип мінімуму енергії матиме вигляд:

Ясно, що підінтегральний вираз в (13) є нелінійним через нелінійність (14). Для вирішення цієї проблеми в дисертаційній роботі використовувалися методи й алгоритми відомих теорій лінеаризації.

Для формального опису функціоналів, правил виводу з них розв'язальних співвідношень і схем лінеаризації пружно-пластичних задач використовується проблемно-орієнтована мова FORTU-3. У розділі також наведено короткий опис мови FORTU-3, що є узагальненням результатів тривалого розвитку інструментальних систем і формальних мов, що розробляються під керівництвом професора В.О. Толока.

У дисертаційній роботі в FORTU-3 були внесені модифікації, які дозволили спростити опис схем розв'язання контактних задач у пружно-пластичній постановці. Запропонована мова й методика її застосовування реалізовані програмно.

У третьому розділі “Об'єктно-орієнтоване моделювання контактних задач механіки з урахуванням фізичної нелінійності” побудована об'єктно-орієнтована модель пружно-пластичних контактних задач. Описано методи лінеаризації пластичних задач та алгоритми автоматизації розв'язання на комп'ютері. У процесі об'єктно-орієнтованого моделювання контактна задача розглядається як певна механічна система, яка є сукупністю контактно взаємодіючих механічних об'єктів, що мають або можуть мати фізично нелінійні властивості. Для побудови формального опису контактної задачі необхідно розглянути ряд визначених предметних областей, які в термінах об'єктно-орієнтованого аналізу називаються доменами.

“Механічна система” - абстрактний домен вищого рівня, який описує всю модельовану предметну область - контактні задачі в пружно-пластичній постановці. Після декомпозиції його можна розбити на три взаємопов'язані домени більш низького рівня: “Механічні об'єкти”, “Зв'язки між об'єктами” і “Стани механічної системи”.

“Механічний об'єкт” - домен, що містить логічно цілісну множину усіх контактно взаємодіючих механічних об'єктів, які утворюють всю систему. Механічний об'єкт описується як сукупність його геометричної і математичної моделі, моделі станів, моделі зв'язків з іншими об'єктами.

Геометрична модель механічного об'єкту є формальним описом топології області, а також її дискретним уявленням (скінченно-елементне розбиття). Здійснюється опис на мові FORTU-3 за допомогою набору геометричних примітивів і операцій над ними. Математична модель механічної системи ґрунтується на застосуванні енергетичного функціонала для опису повної енергії контактно взаємодіючої системи (наприклад, варіаційного принципу Лагранжа).

Домен “Стани механічної системи” містить опис можливих станів механічної системи при розв'язанні контактних задач. До них можна, наприклад, віднести початковий недеформований стан системи, пружний або пластичний стан, руйнування об'єкта і т. п.

“Зв'язки між об'єктами” - домен, що містить множину можливих взаємозв'язків між механічними об'єктами. У механіці, в основному, розглядається енергетична форма взаємодії, до якої, наприклад, можна віднести контактні взаємодії між механічними об'єктами, що задовольняють умови непроникнення і незчеплення. Для розв'язання нелінійних рівнянь теорії пластичності у дисертаційній роботі в якості методів лінеаризації застосовувалися теорія малих пружних розв'язків О.А. Ільюшина і метод змінних параметрів І.А. Біргера.

У розділі наведено розроблені алгоритми автоматизації виводу лінійних та нелінійних співвідношень з варіаційних принципів. Побудовано та реалізовано універсальний алгоритм, що дозволяє проводити розрахунки для широкого класу варіаційних принципів і різних типів скінченних елементів з довільно заданими функціями форми.

Таким чином, запропонована об'єктно-орієнтована модель контактної задачі у пружно-пластичній постановці, що базується на використанні варіаційних принципів, дозволяє не тільки формально описувати загальні математичні постановки відповідно до різних теорій пластичності, але й автоматизувати процес отримання рівнянь механіки деформівного твердого тіла, потрібних для подальшого чисельного розрахунку задачі. Побудована ця модель на основі методологій моделювання OMT і UML. Запропоновані модель і методи реалізовані програмно.

Четвертий розділ “Приклади моделювання пружно-пластичних задач” містить приклади чисельного аналізу контактних задач механіки у пружно-пластичній постановці за допомогою розробленої об'єктно-орієнтованої моделі. Було розглянуто низку тестових задач, а також декілька складних контактних задач в тривимірній фізично-нелінійній постановці. При розв'язанні всіх тестових задач було досягнуто прийнятну точність у порівнянні з відомими аналітичними або чисельними розв'язками.

Як приклад застосування розробленої моделі і програмної системи у тривимірній постановці була розглянута задача про вдавлення в пружно-пластичний напівпростор штампа, що має в плані форму квадратного кільця.

Дискретну модель штампа містить 5336 лінійних скінченних елементів у формі тетраедру, що складаються з 9342 вузлів.

При розрахунку з урахуванням пружно-пластичної природи матеріалу основи, були отримані основні параметри напружено-деформованого стану конструкції, а також зони пластичності. Аналіз результатів розрахунку показав, що максимальне значення контактного тиску досягнуто у напівпросторі під зовнішньою стороною штампа, а глибина проникнення зон пластичності під штампом досягнула чверті його висоти.

Також у тривимірній постановці було розглянуто задачу про контакт між колесом залізничного вагону і рейкою, що має форму асиметричної двотаврової балки. Дискретну модель колеса й рейки, що складається з 1700 вузлів і 5241 СЕ у формі лінійного тетраедра, також розв'язалася при використанні квадратичних скінчених елементів, відповідних початковому лінійному розбиттю. Було виявлено добру узгодженість результатів, отриманих при різних дискретизаціях, що може свідчити про точність розв'язання. При згущуванні скінченно-елементного розбиття, а також при використанні квадратичних скінченних елементів чисельний результат розв'язання змінюється неістотно, що також може свідчити про достовірність отриманих результатів.

Таким чином, на основі аналізу розв'язаних задач можна зробити висновок, що запропонована об'єктно-орієнтована модель дозволяє отримати ефективний чисельний розв'язок плоских і просторових контактних задач механіки в пружно-пластичній постановці.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі отримано результати, які відповідають меті дослідження і в сукупності є вирішенням важливої науково-технічної проблеми, а саме розробки математичної моделі чисельного аналізу напружено-деформованого стану контактної задачі механіки у фізично нелінійній постановці.

Основні результати, що отримано в дисертаційній роботі, зводяться до наступного:

1. Вперше запропоновано, досліджено й програмно реалізовано об'єктно-орієнтовану модель, яка дає можливість формально описувати рівняння для різних теорій пластичності, а також чисельно розв'язати контактні задачі у пружно-пластичній постановці;

2. Отримала подальший розвиток методика аналізу контактних задач у пружно-пластичній постановці на основі об'єктно-орієнтованого підходу й варіаційних принципів, що дозволило отримати розв'язок пружно-пластичних контактних задач в різних постановках за методом скінченних елементів; математичний моделювання інженерний

3. Отримала подальший розвиток універсальна система автоматизації проектувальних робіт в машинобудуванні і будівництві FORTU-FEM, що дозволило застосовувати її для вирішення пружно-пластичних контактних задач;

4. За допомогою системи FORTU-FEM вперше отримані чисельні результати розв'язання деяких типів контактних задач у пружно-пластичній постановці;

5. Результати дисертаційних досліджень впроваджено в навчальний процес у Запорізькому національному університеті та Запорізькій державній інженерній академії.

Точність і достовірність отриманих результатів підтверджується їх порівняльним аналізом з наявними експериментальними даними і аналітичними розв'язками, відповідністю фізичному змісту задач, а також асимптотичною збіжністю при згущуванні сітки.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Полищук И.Б., Толок В.А., Галан Е.Е. Собственные функции и собственные значения N-мерных гармонических функций // Вісник Запорізького державного університету. - Запоріжжя: ЗДУ. - 2003. - №1. - C. 85-90.

2. Полищук И.Б., Гоменюк С.И. Объектно-ориентированное моделирование механических процессов в САПР FORTU-FEM // Вісник Запорізького державного університету. - Запоріжжя: ЗДУ. - 2004. - №2. - C. 21-30.

3. Полищук И.Б., Гоменюк С.И. Применение универсальной САПР FORTU-FEM для моделирования контактного взаимодействия упруго-пластических тел // Вісник Запорізького державного університету. - Запоріжжя: ЗДУ. - 2005. - №1. - C. 48-56.

4. Полищук И.Б. Анализ трехмерных контактных задач в упругой и упруго-пластической постановке в САПР FORTU-FEM // “Восточно-Европейский журнал передових технологий”. - Харків: Технологічний центр. - 2006. - №5/1 (23). - C. 55-58.

5. Полищук И.Б., Гоменюк С.И. Универсальная система автоматизации проектирования сложных инженерных конструкций и сооружений FORTU-FEM // Праці міжнародної науково-технічної конференції “Інтегровані комп'ютерні технології в машинобудуванні” ІКТМ'2005. - Харків: Вісник Харківського національного аерокосмічного університету “Харківський авіаційний інститут”, 2005. - С. 87.

6. Полищук И.Б., Толок В.А., Гоменюк С.И. Объектно-ориентированные модели и методы решения контактных задач механики в упруго-пластической постановке // Труды международной конференции “XXXIV Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics"”. - Росія, Санкт-Петербург, 2006. - С. 68-69.

7. Полищук И.Б., Гоменюк С.И. Объектно-ориентированное моделирование контактных задач механики в упруго-пластической постановке // Труды международной конференции “Актуальные проблемы прикладной математики и механики”. - Харьков, 2006. - С. 91.

8. Поліщук І.Б. Програмна система автоматизації розрахунку контактних задач теорії пружності і пластичності // Праці регіональної конференції молодих дослідників “Актуальні проблеми математики і інформатики”. - Запоріжжя, 2006. - С. 52-54.

Размещено на Allbest.ru