Описание экономических систем математическими методами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Кафедра инновационного менеджмента

Дисциплина «Экономико-математические методы и модели»

Иллюстрационный (раздаточный) материал

Введение в предмет

1. Моделирование как метод выбора и обоснования решений в экономике и менеджменте

моделирование математический логический

Описание экономических систем математическими методами дает заключение о реальных объектах и связях по результатам выборочного обследования или моделирования. Чем сложнее ситуация принятия решения, чем больше альтернатив и неопределенных факторов, тем важнее спрогнозировать результат, протестировать возможные варианты действий. Это и достигается путем моделирования.

Под моделированием понимают научный метод исследования, основанный на наличии определенного соответствия (аналогии) между исследуемым объектом и другим вспомогательным объектом и позволяющий по результатам исследования второго объекта делать обоснованные выводы о первом объекте. Изучаемый объект называют оригиналом (натурой), а вспомогательный - моделью. Таким образом, моделирование дает возможность результаты исследования модели переносить на оригинал, замещать при исследовании оригинал моделью.

Среди признаков, по которым классифицируют модели, выделяют два основных: по характеру подобия и по характеру использования.

По характеру подобия различают модели геометрического подобия, модели аналоги и математические модели.

Пример модели геометрического подобия - модель самолета в аэродинамической трубе.

Пример модели-аналога - глобус.

Под математической моделью понимают систему математических и логических соотношений, описывающих при определенных ограничениях и допущениях структуру и процессы, протекающие в моделируемом объекте. С помощью математической модели можно по известным исходным данным получить новые, заранее неизвестные данные об исследуемом объекте или явлении. Математическая модель является наиболее общей и абстрактной моделью.

Модели без управления являются описательными и не содержат управляемых параметров.

Например, известно, что с ростом цены объем спроса сокращается. Опираясь на это утверждение, на этапе представления гипотезы о связи двух данных величин в математической форме (или, как говорят математики, спецификации модели) можно предложить несколько формульных зависимостей или графиков, отражающих данный факт. Это и будут описательные модели.

Модели принятия решения помогают найти наилучшие варианты плановых показателей или управленческих решений. Это, например, балансовые и оптимизационные модели, посредством которых решаются задачи планирования, и игровые модели, описывающие задачи конфликтного характера с учетом пересечения различных интересов. Они отличаются тем, что в них имеется возможность выбора значений управляющих параметров (чего нет в описательных моделях).

Так, если область допустимых решений G(z), определяемая системой уравнений, содержит единственное решение z0?G(z), то задача состоит в нахождении z0 и исследовании условий его реализации. Если же имеется множество {z}?G(z), то возникает задача выбора наилучшего решения из множества {z}. Для выбора такого наилучшего решения необходимо указать систему величин, характеризующих качество каждого из возможных решений и критерий (правило) выбора. В этом и состоит оптимизационный подход.

2. Сущность и этапы экономико-математического моделирования

Моделирование в экономике начали применять еще задолго до того, как экономика окончательно оформилась как самостоятельная научная дисциплина. Принято считать, что математическое моделирование как метод анализа макроэкономических процессов впервые применено лейб-медиком короля Людовика XV доктором Ф. Кенэ, который в 1758 г. опубликовал работу “Экономическая таблица”. В ней была сделана первая попытка количественно описать национальную экономику.

Математические модели использовались также А. Смитом (классическая макроэкономическая модель), Д. Рикардо (модель международной торговли). В XIX веке большой вклад в моделирование внесла математическая школа (Л. Вальрас, О. Курно, В. Парето, Ф. Эджворт и др.).

Одно из первых представлений экономики в виде математической модели было выполнено О. Курно в книге “Исследование математических принципов теории богатства” (1838 г). В этой работе, положившей начало современной математической экономике, впервые использованы количественные методы анализа конкуренции между товарами в различных рыночных ситуациях (в частности, построена динамическая модель дуополии).

В XX веке методы математического моделирования экономики применялись очень широко. С их использованием осуществлены все работы лауреатов Нобелевской премии по экономике (Д. Хикс, Р. Солоу, В. Леонтьев, П. Самуэльсон и др.).

Итак, суть математического моделирования заключается в замене изучаемого экономического объекта (процесса) адекватной математической моделью и в последующем исследовании свойств этой модели с помощью либо аналитических методов, либо вычислительных экспериментов.

Таким образом, математические методы представляют собой инструментарий, позволяющий воспроизводить реально существующие экономические отношения посредством абстрагирования от незначительных моментов и в тоже время исследовать рассматриваемое экономическое явление с различных позиций.

Процесс математического моделирования предполагает несколько взаимосвязанных этапов. Разбиение на этапы и выделение на каждом этапе присущих ему процессов условно: на одном из выделенных этапов возможно совмещение процессов, относящихся к разным этапам.

Первый этап - постановка задачи.

Данный этап начинается с выработки цели исследования, например: составить оптимальный план выпуска продукции или перевозки грузов, найти оптимальный вариант раскроя исходных материалов и т. д.

В процессе постановки задачи необходимо помнить, что модель должна, во-первых, правильно воспроизводить действительность, во-вторых, быть доступной для исследования. Эти два обстоятельства оказывают существенное влияние на выбор исходных предпосылок. Именно поэтому Эйнштейн утверждал, что правильная постановка задачи более важна, чем ее решение.

Процесс начинается с анализа проблемы, в результате которого происходит ее «вытаскивание» из реальной практической задачи, отделение важного от несущественного. Этот этап включает:

* выделение важнейших черт и свойств моделируемого объекта и абстрагирование от второстепенных;

* изучение структуры объекта и основных зависимостей, связывающих его элементы;

* формулирование гипотез (хотя бы предварительных), дающих объяснение поведению и развитию объекта.

Основные принципы моделирования производственно-экономических систем заключаются в следующем.

Изучаемая экономическая система (национальная экономика в целом, отрасль, регион и т.п.) представляются в виде совокупности экономических единиц, каждая из которых реализует определенные функции, связанные с производством, потреблением и распределением материальных благ. Например, национальную экономику в целом можно описать как совокупность производственных отраслей, каждая из которых производит единственный продукт, отражающий суммарную стоимость продукции отрасли. В других случаях народное хозяйство можно представить как совокупность экономических регионов. Наконец, народное хозяйство часто описывают как единственную экономическую единицу, в которой производится единственный продукт, используемый как для создания новых производственных фондов, так и для потребления.

При описании любой экономической системы производственно-технологический уровень этой системы моделируется на основе материальных закономерностей производства, распределения и потребления материальных благ. Поэтому при построении модели прежде всего необходимо сформулировать список материальных благ, которые будут в ней фигурировать. Часто материальные блага называют продуктами, включая сюда сырье, материалы и прочие ресурсы.

При моделировании отрасли, описывать производство в такой подробной номенклатуре трудоемко и нецелесообразно. Поэтому в таких моделях используется агрегированная номенклатура продуктов, а в качестве единиц измерения всегда выбираются стоимостные.

Производство невозможно без участия людей. Трудовые ресурсы описываются на основе численности рабочих различных специальностей или количества человеко-часов, которые они могут отработать в течение определенного периода времени. Часто все трудовые ресурсы агрегируют в единственный показатель - общее число занятых.

После отбора экономических единиц и формирования списка ресурсов и продуктов необходимо описать их потоки. Причем потоки материальных благ должны удовлетворять законам сохранения вещества, которые выражаются в виде балансовых соотношений. Общий принцип построения балансовых соотношений можно сформулировать так: потребление любого продукта не может превысить сумму исходных запасов, производства в системе и поставок извне:

P+Y<=U+V+X ,

где U - запасы, V - поставка извне, Y - конечный продукт (выход), X - производство в системе, P - поставка в другую систему. Принцип баланса распространяется и на описание трудовых ресурсов. Кроме балансовых соотношений в описание потоков могут включаться различные ограничения (например, X? D).

Важным элементом моделирования является установление и представление в математической форме закономерностей преобразования ресурсов в системе. Соотношения подобного рода принято называть производственными функциями.

Таким образом, для построения экономико-математической модели необходимо:

* провести декомпозицию системы на элементарные экономические единицы;

* сформулировать перечень материальных благ и порядок их измерения;

* описать потоки ресурсов и сформулировать ограничения на них;

* представить порядок преобразования ресурсов в продукты производственными функциями.

Следующим этапом является построение математической модели (формализация задачи) и определение методов (алгоритмов) ее решения.

Обычно сначала определяется основной тип математической модели, а затем уточняются детали этой конструкции (конкретный перечень переменных и параметров, форма связей). Может оказаться, что ранее проведенный системный анализ привел к такому набору элементов, свойств и соотношений, для которого нет приемлемого решения и необходимо возвращаться к содержательной постановке.

Важнейшая проблема моделирования - адекватность модели (соответствие, совпадение с оригиналом). С одной стороны, модель должна по возможности полно отражать оригинал. Чем ближе к совпадению, тем ценнее знание, полученное при исследовании модели. С другой стороны, неправильно полагать, что чем больше факторов учитывает модель, тем она лучше "работает". То же можно сказать о таких характеристиках сложности модели, как используемые формы математических зависимостей (линейные и нелинейные), учет факторов случайности и неопределенности и т.д. Модель должна быть как можно более простой, чтобы ее было легче исследовать. Кроме того нужно сопоставлять затраты на моделирование с получаемым эффектом.

Реальные возможности получения информации ограничивают выбор моделей, предназначаемых для практического использования. При этом принимается во внимание не только принципиальная возможность сбора информации, но и затраты на подготовку соответствующих информационных массивов. Эти затраты не должны превышать эффект от использования дополнительной информации.

На заключительном этапе встает вопрос о правильности и полноте результатов моделирования и их практической применимости.

Математические методы проверки могут выявить некорректности в построении модели. Неформальный анализ теоретических выводов и численных результатов, сопоставление их с имеющимися знаниями и фактами действительности позволяют обнаруживать недостатки содержательной и математической постановки.

По мере развития инструментов экономико-математического моделирования его отдельные этапы обособляются в специализированные области исследований, растут различия между теоретико-аналитическими и прикладными моделями, происходит дифференциация моделей по уровням абстракции и идеализации. Но в любом случае на этапе практического использования моделей ведущую роль должны играть специалисты в соответствующей области экономического анализа, планирования и управления.

С формальной точки зрения построение различных математических моделей предполагает общие шаги:

выбор переменных, т.е. набора нефиксированных заранее величин, описывающих ту или иную сторону моделируемого явления. При этом необходимо указать, какие значения могут принимать переменные и какие преобразования можно производить с ними. Известные параметры задачи относительно ее математической модели считаются внешними (заданными априори, т.е. до построения модели). В экономической литературе их называют экзогенными переменными. Значение же изначально неизвестных переменных вычисляются в результате исследования модели. Поэтому по отношению к модели они считаются внутренними и в экономической литературе их называют эндогенными переменными.

Формирование ограничений на потоки ресурсов. В моделях их представляют уравнениями, неравенствами, функциями и иными отношениями между переменными. Совокупность ограничений, накладываемых на переменные или связывающих их, и является математической моделью изучаемой системы.

В самом общем виде модель можно записать:

z?G(z) ? Z,

где - z переменные модели, Z- пространство всех переменных , G(z)-область допустимых значений переменных, определяемая ограничениями модели.

3. Классификация экономико-математических моделей

Процессы и объекты управления в экономике столь многообразны, что не существует классификации экономико-математических моделей, претендующей на полноту охвата всего множества социально-экономических задач.

В тоже время в зависимости от признака классификации можно выделить наиболее значимые их группы. Различные классификационные признаки позволяют рассматривать социально-экономические задачи с различных точек зрения, что позволяет сформировать системный взгляд на изучаемую экономическую проблему. На рис. 1 представлены основные укрупненные признаки классификации экономико-математических моделей.

Рис. 1

По целевому назначению экономико-математические модели делятся прежде всего на теоретико-аналитические, используемые в исследованиях общих свойств и закономерностей экономических процессов, и прикладные, применяемые в решении конкретных экономических задач (модели экономического анализа, прогнозирования, управления).

В зависимости от характера формируемой информации модели могут быть разделены на две категории:

* модели, описывающие прошлое и настоящее экономических явлений и процессов;

* модели, описывающие будущее развитие объектов, включая ожидаемые изменения внутренних параметров и внешних условий (модели прогнозирования).

По внутренней структуре модельного описания экономической системы выделяют модели:

* Функциональные и структурные;

* Дескриптивные и нормативные;

* Открытые и закрытые;

* Макроэкономические и микроэкономические;

* Агрегированные и детализированные;

* Однопродуктовые и многопродуктовые и пр.

В исследованиях на народнохозяйственном уровне чаще применяются структурные модели, поскольку для планирования и управления большое значение имеют взаимосвязи подсистем. Типичными структурными моделями являются модели межотраслевых связей.

Функциональные модели широко применяются в экономическом регулировании, когда на поведение объекта ("выход") воздействуют путем изменения "входа". Примером может служить модель поведения потребителей в условиях товарно-денежных отношений.

Один и тот же объект может описываться одновременно и структурной, и функциональной моделью. Так, например, для планирования отдельной отраслевой системы используется структурная модель, а на народнохозяйственном уровне каждая отрасль может быть представлена функциональной моделью.

Одна из главных задач экономической науки - это разработка научных методов планирования и управления экономикой. Поэтому распространенный тип математических моделей экономики - это модели управляемых и регулируемых экономических процессов, используемые для преобразования экономической действительности. Такие модели называются нормативными. Нормативные модели отвечают на вопрос, как это должно быть, т. е. предполагают целенаправленную деятельность. Типичным примером нормативных моделей являются модели оптимального планирования, формализующие тем или иным способом цели экономического развития, возможности и средства их достижения.

Дескриптивные модели помогают решить вопросы "Как это происходит?" или "Как это вероятнее всего может дальше развиваться?", объясняют наблюдаемые факты или дают вероятный прогноз. Применение дескриптивного подхода в моделировании экономики объясняется необходимостью эмпирического выявления различных зависимостей в экономике, установления статистическими закономерностями экономического поведения социальных групп, изучения вероятных путей развития каких-либо процессов при неизменяющихся условиях или протекающих без внешних воздействий. Примерами дескриптивных моделей являются производственные функции и функции покупательского спроса, построенные на основе обработки статистических данных.

Типична ситуация, когда нормативная модель сложной структуры объединяет отдельные блоки, которые являются частными дескриптивными моделями. Например, межотраслевая модель может включать функции покупательского спроса, описывающие поведение потребителей при изменении доходов.

Подобные примеры характеризуют тенденцию эффективного сочетания дескриптивного и нормативного подходов к моделированию экономических процессов. Дескриптивный подход широко применяется в имитационном моделировании.

Идея имитационных экспериментов состоит в следующем: задаются параметры системы и находится одно из возможных решений z0?G(z). Для этого решения подсчитываются значения выбранных критериев fi (z0). На этом исследование одного варианта заканчивается. Затем меняются параметры системы, находится другое решение и так далее. Просмотрев результаты большого числа вариантов, можно составить общее представление о возможностях системы и выбрать наиболее подходящее управление.

По форме описания модели экономических процессов чрезвычайно разнообразны.

Особенно важно выделить класс линейных моделей, наиболее удобных для анализа и вычислений и получивших вследствие этого большое распространение. Различия между линейными и нелинейными моделями существенны не только с математической точки зрения, но и в теоретико-экономическом отношении, поскольку многие зависимости в экономике носят принципиально нелинейный характер: эффективность использования ресурсов при увеличении производства, изменение спроса и потребления при увеличении производства и т.д.

Детерминированные и стохастические модели различаются по характеру отражения причинно-следственных связей.

Стохастические модели - это модели, учитывающие случайность и неопределенность. Для их построения необходимо различать неопределенность, описываемую вероятностными законами, и неопределенность, для описания которой законы теории вероятностей неприменимы. Второй тип неопределенности гораздо более сложен для моделирования.

Сетевые модели, с которых мы начнем наш курс, наиболее широко применяются в управлении проектами. Сетевая модель отображает комплекс работ (операций) и событий и их взаимосвязь во времени.

Эконометрические модели используются для анализа и прогнозирования конкретных процессов с использованием реальной статистической информации. Параметры таки моделей оцениваются с помощью методов математической статистики по уравнениям, отражающим связь эндогенных и экзогенных переменных.

Достаточно адекватные модели экономических явлений могут оказаться настолько сложными, что их не удается решить точно в рамках однокритериальных оптимизационных методов. Приходится прибегать к многокритериальной (векторной) оптимизации.

Литература

1. Конюховский П.В. Математические методы исследования операций в экономике. - СПб.: Изд-во СПбГУ, 2008.

2. Таха Х. Введение в исследование операций. - М.: Мир, 2005, 2009.

3. Глухов В.В., Медников М.Д., Коробко С.В. Математические методы для менеджеров. - СПб.: «Лань», 2005.

4. Ботвин Г.А., Мардас А.Н. Сетевые модели в инновационном менеджменте. СПб.: СПбГУ, ОЦЭиМ, 2007.

5. Писарук Н.Н. Исследование операций. - Мн.: Изд-во БГУ, 2011.

Размещено на Allbest.ru