Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГБОУ ВПО «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ИМПЕРАТОРА ПЕТРА I»

Кафедра эконометрики и математической статистики

Реферат по эконометрике

на тему: «Сингулярно-спектральный анализ»

Выполнил(а): студент(ка)-бакалавр Б.Ф./М.Э. 2.11

Лысенко Ирина

Проверил(а): Горелова Марина Владимировна

Воронеж 2014

Сингулярный спектральный анализ (ССА, англ. Singular Spectrum Analysis, SSA) - математический метод анализа временных рядов, при котором поведение цены рассматривается как результат сложения шумовой, трендовой и нескольких волновых составляющих. ССА используется для определения вероятного поведения цены в самом ближайшем будущем. Сингулярный спектральный анализ является частным случаем многомерного сингулярного спектрального анализа.

Метод ССА применяется в таких отраслях науки, как метеорология, биоинформатика, распознавание паттернов и астрономия. Это полезный метод сглаживания начальных данных, сжатия информации и прогнозирования цен временных сессий.

Сингулярный спектральный анализ был разработан с целью обеспечения внутреннего взгляда на динамику процесса, генерирующего временные сессии. ССА основывается на задаче сингулярного расположения траекторной матрицы, конструируемой из ценовых временных сессий.

Механизм ССА

Каждая цена в фиксированной точке времени является состоянием системы. Серия таких состояний во времени равноудалена и образует профиль изменения состояний с одним измерением в определенное время. Человек может быть осведомлен о процессе, лежащем за любым движением цены на графике, однако не может знать характеристики данного процесса. В ССА этот неизвестный процесс представляется как сумма отдельных компонентов - элементарные паттерны поведения (ЭПП). Каждый такой паттерн дает трейдеру/аналитику информацию о тренде, шумовых или осциллирующих компонентах начальных цен временных сессий. Целью сингулярного спектрального анализа является извлечение этой информации из начальных временных сессий.

Начальная точка ССА - процедура встраивания. Из бесконечных временных серий следует выбрать начальный конечный интервал, содержащий N состояний системы. Затем необходимо выбрать число задержек (окно), содержащее определенное число цен - от первого числа до М. Значение «М» должно быть равно или меньше int (N/2), int является целым числом. Эти значения образуют первый ряд матрицы Х. Следующий, второй ряд состоит из цен от второго числа до М+1 и т.д. Последнее состояние последовательности М должно соответствовать последнему ряду матрицы. М последовательных наблюдений временных начальных сессий дают возможность трансформации одномерных временных сессий в М-мерные.

Матрица Х носит название «траекторная матрица». Она состоит из N колонок и М траекторий (рядов). Число колонок равно 1 + N-m. После расчета траекторной матрицы можно разложить временные начальные серии цен на ЭПП.

Сингулярное разложение

Сингулярный спектральный анализ базируется на ортогональной эмпирической функции (ЭОФ). Равенство задачи SVD (сингулярное разложение) траекторной матрицы Х определяется следующим образом: X = USVT, где Т является сопряженной транспозицией матрицы. ЭОФ правой (V) и левой (U) матриц поворачивает ковариантную матрицу Cov=XTX так, что размещение ненулевых элементов матрицы происходит в порядке уменьшения, диагонально.

Квадратные корни данных диагональных элементов носят название «сингулярные значения», найденные в матрице S. Они формируют сингулярный спектрум траекторной матрицы. Например, если речь идет о временных сессиях, содержащих лишь чистые сигналы, без шума, то все диагональные элементы матрицы S будут отличаться от нуля.

К примеру, некая экономическая новость вызвала в дополнение к чистому сигналу белый шум. Чтобы учесть эффект этого шума, нужно добавить некоторое значение стандартного отклонения - оно увеличит сингулярные значения, не изменяя ЭОФ, так как белый шум и сигнал статистически друг от друга независимы. Важно учитывать, что лишь часть сингулярных значений соответствует сигналу, все оставшиеся соответствуют белому шуму.

ЭОФ - эмпирические ортогональные функции

Узнаваемые волновые формации позволяет выявить схема элементов матрицы V. Стоит отметить, что некоторыми своими чертами ССА напоминает анализ Фурье. Оба метода представляют сигналы как сумму косинусов и синусов разных амплитуд и частот, цель - определение опережающих.

Однако сингулярный спектральный анализ обладает рядом преимуществ по сравнению с анализом Фурье. Например, в ССА для трансформации не обязательно учитываются сингулярные разложения, даже те, которые подобно экспоненциальному паттерну или синусу не дают паттерна.

(Рис. 1 - ЭОФы, которые соответствуют первым трем сингулярным значениям)

На рисунке 1 показаны ЭОФы, соответствующие трем первым сингулярным значениям. Первый (верхний)график - ЭОФ1, соответствующий первому сингулярному значению; второй (средний) график - ЭОФ 2,3; третий (нижний) график - ЭОФ 5,6. Два последних графика включены с целью показа более очевидной циклической структуры.

Основные компоненты ССА

Основные компоненты, характеризующиеся ЭОФ-ами и набором сингулярных значений, являются проекцией временных начальных серий на выбранные ЭОФ. Основные компоненты 1 определяются как линейная комбинация элементов ЭОФ1, показывающей максимальную вариативность всех других линейных комбинаций, и траекторной матрицы. Основные компоненты 2 представляют собой максимальную вариативность оставшихся линейных комбинаций, коррелирующих с основными компонентами 1.

Идея, стоящая за основными компонентами заключается в выведении серии ЭОФ таким образом, чтобы проекциями начальных серий сохранялась максимальная фракция вариативности начальных данных.

SSA (Singular spectrum analysis или Анализ сингулярного спектра) -- метод анализа временных рядов, основанный на преобразовании одномерного временного ряда в многомерный ряд с последующим применением к полученному многомерному временному ряду метода главных компонент. сингулярный математический цена

Способ преобразования одномерного ряда в многомерный представляет собой «свёртку» временного ряда в матрицу, содержащую фрагменты временного ряда, полученные с некоторым сдвигом. Общий вид сдвиговой процедуры напоминает «гусеницу», поэтому сам метод нередко так и называют -- «Гусеница»: длина фрагмента называется длиной «гусеницы», а величина сдвига одного фрагмента относительно другого шагом «гусеницы». Обычно используется шаг 1.

Singular spectrum analysis (SSA) сочетает в себе элементы классического анализа временных рядов, многомерной статистики, многомерной геометрии, динамических систем и обработки сигналов. К источникам происхождения SSA можно отнести Метод главных компонент и классическую теорему Карунена-Лоэва для спектрального разложения временных рядом и цифровых изображений.

Диапазон областей знаний, где SSA может быть применен, очень широк: климатология, океанология, геофизика, техника, обработка изображений, медицина, эконометрика и многие другие. Поэтому в практических приложениях используются различные модификации SSA. Можно выделить два главных направления, это SSA как универсальный метод (Golyandina et all, 2001) для решения задач общего назначения, таких как выделение тренда, обнаружение периодичностей, корректировка на сезонность, сглаживание, подавление шума, а также SSA для спектрального анализа стационарных временных рядов (Vautard and Ghil, 1989), имеющий большое число приложений в тех областях, где такие ряды наблюдаются, в частности, в климатологии.

SSA, как метод анализа ряда

SSA может быть использован без предварительного задания модели ряда для анализа произвольных, в том числе, нестационарных, рядов. Основная цель SSA - разложить ряд в сумму интерпретируемых компонент, таких как тренд, периодические компоненты, шум. При этом знание параметрической формы этих компонент не требуется.

Рассмотрим вещественно-значный ряд длины N. Пусть некоторое целое число, называемое длина окна, и

Базовый алгоритм SSA

Шаг 1: Вложение.

Строится траекторная матрица ряда следующим образом:

где - вектора вложения длины . Матрица является ганкелевой, т.е. имеет одинаковые элементы на анти-диагоналях .

Шаг 2: Сингулярное разложение (SVD).

Производится сингулярное разложение (SVD) траекторной матрицы . Положим и обозначим собственные числа , взятые в невозрастающем порядке (), и ортонормированную систему собственных векторов матрицы , соответствующих собственным числам.

Положим (заметим, что в реальности, как правило, ) и . В этих обозначениях сингулярное разложение траекторной матрицы может быть записано как

где матрицы имеют ранг 1 и называются элементарными матрицами. Набор называется -й собственной тройкой (коротко - ET от eigentriple) сингулярного разложения. Векторы и называются левыми и правыми, соответственно, сингулярными векторами матрицы , числа - сингулярные числа (они составляют сингулярный спектр , что и дало название Singular Spectrum Analysis методу), векторы , по аналогии с анализом главных векторов, называются векторами главных компонент.

Шаг 3: Группировка собственных троек. Множество всех индексов разбивается на непересекающихся подмножеств .

Пусть . Тогда результирующая матрица , соответствующая группе , определяется как . Результирующие матрицы вычисляются по группам и сгруппированное SVD разложение матрицы может быть записано как

Шаг 4: Диагональное усреднение.

Каждая матрица сгруппированного разложения ганкелизуется (усредняется по анти-диагоналям) и затем полученная ганкелева матрица трансформируется в новый временной ряд длины на основе взаимно-однозначного соответствия между ганкелевыми матрицами и временными рядами. Диагональное усреднение, примененное к каждой результирующей матрице , производит восстановленные ряды . Таким образом, исходный ряд раскладывается в сумму восстановленных рядов:

Данное разложение является главным результатом алгоритма SSA для анализ временного ряда. Это разложение имеет смысл. Если каждая из его компонент может быть интерпретируема как либо тренд, либо колебания (периодики), либо шум.

Метод имеет такие модификации как SSA с однократным центрированием и SSA с двойным центрированием. Последний вариант хорошо работает при наличии линейного тренда.

Теория SSA. Теория SSA отвечает на следующие вопросы: (a) какие составляющие временного ряда могут быть разделены SSA и (b) как выбрать длину окна и провести правильную группировку, чтобы выделить нужную компоненту.

Тренд (определяемый как медленно-меняющаяся компонента ряда), периодические компоненты и шум асимптотически разделимы SSA при . На практике фиксировано и речь идет о приближенной разделимости компонент временного ряда. Длина окна определяет разрешение метода: большие значения (но не более половины длины ряда) обеспечивают наиболее подробное разделение на элементарные компоненты и, как следствие, лучшую разделимость. В некотором смысле, длина окна определяет разрешимость метода, в частности, соответствует максимальному периоду, который может быть обнаружен с такой длиной окна. Тренд может быть выделен группировкой собственных строек с медленно-меняющимися собственными векторами. Синусоиде с частотой меньше 0.5 соответствует пара синусообразных собственых векторов с той же частотой и разницей в фазах, примерно равной .

Размещено на Allbest.ru